清单03 图形的相似（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单03图形的相似（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 【清单03】 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单04】 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单05】 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【清单06】 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单07】 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单08】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单09】 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB ． 【清单10】 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【清单11】 位似图形 1.位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2. 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 3. 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点题型一】比例性质 【典例1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果，那么下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则 ． 【变式1-3】已知，则的值为 【考点题型二】比例线段 【典例2】下列四组数不能组成比例式的是（　　） A．2，3，6，9 B．2， 1 ，2， 4 C．0.1， 0.3， 1.5， 0.5 D． 【变式2-1】若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知线段，，则，的比例中项为 ． 【变式2-3】延长线段AB到C，使BC＝2AB，则AC：BC＝ ． 【点睛】本题考查了线段的比，画出相应图形是解决本题的关键． 【考点题型三】黄金分割 【典例3】【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 【变式3-1】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【变式3-2】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 【变式3-3】如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【考点题型四】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【典例4】如图，，若，则下面结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c 于点D，E，F．若，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】如图，已知且，则的长为（    ） A．12 B．13 C．18 D．21 【变式4-3】如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 【考点题型五】相似图形 【典例5】下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．各角对应相等的两个五边形相似 C．等边三角形都是相似三角形 D．等腰三角形都是相似三角形 【变式5-1】下列图形中，不是相似图形的一组是（   ） A．B．C． D． 【变式5-2】下列各组图形中，是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列说法中，正确的命题是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； B．三个角相等的四边形是矩形； C．有一个角相等的两个等腰三角形相似； D．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似． 【考点题型六】相似多边形的性质 【典例6】若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为，，且它们面积的差为 ，则较大的五边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（   ） A．6 B．8 C． D．9 【变式6-3】如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 【考点题型七】相似三角形的判定 【典例7】如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【变式7-1】如图，在中，． 求证：； 【变式7-2】如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 【变式7-3】如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【考点题型八】相似三角形的性质 【典例8】如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 【变式8-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 【变式8-3】如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为 ． 【考点题型九】相似三角形的判定和性质综合 【典例9】如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点沿向点A运动（点P不与点A，重合），连接．过点P作，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由． 【变式9-1】已知：如图，D，E，F分别是的边上的点，． (1)求证：． (2)若，，求和． 【变式9-2】如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【变式9-3】如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【考点题型十】相似三角形的应用综合 【典例10】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【变式10-1】如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米，已知他的身高1.8米，影长是2米． (1)图中与是否相似？为什么？ (2)求信号发射塔的高度． 【变式10-2】某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【变式10-3】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【考点题型十一】图形的位似的性质 【典例11】如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【变式11-1】如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（    ） A．4 B． C．16 D．32 【变式11-2】如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式11-3】如图是幻灯机的工作原理图，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是，幻灯片与屏幕间的距离是，幻灯片上的图案的高度是，屏幕上图案的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式11-4】如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 【变式11-5】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（　　）    A． B． C．点A，O，三点在同一条直线上 D． 【考点题型十二】作图-位似 【典例12】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为 ． 【变式12-1】实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． (1)画出绕点B顺时针旋转后的； (2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． (3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【变式12-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位．建立坐标系后，中点坐标为． (1)把绕点C顺时针旋转后得到，画出，并写出坐标； (2)把以O为位似中心放大，使放大前后对应边长为，在第四象限画出放大后的，并写出坐标． 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，点，的坐标分别为，． (1)将绕点按顺时针方向旋转，得到，画出； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使，与位似，且相似比为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03图形的相似（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 【清单03】 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单04】 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单05】 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【清单06】 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单07】 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单08】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单09】 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB ． 【清单10】 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【清单11】 位似图形 1.位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2. 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 3. 