青岛版九年级上学期期中必刷压轴60题（20个考点专练）（期中专项训练）九年级数学上学期青岛版

2024-2025学年青岛版九年级上学期期中知识大串讲【期中押题】 必刷压轴60题（20个考点专练） 目录 考点1：垂径定理的应用 2 考点2：圆心角、弧、弦的关系 2 考点3：圆周角定理 3 考点4：确定圆的条件 4 考点5：直线与圆的位置关系 5 考点6：切线的判定与性质 6 考点7：三角形的内切圆与内心 8 考点8：正多边形和圆 9 考点9：弧长的计算 10 考点10：扇形面积的计算 11 考点11：几何变换综合题 11 考点12：相似多边形的性质 14 考点13：相似三角形的性质 14 考点14：相似三角形的判定与性质 16 考点15：相似三角形的应用 17 考点16：作图-位似变换 19 考点17：解直角三角形 20 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 21 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 22 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 23 考点1：垂径定理的应用 1．（2023秋•集美区校级期中）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　 A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 2．（2022秋•新罗区校级期中）如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：为的直径，弦于，寸，寸，则直径的长为　　 A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 3．（2022春•兰西县期中）在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽，那么油的最大深度是　 　． 考点2：圆心角、弧、弦的关系 4．（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图， 弧是半径为 6 的圆的圆周，点是上的任意一点，是等边三角形， 则四边形的周长的取值范围是　　 A ． B ． C ． D ． 5．（2024春•邵东市期中）如图，在中，，，则　 　度． 考点3：圆周角定理 6．（2019秋•绥棱县期中）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D．无法计算 7．（2022秋•北仑区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径的圆交轴于点．已知点，点为上的一动点，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，连接，则面积的最小值为　　． 8．（2021秋•五华区校级期中）如图，已知、两点的坐标分别为，、，是外接圆上的一点，且，则点的坐标为 　　． 考点4：确定圆的条件 9．（2022秋•海曙区期中）如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为　　 A． B．4 C． D． 10．（2021秋•武夷山市校级期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图1，损矩形，，则该损矩形的直径是线段　 　． （2）在线段上确定一点，使损矩形的四个顶点都在以为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． （3）如图2，中，，以为一边向形外作菱形，为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时，，求的长． 考点5：直线与圆的位置关系 11．（2020秋•丛台区校级期中）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是　　 A． 相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 12．（2018秋•莘县期中）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为1，．下列结论错误的是　　 A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为2 13．（2019秋•兴化市期中）已知等边边长为2，为中点，连接．点在线段上运动（不含端点、，以点为圆心，长为半径作圆，当与的边有且只有两个公共点时，的取值范围为　　． 考点6：切线的判定与性质 14．（2023秋•海门市期中）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点 （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 15．（2019秋•西城区校级期中）如图，，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线，与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：是半的切线； （2）若，，求线段的长． 16．（2021秋•顺昌县期中）如图，是的直径，是切线，是垂直于的弦，垂足为，过点作的平行线与相交于点，，．求证： （1）四边形是菱形； （2）是的切线． 考点7：三角形的内切圆与内心 17．（2019秋•江阴市期中）如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为．点，分别在边，上，连接，．若，且的半径长为1，则下列结论不成立的是　　 A． B． C． D． 18．（2019春•梁子湖区期中）如图，在中，，是内心，延长线交外接圆于，以下四个结论中正确的个数是　　 ①；②；③是等腰三角形；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2017秋•越秀区校级期中）如图，的半径为1，点是上一点，弦垂直平分线段，点是上任一点（与端点、不重合），于点，以点为圆心、长为半径作，分别过点、作的切线，两条切线相交于点． （1）求弦的长； （2）判断是否为定值？若是，求出的大小；否则，请说明理由； （3）记的面积为，若，求的周长． 考点8：正多边形和圆 20．（2022秋•广阳区校级期中）如图，正六边形内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距和的长分别为　　 A．2， B．， C．， D．， 21．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，正方形和正都内接于，与、分别相交于点、，则的值是　　 A． B． C． D．2 22．（2022春•莱芜区期中）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是　　 A．2 B． C．1 D． 考点9：弧长的计算 23．（2016秋•嵊州市期中）若将直尺的刻度线与半径为的量角器的线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动（如图），则直尺上的刻度线对应量角器上的度数约为　　 A． B． C． D． 24．（2022秋•高唐县期中）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为　　 A． B． C． D． 25．（2021秋•青田县期中）在中，斜边，，将绕点旋转，顶点运动的路线长是　　 A． B． C． D． 