青岛版九年级上学期期中必刷常考81题（27个考点专练）（期中专项训练）九年级数学上学期青岛版

2024-2025学年青岛版九年级上学期期中知识大串讲【期中押题】 必刷常考81题（27个考点专练） 目录 考点1：垂径定理的应用 2 考点2：相似多边形的性质 4 考点3：相似三角形的性质 5 考点4：圆心角、弧、弦的关系 9 考点5：相似三角形的判定 11 考点6：相似三角形的判定与性质 13 考点7：相似三角形的应用 16 考点8：作图-位似变换 18 考点9：几何变换综合题 21 考点10：特殊角的三角函数值 27 考点11：解直角三角形 28 考点12：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 30 考点13：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 33 考点14：解直角三角形的应用-方向角问题 35 考点15：圆周角定理 39 考点16：圆内接四边形的性质 41 考点17：相交弦定理 43 考点18：点与圆的位置关系 47 考点19：确定圆的条件 49 考点20：三角形的外接圆与外心 51 考点21：直线与圆的位置关系 55 考点22：切线的判定与性质 58 考点23：切线长定理 63 考点24：三角形的内切圆与内心 65 考点25：正多边形和圆 68 考点26：弧长的计算 72 考点27：扇形面积的计算 74 考点27：圆锥的计算 78 考点1：垂径定理的应用 1．（2023秋•硚口区期中）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是　　 A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米 解：如图，点是圆形玻璃镜面的圆心，连接，则点，点，点三点共线， 由题意可得：，（厘米）， 设镜面半径为厘米， 由题意可得：， ， 镜面半径为26厘米， 故选：． 2．（2023秋•丰台区期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为 　26　寸． 解：弦，为的直径， 为的中点， 又寸， 寸， 设寸， 则寸，寸， 由勾股定理得：， 即， 解得， 寸， 故答案为：26． 3．（2021秋•莒南县期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？尺寸） 答：圆材直径 　26　寸． 解：过圆心作于点，延长交圆于点，连接，如图： ， ，． 则寸，寸． 设圆的半径为寸，则寸． 在中，由勾股定理得： ， 解得：． 圆材直径为（寸． 故答案为：26． 考点2：相似多边形的性质 4．（2023秋•内乡县期中）下列说法中错误的是　　 A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形是相似多边形 解：、相似多边形的对应边成比例，正确，本选项不符合题意； 、相似多边形的对应角相等，正确，本选项不符合题意； 、相似多边形的边数相同，正确，本选项不符合题意； 、对应边成比例的两个多边形是相似多边形，错误，对应角不一定相等，本选项符合题意． 故选：． 5．（2023春•威海期中）如图，四边形和四边形相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是　　 A． B． C． D． 解：四边形四边形， 相似比， 故选：． 6．（2023秋•汨罗市期中）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于　　 A． B． C．2 D． 解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ， 解得或（舍弃）， ， 故选：． 考点3：相似三角形的性质 7．（2023秋•青羊区校级期中）如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边，于点，；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；③作射线交边于点．若，则　　． 解：由作法得平分， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 8．（2021秋•兴平市期中）如图1，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）若与相似，求的值； （2）（如图连接，，若，求的值． 解：（1）①当时， ，，，，， ， ， ②当时， ， ， ； 或时，与相似； （2）如图所示，过作于点，，交于点， 则有，，，， ，， 且， ， ， 解得：． 9．（2022秋•新邵县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在中，为角平分线，，，求证：是的完美分割线； （2）如图②，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长． 解：（1），， ， 不是等腰三角形， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是的完美分割线； （2）， ， ，， 设，则， ， 解得， ，， ， ， ，， ． 考点4：圆心角、弧、弦的关系 10．（2021秋•六合区期中）下列说法中，正确的是　　 A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 解：、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． 、正确，本选项符合题意． 、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． 、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：． 11．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是 　　． 解：如图，连接，交于， 是的中点， ，， ， ，， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2023秋•海曙区期中）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． （1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又是的中点， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 的半径为5， ， ． 考点5：相似三角形的判定 13．（2023秋•新民市期中）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是　　 A． B． C． D． 解：与都是等边三角形， ，． 、只有，和不一定相似，故不符合题意； 、由，，推出，故符合题意； 、只有，和不一定相似，故不符合题意； 、只有，和不一定相似，故不符合题意． 故选：． 14．（2022秋•泊头市期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 解：在中，，，， 在、、选项中的三角形都没有，而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， 因为，所以选项中的三角形与相似． 