第9章 第2节 磁场对运动电荷的作用-【名师导航】2025年高考物理一轮总复习课件（江苏专用）

第九章　磁场 第2节　磁场对运动电荷的作用 1 链接教材· 夯基固本 一、洛伦兹力的大小和方向 1．定义：磁场对________的作用力。 2．大小 (1)v∥B时，F＝__； (2)v⊥B时，F＝______； (3)v与B的夹角为θ时，F＝qvB sin θ。 运动电荷 0 qvB 第2节　磁场对运动电荷的作用 2 3．方向 (1)判定方法：左手定则 掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的______； 拇指——指向洛伦兹力的方向。 (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的____。(注意B和v可以有任意夹角) 4．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的____，只改变带电粒子速度的____，洛伦兹力对带电粒子______。 反方向 平面 大小 方向 不做功 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以入射速度v做________运动。 2．若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内以入射速度v做________运动。 匀速直线 匀速圆周 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 3．基本公式 (1)向心力公式：qvB＝m； (2)轨道半径公式：r＝； (3)周期公式：T＝。 注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与运动速度和轨迹半径____，只与粒子的____和磁场的__________有关。 (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T。 (5)动能：Ek＝mv2＝＝。 无关 比荷 磁感应强度 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。 (　　) (2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。 (　　) (3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。 (　　) (4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。 (　　) (5)经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D形盒的最大半径、磁感应强度B、加速电压的大小共同决定的。 (　　) (6)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观点。 (　　) (7)英国物理学家汤姆孙发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流。 (　　) × × × √ × √ √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 二、教材习题衍生 1．(洛伦兹力的方向)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是(　　) A　　　　　　 　　B　　　 　　　C　　　　　 　　　D √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 7 2．(带电粒子在匀强磁场中的运动)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　) √ A　　　　　　 　　B　　　 　　 　C　　　　　 　　　D 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 A　[由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。故选A。] 3．(带电粒子在匀强磁场中的运动)如图所示，直线OP上方分布着垂直纸面向里的匀强磁场，从粒子源O在纸面内沿不同的方向先后发射速率均为v的质子1和2，两个质子都过P点。已知OP＝a，质子1沿与OP成30°角的方向发射，不计质子的重力和质子间的相互作用力，则(　　) A．质子1在磁场中运动的半径为a B．质子2在磁场中的运动周期为 C．质子1在磁场中的运动时间为 D．质子2在磁场中的运动时间为 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 B　[根据题意作出质子运动轨迹如图所示，由几何知识可知，质子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝a，故A错误；质子在磁场中做圆周运动的周期：T＝＝，故B正确；由几何知识可知，质子1在磁场中转过的圆心角：θ1＝60°，质子1在磁场中的运动时间：t1＝T＝T＝，故C错误；由几何知识可知，质子2在磁场中转过的圆心角：θ2＝300°，质子2在磁场中的运动时间：t2＝T＝，故D错误。] 细研考点 · 突破题型 1．(洛伦兹力的理解)下列说法正确的是(　　) A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用 B．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零 C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度 D．洛伦兹力对带电粒子不做功 D　[运动电荷速度方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力；洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，不改变带电粒子的速度大小；洛伦兹力对带电粒子不做功，故D正确。] 考点1　对洛伦兹力的理解和应用 √ 第2节　磁场对运动电荷的作用 2．(洛伦兹力与电场力的比较)如图甲所示，带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平向里的匀强磁场(如图乙)，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2，若加上水平向右的匀强电场(如图丙)，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场(如图丁)，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4。不计空气阻力，则(　　) A．一定有h1＝h3 B．一定有h1＜h4 C．一定有h2<h4 D．h1与h2无法比较 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 A　[题图甲中，由竖直上抛运动的最大高度公式得h1＝，题图丙中，当加上电场时，由运动的分解可知，在竖直方向上，有＝2gh3，得h3＝，所以h1＝h3，故A正确；题图乙中，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得mgh2＋Ek＝，又由于＝mgh1，所以h1＞h2，D错误；题图丁中，因小球电性未知，则电场力方向不确定，则h4可能大于h1，也可能小于h1，因为h1>h2，所以h2与h4也无法比较，故B、C错误。] 规律总结　1．洛伦兹力的特点 (1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。 (2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 (3)洛伦兹力一定不做功。 2．洛伦兹力与安培力的联系及区别 (1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。 (2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 3．