高一数学上学期第一次阶段测（范围：集合，不等式+函数单调性）（19题新高考模式）- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版必修第一册·重难点专题突破

2024-2025学年名校高一上学期第一次阶段考试数学 考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数（考到单调性） 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 8．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列各组函数中是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．已知a，b为正实数，且，则（    ）． A．的最大值为8 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 11．对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（    ） A． B． C．，若，则 D．不等式的解集为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，若，则 . 13．已知，，且，则a的取值范围为 ． 14．设,称为的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(12分）已知集合，，. (1)求，；(2)若，求的取值范围. 16．（1）若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； （2）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数的取值范围. 17．2022年2月4日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个双奥之城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购，造成了一墩难求的局面，某冬奥官方纪念品销售处在2022年1月累计销量突破了40万件．现某企业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过市场分析，2022年2月每生产x（万件）获利（万元），该公司预计2022年2月这个新产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业2022年2月的利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年2月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业2月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 18．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 19．已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年名校高一上学期第一次阶段考试数学 考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数（考到单调性） 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B B C D A A 9 10 11 AD BCD BCD 12 13 14 CD DE 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果 【详解】要使函数有意义，必须，解得且， 则函数的定义域为， 故选：D． 2．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意. 【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意； B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意； C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意； D是函数图象，值域为，故不符合题意. 故选：B 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，必有， 而当时，可以是负数，如成立，却有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 5．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案. 【详解】对于A，因为，故，即，故A错误； 对于B，，无法判断，故B错误； 对于C，因为，，故C正确； 对于D，因为，故，即，故D错误． 故选：C． 6．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 7．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值. 【详解】令，解得或， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最小值，此时， 故选：A. 8．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【详解】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列各组函数中是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】利用相同函数的定义，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，函数、的定义域均为R，且，A是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，C不是； 对于D，函数、的定义域均为，对应法则相同，D是. 故选：AD 10．已知a，b为正实数，且，则（    ）． A．的最大值为8 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可． 