故选：． 15．（2021秋•射洪市期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 故选：． 考点6：相似三角形的判定与性质 16．（2020秋•历下区期中）如图，矩形中，，点是中点，，则的值为　　 A． B． C． D． 解：四边形为矩形， ， 又， ，， ， ， ， 设， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 17．（2018秋•巨野县期中）一副三角板叠放如图，则与的面积之比为 　　． 解：设， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为． 18．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，中，，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，如果点是中点，求证：． 证明：（1）， ． 又 ， ． 点是的中点， ， ， ， （2）， ， 又， 点是的中点， ， ， ． 考点7：相似三角形的应用 19．（2022秋•邓州市期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为　　 A． B． C． D． 解：，， △△， ， 即， 解得：， ， ， 即树高． 故选：． 20．（2021秋•南安市期中）如图，在小孔成像问题中，小孔到物体的距离是，小孔到像的距离是，若物体的长为，则像的长是 　8　． 解：如图，作于，的延长线交于． ， ，， （相似三角形的对应高的比等于相似比）， ， 故答案为：8． 21．（2022秋•南山区校级期中）如图，操场上有一根旗杆，为测量它的高度，在和处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，测得视线与地面的交点为，视线与地面的交点为，并且、、、、都在同一直线上，测得为3米，为5米，求旗杆的高度？ 解：由题意知，设米，米， ，， ，， ， 解得． 答：旗杆的高度为． 考点8：作图-位似变换 22．（2023秋•浑南区期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个△，使它与位似，且相似比是． （1）请画出△； （2）请直接写出△各顶点的坐标； （3）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是 　　． 解：（1）如图，△即为所求． （2）由图可得，，，． （3）由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 23．（2022秋•单县期中）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到△，请画出△，并写出点的对应点的坐标； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形△，使它与的位似比为．并写出点的对应点的坐标． （3）内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 解：（1）如图，△即为所求，其中点的对应点的坐标为． （2）如图所示，△即为所求，点的对应点的坐标为； （3）在△中的对应点的坐标． 24．（2023秋•碧江区 校级期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，△与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似△，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 解：（1）位似中心如图所示，，； （2）△如图所示，； （3）点． 考点9：几何变换综合题 25．（2022秋•三台县期中）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 解：（1）点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）由（2）知是等腰直角三角形， 则最大时，的面积最大， 当点在的延长线上时，最大值为， ， 面积的最大值为． 26．（2023秋•荔湾区校级期中）如图1，在中，，，为上一点，为延长线上一点，且，连接，，并延长交于． （1）求证：． （2）若点与关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，，求的长． 解：（1）， ， 在和中， ， ， ， 又中，， ， ，即； （2）①． 证明：平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可得，， ， 点与关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， 即； ②如图，连接，过作，交于， ， ， ， 由（1）可得，， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 又垂直平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 中，． 27．（2024春•兰州期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 解：【观察猜想】，， 证明：在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； 【探究证明】线段和线段的数量关系和位置关系仍然成立， 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； 【拓展应用】如图，在的左侧以为直角顶点作等腰直角，连接， ，，， ， ， ， ， 将绕着点逆时针旋转至， ，， 由【探究证明】知， ． 考点10：特殊角的三角函数值 28．（2016秋•无锡期中）在中，，则的度数是 　　． 解：， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 29．（2019秋•鄞州区期中）若为锐角，且，则的度数为　　． 解：为锐角，且，， ． 故答案为：． 30．（2019秋•湖里区校级期中）计算： 解：原式， ， ． 故答案为：． 考点11：解直角三角形 31．（2023秋•淮阴区期中）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为　　 A． B． C． D．2 解：连接，如图所示： 设小正方形边长为1， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， 故选：． 32．（2020秋•河口区校级期中）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于　　 A． B． C． D． 解：，，， ， ， ， 故选：． 33．（2023秋•单县期中）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则　　． 解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 考点12：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 34．