洛伦兹力与电场力的比较   洛伦兹力 电场力 产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 力方向与场 方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 一、求解带电粒子在匀强磁场中的运动的三要点 1．两种方法定圆心 方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示)。 方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示)。 考点2　带电粒子在匀强磁场中的运动 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 17 2．几何知识求半径 利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点： (1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。 (2)直角三角形的应用(勾股定理)。 找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。 3．求时间的两种方法 方法一：由运动弧长计算，t＝(l为弧长)； 方法二：由旋转角度计算，t＝T。 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 18 二、三类边界磁场中的轨迹特点 1．直线边界：进出磁场具有对称性。 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 19 2．平行边界：存在临界条件。 3．圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 20 [典例]　(一题多变)如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(　　) A．　　 B．　　 C． D． √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 21 审题指导：解此题关键有两点： (1)射入点与ab的距离为，由此可确定射入点与圆心的连线和竖直方向之间的夹角是30°。 (2)粒子的偏转角是60°，由此确定粒子的轨迹圆弧对应的圆心角为60°。 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 22 B　[如图所示，粒子做圆周运动的圆心O2必在过入射点垂直于入射速度方向的直线EF上，由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°，故圆弧ENM对应圆心角为60°，所以△EMO2为等边三角形。由于O1D＝，所以∠EO1D＝60°，△O1ME为等边三角形，所以可得到粒子做圆周运动的半径EO2＝O1E＝R，由qvB＝，得v＝，B正确。] [变式1]　此[典例]中，带电粒子在圆柱形匀强磁场区域中的运行时间为(　　) A． C． √ B　[粒子在磁场中做圆周运动，转过的圆心角θ＝60°，则在磁场中运行时间t＝T＝＝，B项正确。] 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 24 [变式2]　此[典例]中，若带电粒子对准圆心沿直径ab的方向射入磁场区域，粒子射出磁场与射入磁场时运动方向的夹角仍为60°，则粒子的速率为(　　) A． B． C． D． √ C　[由题意得粒子运动轨迹如图所示，则∠aO2c＝60°，∠aO1c＝120°。由几何知识得r＝R，又qvB＝m，则v＝＝，C项正确。] 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 25 [变式3]　此[典例]中，若带电粒子速率不变，磁场方向改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° D　[因带电粒子的速率不变，由qvB＝得r＝R，则粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得∠EO2F＝120°，D项正确。] √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 26 规律总结　无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 27 2 4 1 3 题号 5 [跟进训练] 角度1　带电粒子在直线边界磁场中的运动 1．如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上，不计重力，下列说法正确的有(　　) A．a、b均带负电 B．a在磁场中飞行的时间比b的短 C．a在磁场中飞行的路程比b的短 D．a在P上的落点与O点的距离比b的小 6 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 28 2 4 1 3 题号 5 D　[根据左手定则可知a、b均带正电，a、b离子做圆周运动的半径都为R＝，画出轨迹如图所示，以O1、O2为圆心的两圆弧分别为b、a的轨迹，a在磁场中转过的圆心角大，由t＝T＝和轨迹图可知D选项正确。] 6 29 2 4 1 3 题号 5 角度2　带电粒子在平行边界磁场中的运动 2．在xOy平面的0≤x<a的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量电子从原点O均匀发射到第一象限内，从磁场右边界射出的电子数占电子总数的三分之二，不计电子间相互作用，则电子在磁场中的临界轨迹可能正确的是(　　) 6 A　　　　　　　 　B　　　　　 　C　　　　　　　　D √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 2 4 1 3 题号 5 D　[根据洛伦兹力提供向心力可得Bqv＝m，可知速率相等的大量电子的运动半径也相等，从原点O均匀发射到第一象限内，从磁场右边界射出的电子数占电子总数的三分之二，可得可以从磁场右边界射出的电子的发射角度范围有90°×＝60°，则根据电子的偏转轨迹和几何关系可得能从右边界射出的电子的发射角度在～；故选D。] 6 2 4 1 3 题号 5 角度3　带电粒子在圆形边界磁场中的运动 3．(2023·金陵中学模拟预测)如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为(　　) A．∶2 B．∶1 C．∶1 D．3∶ 6 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 2 4 1 3 题号 5 C　[相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60°(对应六分之一圆周)的弦PP′的长度必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直径2r1，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系知r1＝R。 其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP′对应的圆弧内。同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示。由几何关系知r2＝＝R，可得r2∶r1＝∶1。因为m、q、B均相同， 由公式r＝可得v∝r，所以v2∶v1＝ ∶1。故选C。] 6 2 4 1 3 题号 5 角度4　带电粒子在三角形、矩形边界磁场中的运动 4．如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d；∠C＝，现垂直于AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度相同的带正电粒子(不计重力)，已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为t0，下列判断正确的是(　　) A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d D．