【详解】A：因为， 当且仅当时取等号，解不等式得， 即，故的最大值为2，故A错误； B：由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，故B正确； C：， 当且仅当，即时取等号，故C正确； D：， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，故D正确． 故选：BCD． 11．对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（    ） A． B． C．，若，则 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据的值，分析每个选项，A项可以举出反例，B项可以在中找出存在令命题成立的一对实数，，C项根据，可以得到，属于相同区间，D项先解出的范围，再解出的取值范围. 【详解】对于A，，，所以A为假命题； 对于B，，，，所以B为真命题； 对于C，因为，所以，，所以，C为真命题； 对于D，解不等式，得或，所以不等式的解集为，D为真命题. 故选：BCD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】分、解方程，综合可得出实数的值. 【详解】当时，由可得； 当时，由，此时无解. 综上所述，. 故答案为：. 13．已知，，且，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 14．设,称为的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数． 【答案】 / / 【分析】证明，可得，代入数据可得CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与OC之间的关系，表示出OC的长度，根据的面积可算出，继而算出，即可得到结果 【详解】解：因为是直径，所以， 因为，， 所以，所以即， ∴，即线段CD长度为a，b的几何平均数， 因为，所以， 将代入， 可得， 故， ∴， ∴DE的长度为a，b的调和平均数， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(12分）已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）直接利用集合并集、交集和补集的定义求解； （2）分析即得解. 【详解】（1）解：因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}， 所以． 因为A＝{x|3≤x<7}， 所以或 则或. （2）解：因为A＝{x|3≤x<7}，C＝{x|}，且， 所以. 所以a的取值范围为． 16．（1）若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； （2）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可. （2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可. 【详解】（1）不等式的解集是， ，是方程的两个根， 由韦达定理得：，， 即， 解不等式可得：或， 故的解集为或 （2）恒成立，， ， 当且仅当，即时等号成立， 解得， 则实数的范围是：. 17．2022年2月4日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个双奥之城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购，造成了一墩难求的局面，某冬奥官方纪念品销售处在2022年1月累计销量突破了40万件．现某企业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过市场分析，2022年2月每生产x（万件）获利（万元），该公司预计2022年2月这个新产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业2022年2月的利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年2月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业2月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元 【分析】（1）由题意列式求解， （2）由二次函数性质与基本不等式求解， 【详解】（1）由已知，， 又 （2）当时，， 则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，， ∵，∴的最大值为390， 故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元． 18．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【答案】(1)证明见解析 (2)否，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意，若，则， 则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由， 解得或或， 所以. 19．已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【详解】（1）由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. （2）对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 （3）当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 5 2024-2025 学年名校高一上学期第一次阶段考试数学 考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数（考到单调性） 试卷满分：150 分 考试用时：120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．函数   2 1 3 x f x x    的定义域为（ ） A． (1, ) B．[1, ) C．  1 ,3 D．   1, 3 3,    2．已知 { | 0 2}A x x ， { |1 2}B y y ，下列图形能表示以 A为定义域，B为值域的函数的是（ ） A． B． C． D． 3．