（2022秋•环翠区校级期中）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为，若在坡比为的山坡种树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离为　　 A． B． C． D． 解：水平距离为，坡比为， 铅直高度为． 根据勾股定理可得： 坡面相邻两株树间的坡面距离为． 故选：． 35．（2023秋•洪洞县期中）如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平横管的长度为0.9米，求安装热水器的铁架竖直管的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，，， 解：如图，过作交于点． 在 中，， 则（米． 在中，，则 （米． 由题意得，四边形是矩形． （米，（米， （米， 在中，， 则（米， （米， 答：安装热水器的铁架竖直管的长度约为0.5米． 36．（2022秋•芝罘区期中）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高，斜坡的坡比为，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到 （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到 11.310 0.003 14.744 0.005 解：如图： 由题意得： （米， 斜坡的坡比为， ，， （米，（米， 米， （米， 在中，， 查表可得，， 为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度． 考点13：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 37．（2021秋•济南期中）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行30 到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行20 到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是　　 A． B． C． D．40 解：过点作于点，，交的延长线于点， 由题意得，，，，，， 斜坡的斜面坡度， ， 设 ，则 ， ， ， 解得， ，，， 在中，， 解得， ． 故选：． 38．（2022秋•黄浦区校级期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点处，离地面的铅锤高度为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）． （1）求路段的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段的长（结果保留根号）． 解：（1）由题意，， ， ， （米． （2）如图，过点作于，于． 由题意，， 设米，则米， ， 四边形是矩形， 米，米，米， 在△中，， ， 解得， （米，（米， （米． 答：电子眼区间测速路段的长米． 考点14：解直角三角形的应用-方向角问题 39．（2023秋•潍坊期中）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么，两地的距离为　　 A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米 解：如图所示，过点作于， 由题意得，，， ， ， ， ，， （千米），， （千米）， （千米）， 故选：． 40．（2023秋•北碚区校级期中）某动物园熊猫基地新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于、之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正东方向300米处，点在点的北偏东方向上，且米．（参考数据：，， （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 解：（1）作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ， （米， ， （米， ， 是等腰直角三角形， （米， （米， （米； （2）由勾股定理得到（米， （米， 乘坐观光车的时间是（分钟），乘坐空中缆车的时间是（分钟）， 应选择乘坐观光车． 41．（2023秋•开州区校级期中）今年夏季我市持续高温引发多地山火．如图，某地山火火口宽10米，受风力等因素的影响，火源头正沿东北方向的蔓延，火源头正沿北偏东方向的蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带，已知，与间的距离为40米． （1）求阻燃带的长度（精确到个位）； （2）若救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米，火源头的蔓延速度是每小时15米，火源头的蔓延速度是每小时20米，受热浪影响，火源头到来前10分钟无法工作．通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带？（参考数据：， 解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，， ， 米， 在中，（米， 在中，（米， 米， （米， 阻燃带的长度约为39米； （2）救援队能在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带， 理由：在中，米，， （米， 火源头的蔓延时间（分， 在中，米，， （米， 火源头的蔓延时间（分， 救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米， 救援队赶造阻燃带的时间（分， ， 救援队能在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带． 考点15：圆周角定理 42．（2023秋•志丹县期中）如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：如图，连接， 是劣弧的中点， 即弧弧， ， ， ， ， ， 即． 故选：． 43．（2021秋•西城区校级期中）如图，在中，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：连接， ，， ， ， 故选：． 44．（2023秋•邹平市校级期中）如图，是的外接圆，为直径，，于，且交于，交于．求证：． 证明：连接，， 为直径，且， ， 又，， ， ， ． 考点16：圆内接四边形的性质 45．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，， ． 故选：． 46．（2023秋•陵城区期中）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ， 四边形内接于， ， ， ， 故选：． 47．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． （1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为点． 