粒子进入磁场时的速度大小为 6 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 2 4 1 3 题号 5 C　[垂直于AC边射出，可知速度偏转角为，则对应的圆心角也等于，依题意有t0∶T＝∶(2π) 解得T＝4t0 故A错误； 根据带电粒子在匀强磁场中的周期公式有 T＝4t0＝ 可得B＝ 故B错误； 6 2 4 1 3 题号 5 在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为t0，依题意其运动轨迹如图所示 因磁场中运动的时间为时间为t0时，对应的圆心角为，即∠EOF＝π 根据几何关系有r cos ∠FOA＋＝d 即r＋r＝d 解得r＝d 故C正确； 根据带电粒子在匀强磁场中圆周运动的轨道半径公式，依题意有r＝d＝ 解得v＝＝ 故D错误。故选C。] 6 2 4 1 3 题号 5 5．如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是(　　) A．粒子带正电 B．粒子在b点速率大于在a点速率 C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出 D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 6 C　[由左手定则知，粒子带负电，A错误；由于洛伦兹力不做功，粒子速率不变，B错误；由R＝， 若仅减小磁感应强度B，R变大，则粒子可能从b点右侧射出，C正确；由R＝，若仅减小入射速率v, 则R变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大；由t＝T, T＝知，运动时间变长，D错误。] √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 2 4 1 3 题号 5 角度5　带电粒子在多边形边界磁场中的运动 6．如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则(　　) A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1 B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2 C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2 6 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 2 4 1 3 题号 5 A　[如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π，当带电粒子的速率为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝，根据qvB＝m，得v＝，故＝＝。由于T＝得T＝，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又 t＝T，所以＝＝。故选项A正确，选项B、C、D错误。] 6 一、思路、方法与突破口 考点3　带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 两种 思路 (1)以定理、定律为依据，首先求出所研究的问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解； (2)直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值 两种 方法 物理 方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值 数学 方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图像法等 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 40 从关键词找突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 41 二、临界极值问题的四个重要结论 1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2．当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 3．当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。 4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点，轨迹对应的偏转角最大。 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 [典例]　如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子的质量为m、电荷量为＋q、速率为v0，不考虑粒子的重力及相互作用。要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，设B0＝。选项A、B、C中的曲线均为半径是L的四分之一圆弧，其中选项A、B的磁感应强度B＝B0，选项C的磁感应强度B＝2B0，选项D中曲线是直径为L的圆，磁感应强度B＝B0。则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可能是(　　) A　　　　 　B　　　　 　C　　　 　D √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 A　[已知磁感应强度B＝B0＝，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝ 解得粒子的轨道半径为rA＝L 如图所示 可知粒子都会聚到一点，故A正确； 已知磁感应强度B＝B0＝， 由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝ 解得粒子的轨道半径为rB＝L 如图所示 可知粒子不会聚到一点，故B错误； 已知磁感应强度B＝2B0＝2，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝ 解得粒子的轨道半径为rC＝ 如图所示 可知粒子不会聚到一点，故C错误； 已知磁感应强度B＝B0＝， 由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝ 解得粒子的轨道半径为rD＝L 如图所示 可知粒子不会聚到一点，故D错误。故选A。] [跟进训练] 角度1　带电粒子在磁场中运动的极值问题 1．(2023·盐城二模)如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹；a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是(　　) A．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短 B．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子 C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率比值为 D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为9∶8 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 C　[由于正电子和负电子的电荷量q和质量m均相等，根据T＝可知四种粒子的周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，由t＝T可知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，故A项错误；由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，故B项错误；可画出四个粒子运动径迹的圆心，如图所示，设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨道半径分别为 ra＝r、 rb＝r，根据qBv＝，可得＝＝，故C项正确；由前述分析可知，运动时间之比为偏转角之比所以＝＝＝， 故D项错误。