第11讲 直角三角形（1个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第11讲 直角三角形（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 题型强化 题型一．直角三角形的性质 1．（2022秋•金华期中）在中，，，则　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•嵊州市期中）如图，在中，，，、分别在、上，将沿折叠得，且满足，则　　． 3．（2022秋•长兴县月考）在中，，，求的度数． 题型二、直角三角形的两个锐角互余 4．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ， ． 6．（24-25八年级上·浙江温州·开学考试）在中，，且，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．求证： (1)； (2)． 题型三、含30度角的直角三角形 7．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形中，D、E分别为边上的两动点，与交于点F，于点G，若，则 ． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）在中，三边长分别为，，，若三条中线的和、高的和、角平分线的和分别为，记，给出以下三个结论：①，②，③，其中，正确结论的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 题型四、斜边的中线等于斜边的一半 10．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 11．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为 ． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，是边的中点，于点，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 分层练习 一、单选题 1．直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（    ） A． B． C． D．或 2．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，∠EOF＝30°，Q为射线OE上一个动点，P为射线OF上一点，且OP＝4，则线段PQ的长度的最小值为（    ） A．4 B． C． D．2 6．下列命题为假命题的是（    ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合 C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 7．如图，在等边中，D，E分别是的中点，P是上一动点，当的周长最小时，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 11．腰长为，底角为的等腰三角形的面积为 ． 12．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为 ． 13．如图，飞机恰好飞行到地面目标的正上方米处，此时飞行员测得另一地面目标的俯角为，则、之间的距离为 米． 14．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在处，EF为折痕，若恰好平分∠FEB，则的度数为 ． 15．如图，在中，，为的垂直平分线，且，那么 ． 16．如图，点P 在等边的内部，且，将线段PC绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，在等腰中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东方向，船以25海里时的速度继续航行4小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？ 19．郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：）．当双翼收回进闸机箱内时： (1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机； A．“”的面     B．“”的面 (2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机． 20．如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D、E,连接． 求证： (1)是等边三角形； (2)点E在线段的垂直平分线上． 21．已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°.若DC=a，AB=b, 请写出求tan∠ADB的思路.（不用写出计算结果） 22．如图，A、B、C、D是几个城市，是几条即将修建的公路，经测量：，，长为20公里． (1)求的度数； (2)甲施工队沿方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿方向施工，为线段的中点，处附近因条件限制只能以为圆心、为半径修半圆形公路，每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求的长． 23．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 24．（1）如图1，在四边形中，，为上一点，连接，． ①若平分，平分，求的度数； ②若，，为中点，求证：为等腰直角三角形； （2）某工程队需要在，两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图2，甲工人从点直走到树处，然后向右转后再直走一段路等于的长度到点处；乙工人从点直走到树处，然后向左转后再直走一段路等于的长度到点处．工程队队长打算把八角亭建在的中点处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点，正当大家懊恼时，队长说：别急，只要找到，两棵树连线的中点，由点引的垂线，再往，两棵树前方量出的长度的一半，就能找到之前的点（如图3所示）．你觉得队长的方法对吗？为什么？    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直角三角形（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 题型强化 题型一．直角三角形的性质 1．（2022秋•金华期中）在中，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余解答即可． 【解答】解：在中，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2．（2023秋•嵊州市期中）如图，在中，，，、分别在、上，将沿折叠得，且满足，则　　． 【分析】由折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，由，，推出，即可求出， 由三角形内角和定理求出的度数． 【解答】解：沿折叠得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，关键是掌握折叠的性质，直角三角形的性质． 3．（2022秋•长兴县月考）在中，，，求的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：在中，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键． 题型二、直角三角形的两个锐角互余 4．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，再根据余角的定义可得，再根据等量代换可得与的和为． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， 故选：B 5．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ， ． 【答案】 /40度 /10度 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形高线和角平分线的定义，三角形内角和，直角三角形的特征，三角形外角性质；由三角形内角和定理得，由三角形高线的定义及直角三角形的特征得 ，由角的和差可求，由三角形外角性质得 ，再由直角三角形的特征即可求解；理解定义，掌握三角形外角性质和直角三角形的特征是解题的关键． 【详解】解：，， ， 是高线， ， ， ， 是角平分线， ， ， ； 故答案：，． 6．（24-25八年级上·浙江温州·开学考试）在中，，且，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得出，，由同一个角的余角相等可得出答案.， （2）先证明，由平行线的性质可得出，再证明，即可得出，证明，由全等三角形的性质可得出，由线段中点的性质可得出，再证明，即可得得出，等量代换可得出. 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）过点B作交的延长线于点G． ∵，， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. 又∵，， ∴， ∴. ∵点D是的中点， ∴， ∴. ∵，， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质等知识，平行线的判定以及性质等知识。掌握这些性质是解题的关键. 题型三、含30度角的直角三角形 7．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形中，D、E分别为边上的两动点，与交于点F，于点G，若，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，证得是解答的关键．先根据题意推出，可知，因此，所以，即可推出结论． 