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 考点17：相交弦定理 48．（2017秋•遂溪县校级期中）如图，正方形内接于，点在劣弧上，连接，交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 解：如图，设的半径为，，则，， ． 在中，根据相交弦定理，得． 即，所以． 连接，由勾股定理，得， 即， 解得 所以，． 解法二：连接，． ， ， 设， ， ， ． ， 设，则， ． 故选：． 49．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在中，弦、相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求． （1）证明：，（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ； （2）解：， ， ，，， ， 解得：或6， 当时，， 当时，， ， ． 50．（2021秋•滨湖区校级期中）如图，已知圆，弦、相交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 解：（1），， ， 即． （2）连接并延长，交圆于点、，连接，， ，， ， ． 考点18：点与圆的位置关系 51．（2023秋•温岭市校级期中）已知点在半径为的圆内，则点到圆心的距离可能是　　 A． B． C． D． 解：点在半径为的圆内， 点到圆心的距离小于， 故选：． 52．（2023秋•宿城区期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为　　 A． B． C． D． 解：方法一、如图所示，连接、，取的中点，连接和，设的半径为， 点为的中点， ， 点是上的动点（不与重合），点为顶点， 点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， 当点、、三点共线时，有最大值4，此时， ， ， ， 点为的中点， ， ，解得：， ， 在中，； 方法二、如图，延长交于，连接，， ，是直径， ， 又点是的中点， ， 当为直径时，有最大值， ， ， ， 在中，； 故选：． 53．（2023秋•仙居县期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以，为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 　　． 解：设， ，， ， ， ， 当点处于与圆的交点上时，取得最值， 的最小值为， 最小值为． 故答案为：． 考点19：确定圆的条件 54．（2023秋•红旗区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 解：从图形可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，如图， 点的坐标是， 故答案为：． 55．（2021秋•鄞州区校级期中）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 　5　． 解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 56．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，，． （1）画出该轮的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 解：（1）如图所示：分别作弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心； （2）连接，，，交于． ， ， ， ， 设圆片的半径为，在中，， ， 解得：， 圆片的半径为． 考点20：三角形的外接圆与外心 57．（2023秋•仙居县期中）如图，的顶点均在上，且，，为弦的中点，弦经过点，且．若的半径为4，则弦的长是　　 A． B． C． D． 解：连接、、，作于点，则， ， ， 垂直平分， 为弦的中点， ，经过点， ， ， ， 是等边三角形， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 58．（2023秋•莱西市校级期中）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 解：①分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ②分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ③直线与相交于点，以为圆心，以的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置． 59．（2019秋•宜兴市期中）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． （1）求证：； （2）求外接圆的直径． （1）证明：，且为的圆周角， 为的直径， ， ． 是中的平分线， ， ， 在与中， ， ， ； （2）是直角三角形，且，， ， 由（1）得，， ． 设，则，， 在中，根据勾股定理得，，即，解得， ， ，是直角三角形， ， ． 解法二：由， 可得，可得， ． 考点21：直线与圆的位置关系 60．（2023秋•德州期中）“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　相交　． 解：由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点， 所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交． 故答案为：相交． 61．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　2或6或10　时，与坐标轴相切． 解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，，时，，时，， ，，， ，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是2， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或6或10秒时，与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 62．（2023秋•五华区校级期中）如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 解：（1）直线与相切，理由如下： 连接． 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，即， 是半径， 是的切线； （2）过作于， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ． 考点22：切线的判定与性质 63．（2023秋•盐都区期中）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么　　秒钟后与直线相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 解：①由题意可知与相切于点， ， 半径为， ， ，， ， ， 秒． ②当圆心在直线的右侧时，， 则需要运动的时间为7秒． 