已知 x， Ry ，则“ | | | | 0x y  ”是“ 0x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数  2 41 1f x x   ，则函数  y f x 的解析式是（ ） A．   2 2 2f x x x   ， 0x  B．   2 2 2f x x x   ， 1x   C．   2 2 2f x x x   ， 0x  D．   2 2 2f x x x   ， 1x   5．若 0a b  ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 1 1 b b a a    B． 1 1 a b a b    C． b a a b a b    D． 2 2 a b a a b b    2 / 5 6．已知函数 ( )f x 是定义在[0, ) 上的增函数，则满足 1 (2 1) 3 f x f         的 x的取值范围是（ ） A． 1 2 , 3 3       B． 1 2 , 3 3      C． 1 2 , 2 3       D． 1 2 , 2 3      7．设函数   2f x x  ，   2 1g x x x   .用  M x 表示  f x ，  g x 中的较大者，记为       max ,M x f x g x ，则  M x 的最小值是（ ） A．1 B．3 C．0 D． 5 4  8．已知函数  f x 的定义域为 R，对任意实数 x，y都有 ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y    ，当 0x  时， ( ) 1f x  ， 且 (2) 5f  ，则关于 x的不等式 ( ) (4 3 ) 6f x f x   的解集为（ ） A．  1, B．  2, C．  1 ， D． 2， 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列各组函数中是同一函数的是（ ） A． ( ) 2f x x  ， 3 3( ) 2g x x  B． 2 9 ( ) 3 x f x x    ，   2 ( ) 3g x x  C． ( ) 1 1f x x x    ， 2( ) 1g x x  D． 1 ( )  f x x x ， 1 ( )g t t t   10．已知 a，b为正实数，且 2 6ab a b   ，则（ ）． A．ab的最大值为 8 B．2a b 的最小值为 4 C．a b 的最小值为4 2 3 D． 1 1 1 2   a b 的最小值为 2 2 11．对  R,x x  表示不超过 x的最大整数，如[3.14] 3,[0.618] 0,[ 2.71828] 3     ，我们把  , Ry x x  叫 做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中， 这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导、 极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（ ） A．  R,x x x     B．      , R,x y x y x y     C． ,x y R，若[ ] [ ]x y ，则 1x y  D．不等式 22[ ] [ ] 3 0x x   的解集为    ,0 2,   3 / 5 三．填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知函数   2 1, 0 2 , 0 x x f x x x        ，若   10f a  ，则a  . 13．已知  2 2 3 0M x x x    ，  2 1 0, RN x x ax a     ，且N M ，则 a的取值范围为 ． 14．设 0, 0a b  ,称 2ab a b 为a b， 的调和平均数．如图，C为线段 AB上的点，且 AC=a，CB=b，O为 AB中 点，以 AB为直径作半圆．过点 C作 AB的垂线交半圆于 D．连结 OD，AD，BD．过点 C作 OD的垂线，垂 足为 E．则图中线段 OD的长度是 a，b的算术平均数，线段 的长度是 a,b的几何平均数，线段 的长度 是 a,b的调和平均数． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(12 分）已知集合  3 7A x x   ，  2 10B x x   ，  C x x a  . (1)求 A B，  R A B ；(2)若 A C ，求a的取值范围. 4 / 5 16．（1）若关于𝑥的不等式 2 0x mx n   的解集是 2< <3x x ，求不等式 2 1 0nx mx   的解集； （2）已知两个正实数𝑥， y 满足 1 2 1 x y   ，并且 22 2x y a a   恒成立，求实数𝑎的取值范围. 17．2022 年 2 月 4 日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个双奥之 城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购，造成了一墩难求 的局面，某冬奥官方纪念品销售处在 2022 年 1 月累计销量突破了 40 万件．现某企业计划引进新的生产设 备和新的产品方案，通过市场分析，2022 年 2 月每生产 x（万件）获利 ( )W x （万元），    220 17 ,0 2, 80 500 ,2 5. 1 x x W x x x            该公司预计 2022 年 2 月这个新产品的其他成本总投入为 (20 10)x  万元．由市 场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业 2022 年 2 月的利润为 ( )f x （单位：万元）． (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)当 2022 年 2 月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业 2 月的利润最大？最大利润是多少？请说明 理由． 5 / 5 18．设数集 A由实数构成，且满足：若 x A （ 1x  且 0x  ），则 1 1 A x   . (1)若3 A ，试证明 A中还有另外两个元素； (2)集合 A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若 A中元素个数不超过 8 个，所有元素的和为 14 3 ，且 A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合 A. 19．