第一次月考模拟测试卷（测试范围：特殊的平行四边形+一元二次方程）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）2024-2025学年九年级上学期数学 第一次月考模拟测试卷 （测试范围：第1,2章） （考试时间120分钟 满分120分） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1．方程4x2﹣2x＝﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．4、﹣2、﹣1 B．4、2、﹣1 C．4、﹣2、1 D．4、2、1 2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式2021﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2018 B．2018 C．﹣2024 D．2024 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形 4．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若BC＝7，AE＝4，则CE＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（　　） A．（80﹣2x）（36﹣x）＝260×6 B．36×80﹣2×36x﹣80x＝260x6 C．（36﹣2x）（80﹣x）＝260 D．（80﹣2x）（36﹣x）＝260 6．已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 8．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根，则此直角三角形的面积为（　　） A．2 B．3 C． D．6 9．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BE＝CF．连接AE，BD交于点G，连接CG，DF交于点M．若正方形的边长为2，则线段BM的最小值是（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　 　． 12．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 　 　． 13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　． 14．如图，四边形ABCD 为平行四边形，且DB平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝24，AC＝10，则DE＝　 　． 15．若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，则a+2b＝　 　． 16．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分） 17．（每小题4分，共12分）解下列方程： （1）x2﹣6x+3＝0 （2）2x（x﹣1）＝3﹣3x． 18．（8分）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB； （2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0． （1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设x1，x2为方程的两个实数根，且，求m的值． 20．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 21．（9分）已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为5，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 22．（9分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若，DE＝4，求CE的长． 23．（10分）“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 24．（12分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）2024-2025学年九年级上学期数学 第一次月考模拟测试卷 （测试范围：第1,2章） （考试时间120分钟 满分120分） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1．方程4x2﹣2x＝﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．4、﹣2、﹣1 B．4、2、﹣1 C．4、﹣2、1 D．4、2、1 【分析】根据ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【解答】解：∵4x2﹣2x＝﹣1， ∴4x2﹣2x+1＝0， ∴a＝4，b＝﹣2，c＝1． 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式2021﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2018 B．2018 C．﹣2024 D．2024 【分析】将x＝1代入原方程，可得出a+b＝﹣3，再将其代入2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝1代入原方程得：a+b+3＝0， ∴a+b＝﹣3， ∴2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+3＝2024． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断D． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法． 4．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若BC＝7，AE＝4，则CE＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】先证明AE＝AB＝4，可得CD＝AB＝4，DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝7﹣4＝3，再结合勾股定理可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝7，AB＝CD，∠D＝90°＝∠A＝∠ABC＝∠BCD． ∴∠AEB＝∠CBE． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝4． ∴CD＝AB＝4，DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝7﹣4＝3． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得． 故选：B． 【点评】本题考查的矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（　　） A．（80﹣2x）（36﹣x）＝260×6 B．36×80﹣2×36x﹣80x＝260x6 C．（36﹣2x）（80﹣x）＝260 D．（80﹣2x）（36﹣x）＝260 【分析】根据题意和图形，可以列出相应的分式方程，本题得以解决，注意每块草坪的面积都为260平方米． 【解答】解：由题意可得， （80﹣2x）（36﹣x）＝260×6， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 6．已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可． 【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3， ∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3， 解得：x＝﹣2或﹣6， 即x1＝﹣2，x2＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键． 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCDAC•BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝4.5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根，则此直角三角形的面积为（　　） A．2 B．3 C． D．6 【分析】求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解， 【解答】解：解方程x2﹣5x+6＝0得，x1＝2，x2＝3， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为2和3， ∴此直角三角形的面积为， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． 9．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；再证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF得出②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD， ∵DF＝AB， ∴DF＝CD， ∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝∠DFE＝90°， 在Rt△DEF和Rt△DEC中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正确； ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， 在△ABE和△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴S△ABE＝S△ADF；②正确； ∴BE＝AF，④正确，③不正确； 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 10．如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BE＝CF．连接AE，BD交于点G，连接CG，DF交于点M．若正方形的边长为2，则线段BM的最小值是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】证明△ABE≌△DCF（SAS）由全等三角形的性质得出∠BAE＝∠CDF，证明△ABG≌△CBG（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAG＝∠BCG，取CD的中点O，连接OB、OF，则，由勾股定理求出OB的长，当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，则可求出答案． 【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CB，∠EBA＝∠FCD，∠ABG＝∠CBG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CDF， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴∠BAG＝∠BCG， ∴∠CDF＝∠BCG， ∵∠DCM+∠BCG＝∠FCD＝90°， ∴∠CDF+∠DCM＝90°， ∴∠DMC＝180°﹣90°＝90°， 取CD的中点O，连接OB、OM， 则， 在Rt△BOC中，， 根据三角形的三边关系，OM+BM＞OB， ∴当O、M、B三点共线时，BM的长度最小， ∴BM的最小值． 故选：D． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出m+1≠0且m2+1＝2，再求出答案即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m+1≠0且m2+1＝2， 解得：m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+1≠0且m2+1＝2是解此题的关键． 12．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 　 　． 