综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：． 5．（2024春•永寿县期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． （1）证明：如图，连接， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：为直径， ， ，， ， 又，， ， ， 即， ， 点是的中点， ， ， ． 64．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是△的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 解：（1）证明：如图，连接， 为的直径． ， ，， ， 即， 为的切线； （2）如第（1）题图，连接、， ， ，， ． △△， ，即， ， 点为的中点， ， ， 为中点， ， 为的直径． ， ， ， ， ， ， ， ． 考点23：切线长定理 65.（2022秋•射阳县校级期中）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：． 8．（2011秋•港闸区校级期中）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： （1）的长； （2）的度数． 解：（1），都是圆的切线， ， 同理，， 三角形的周长， 即的长为6； （2）， ， ， ，是圆的切线， ； 同理：， ， ． 66．（2018秋•德城区校级期中）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： （1）的度数； （2）的长； （3）的半径． 解：（1）连接；根据切线长定理得：，，，； ， ， ， ； （2）由（1）知，． ，， 由勾股定理得到：， ． （3）与相切于点， ， ，即． ． 考点24：三角形的内切圆与内心 67．（2023秋•南宫市期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：连接、，如图， 是的内心， 平分，平分， ，， ， 点是的外心， ． 故选：． 68．（2023秋•五莲县期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：是的内心， 平分， ，故①正确； 如图，连接，， 是的内心， ，， ， ， ，故②正确； ， ， ， 点为的中点， 一定在上， ，故③正确； 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，故④正确． 一定正确的①②③④，共4个． 故选：． 69．（2022秋•高新区期中）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 　6　步． 解：根据勾股定理得：斜边， 内切圆直径（步， 故答案为：6． 考点25：正多边形和圆 70．（2019秋•秀洲区期中）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线上，且有一个公共顶点，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：由题意：，，，， ， ， 故选：． 71．（2023秋•沙河口区期中）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点． （1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　30　度； （2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （3）连接，则和有什么特殊位置关系？请说明理由． （4）求切线长的值． 解：（1）， 故答案为：30； （2）如图，连接，，由（1）得：劣弧所对应的圆心角， 劣弧的长， ， 劣弧的长度更长． （3）垂直．理由如下： 连接，，， ， 是的直径， ，即， 和相互垂直． （4）如图，是的切线， ， 由（1）知，， ， （或， ， 在△中，． ． 72．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，在的内接四边形中，，，点在上． （1）求的度数； （2）若的半径为2，则的长为多少？ （3）连接，，当时，恰好是的内接正边形的一边，求的值． 解：（1）连接，如图1所示： 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是的内接四边形，， ； （2）， 的长； （3）连接，如图2所示： ， ， ， ， ． 考点26：弧长的计算 73．（2023秋•海曙区校级期中）如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为　　 A． B． C． D． 解：连接， 是半圆的直径，是的中点， ， ， ， ， 与的长度的比为， 故选：． 74．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在中，弦，相交于点，连结，已知． （1）求证：； （2）连结、，若，的半径为2，求的长． （1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 的半径为2， ． 75．（2017秋•灌南县期中）如图，已知四边形内接于圆，且， （1）求的度数 （2）若的半径为3，求的长． 解：（1）四边形内接于圆， ， ， ， ， ； （2）连接、， ， ， ， 故的长． 考点27：扇形面积的计算 76．（2023秋•诸暨市期中） 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 解： ， 故选：． 77．（2023秋•海门市期中）如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是　　 A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 解：点是劣弧的中点， ，所以①正确； ，， 为等边三角形， ，所以②错误； 同理可得为等边三角形， ， ， 扇形的面积为，所以③正确； ， 四边形是菱形，所以④正确． 故选：． 78．（2023秋•湖州期中）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． （1）证明：， ， ； （2）解：连接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积，的面积， 阴影的面积扇形的面积的面积． 考点27：圆锥的计算 79．（2023秋•广阳区校级期中）如图，格点纸中每个小正方形的边长均为1，以小正方形的顶点为圆心，2为半径做了一个扇形，用该扇形围成一个圆锥的侧面，针对此做法，小明和小亮通过计算得出以下结论：小明说此圆锥的侧面积为；小亮说此圆锥的底面周长为，则下列结论正确的是　　 A．只有小亮对 B．只有小明对 C．两人都对 D．两人都不对 解：如图，由题意知，，，， ， ， 该扇形的圆心角为， ，， 圆锥的侧面积为，圆锥的底面周长为， 小明错误，小亮正确， 故选：． 80．