已知函数 2( ) 2, R   f x x ax a ． (1)若不等式 ( ) 0f x  的解集为[1,2]，求不等式 2( ) 1f x x  的解集； (2)若对于任意 [ 1,1]x  ，不等式 ( ) 2 ( 1) 4f x a x   恒成立，求实数a的取值范围； (3)已知 ( )g x x m   ，当 3a   时，若对任意 1 [1, 4]x  ，总存在 2 (1,8)x  ，使    1 2f x g x 成立，求实数m 的取值范围． 1 / 13 2024-2025 学年名校高一上学期第一次阶段考试数学 考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数（考到单调性） 试卷满分：150 分 考试用时：120 分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B B C D A A 9 10 11 AD BCD BCD 12 13 14 3 { | 2 2}a a   CD DE 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．函数   2 1 3 x f x x    的定义域为（ ） A． (1, ) B．[1, ) C．  1 ,3 D．   1, 3 3,    【答案】D 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果 【详解】要使函数有意义，必须 2 1 0 3 0 x x      ，解得 1x  且 3x  ， 则函数  f x 的定义域为[1, 3) ( 3, )  ， 故选：D． 2．已知 { | 0 2}A x x ， { |1 2}B y y ，下列图形能表示以 A为定义域，B为值域的函数的是（ ） 2 / 13 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合 题意. 【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为 { |1 2}B y y 不符，故不符合 题意； B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意； C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为 { |1 2}B y y 不符，故不符合题意； D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意. 故选：B 3．已知 x， Ry ，则“ | | | | 0x y  ”是“ 0x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由 0x  ，得 | | 0x  ，必有 | | | | 0x y  ， 而当 | | | | 0x y  时， x可以是负数，如 | 1| | | 0y   成立，却有 1 0  ， 所以“ | | | | 0x y  ”是“ 0x  ”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知函数  2 41 1f x x   ，则函数  y f x 的解析式是（ ） A．   2 2 2f x x x   ， 0x  B．   2 2 2f x x x   ， 1x   C．   2 2 2f x x x   ， 0x  D．   2 2 2f x x x   ， 1x   【答案】B 【分析】利用配凑法求解析式即可. 3 / 13 【详解】     2 2 4 21 1 1 1 1f x x x          ，且 2 1 1x    ，所以     2 21 1 2 2f x x x x      ， 1x   . 故选：B. 5．若 0a b  ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 1 1 b b a a    B． 1 1 a b a b    C． b a a b a b    D． 2 2 a b a a b b    【答案】C 【分析】对 A，B，C，D 选项作差与 0 比较即可得出答案. 【详解】对于 A，因为 0a b  ，故 1 0 1 ( 1) b b b a a a a a        ，即 1 1 b b a a    ，故 A 错误； 对于 B， 1 1 1 ( ) 1a b a b a b ab                  ，无法判断，故 B 错误； 对于 C，因为 0a b  ， ( ) 1 0 b a a b a b a b a b ab                   ，故 C 正确； 对于 D，因为 0a b  ，故 2 ( )( ) 0 2 ( 2 ) a b a b a b a a b b a b b         ，即 2 2 a b a a b b    ，故 D 错误． 故选：C． 6．已知函数 ( )f x 是定义在[0, ) 上的增函数，则满足 1 (2 1) 3 f x f         的 x的取值范围是（ ） A． 1 2 , 3 3       B． 1 2 , 3 3      C． 1 2 , 2 3       D． 1 2 , 2 3      【答案】D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知 2 1 0 1 2 1 3 x x        ，解不等式得 1 2 , 2 3 x       . 故选：D 7．设函数   2f x x  ，   2 1g x x x   .用  M x 表示  f x ，  g x 中的较大者，记为       max ,M x f x g x ，则  M x 的最小值是（ ） A．1 B．3 C．0 D． 5 4  【答案】A 【分析】根据题意作出  M x 的函数图象，根据函数图象求解出  M x 的最小值. 【详解】令 22 1x x x    ，解得 1x   或 3x  ， 作出  M x 的图象如下图所示： 4 / 13 由图象可知：当 1x   时，  M x 有最小值，此时   min 1 2 1M x     ， 故选：A. 8．已知函数  f x 的定义域为R，对任意实数 x，y都有 ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y    ，当 0x  时， ( ) 1f x  ， 且 (2) 5f  ，则关于 x的不等式 ( ) (4 3 ) 6f x f x   的解集为（ ） A．  