考点10：扇形面积的计算 26．（2021秋•北仑区期中）如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们之间的关系是　　 A． B． C． D． 27．（2021秋•德城区校级期中）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 28．（2021秋•下城区校级期中）如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，交直角边于点，、是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 考点11：几何变换综合题 29．（2021秋•成都期中）如图，在中，，以为边在外作等腰，满足，，是边的中点，连结，作射线交折线段于点，若，，则的长为 　　． 30．（2023秋•渝北区期中）在中，，，为边上一点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将的边绕点在同一平面内顺时针旋转得到，为延长线上一点，连接．若，，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，为射线上一动点，连接，，将沿翻折，得到，连接，为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值． 31．（2023秋•丰都县期中）在中，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，使得，连接，交于点，连接． （1）如图1，当时，若平分，求证：； （2）如图2，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接．若，当，时，请直接写出的值． 考点12：相似多边形的性质 32．（2022秋•建始县校级期中）图中，有三个矩形，其中相似的是　　 A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．没有相似的矩形 33．（2020秋•莲池区校级期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，，按此规律继续下去，则矩形的面积为　　． 34．（2021秋•博罗县期中）如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第个正方形的面积　 　． 考点13：相似三角形的性质 35．（2023春•淄川区期中）如图，点的坐标为，点是线段上的一个动点（不运动至，两点），过点作轴，垂足为，以为边在右侧作正方形．连接并延长交轴的正半轴于点，连接，若以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标是　　． 36．（2018秋•长清区期中）在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒． 求：（1）用含的代数式表示的面积； （2）当时，、两点之间的距离是多少？ （3）当为多少时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 37．（2021秋•高州市期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 考点14：相似三角形的判定与性质 38．（2022春•工业园区校级期中）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 　　． 39．（2021秋•市南区期中）已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点． ①若，那么的长 　　； ②将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长 　　． 40．（2023秋•长安区校级期中）在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 41．（2023秋•浑南区期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）． （1）如图1，当点在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； （2） 当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 考点15：相似三角形的应用 42．（2023秋•长宁区校级期中）如图，有一所正方形的学校，北门（点和西门（点各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 　　平方米． 43．（2017秋•灵石县期中）如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是2米的标杆和，两标杆相隔52米，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退2米到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退4米到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上，则建筑物的高是　　米． 44．（2019秋•徐汇区校级期中）如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是　 　． 45．（2015秋•吉安期中）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为　　． （2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？ （3）有个边长为的正方形按图3摆放，测得横向影子，的长度和为，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含，，的代数式表示） 考点16：作图-位似变换 46．（2023秋•通川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出绕点顺时针旋转后得到的△ （2）以原点为位似中心，画出将△三条边放大为原来的2倍后的△． 47．（2020秋•武侯区校级期中）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与△是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点； （2）直接写出与△的位似比； （3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△关于点中心对称的△，并直接写出△各顶点的坐标． 48．（2022秋•驻马店期中）如图，在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，请在网格中画出的一个位似图形，使两个图形以为位似中心，且所画图形与的位似比为． 考点17：解直角三角形 49．（2019秋•莘县期中）如图，中，，，，则的面积是 　　． 50．（2022秋•青浦区校级期中）已知在中，，，将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处，延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于 　　． 51．（2021秋•牟平区期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 52．