（2018秋•如皋市校级期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，完成下列问题： （1）在图中标出圆心，则圆心点的坐标为 　　； （2）连接、，则的度数为 　　； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 解：（1）如图，分别作、的垂直平分线，两线交于点， 点的坐标为， 故答案为：； （2）如图2，连接、，过点作轴于点， 则，，在中，可求得， 即的半径为， 且，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）弧的长， 设圆锥底面半径为则有， 解得：， 所以圆锥底面半径为． 81．（2019秋•鼓楼区校级期中）有一个直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为的扇形． （1）求被剪掉阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 解：（1）如图，连接， ， 为的直径，即， 又， ． （平方米）； （2）设底面圆的半径为，则， 圆锥的底面圆的半径长为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版九年级上学期期中知识大串讲【期中押题】 必刷常考81题（27个考点专练） 目录 考点1：垂径定理的应用 2 考点2：相似多边形的性质 3 考点3：相似三角形的性质 3 考点4：圆心角、弧、弦的关系 5 考点5：相似三角形的判定 6 考点6：相似三角形的判定与性质 7 考点7：相似三角形的应用 8 考点8：作图-位似变换 9 考点9：几何变换综合题 11 考点10：特殊角的三角函数值 13 考点11：解直角三角形 14 考点12：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 14 考点13：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 16 考点14：解直角三角形的应用-方向角问题 18 考点15：圆周角定理 19 考点16：圆内接四边形的性质 20 考点17：相交弦定理 22 考点18：点与圆的位置关系 23 考点19：确定圆的条件 24 考点20：三角形的外接圆与外心 25 考点21：直线与圆的位置关系 26 考点22：切线的判定与性质 27 考点23：切线长定理 28 考点24：三角形的内切圆与内心 29 考点25：正多边形和圆 30 考点26：弧长的计算 31 考点27：扇形面积的计算 32 考点27：圆锥的计算 34 考点1：垂径定理的应用 1．（2023秋•硚口区期中）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是　　 A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米 2．（2023秋•丰台区期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为 　　寸． 3．（2021秋•莒南县期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？尺寸） 答：圆材直径 　　寸． 考点2：相似多边形的性质 4．（2023秋•内乡县期中）下列说法中错误的是　　 A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形是相似多边形 5．（2023春•威海期中）如图，四边形和四边形相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•汨罗市期中）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于　　 A． B． C．2 D． 考点3：相似三角形的性质 7．（2023秋•青羊区校级期中）如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边，于点，；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；③作射线交边于点．若，则　　． 8．（2021秋•兴平市期中）如图1，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）若与相似，求的值； （2）（如图连接，，若，求的值． 9．（2022秋•新邵县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在中，为角平分线，，，求证：是的完美分割线； （2）如图②，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长． 考点4：圆心角、弧、弦的关系 10．（2021秋•六合区期中）下列说法中，正确的是　　 A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 11．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是 　　． 12．（2023秋•海曙区期中）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． 考点5：相似三角形的判定 13．（2023秋•新民市期中）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•泊头市期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 15．（2021秋•射洪市期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点6：相似三角形的判定与性质 16．（2020秋•历下区期中）如图，矩形中，，点是中点，，则的值为　　 A． B． C． D． 17．（2018秋•巨野县期中）一副三角板叠放如图，则与的面积之比为 　　． 18．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，中，，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，如果点是中点，求证：． 考点7：相似三角形的应用 19．（2022秋•邓州市期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为　　 A． B． C． D． 20．（2021秋•南安市期中）如图，在小孔成像问题中，小孔到物体的距离是，小孔到像的距离是，若物体的长为，则像的长是 　　． 21．（2022秋•南山区校级期中）如图，操场上有一根旗杆，为测量它的高度，在和处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，测得视线与地面的交点为，视线与地面的交点为，并且、、、、都在同一直线上，测得为3米，为5米，求旗杆的高度？ 考点8：作图-位似变换 22．（2023秋•浑南区期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个△，使它与位似，且相似比是． （1）请画出△； （2）请直接写出△各顶点的坐标； （3）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是 　　． 23．（2022秋•单县期中）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到△，请画出△，并写出点的对应点的坐标； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形△，使它与的位似比为．