【详解】解：∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）在中，三边长分别为，，，若三条中线的和、高的和、角平分线的和分别为，记，给出以下三个结论：①，②，③，其中，正确结论的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】由三角形的三边关系即可判断①③，利用举反例可判断②． 【详解】解：如图，、、是的中线， ∵，，，，，， ∴即 ∴即，故①正确； 如图，如图，、、是的高，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， 如图，在上取一点使得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得即 ∴，， ∵，， ∴ ∴ ， ∴，故②错误， ∵，，，，，， ∴即 ∴即，故①正确； 如图，、、是的角平分线， ∵，，，，，， ∴即 ∴即，故③正确； ∴正确的个数为2个， 故选；B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及三角形内的特殊线段，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键， 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、根据三线合一证明、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∴是边的中线， ∵是等边三角形， ∴． 题型四、斜边的中线等于斜边的一半 10．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据等角对等边证明边相等、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中垂线的性质，等角对等边等性质， 首先根据中垂线的性质得到，，然后利用直角三角形的性质得到，进而证明出，即可得到． 【详解】∵的中垂线与交于点D， ∴， ∵F为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 故选：C． 11．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为 ． 【答案】130 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，是边的中点，于点，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的性质得到，即可得到结论； （2）根据，，得到，由平行线的性质得到，由于，于是得到，即可得到结论； （3）根据，，于是得到，由，推出是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：，， ， ， ， ， ； （3）解：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，掌握该定理即可解题． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 它的另一个锐角是， 故选：A． 2．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．设，根据三角形内角和定理可得是直角三角形，且c是斜边，从而得到，，即可求解． 【详解】解：设， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形，且c是斜边， ∴，， 故选项A，B，C错误，选项D正确． 故选：D 3．如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ， 故选：C 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 4．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 5．如图，∠EOF＝30°，Q为射线OE上一个动点，P为射线OF上一点，且OP＝4，则线段PQ的长度的最小值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】过点P作PM⊥OE于M，根据直角三角形的性质求出PM，根据垂线段最短解答． 【详解】解：过点P作PM⊥OE于M， ∴∠PMO=90°， ∵∠EOF＝30°，OP＝4， ∴PM=2， 当点Q与点M重合时，PQ最短， ∴线段PQ的长度的最小值为2， 故选：D 【点睛】本题考查了垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂线段最短是解题的关键． 6．下列命题为假命题的是（    ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合 C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】C 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意； B、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意； C、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，符合题意； D、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：C． 7．如图，在等边中，D，E分别是的中点，P是上一动点，当的周长最小时，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接交于点F，连接，根据轴对称的性质得出P点与F点重合时，的周长最小，进而得出即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点F，连接，    ∵点D，E分别是等边的中点， ∴， ∴， ∵点P是上一动点，当的周长最小时，即， 即当E,P,C三点共线时，的周长最小，此时点P点与F点重合， ∵垂直平分，垂直平分 ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴P点与F点重合，， 故选B． 8．如图，分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 先利用等腰三角形三线合一性质，得到，再利用直角三角形的性质，得到，结合分别是的角平分线，计算即可． 【详解】解：分别是的中线，， ， ， ， 分别是的角平分线， ， 故选：B． 9．已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可． 【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示： 由对称性可知，EF=EF’， 此时EF+EB= EF’+EB， 由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知， 当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置， 由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°， ∴∠BAF0=30°， 由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知， BF0=AB=， 故选：B． 【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解． 10．如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接并延长交延长线于，利用证明，得，由为定直线，为定值，则时，最小，从而解决问题． 【详解】解：连接并延长交延长线于， ，， ， ， ， ，， ， ， 为定直线，为定值， 当在直线上运动时，也在定直线上运动， 当时，最小， ， ， 当与重合时，最小，在中，，， ， ， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，求出点的运动路径是解题的关键． 二、填空题 11．腰长为，底角为的等腰三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的外角性质，直角三角形的性质，三角形的面积，根据题意，画出图形，过点作的延长线于点，由三角形的外角性质可得，进而由直角三角形的性质可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，等腰中，，，过点作的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为 ． 【答案】8 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵∠ACB=90°，D是AB边的中点， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 13．如图，飞机恰好飞行到地面目标的正上方米处，此时飞行员测得另一地面目标的俯角为，则、之间的距离为 米． 【答案】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握俯角的定义，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 14．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在处，EF为折痕，若恰好平分∠FEB，则的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】根据折叠的性质和角平分线定义可得3∠AEF=180°，所以∠AEF=60°，进而可以解决问题； 【详解】解：由翻折可知：∠AEF=∠A′EF，∠A=∠A′=90°， ∵EA′恰好平分∠FEB， ∴∠A′EF=∠A′EB， ∵∠AEF+∠A′EF+∠A′EB=180°， ∴3∠AEF=180°， ∴∠AEF=∠A′EF=60°， ∴∠A′FE的度数为30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了折叠变换，解题的关键是熟知折叠的性质，折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 15．