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点题型一】比例性质 【典例1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行计算，即可得出结论． 【详解】解：若，则， A．由，可得，故本选项符合题意； B．由，可得，故本选项不合题意；     C．由，可得，故本选项不合题意；     D．由，可得，故本选项不合题意； 故选：A． 【变式1-1】如果，那么下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答． 【详解】选项A中，因为所以，故A不符合题意； 选项B中，因为，所以，故B不符合题意； 选项C中，因为，所以，故C符合题意； 选项D中，因为，所以，所以，所以，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】已知，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，利用设法即可解答，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：， 设，， 则， 故答案为：． 【考点题型二】比例线段 【典例2】下列四组数不能组成比例式的是（　　） A．2，3，6，9 B．2， 1 ，2， 4 C．0.1， 0.3， 1.5， 0.5 D． 【答案】D 【分析】根据较短的两个数的比等于较长的两个数的比判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了比例式，正确理解四个数中，较短的两个数的比等于较长的两个数的比进行列式是解题的关键． 【变式2-1】若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：∵，，，成比例线段， ∴可得：， 又∵，，， ∴， 解得：， ∴线段的长为． 故选：B 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键． 【变式2-2】已知线段，，则，的比例中项为 ． 【答案】6 【分析】设线段 a，b 的比例中项为 c，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得 c 的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】设线段a，b的比例中项为 c， ∵c 是长度分别为2、18的两条线段的比例中项， ∴， 即， ∴（负数舍去）。 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了线段的比，根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么 b 叫做 a 与 c 的比例中项． 【变式2-3】延长线段AB到C，使BC＝2AB，则AC：BC＝ ． 【答案】3：2 【分析】根据题意画出相应图形，则可求得AC＝3AB，由此即可求得答案． 【详解】解：如图： ∵BC＝2AB， ∴AC＝BC＋AB＝3AB， ∴AC：BC＝3AB：BC＝3：2， 故答案为：3：2． 【点睛】本题考查了线段的比，画出相应图形是解决本题的关键． 【考点题型三】黄金分割 【典例3】【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 【答案】(1) (2)菱形；理由见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）利用勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定方法即可判断； （3）根据黄金矩形的定义即可判断． （4）根据黄金矩形的定义即可判断． 【详解】（1）解：连接，如图③， 由题知四边形为正方形，且， ， 又两个矩形相等，， ． （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，又图为矩形纸片， ，则， ， ， 四边形为菱形． （3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， ， 故四边形为黄金矩形． （4）解：选其中一种写理由均可 四边形是黄金矩形的，理由如下： ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， 或者四边形是黄金矩形的理由如下： ， 故四边形为黄金矩形． 【变式3-1】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 【考点题型四】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【典例4】如图，，若，则下面结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了比例的基本性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 根据比例的性质、平行线分线段成比例列出比例式逐项判断即可． 【分析】解： ＝， , 故A选项正确，不符合题意； ，且＝， , 故B选项正确，不符合题意； 故D选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能求出的值，故C选项不正确． 故选C． 【变式4-1】如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c 于点D，E，F．若，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先求出，再由平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 【变式4-2】如图，已知且，则的长为（    ） A．12 B．13 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；理解平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 故选：D． 【变式4-3】如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．作交于，证出，根据三角形面积关系得，根据平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到答案． 【详解】解：作交于， 是的中线， ， ， ， 的面积与的面积之比是， ， ， ， ， ； 故答案为：12． 【考点题型五】相似图形 【典例5】下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．各角对应相等的两个五边形相似 C．等边三角形都是相似三角形 D．等腰三角形都是相似三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键．根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误； B． 各角对应相等的两个五边形相似，对应边不一定成比例，故本选项错误； C． 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； D． 等腰三角形的对应角不一定相等，故本选项错误； 故选：C． 【变式5-1】下列图形中，不是相似图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论． 【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键． 【变式5-2】下列各组图形中，是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似形的定义，掌握相似性的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似形”是解题的关键． 【详解】解：A、C、D中图形不是相似图形，B中的图形是相似图形， 故选B． 【变式5-3】下列说法中，正确的命题是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； B．三个角相等的四边形是矩形； C．有一个角相等的两个等腰三角形相似； D．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、相似三角形的判定逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原说法正确，故A符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法错误，故B不符合题意； C、当这个角一个是等腰三角形的顶角，一个是等腰三角形的底角时，两个等腰三角形不相似，原说法错误，故C不符合题意； D、两边对应成比例且两边的夹角对应相等的两个三角形相似，原说法错误，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了判断命题的真假、平行四边形的判定、矩形的判定、相似三角形的判定．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有三个角是直角的四边形是矩形，两边对应成比例且两边的夹角对应相等的两个三角形相似． 【考点题型六】相似多边形的性质 【典例6】若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似比、相似多边形的性质及计算，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质求解即可得出答案． 【详解】两个相似五边形的相似比为， 它们的面积比为， 故选：C． 【变式6-1】两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为，，且它们面积的差为 ，则较大的五边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质；设较大的五边形的面积为 ，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设较大的五边形的面积为 ， 依题意，得， 解得：， 即较大的六边形的面积为． 故选：C． 【变式6-2】如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（   ） A．6 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，由题意证明，得出，求出，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式6-3】如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得两个图形相似， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点题型七】相似三角形的判定 【典例7】如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式7-1】如图，在中，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由平行得两组相等的同位角，即可证明三角形相似． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）可推出，，进而推出，从而得出，从而平分； （2）可推出，，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 将沿着折叠后得， ，， ，， ， ， ， 平分． （2）证明：由折叠可得：， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，角平分线等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件． 【变式7-3】如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，结合外角定理可得，即可证明； 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 【考点题型八】相似三角形的性质 【典例8】如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据，得出，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B． 【变式8-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，因为相似比是，所以面积比是相似比的平方，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【变式8-2】如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 【变式8-3】如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似图形的性质得，进而可求解，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，即：， 解得：或（舍去）， 故答案为：12． 【考点题型九】相似三角形的判定和性质综合 【典例9】如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点沿向点A运动（点P不与点A，重合），连接．过点P作，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当点P运动到边的中点时，；理由见解析 【分析】（1）利用等角的余角相等得到，再证明三角形相似即可； （2）根据相似的性质可得，设，则，求出x的值即可求； （3）根据，求出，即可分别求出，再由，，可得到． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， 设，则， ， 解得， ； （3）解：如图，连接， 当点P运动到边的中点时，，理由如下： P是的中点， ， ， ，即， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式9-1】已知：如图，D，E，F分别是的边上的点，． (1)求证：． (2)若，，求和． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）通过两组平行，得到对应角相等，即可证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出比例式即可解决问题． 【详解】（1）证明： ，， ，，， ， ； （2）解： ， ， 又 ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式9-2】如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （）设，，则，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴矩形的周长． 【变式9-3】如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可； （2）由（1）得，则得；再由可求得，；再由（1）中，即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：由（1）有， 即， ∴， 则； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即． 【考点题型十】相似三角形的应用综合 【典例10】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 【变式10-1】如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米，已知他的身高1.8米，影长是2米． (1)图中与是否相似？为什么？ (2)求信号发射塔的高度． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)19.8米 【分析】本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似； （2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可． 【详解】（1），， ， ， （2）， ， 即， （米）， 信号发射塔的高度为19.8米． 【变式10-2】某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】真身宝塔的高度为48米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 答：真身宝塔的高度为48米． 【变式10-3】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】m 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点题型十一】图形的位似的性质 【典例11】如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解： 与关于点位似，位似比为， ， ， ， 则． 故选：D． 【变式11-1】如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（    ） A．4 B． C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为：， ∵的周长为8， ∴的周长为16． 故选：C． 【变式11-2】如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 【变式11-3】如图是幻灯机的工作原理图，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是，幻灯片与屏幕间的距离是，幻灯片上的图案的高度是，屏幕上图案的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】幻灯片上的像与屏幕上的像是位似图形，相似比是，则小数的高度比等于位似比，据此即可求解，本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是：求出相似比． 【详解】解：，， 设屏幕上图案的高度是， 则，解得：， 故选：． 【变式11-4】如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．先由求出，再利用位似图形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 以点为位似中心，作四边形的位似图形，， ， 四边形的面积是9， 四边形的面积是25， 故选：A． 【变式11-5】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（　　）    A． B． C．点A，O，三点在同一条直线上 D． 【答案】A 【分析】利用位似的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， A．，故不正确； B．，正确； C．点A，O，三点在同一条直线上，正确； D．，正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 【考点题型十二】作图-位似 【典例12】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为 ． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【分析】（）找出点关于轴的对称点，依此连接三点即可得出图形； （）连接并延长到，使得，同样做法找出点，依此连接三点即可得出图形； 本题考查了作图中的轴对称变换，位似变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，找出点关于轴的对称点，依此连接三点，    ∴即为所求； （2）如图，连接并延长到，使得，同样做法找出点，依此连接三点，    ∴即为所求． 【变式12-1】实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． (1)画出绕点B顺时针旋转后的； (2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． (3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转的对应点，然后再顺次连接即可； （2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可． （3）根据位似的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵点是的中点， 点是的中点， 根据作图可知：，， 点的坐标为； （3）解：如图，即为所求． 【变式12-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位．建立坐标系后，中点坐标为． (1)把绕点C顺时针旋转后得到，画出，并写出坐标； (2)把以O为位似中心放大，使放大前后对应边长为，在第四象限画出放大后的，并写出坐标． 【答案】(1)见解析，坐标为 (2)见解析，坐标为 【分析】 本题考查了旋转作图及图形位似的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、位似的特点． （1）根据旋转变换的定义，将三角形的三个顶点分别顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可得； （2）根据位似变换的定义得出点的对应点，顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如下图所示：即为所求，坐标为； （2）解：如下图所示：即为所求，坐标为． 【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，点，的坐标分别为，． (1)将绕点按顺时针方向旋转，得到，画出； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使，与位似，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图—旋转变换与位似变换，解题的关键是掌握旋转变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）将点，分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可得出答案； （2）根据位似变换的概念作出点，的对应点，再与点首尾顺次连接即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$