（2022秋•让胡路区校级期中）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为　　 A． B． C． D． 53．（2021秋•雁塔区校级期中）如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为　　 A．9米 B．28米 C．米 D．米 54．（2018秋•肥城市期中）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡比． （1）求加固后坝底增加的宽度； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号） 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 55．（2020秋•定陶区期中）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去、两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的点，测得村的俯角为，村的俯角为（如图）则，两个村庄间的距离是　　米． A．300 B．900 C． D． 56．（2022秋•原阳县期中）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为90米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 57．（2023秋•海门市校级期中）如图，兰兰站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船的俯角是，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长米，求小船到岸边的距离的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字） 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 58．（2021春•邻水县校级期中）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船、，船在船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在的东北方向，的北偏东方向有一我国渔政执法船，求此时船与船的距离是多少．（结果保留根号） 59．（2021秋•温江区校级期中）如图，在岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东方向，轮船继续前行20海里到达处发现岛在北偏东方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据： 60．（2017秋•杜尔伯特县校级期中）观察与思考： 阅读下列材料， 并解决后面的问题 ． 在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于（如 图，则，，即，，于是，即． 同理有：，，所以 即： 在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等 ． 在锐角三角形中， 若已知三个元素 （至 少有一条边） ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素 ． 根据上述材料， 完成下列各题 ． （1） 如图 2 ，中，，，，则　 　；　 　； （2） 如图 3 ，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上， 随后货轮以 60 海里时的速度按北偏东的方向航行， 半小时后到达处， 此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上 （如 图，求此时货轮距灯塔的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版九年级上学期期中知识大串讲【期中押题】 必刷压轴60题（20个考点专练） 目录 考点1：垂径定理的应用 2 考点2：圆心角、弧、弦的关系 3 考点3：圆周角定理 4 考点4：确定圆的条件 8 考点5：直线与圆的位置关系 11 考点6：切线的判定与性质 14 考点7：三角形的内切圆与内心 19 考点8：正多边形和圆 24 考点9：弧长的计算 27 考点10：扇形面积的计算 28 考点11：几何变换综合题 30 考点12：相似多边形的性质 40 考点13：相似三角形的性质 42 考点14：相似三角形的判定与性质 46 考点15：相似三角形的应用 54 考点16：作图-位似变换 58 考点17：解直角三角形 60 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 63 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 65 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 67 考点1：垂径定理的应用 1．（2023秋•集美区校级期中）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　 A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是 连接．根据垂径定理，得（米， 设圆的半径是，根据勾股定理，得，解得 故选：． 2．（2022秋•新罗区校级期中）如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：为的直径，弦于，寸，寸，则直径的长为　　 A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 解：设直径的长为，则半径， 为的直径，弦于，寸， 寸， 连接，则寸，根据勾股定理得， 解得， （寸． 故选：． 3．（2022春•兰西县期中）在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽，那么油的最大深度是　2　． 解：过点作交与，交弧于点．连接． 在中：，． 根据勾股定理可得，则油的最大深度为． 故答案为2． 考点2：圆心角、弧、弦的关系 4．（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图， 弧是半径为 6 的圆的圆周，点是上的任意一点，是等边三角形， 则四边形的周长的取值范围是　　 A ． B ． C ． D ． 解：是等边三角形 ，得 的最大值为当点与重合的时刻， 的取值范围是． 故选：． 5．（2024春•邵东市期中）如图，在中，，，则　70　度． 解：， ， ， ． 考点3：圆周角定理 6．（2019秋•绥棱县期中）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D．无法计算 解：作点关于的对称点，连接，交于点，则最小， 连接，． 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，， 点是弧的中点， ， ， 又， ． ． 故选：． 7．（2022秋•北仑区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径的圆交轴于点．已知点，点为上的一动点，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，连接，则面积的最小值为　　． 