如图，在中，，为的垂直平分线，且，那么 ． 【答案】6 【分析】如图，连接，则，，，由，，，可知是的平分线，则，由三角形内角和定理可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 16．如图，点P 在等边的内部，且，将线段PC绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为 ． 【答案】 【详解】试题解析：连接PP′，如图， ∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′=PC=6， ∵△ABC为等边三角形， ∴CB=CA，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA， 在△PCB和△P′CA中 ∴△PCB≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵62+82=102， ∴PP′2+AP2=P′A2， ∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴sin∠PAP′=． 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形． 三、解答题 17．如图，在等腰中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的作法及等边对等角的性质，理解题意，掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的作法是解题关键． 【详解】解：根据题意作线段的垂直平分线交于点P即为所求． 18．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东方向，船以25海里时的速度继续航行4小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？ 【答案】船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形外角的性质等等，过点A作于D，利用三角形外角的性质得到，则海里，再根据含30度角的直角三角形的性质可得海里． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 根据题意得，， ， ． （海里）， （海里）， 在直角中，，， ∴， （海里）， ∴船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近． 19．郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：）．当双翼收回进闸机箱内时： (1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机； A．“”的面     B．“”的面 (2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机． 【答案】(1)B (2)可以通过，说明见解析 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （1）根据推着较窄一面向前更容易通过闸机，即可得出结论； （2）过点A作于点E，过点B作于点F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机． 【详解】（1）解：， 推着“”向前更容易通过闸机， 故选：B； （2）解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F． ∵，， ∴，． 当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度为． ∵， ∴当旅客推着“”的面向前时，可以通过闸机． 20．如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D、E,连接． 求证： (1)是等边三角形； (2)点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 是的垂直平分线， ∴， ， 是等边三角形； （2）证明：是的垂直平分线， ， ，则， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ∴点E在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°.若DC=a，AB=b, 请写出求tan∠ADB的思路.（不用写出计算结果） 【答案】思路见解析. 【详解】试题分析： 过D点作DE⊥BC于点E，构造出Rt△CDE和Rt△DEB，由∠C=70°和DC=a可求出DE的长；由DE的长结合∠DBC=30°可求出BD的长；过点A作AF⊥BD于点F，构造出Rt△ADF和Rt△ABF；在Rt△ABF由∠ABD=45°，AB=b可求出BF和AF；由求出的BD和BF的长，可求出DF的长；最后在Rt△ADF中，由AF和DF的长即可求出tan∠ADF的值. 试题解析： （1）过D点作DE⊥BC于点E，可知△CDE和△DEB都是直角三角形； （2）由∠C=70°，可知sin∠C的值，在Rt△CDE中，由sin∠C和DC=a，可求DE的长； （3）在Rt△DEB中,由∠DBC=30°，DE的长，可求BD的长； （4）过A点作AF⊥BD于点F， 可知△DFA和△AFB都是直角三角形； （5）在Rt△AFB中,由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长； （6）由DB、BF的长，可知DF的长； （7）在Rt△DFA中，由即可求tan∠ADB的值. 22．如图，A、B、C、D是几个城市，是几条即将修建的公路，经测量：，，长为20公里． (1)求的度数； (2)甲施工队沿方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿方向施工，为线段的中点，处附近因条件限制只能以为圆心、为半径修半圆形公路，每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求的长． 【答案】(1) (2)的长为米 【分析】本题考查含有的直角三角形的边长关系，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确求得甲、乙两个工程队的总造价，列方程，是解题的关键． （1）利用三角形内角和，平行线的性质，等腰三角形的性质，即可解答； （2）设的长为公里，利用含有的直角三角形的边长关系，求得里，再算出甲、乙两个施工队需要的总造价，列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 为等边三角形， ； （2）解：公里， 公里， 甲工程队总造价为万元， 设， 为线段的中点， 公里， 公里， 乙施工队的总造价为万元， 根据题意可得， 解得， 故的长为米． 23．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)证明见解析 (2)池塘宽度为 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）延长，交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，易得；然后证明为含30度角的直角三角形，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，进而可解得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长，交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：池塘宽度为． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 24．（1）如图1，在四边形中，，为上一点，连接，． ①若平分，平分，求的度数； ②若，，为中点，求证：为等腰直角三角形； （2）某工程队需要在，两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图2，甲工人从点直走到树处，然后向右转后再直走一段路等于的长度到点处；乙工人从点直走到树处，然后向左转后再直走一段路等于的长度到点处．工程队队长打算把八角亭建在的中点处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点，正当大家懊恼时，队长说：别急，只要找到，两棵树连线的中点，由点引的垂线，再往，两棵树前方量出的长度的一半，就能找到之前的点（如图3所示）．你觉得队长的方法对吗？为什么？    【答案】（1）①②见详解；（2）队长说法正确，理由见详解 【分析】（1）①由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即可求解；②延长、交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，结合等腰三角形的判定及性质，即可得证； （2）连接、，取的中点，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，同理可证，即可求解． 【详解】（1）①解：， ， 平分，平分， ，， ， ； ②证明：延长、交于，    ， ， ， 为中点， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形； （2）队长的说法正确； 理由如下： 连接、，取的中点，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于， ， ∴，， ，，，，， ， 在和中 ， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 是的中点． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征；掌握灵活运用全等三角形的判定方法及有关性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$