并写出点的对应点的坐标． （3）内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 24．（2023秋•碧江区 校级期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，△与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似△，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 考点9：几何变换综合题 25．（2022秋•三台县期中）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 26．（2023秋•荔湾区校级期中）如图1，在中，，，为上一点，为延长线上一点，且，连接，，并延长交于． （1）求证：． （2）若点与关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，，求的长． 27．（2024春•兰州期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 考点10：特殊角的三角函数值 28．（2016秋•无锡期中）在中，，则的度数是 　　． 29．（2019秋•鄞州区期中）若为锐角，且，则的度数为　　． 考点11：解直角三角形 31．（2023秋•淮阴区期中）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为　　 A． B． C． D．2 32．（2020秋•河口区校级期中）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•单县期中）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则　　． 考点12：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 34．（2022秋•环翠区校级期中）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为，若在坡比为的山坡种树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离为　　 A． B． C． D． 35．（2023秋•洪洞县期中）如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平横管的长度为0.9米，求安装热水器的铁架竖直管的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，，， 36．（2022秋•芝罘区期中）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高，斜坡的坡比为，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到 （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到 11.310 0.003 14.744 0.005 考点13：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 37．（2021秋•济南期中）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行30 到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行20 到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是　　 A． B． C． D．40 38．（2022秋•黄浦区校级期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点处，离地面的铅锤高度为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）． （1）求路段的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段的长（结果保留根号）． 考点14：解直角三角形的应用-方向角问题 39．（2023秋•潍坊期中）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么，两地的距离为　　 A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米 40．（2023秋•北碚区校级期中）某动物园熊猫基地新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于、之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正东方向300米处，点在点的北偏东方向上，且米．（参考数据：，， （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 41．（2023秋•开州区校级期中）今年夏季我市持续高温引发多地山火．如图，某地山火火口宽10米，受风力等因素的影响，火源头正沿东北方向的蔓延，火源头正沿北偏东方向的蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带，已知，与间的距离为40米． （1）求阻燃带的长度（精确到个位）； （2）若救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米，火源头的蔓延速度是每小时15米，火源头的蔓延速度是每小时20米，受热浪影响，火源头到来前10分钟无法工作．通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带？（参考数据：， 考点15：圆周角定理 42．（2023秋•志丹县期中）如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 43．（2021秋•西城区校级期中）如图，在中，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 44．（2023秋•邹平市校级期中）如图，是的外接圆，为直径，，于，且交于，交于．求证：． 考点16：圆内接四边形的性质 45．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•陵城区期中）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为　　 A． B． C． D． 47．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 考点17：相交弦定理 48．（2017秋•遂溪县校级期中）如图，正方形内接于，点在劣弧上，连接，交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 49．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在中，弦、相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求． 