解：如图，设， 过点作轴于，过点作，交的延长线于， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点在以为圆心半径为2的圆上， 连接，则， ， ， 即， 点在以点为圆心，为半径的圆上，（到定点的距离是的点的轨迹）， 以点为圆心，2为半径的圆交轴于点， ， ， ， ， ， 过点作于， ， 设点到的距离为， ， 最小时，最小，而， 最小， 故答案为：． 8．（2021秋•五华区校级期中）如图，已知、两点的坐标分别为，、，是外接圆上的一点，且，则点的坐标为 　，或，　． 解：，， ， ， 点横纵坐标相等，可设为，即， ， 是直径， 外接圆的圆心为中点，坐标，， 可得点在圆上，点到圆心的距离为圆的半径2， 过点作，过点作于交于， ， ，，， 在中，利用勾股定理得：， 舍去不合适的根，可得：， 则点坐标为，． 与关于圆心，对称， ，． 故答案为：，或， 考点4：确定圆的条件 9．（2022秋•海曙区期中）如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为　　 A． B．4 C． D． 解：，，为的三条高，易知，，，四点共圆 ，即 在中，． 故选：． 10．（2021秋•武夷山市校级期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图1，损矩形，，则该损矩形的直径是线段　　． （2）在线段上确定一点，使损矩形的四个顶点都在以为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． （3）如图2，中，，以为一边向形外作菱形，为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时，，求的长． 解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此是该损矩形的直径； （2）作图如图： 点为中点， ． ， ， ， 点、、、在以为圆心，为半径的同一个圆上； （3）菱形， ，，， 四边形为损矩形， 由（2）可知，点、、、在同一个圆上． 平分， ， ， ， 四边形为正方形． 平分，， 点到、的距离为4， ， ， ，， 或（舍去）， ． 考点5：直线与圆的位置关系 11．（2020秋•丛台区校级期中）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 解：作于点． ，， ， 即等于圆的半径． ， 与相切． 故选：． 12．（2018秋•莘县期中）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为1，．下列结论错误的是　　 A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为2 解：、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确； 、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误； 、若，连接并延长交于点，则， 故，，故上的高为1，即到的距离等于半径．正确； 、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确． 故选：． 13．（2019秋•兴化市期中）已知等边边长为2，为中点，连接．点在线段上运动（不含端点、，以点为圆心，长为半径作圆，当与的边有且只有两个公共点时，的取值范围为　　． 解：等边边长为2，为中点， ，， 分三种情况讨论： （1）如图1所示，当时， 与的边有且只有两个公共点； 图1 （2）如图2所示，当时， 与的边有三个公共点； 图2 （3）如图3所示，当与过的顶点时，与的边有三个公共点， 则当时，与的边有且只有四个或三个公共点 图3 综上，当或时，与的边有且只有两个公共点 故答案为：或． 考点6：切线的判定与性质 14．（2023秋•海门市期中）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点 （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． （1）解：直线为的切线 证明：如图1，连接，是圆的直径， ， 又， ， ，即 点在上，直线为的切线． （2）解：是的切线， ， 为的切线， 在中，， ，解得 （3）（方法一）证明：如图2，依题意得：， 是圆的直径 设，则， 四边形内接于， 即，解得 、是的切线，， ，是等边三角形． 又 是等边三角形． ，四边形为菱形 （方法二）证明：如图3，依题意得：，， ，，， ， 为切线 四边形为平行四边形 、为切线 四边形为菱形 15．（2019秋•西城区校级期中）如图，，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线，与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：是半的切线； （2）若，，求线段的长． （1）证明：连接， ，经过圆心， ， ， 在和中， ， ， 是半的切线， ． ， 即 是的切线． （2）解：是直径， ， ， ， 是半的切线，， ，， ， ． 16．（2021秋•顺昌县期中）如图，是的直径，是切线，是垂直于的弦，垂足为，过点作的平行线与相交于点，，．求证： （1）四边形是菱形； （2）是的切线． 证明：（1）连接， 是的直径，， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：， ，， ， 在中，， ， 是切线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）连接，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 即， 即， 点在上， 是的切线． 考点7：三角形的内切圆与内心 17．（2019秋•江阴市期中）如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为．点，分别在边，上，连接，．若，且的半径长为1，则下列结论不成立的是　　 A． B． C． D． 解：如图， 设与的切点为，连接并延长交于点， 将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，． ， ． 设，，，的半径为， 是的内切圆可得， ． 在中，由勾股定理可得， 整理得， 又即，代入可得， 解得（舍去）， ， ． 再设，在中，，，， 由勾股定理可得， 解得， ，． 综上只有选项错误， 故选：． 18．（2019春•梁子湖区期中）如图，在中，，是内心，延长线交外接圆于，以下四个结论中正确的个数是　　 ①；②；③是等腰三角形；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：是内心，，， 点为弧的中点， ，且为的平分线， （三线合一），选项②正确； ，，， ， ， ，选项①正确； ， ， ， ，即， ， 是等腰三角形，选项③正确； 和都为等腰三角形，且两顶角， ， ， ， ，， ，选项④正确， 正确结论有4个． 故选：． 19．（2017秋•越秀区校级期中）如图，的半径为1，点是上一点，弦垂直平分线段，点是上任一点（与端点、不重合），于点，以点为圆心、长为半径作，分别过点、作的切线，两条切线相交于点． （1）求弦的长； （2）判断是否为定值？若是，求出的大小；否则，请说明理由； （3）记的面积为，若，求的周长． 解：（1）连接，取与的交点为，则有． 弦垂直平分线段， ，， 在中， ， ． （2）是定值． 理由：连接、， 由（1），，， ， ， ， 点为的内心， ，， ， ， ． （3）记的周长为，取，与的切点分别为，，连接． 连接，，，则有，，， ， ， ， ， ，是的切线， ， 在中，， ， 又由切线长定理可知，， ， ， 解得， 的周长为． 