1, B．  2, C．  1 ， D． 2， 【答案】A 【分析】根据题意利用定义证明函数在 R 上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【详解】任取 1 2x x ， 从而 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x f x     2 1( ) 1f x x   , 因为 2 1 0x x  ，所以 2 1( ) 1f x x  ， 所以 2 1( ) ( ) 0f x f x  ， 则  f x 在 R 上单调递增． 不等式 ( ) (4 3 ) 6f x f x   等价于不等式 ( ) (4 3 ) 1 5f x f x    ， 即 ( 4 3 ) (2)f x x f   ． 因为  f x 在 R 上单调递增， 所以4 2 2x  ，解得 1x  ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列各组函数中是同一函数的是（ ） A． ( ) 2f x x  ， 3 3( ) 2g x x  B． 2 9 ( ) 3 x f x x    ，   2 ( ) 3g x x  C． ( ) 1 1f x x x    ， 2( ) 1g x x  D． 1 ( )  f x x x ， 1 ( )g t t t   【答案】AD 【分析】利用相同函数的定义，逐项判断即可得解. 5 / 13 【详解】对于 A，函数 ( ) 2f x x  、 3 3( ) 2g x x  的定义域均为 R，且 ( ) 2g x x  ，A 是； 对于 B，函数 2 9 ( ) 3 x f x x    的定义域为{ R | 3}x x  ，函数   2 ( ) 3g x x  的定义域为[0, ) ，B 不 是； 对于 C，函数 ( ) 1 1f x x x    的定义域为[1, ) ，函数 2( ) 1g x x  的定义域为 ( , 1] [1, )     ， C 不是； 对于 D，函数 1 ( )  f x x x 、 1 ( )g t t t   的定义域均为 (0, ) ，对应法则相同，D 是. 故选：AD 10．已知 a，b为正实数，且 2 6ab a b   ，则（ ）． A．ab的最大值为 8 B．2a b 的最小值为 4 C．a b 的最小值为4 2 3 D． 1 1 1 2   a b 的最小值为 2 2 【答案】BCD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可． 【详解】A：因为6 2 2 2ab a b ab ab     ， 当且仅当2a b 时取等号，解不等式得 3 2 2ab   ， 即 2ab  ，故ab的最大值为 2，故 A 错误； B：由6 2ab a b   得 6 2 8 2 1 1 a b a a       ， 所以     6 2 8 8 2 2 2 1 4 2 2 1 4 4 1 1 1 a a b a a a a a a                 ， 当且仅当   8 2 1 1 a a    ，即 1a  时取等号，此时取得最小值 4，故 B 正确； C： 8 8 2 1 3 4 2 3 1 1 a b a a a a             ， 当且仅当 8 1 1 a a    ，即 2 2 1a   时取等号，故 C 正确； D： 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2a b a b ab a b             ， 当且仅当 1 2  a b ，即 2 2 1, 2 2 2a b    时取等号， 此时 1 1 1 2   a b 取得最小值 2 2 ，故 D 正确． 故选：BCD． 11．对  R,x x  表示不超过 x的最大整数，如[3.14] 3,[0.618] 0,[ 2.71828] 3     ，我们把  , Ry x x  叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板 函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL 电子表 6 / 13 格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命 题，其中是真命题有（ ） A．  R,x x x     B．      , R,x y x y x y     C． ,x y R，若[ ] [ ]x y ，则 1x y  D．不等式 22[ ] [ ] 3 0x x   的解集为    ,0 2,   【答案】BCD 【分析】根据  y x 的值，分析每个选项，A 项可以举出反例，B 项可以在R 中找出存在令命题成 立的一对实数 x， y ，C 项根据   x y ，可以得到 x ， y 属于相同区间，D 项先解出 x 的范围，再 解出 x的取值范围. 【详解】对于 A，  2.5 2.5 2      ，  2.5 3 3   ，所以 A 为假命题； 对于 B，   2 1.1 0.9 0   ，   2 1.1 2 1 1    ，0 1 ，所以 B 为真命题； 对于 C，因为   x y ，所以  , , 1x y n n  ， Zn ，所以 1x y  ，C 为真命题； 对于 D，解不等式     2 2 3 0x x   ，得  1x   或  3 2 x  ，所以不等式的解集为    ,0 2,   ， D 为真命题. 故选：BCD 三．填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知函数   2 1, 0 2 , 0 x x f x x x        ，若   10f a  ，则a  . 【答案】 3 【分析】分 0a  、 0a  解方程   10f a  ，综合可得出实数a的值. 【详解】当 0a  时，由   2 1 10f a a   可得 3a   ； 当 0a  时，由   2 0f a a   ，此时   10f a  无解. 综上所述， 3a   . 故答案为： 3 . 13．已知  2 2 3 0M x x x    ，  2 1 0, RN x x ax a     ，且 N M ，则 a的取值范围为 ． 