【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线求出CDAB即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB5， ∵CD是△ABC中线， ∴CDAB5＝2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出CDAB是解此题的关键． 13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是 　 ． 【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个实数根， ∴， 解得：k且k≠1． 故答案为：k且k≠1． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 14．如图，四边形ABCD 为平行四边形，且DB平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝24，AC＝10，则DE＝　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，再证明∠ADB＝∠ABD，则AB＝AD，然后证明平行四边形ABCD是菱形，得OBBD＝4，OCAC＝5，AC⊥BD，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴OBBD＝4，OCAC＝5，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴BC13， ∵DE⊥BC， ∴菱形ABCD的面积＝BC•DEAC•BD， 即13DE10×24， 解得：DE， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 15．若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，则a+2b＝　 　． 【分析】根据配方法可得（a﹣b）2+（a﹣3）2＝0，进一步可得a﹣b＝0，a﹣3＝0，求出a和b的值，进一步即可求出a+2b的值． 【解答】解：∵2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0， ∴a2﹣2ab+b2+a2﹣6a+9＝0， ∴（a﹣b）2+（a﹣3）2＝0， ∴a﹣b＝0，a﹣3＝0， ∴a＝b＝3， ∴a+2b＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 16．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF，则EF的长为 　 ． 【分析】由题意证明△BOE≌△COF（ASA），所以OE＝OF，则△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长． 【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC， ∵∠AOE＝150°， ∴∠BOE＝60°； ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠BOE＝∠COF＝60°， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴△OEF是等腰直角三角形； 过点F作FG⊥OD于G，如图， ∴∠OGF＝∠DGF＝90°， ∵∠ODC＝45°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴GF＝DGDF， ∵∠AOE＝150°， ∴∠BOE＝60°， ∴∠DOF＝30°， ∴OF＝2GF， ∴EFOF＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出△OEF是等腰直角三角形． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分） 17．（每小题4分，共8分）解下列方程： （1）x2﹣6x+3＝0 （2）2x（x﹣1）＝3﹣3x． 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵x2﹣6x＝﹣3， ∴x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6， 则x﹣3＝±， ∴x＝3， ∴x1＝3，x2＝3； （2）∵2x（x﹣1）＝﹣3（x﹣1）， ∴2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（2x+3）＝0， ∴x﹣1＝0或2x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣1.5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（8分）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．（1）求证：△EAB≌△ECB； （2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE． 【分析】（1）根据正方形的性质证明AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出∠CED和∠DCE，然后进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°， 在△EAB和△ECB中， ， ∴△EAB≌△ECB（SAS）； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC， ∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°， ∴， ∵∠BDC＝∠CED+∠DCE＝45°， ∴∠DCE＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠CED＝∠DCE， ∴DC＝DE． 【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出△EAB和△ECB的全等条件． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0． （1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设x1，x2为方程的两个实数根，且，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可得出Δ＝（m+3）2+16，结合（m+3）2≥0可得出Δ＞0，进而可证出：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝m﹣1，x1•x2＝﹣2（m+3），结合16可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣2（m+3）． Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝m2+6m+25＝（m+3）2+16． ∵（m+3）2≥0， ∴（m+3）2+16＞0，即Δ＞0， ∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵x1，x2为方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝m﹣1，x1•x2＝﹣2（m+3）， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16， ∴（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16， ∴m2+2m﹣3＝0， ∴m1＝﹣3，m2＝1． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合16，找出关于m的一元二次方程． 20．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC； （2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴DE∥OC，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OC＝OA＝OB， ∴四边形ODEC是菱形， ∴OE⊥DC， （2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形 ∴OD＝OC＝DE＝2＝OA， ∴AC＝4 ∵∠AOD＝120，AO＝DO ∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90° ∴CD＝2，ADCD＝2 ∴S矩形ABCD＝2×24 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 21．（9分）已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为5，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 【分析】（1）将x＝5代入原方程可求出m的值； （2）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【解答】解：（1）∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根，AB的长为5， ∴把x＝5代入x2﹣8x+m＝0，得： 52﹣8×5+m＝0， 解得：m＝15； （2）∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0， ∴m＝16， 此时方程为x2﹣8x+16＝0， ∴x1＝x2＝4， ∴AB＝AD＝4，即菱形的边长为4； 答：m＝16，平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4． 【点评】本题考查了根与系数的关系，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． 22．（9分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若，DE＝4，求CE的长． 【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形； （2）由勾股定理求得BE8，设CE＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2，代入数据解答即可得解． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB ∴AB＝AD，且AB＝BC， ∴AD＝BC，且AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵BO＝DO，DE⊥BC， ∴OEBD＝2， ∴BD＝4， ∴BE8， 设CE＝x，则BC＝BE﹣CE＝8﹣x， ∴CD＝BC＝8﹣x， 在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴CE的长为3． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． 23．（10分）“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可． 【解答】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得 100（1+x）2＝196， 解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）， 答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%． （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克， 根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750， 整理得，y2﹣4y+3＝0， 解得y1＝1，y2＝3， ∵要减少库存， ∴y1＝1不合题意，舍去， ∴y＝3． 答：售价应降低3元． 【点评】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键． 24．（12分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题； （2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形； ②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM． 学科网（北京）股份有限公司 $$