考点8：正多边形和圆 20．（2022秋•广阳区校级期中）如图，正六边形内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距和的长分别为　　 A．2， B．， C．， D．， 解：连接， ， ， ， ， 故选：． 21．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，正方形和正都内接于，与、分别相交于点、，则的值是　　 A． B． C． D．2 解：如图，连接、、，， 设的半径是， 则， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即则的值是． 故选：． 22．（2022春•莱芜区期中）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是　　 A．2 B． C．1 D． 解：设多边形的边数为． 因为正多边形内角和为， 正多边形外角和为，根据题意得： ， ， ． 故正多边形为6边形． 边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形， 所以正多边形的半径等于2， 故选：． 考点9：弧长的计算 23．（2016秋•嵊州市期中）若将直尺的刻度线与半径为的量角器的线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动（如图），则直尺上的刻度线对应量角器上的度数约为　　 A． B． C． D． 解：本题中弧长应该是， 根据半径为，那么， 那么圆心角． 故选：． 24．（2022秋•高唐县期中）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为　　 A． B． C． D． 解：于点，于点， 四边形是矩形， 又点为的中点， 点为的中点， 则， 点走过的路径长． 故选：． 25．（2021秋•青田县期中）在中，斜边，，将绕点旋转，顶点运动的路线长是　　 A． B． C． D． 解：弧的长． 故选：． 考点10：扇形面积的计算 26．（2021秋•北仑区期中）如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们之间的关系是　　 A． B． C． D． 解：作交与点， ， ，则． ； ． 在三角形中，， ，，， ，， ， ． 故选：． 27．（2021秋•德城区校级期中）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积． 则阴影部分的面积是： 故选：． 28．（2021秋•下城区校级期中）如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，交直角边于点，、是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 解：连接，，，， ，是半圆弧的三等分点， ， ， ， 弧的长为， ， 解得：， ， ， ， ， 和同底等高， 和面积相等， 图中阴影部分的面积为：． 故选：． 考点11：几何变换综合题 29．（2021秋•成都期中）如图，在中，，以为边在外作等腰，满足，，是边的中点，连结，作射线交折线段于点，若，，则的长为 　或　． 解：分在和上两种情况： ①当在上，分别延长，，并交于点，如图， ，是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， 设， ，， ，， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，时，， 是原方程的解； ②当在上时，连接，如图， 设， ，是边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述：的长为：或． 故答案为：或． 30．（2023秋•渝北区期中）在中，，，为边上一点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将的边绕点在同一平面内顺时针旋转得到，为延长线上一点，连接．若，，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，为射线上一动点，连接，，将沿翻折，得到，连接，为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值． （1）解：如图1，在中，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，； （2）证明：如图2，过点作于点，过点作交于点， 则， 设，， 则，， 边绕点在同一平面内顺时针旋转得到， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ； （3）解：由（1）知，，如图3，在射线截取，连接， 以为圆心，2为半径作， 为的中点，为的中点， ， 当的长度最小时，的长度最小， 将沿翻折，得到， ，即点在以为圆心，2为半径的上运动， 当经过点且点在线段上时，的长度最小， 如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， ， ， ， ，即的最小值为， 将沿翻折，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故的值为． 31．（2023秋•丰都县期中）在中，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，使得，连接，交于点，连接． （1）如图1，当时，若平分，求证：； （2）如图2，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接．若，当，时，请直接写出的值． （1）证明：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ， 由旋转得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：猜想． 理由如下： 延长至，使，连接，如图2， 则， ， ， 即， ， ， ， 由旋转得， 在和中， ， ， ， 点、分别是、的中点， ， ； （3）解：如图3，连接，与的交点记作点，过点作于， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 点，，，四点共圆， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ． 考点12：相似多边形的性质 32．（2022秋•建始县校级期中）图中，有三个矩形，其中相似的是　　 A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．没有相似的矩形 解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为，，， 甲和丙相似， 故选：． 33．（2020秋•莲池区校级期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，，按此规律继续下去，则矩形的面积为　　． 解： 四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为 矩形的面积和矩形的面积的比， 矩形的面积， 矩形的面积， 依此类推，矩形的面积和矩形的面积的比 矩形的面积 矩形的面积， 按此规律第个矩形的面积为： 故答案为：． 34．（2021秋•博罗县期中）如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第个正方形的面积　　． 解：正方形的边长为1， ，， ， 则：， ，，， 作的第个正方形的面积． 