50．（2021秋•滨湖区校级期中）如图，已知圆，弦、相交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 考点18：点与圆的位置关系 51．（2023秋•温岭市校级期中）已知点在半径为的圆内，则点到圆心的距离可能是　　 A． B． C． D． 52．（2023秋•宿城区期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为　　 A． B． C． D． 53．（2023秋•仙居县期中）如图，在平面直角坐标系中，点是以，为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 　　． 考点19：确定圆的条件 54．（2023秋•红旗区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 55．（2021秋•鄞州区校级期中）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 　　． 56．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，，． （1）画出该轮的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 考点20：三角形的外接圆与外心 57．（2023秋•仙居县期中）如图，的顶点均在上，且，，为弦的中点，弦经过点，且．若的半径为4，则弦的长是　　 A． B． C． D． 58．（2023秋•莱西市校级期中）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 59．（2019秋•宜兴市期中）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． （1）求证：； （2）求外接圆的直径． 考点21：直线与圆的位置关系 60．（2023秋•德州期中）“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　　． 61．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　 　时，与坐标轴相切． 62．（2023秋•五华区校级期中）如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 考点22：切线的判定与性质 63．（2023秋•盐都区期中）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么　　秒钟后与直线相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 64．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是△的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 考点23：切线长定理 65.（2022秋•射阳县校级期中）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2011秋•港闸区校级期中）如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求： （1）的长； （2）的度数． 66．（2018秋•德城区校级期中）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： （1）的度数； （2）的长； （3）的半径． 考点24：三角形的内切圆与内心 67．（2023秋•南宫市期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为　　 A． B． C． D． 68．（2023秋•五莲县期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 69．（2022秋•高新区期中）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 　6　步． 考点25：正多边形和圆 70．（2019秋•秀洲区期中）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线上，且有一个公共顶点，则的度数是　　 A． B． C． D． 71．（2023秋•沙河口区期中）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点． （1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　30　度； （2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （3）连接，则和有什么特殊位置关系？请说明理由． （4）求切线长的值． 72．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，在的内接四边形中，，，点在上． （1）求的度数； （2）若的半径为2，则的长为多少？ （3）连接，，当时，恰好是的内接正边形的一边，求的值． 考点26：弧长的计算 73．（2023秋•海曙区校级期中）如图，是半圆的直径，是的中点，过点作，交半圆于点，则与的长度的比为　　 A． B． C． D． 74．（2023秋•西湖区校级期中）如图，在中，弦，相交于点，连结，已知． （1）求证：； （2）连结、，若，的半径为2，求的长． 75．（2017秋•灌南县期中）如图，已知四边形内接于圆，且， （1）求的度数 （2）若的半径为3，求的长． 考点27：扇形面积的计算 76．（2023秋•诸暨市期中） 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 77．（2023秋•海门市期中）如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是　　 A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 78．（2023秋•湖州期中）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． 考点27：圆锥的计算 79．（2023秋•广阳区校级期中）如图，格点纸中每个小正方形的边长均为1，以小正方形的顶点为圆心，2为半径做了一个扇形，用该扇形围成一个圆锥的侧面，针对此做法，小明和小亮通过计算得出以下结论：小明说此圆锥的侧面积为；小亮说此圆锥的底面周长为，则下列结论正确的是　　 A．只有小亮对 B．只有小明对 C．两人都对 D．两人都不对 80．（2018秋•如皋市校级期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，完成下列问题： （1）在图中标出圆心，则圆心点的坐标为 　　； （2）连接、，则的度数为 　　； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 81．（2019秋•鼓楼区校级期中）有一个直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为的扇形． （1）求被剪掉阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$