故选C。] 角度2　带电粒子在磁场中运动的临界问题 2．如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AD边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AD边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的磁感应强度的大小B需满足(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 B　[粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝＝a。由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径r>r0，联立以上各式解得B<，选项B正确。] 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成原因一般包含4个方面： 考点4　带电粒子在磁场中运动的多解问题 类型 分析 图例 带电粒 子电性 不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 51 类型 分析 图例 磁场方向 不确定　　 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 类型 分析 图例 临界状 态不唯一　　 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解 运动具 有周期性　　 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 [典例]　(2023·丹阳校级三模)如图(a)所示，矩形区域ABCD(包含边界)中存在匀强磁场，其中AD＝d，AB＝d，质量为m、电荷量为q的正离子以初速度v从A点沿AB边射入匀强磁场中，规定垂直于ABCD平面向外为磁场的正方向，设匀强磁场的磁感应强度B随时间做周期性变化如图(b)所示，题中m、q、d、v为已知量，B、T未知，求： 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 (1)若磁感应强度B＝，t＝0时刻射入磁场的正离子刚好在t＝T时刻垂直于BC边从E点(图中未标出)离开磁场，求EB间的距离； (2)若磁感应强度B＝，欲使在0～时间内射入磁场的正离子均不能由AD边离开磁场，求磁场的周期T应满足的条件； (3)若磁感应强度B＝，欲使在t＝0时刻射入磁场的正离子垂直于CD边离开磁场，求磁场的周期T。(取sin ＝) 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 [解析]　(1)设正离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，磁场在t＝时刻反向，正离子的运动轨迹如图1所示。 由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得： qvB＝m 解得R＝d EB间的距离EB＝2R＝d。 (2)只要t＝0时刻射入的离子不从AD边离开磁场，那么在0～时间内射入的离子均不能从AD边离开磁场，t＝0时刻射入的离子不从AD边离开的临界条件是：离子的运动轨迹恰好与AD边相切，临界的轨迹如图2所示。 设离子在0～时间内转过的圆心角为θ，由几何关系得 sin (π－θ)＝＝ 解得θ＝π 离子在磁场中运动周期为T0＝＝ 则有T＝T0 联立解得T＝ 因离子在0～时间内转过的圆心角应不大于θ， 故磁场的周期T应满足的条件为T≤。 (3)如图3所示为满足要求的一种可能的离子运动轨迹，正离子在磁场一个周期时间内的轨迹形状均为图3中A到E轨迹形状。 设正离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，周期为T1，0～T内离子运动轨迹对应的圆心角为α，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：qvB＝m 解得r＝ 离子做圆周运动的周期T1＝＝ 又有T＝T1 联立解得T＝ ①若正离子经n个磁场变化的周期后从类似于M、P的位置射出磁场，则需满足： 竖直方向上：r＋2nr·cos (π－α)＋2nr＝d, (n＝0，1，2，3，…) 水平方向上：2nr·sin (π－α)＋r≤d 联立解得n＝2，α＝ 可得T＝； ②若正离子经n个磁场变化的周期后从类似于N、Q的位置射出磁场，则需满足： 竖直方向上：r＋2r·cos (π－α)＋2nr·cos (π－α)＋2nr＝d，(n＝0，1，2，3，…) 水平方向上2nr·sin (π－α)－r≤d 联立解得：n＝2，cos (π－α)＝ 已知sin ＝ 解得α＝ 可得T＝。 [答案]　(1)d　(2)T≤　(3)或 方法技巧　解决多解问题的一般思路 (1)明确带电粒子的电性和磁场方向。 (2)正确找出带电粒子运动的临界状态。 (3)结合带电粒子的运动轨迹，利用圆周运动的周期性进行分析计算。 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 [跟进训练] 角度1　速度方向不确定形成的多解问题 1．如图所示，在荧屏板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧屏板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v＝、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则(　　) A．粒子能打到板上的区域长度为2d B．打到板上的粒子数为N C．从粒子源出发到板的最短时间为 D．同一时刻发射的粒子打到荧屏板上的最大时间差为 √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 B　[粒子受到的洛伦兹力充当向心力，粒子运动的半径R＝＝＝d 粒子运动到荧屏板的两种临界情况如图：设SC垂直于 MN于C点，由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距 离恰好是圆的直径，则左侧最远处A离C距离为d， 右侧离C最远处为B点，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是(＋1)d，选项A错误；根据以上分析可知有一半的粒子能打到板上，粒子源发射粒子的总个数为N，则打到板上的粒子数为N，选项B正确；在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如图：粒子做整个圆周运动的周期T＝＝，由几何关系可知最短时间 t2＝T＝，粒子在磁场中最长时间t1＝T＝，所以Δt ＝t1－t2＝，选项C、D错误。故选B。] 角度2　速度大小不确定形成的多解问题 2．如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直于纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为(　　) A．2BkL B． C． D． √ 链接教材· 夯基固本 细研考点·突破题型 核心素养 课时分层作业 第2节　磁场对运动电荷的作用 B　[因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，即v＝＝Bk·(n＝1，2，3，…)，选项B正确。] 核心素养9　科学思维——“动态圆”模型在电磁学中的应用 应用动态圆解决问题的要点 1．临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。 2．解题步骤 分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形 第2节　磁场对运动电荷的作用 3．