故答案为：． 考点13：相似三角形的性质 35．（2023春•淄川区期中）如图，点的坐标为，点是线段上的一个动点（不运动至，两点），过点作轴，垂足为，以为边在右侧作正方形．连接并延长交轴的正半轴于点，连接，若以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标是　，或或，　． 解：过点作， 点的坐标为， ，， ， 设， 四边形是正方形， ，， ， ， 以，，为顶点的三角形与相似， ①，则， ， ， ， ， 即， 解得， ， 点的坐标为，， ②时，则， ， ， ， ， 即， 解得， ， 点的坐标为． ③如图当点在点左边时，设正方形的边长为， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 综上所述，点的坐标是，或或，． 故答案为：，或或，． 36．（2018秋•长清区期中）在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒． 求：（1）用含的代数式表示的面积； （2）当时，、两点之间的距离是多少？ （3）当为多少时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 解：（1）由题意得，，则， 因此的面积为； （2）当时，，， 由勾股定理得； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 37．（2021秋•高州市期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 解：，，， 设，， 则， 即， 解得：， ，， ， 设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似， 则，，， 是公共角， ①当，即时，， 解得：， ②当，即时，， 解得：， 过2.4或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似． 考点14：相似三角形的判定与性质 38．（2022春•工业园区校级期中）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 　　． 解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， △， ， ， ， 则的最小值为， 方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，，求得，而其他部分的步骤共用． 故答案为：． 39．（2021秋•市南区期中）已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点． ①若，那么的长 　　； ②将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长 　　． 解：①， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案为：； ②过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， 由折叠的性质得：，，， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， ，， ，， ， 解得：或， 或． 故答案为：2或． 40．（2023秋•长安区校级期中）在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 解：（1）与位置关系是垂直； 证明如下： ，， ． 由正方形得， ， ， ， ． ． ． ． （2）时，的结论成立． 理由是： 过点作交于点， ， ， ， 同理可证： ，， 即． （3）过点作交的延长线于点， ①点在线段上运动时， ，可求出． ，， ， ， ． ②点在线段延长线上运动时， ， ， ． 过作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 41．（2023秋•浑南区期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）． （1）如图1，当点在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； （2）当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 解：（1）①如图1，过点作直线于， 则， 四边形是边长为4的正方形，， ，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点到的距离1； ②在中，，，， ； （2）当点在直线上时，过点作，交的延长线于， 则， 四边形是正方形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 正方形的面积为20； 当点在直线上时，过点作，交的延长线于，如图3， 同理可得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， 正方形的面积为80； 综上所述，正方形的面积为20或80． 考点15：相似三角形的应用 42．（2023秋•长宁区校级期中）如图，有一所正方形的学校，北门（点和西门（点各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 　90000　平方米． 解：延长、相交于， ，可得是直角三角形， 四边形是正方形， ，， 设，则， ，， ， 即， 解得，， ． ． 43．（2017秋•灵石县期中）如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是2米的标杆和，两标杆相隔52米，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退2米到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退4米到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上，则建筑物的高是　54　米． 解：法一：，，， ， ，， ，， ，，， ， ， ， 解得， ， 解得． 法二：设．则，， 则有， 解得， 故答案为：54． 44．（2019秋•徐汇区校级期中）如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是　48　． 解：正方形的边在上， ， ， ． 设， ， ， 解得：， 这个正方形零件的边长是． 故答案为：48． 45．（2015秋•吉安期中）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为　　． （2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？ （3）有个边长为的正方形按图3摆放，测得横向影子，的长度和为，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含，，的代数式表示） 解：（1）设灯泡离地面的高度为， ， ，． △． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得， ， 解得． （2）设横向影子，的长度和为， 同理可得， 解得； （3）记灯泡为点，如图： ， ，． △． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得， （直接得出三角形相似或比例线段均不扣分） 设灯泡离地面距离为，由题意，得，，，， ， ， ． 考点16：作图-位似变换 46．