【答案】{ | 2 2}a a   【分析】求得集合  1,3M   ，根据 N M ，分N 和 N 两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合    2 2 3 0 1,3M x x x     ∣ ， 当 N 时，即 2 4 0a    ，解得 2 2a   ，此时满足 N M ， 当 N 时，要使得 N M ，则 1 N  或3 N ， 当 1 N  时，可得 2( 1) 1 0a    ，即 2a  ，此时 { 1}N   ，满足 N M ； 当3 N 时，可得 23 3 1 0a   ，即 10 3 a   ，此时 1 {3, } 3 N  ，不满足 N M ， 7 / 13 综上可知，实数a的取值范围为{ | 2 2}a a   . 故答案为：{ | 2 2}a a   . 14．设 0, 0a b  ,称 2ab a b 为a b， 的调和平均数．如图，C为线段 AB上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB中点，以 AB为直径作半圆．过点 C作 AB的垂线交半圆于 D．连结 OD，AD，BD．过点 C作 OD的垂线，垂足为 E．则图中线段 OD的长度是 a，b的算术平均数，线段 的长度是 a,b的几何 平均数，线段 的长度是 a,b的调和平均数． 【答案】 𝐶𝐷/ DC 𝐷𝐸/ ED 【分析】证明 ADC DBC，可得 2CD AC CB  ，代入数据可得 CD长度为 a，b的几何平均数； 根据 a，b与 OC之间的关系，表示出 OC的长度，根据 OCD的面积可算出CE，继而算出 ,OE ED， 即可得到结果 【详解】解：因为 AB 是直径，所以 90ADB  ， 因为 90DCA DCB   ， 90DBA DAB ADC    ， 所以 ADC DBC，所以 CD BC AC DC  即 2CD AC CB  ， ∴CD ab ，即线段 CD长度为 a，b的几何平均数， 因为 1 1 2 2 OCDS OD CE OC CD    ，所以OD CE OC CD   ， 将 , , 2 2 2 a b a b a b OC a CD ab OD         代入OD CE OC CD   ， 可得 a b CE ab a b    ， 故 2 2 2 ( ) 2( ) a b OE OC CE a b      ， ∴ 2ab ED OD OE a b     ， ∴DE的长度为 a，b的调和平均数， 故答案为：CD DE； 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(12 分）已知集合  3 7A x x   ，  2 10B x x   ，  C x x a  . (1)求 A B，  R A B ； (2)若 A C ，求a的取值范围. 8 / 13 【答案】(1)  2 10A B x x    ， R( ) { | 2 3A B x x   或7 10}x  ； (2)  3, . 【分析】（1）直接利用集合并集、交集和补集的定义求解； （2）分析 A C 即得解. 【详解】（1）解：因为 A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}， 所以  2 10A B x x    ． 因为 A＝{x|3≤x<7}， 所以 R { | 3A x x  或 7}x  则 R( ) { | 2 3A B x x   或7 10}x  . （2）解：因为 A＝{x|3≤x<7}，C＝{x| x a }，且 A C ， 所以 3a  . 所以 a的取值范围为  3, ． 16．（1）若关于𝑥的不等式 2 0x mx n   的解集是 2< <3x x ，求不等式 2 1 0nx mx   的解集； （2）已知两个正实数𝑥， y 满足 1 2 1 x y   ，并且 22 2x y a a   恒成立，求实数𝑎的取值范围. 【答案】（1）{ 1 | 2 x x   或 1 } 3 x   （2） 10 1 10 1a     【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得 ,m n ，再解不等式即可. （2）利用基本不等式求 2x y 的最小值，再解不等式即可. 【详解】（1） 不等式 2 0x mx n   的解集是 2< <3x x ， 1 2x  ， 2 =3x 是方程 2 0x mx n   的两个根， 由韦达定理得：2 3 m  ，2 3 n  ， 即 5, 6m n  ， 解不等式 26 5 1 0x x   可得： 1 2 x   或 1 3 x   ， 故 26 5 1 0x x   的解集为{ 1 | 2 x x   或 1 } 3 x   （2） 22 2x y a a   恒成立，   2 min 2 2x y a a    ，   1 2 2 2 2 2 2 2 5 5 2 9 x y x y x y x y x y y x y x                 ， 当且仅当 2 2x y y x  ，即 3x y  时等号成立， 解 2 2 9a a  得 10 1 10 1a     ， 则实数𝑎的范围是： 10 1 10 1a     . 17．2022 年 2 月 4 日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个 双奥之城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购， 9 / 13 造成了一墩难求的局面，某冬奥官方纪念品销售处在 2022 年 1 月累计销量突破了 40 万件．现某企 业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过市场分析，2022 年 2 月每生产 x（万件）获利 ( )W x （万元），    220 17 ,0 2, 80 500 ,2 5. 1 x x W x x x            该公司预计 2022 年 2 月这个新产品的其他成本总投入为 (20 10)x  万元．由市场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业 2022 年 2 月的利 润为 ( )f x （单位：万元）． (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)当 2022 年 2 月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业 2 月的利润最大？最大利润是多少？ 请说明理由． 