常见的几种临界情况 (1)直线边界 最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切。 最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图所示，P为入射点，M为出射点。 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 (2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： ①当运动轨迹圆的半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大。 ②当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大。 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 模型1　“放缩圆”模型的应用 适用 条件 速度方向一定，大小不同　 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆 圆心共线　 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)， 速度v越大，运动半径也越大。可以发现这 些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的 圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 [示例1]　如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面 向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷 量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入 该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒 子运动的说法不正确的是(　　) A．若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝ C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝ D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为 √ 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 C　[若粒子射入磁场时速度为v＝，则由qvB＝m 可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝，所以v＝，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(＋1)l，故其最大速度为v＝，选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的 时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最 长时间应为t＝，选项D正确。] 模型2　“旋转圆”模型的应用 适用 条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带 电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做 匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度 为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示 轨迹圆 圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 [示例2]　(2023·南通四模)如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点、半径分别为2a和4a的半圆盒N1N2和M1M2围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为＋q的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度几乎为0，经电场加速后沿M1N1的中垂线从极板上的小孔P射入磁场后打到荧光屏N2M2上。已知加速电压为U0(未知)时，粒子刚好打在荧光屏的中央。不计粒子的重力和粒子间相互作用，打到半圆盒上的粒子均被吸收。 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 (1)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的最大值Um； (2)由于粒子进入磁场时速度方向在纸面内偏离SP方向，加速电压为U0(未知)时，其中有粒子打到荧光屏N2点右侧0.8a处的Q点(图中未画出)，求该粒子进入磁场时速度与SP方向夹角α的余弦值cos α； (3)由于粒子进入磁场时速度方向在纸面内偏离SP方向，求加速电压为U0(未知)时，荧光屏N2M2上有粒子到达的最大区间长度L。 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 [解析]　(1)当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为4a的半圆盒在M2点相切时，加速电压有最大值Um， 粒子在磁场中运动的半径有最大值，设为rm，如图1所示。则rm＝ 设粒子在磁场中运动的最大速度为v1，根据动能定理有qUm＝ 粒子在磁场中做圆周运动时， 根据牛顿第二定律有qv1B＝ 联立解得Um＝。 (2)设荧光屏N2M2的中点为C，加速电压为U0时粒子在磁场中的运动轨迹如图2所示，由题意可知该粒子的运动半径为r0＝3a 设粒子进入磁场速度方向偏离SP方向的夹角为α，粒子打在荧光屏上的Q点，轨迹圆心为O1，如图2所示，因为加速电压U0不变，则粒子进入磁场的速度大小不变，根据r＝，可知其运动半径仍为r0，根据几何关系有2r0cos α＝5a＋0.8a 解得cos α＝。 (3)由题意，加速电压仍为U0，粒子在磁场中的运动半径不变，则沿M1N1中垂线方向射入的粒子到达屏上的C点为粒子能打到荧光屏上最右侧的点。当粒子速度方向偏离SP方向的夹角为θ时，粒子打在荧光屏上的点A，其轨迹与磁场外边界相切，切点为D，圆心为O2，如图3所示。 由几何关系得 OO2＝4a－3a＝a，PO2＝PO＝3a 根据余弦定理有cos θ＝ 解得cos θ＝ 则 PA＝2PO2cos θ 解得PA＝ 当粒子速度方向偏离SP方向的夹角为β时，粒子打在荧光屏上的点A′，其轨迹与磁场内边界相切，切点为D′，圆心为O2′，如图4所示。 由几何关系得 OO2′＝3a－2a＝a，PO2′＝PO＝3a 根据余弦定理有cos β＝ 解得cos β＝ 则 PA′＝2PO2′cos β 解得PA′＝ 可知A与A′重合，该点为粒子打在光屏上最左侧的点， 则最大区间长度为L＝PC－PA＝6a－＝。 [答案]　(1)　(2)　(3) 模型3　“平移圆”模型的应用 适 用 条 件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝， 如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 [示例3]　如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑离子间的相互作用，则离子经过磁场的区域(阴影部分)可能的是(　　) A　　　　　　　 　　　　　B   C　　　　　　 　　　　　　D √ 核心素养 课时分层作业 细研考点·突破题型 链接教材· 夯基固本 第2节　磁场对运动电荷的作用 C　[离子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示 粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。] $$