（2023秋•通川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出绕点顺时针旋转后得到的△ （2）以原点为位似中心，画出将△三条边放大为原来的2倍后的△． 解：如图：（1）△即为所求； （2）△即为所求． 47．（2020秋•武侯区校级期中）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与△是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点； （2）直接写出与△的位似比； （3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△关于点中心对称的△，并直接写出△各顶点的坐标． 解：（1）图中点为所求； （2）与△的位似比等于； （3）△为所求； ；；． 48．（2022秋•驻马店期中）如图，在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，请在网格中画出的一个位似图形，使两个图形以为位似中心，且所画图形与的位似比为． 解：分别延长、到、，使． 考点17：解直角三角形 49．（2019秋•莘县期中）如图，中，，，，则的面积是 　　． 解：过点作， 中，，，， ， ， ， ， ， ， 则的面积是：． 故答案为：． 50．（2022秋•青浦区校级期中）已知在中，，，将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处，延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于 　　． 解：作于，如图， ， ， 绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处， ，， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， ． 故答案为． 51．（2021秋•牟平区期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 解：（1）在中，是边上的高， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ， ， ； （2）是边上的中线， ， ， ． 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 52．（2022秋•让胡路区校级期中）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为　　 A． B． C． D． 解：如图，过点作于点． 米，． ． 故选：． 53．（2021秋•雁塔区校级期中）如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为　　 A．9米 B．28米 C．米 D．米 解：延长交的延长线于点，作于点． ； ； 测得1米杆的影长为2米． 电线杆的长度是米． 故选：． 54．（2018秋•肥城市期中）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡比． （1）求加固后坝底增加的宽度； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号） 解：（1）分别过点、作、交于、． 四边形是梯形，且， 平行且等于． 故四边形是矩形． ． 在中， （米． 在中， ， （米． （米． 答：加固后坝底增加的宽度为米； （2）加宽部分的体积坝长 （立方米）． 答：（1）加固后坝底增加的宽度为米； （2）完成这项工程需要土石立方米． 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 55．（2020秋•定陶区期中）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去、两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的点，测得村的俯角为，村的俯角为（如图）则，两个村庄间的距离是　　米． A．300 B．900 C． D． 解：，， ， ， ． 在中，，，米， 所以． 所以． 故选：． 56．（2022秋•原阳县期中）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为90米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 解：由已知，得，，米， ，于点． ，． 在中，，， （米． 在中，，， （米． （米． 答：建筑物、间的距离为米． 57．（2023秋•海门市校级期中）如图，兰兰站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船的俯角是，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长米，求小船到岸边的距离的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字） 解：过点作于点，延长交于点，得和矩形． ， ，． ，， ， ． 在中， ，，， ． 又， 即， （米． 答：的长约是9.4米． 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 58．（2021春•邻水县校级期中）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船、，船在船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在的东北方向，的北偏东方向有一我国渔政执法船，求此时船与船的距离是多少．（结果保留根号） 解：过点作于． 由题意可知，，， ， 在中，（海里）， 在中，（海里）． 答：此时船与船的距离是海里． 59．（2021秋•温江区校级期中）如图，在岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东方向，轮船继续前行20海里到达处发现岛在北偏东方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据： 解：根据题意，有，，， 所以， 于是在中，由， 得， 解得（海里）， 因为， 所以轮船不会触礁． 60．（2017秋•杜尔伯特县校级期中）观察与思考： 阅读下列材料， 并解决后面的问题 ． 在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于（如 图，则，，即，，于是，即． 同理有：，，所以 即： 在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等 ． 在锐角三角形中， 若已知三个元素 （至 少有一条边） ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素 ． 根据上述材料， 完成下列各题 ． （1） 如图 2 ，中，，，，则　　；　 　； （2） 如图 3 ，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上， 随后货轮以 60 海里时的速度按北偏东的方向航行， 半小时后到达处， 此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上 （如 图，求此时货轮距灯塔的距离． 解： （1），； （2） 如图， 依题意：（海 里） ， ， ． ， ， 在中，，即， 解之得：． 答： 货轮距灯塔的距离海里 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$