【答案】(1)   220 20 330,0 2 80 490 20 ,2 5 1 x x x f x x x x              (2)当产量为 3 万件时，该企业利润最大，最大利润是 390 万元 【分析】（1）由题意列式求解， （2）由二次函数性质与基本不等式求解， 【详解】（1）由已知， ( ) ( ) (20 10)f x W x x   ， 又    220 17 ,0 2, 80 500 ,2 5, 1 x x W x x x              220 20 330,0 2, 80 490 20 ,2 5; 1 x x x f x x x x              （2）当0 2x  时， 2 2 1( ) 20 20 330 20 325 2 f x x x x            ， 则当0 2x  时， ( ) (2) 370f x f  ； 当 2 5x  时， 80 80 ( ) 490 20 490 20( 1) 20 1 1 f x x x x x               80 470 2 20( 1) 390 1 x x      ， 当且仅当 80 20( 1) 1 x x    ，即 3x  时， max( ) 390f x  ， ∵370 390 ，∴ ( )f x 的最大值为 390， 故当产量为 3 万件时，该企业利润最大，最大利润是 390 万元． 18．设数集 A由实数构成，且满足：若 x A （ 1x  且 0x  ），则 1 1 A x   . (1)若3 A ，试证明 A中还有另外两个元素； 10 / 13 (2)集合 A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若 A中元素个数不超过 8 个，所有元素的和为 14 3 ，且 A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 求集合 A. 【答案】(1)证明见解析 (2)否，理由见解析 (3) 1 1 2 1, ,2, ,3, 2 2 3 A         【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意，若3 A ，则 1 1 1 3 2 A    ， 则 1 2 1 3 1 2 A         ， 若 2 3 A ，则 1 3 2 1 3 A   ， 所以集合 A中还有另外两个元素 1 2  和 2 3 . （2）否，理由如下： 由题意，若 x A （ 1x  且 0x  ），则 1 1 A x   ， 则 1 1 1 1 1 1 A x x      ， 若 1 1 A x   ，则 1 1 1 1 x A x          ， 所以集合 A中应包含 x， 1 1 x ， 1 1 x  ，而 1 1 1 1 1 x x x            ， 所以集合A 的元素个数为 3 的倍数， 故集合 A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知， 1 1 , ,1 1 x A x x    ，且集合A 的元素个数为 3 的倍数， 因为集合 A中元素个数不超过 8 个，且 A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合A 的元素个数为 6，其中一个元素为 1 ， 由 1 A  结合已知条件可得， 1 , 2 2 A ， 11 / 13 由 1 1 1 14 1 2 1 2 1 3 x x x          ， 解得 1 2 x   或 3x  或 2 3 x  ， 所以 1 1 2 1, ,2, ,3, 2 2 3 A         . 19．已知函数 2( ) 2, R   f x x ax a ． (1)若不等式 ( ) 0f x  的解集为[1,2]，求不等式 2( ) 1f x x  的解集； (2)若对于任意 [ 1,1]x  ，不等式 ( ) 2 ( 1) 4f x a x   恒成立，求实数a的取值范围； (3)已知 ( )g x x m   ，当 3a   时，若对任意 1 [1, 4]x  ，总存在 2 (1,8)x  ，使    1 2f x g x 成立， 求实数m 的取值范围． 【答案】(1)   1 , 1, 2        ； (2) 1 , 3       ； (3) 31 7, 4       【分析】（1）由1,2为方程 2 2 0x ax   的两个不等实数根，根据韦达定理求解a，然后解一元二次 不等式即可； （2）将不等式化简，令   2 2 2ah x x x a   ，可得   0h x  对 [ 1,1]x  恒成立，只需满足     1 0 1 0 h h      ， 求解a的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数  f x 与  g x 的值域，将问题转化为函数  f x 值域 是函数  g x 值域的子集列不等式组求解. 【详解】（1）由题意，1,2为方程 2 2 0x ax   的两个不等实数根， 1 2 3a a       ，所以不等式 2( ) 1f x x  为 2 2 23 2 1 2 3 1 0x x x x x        ， 解得 1 2 x  或 1x  ，所以不等式解集为   1 , 1, 2        . （2） 2( ) 2 ( 1) 4 2 2 0f x a x x x aa       对 [ 1,1]x  恒成立， 令   2 2 2ah x x x a   ，即   0h x  对 [ 1,1]x  恒成立， 因为函数  h x 开口向上，故只需满足     1 0 1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 h a a h a a                ， 解得 1 3 a  ，所以a的取值范围为 1 , 3       （3）当 3a   时， 2( ) 3 2f x x x   ，开口向上，对称轴为 3 2 x  12 / 13 当 [1,4]x 时， min 1 ( ) 4 f x   ， max( ) 6f x  ， 1 ( ) 6 4 f x   ， (1,8)x 时，  ( ) 8 , 1g x m m     ，由题意， 对任意 1 [1, 4]x  ，总存在 2 (1,8)x  ，使    1 2f x g x 成立， 即函数  f x 的值域是函数  g x 的值域的子集， 即   1 ,6 4 8 , 1m m           ， 1 8 4 1 6 m m           ， 解得 31 7 4 m  ，所以m 的取值范围为 31 7, 4       . 13 / 13 2024-2025学年名校高一下学期第一次阶段测数学 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$