4.3.2 第2课时 换底公式-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

第2课时　换底公式 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：设log35＝x，则3x＝5, 两边取对数得 lg 3x＝lg 5，∴x lg 3＝lg 5，∴x＝． 探究问题2　提示：依据当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x推导得出． 令＝x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax， ∴x＝logab，∴logab＝． 新知生成　2．(3)logad 典例讲评　1．解：根据对数的换底公式，得 (1)log4＋log23－log0.5 ＝＋log23－ ＝log2＋log23－log25 ＝log2＝log21＝0． (2)(log32＋log23)2－－ ＝－－ ＝＋＋2－－＝2． 学以致用　1．解：(1)原式＝·＝·＝·＝． (2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝＋log52)＝log25·3log52＝×3＝13． 探究2 典例讲评　2．解：(1)∵3x＝4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436． ∴＝＝＝2log363＝log369， ＝＝＝log364． ∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1． (2)因为2b＝3，所以b＝log23，则log32＝． 所以log1456＝＝ ＝＝＝． 学以致用　2．(1)　(2)　[(1)log1221＝＝＝＝． (2)∵3a＝5b＝c，∴c>0， ∴a＝log3c，b＝log5c， ∴＝logc3，＝logc5， ∴＋＝logc15． 由logc15＝2得c2＝15， 即c＝．] 探究3 典例讲评　3．B　[将信噪比从1 000提升至5 000，C大约增加了 ＝＝≈＝＝≈0.233， 所以C大约增加了23%．故选B．] 学以致用　3．B　[设第x代种子的数量为15x-1，由题意得15x-1105，得xlog15105＋1． 因为log15105＋1＝＋1＝＋1＝＋1≈5.2， 故种子数量首次不少于10万粒的是第6代种子．故选B．] [应用迁移] 1．ABC 2．B　[log36＝＝＝．] 3．D　[log832＝＝＝． 故选D．] 4．A　[设兔子由一万只增长到一亿只需要x期， 则1042x＝108，所以2x＝104，得x＝log2104＝＝≈≈13.3． 因为13.3×21≈279(月)≈23(年)． 故选A．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十三) 1．B　2．A　3．B　4．D　5．AB 6．81　7.1　8.64 9．解：(1)100a＝4⇒a lg 100＝lg 4⇒2a＝lg 4，10b＝25⇒b＝lg 25，则2a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2． (2)原式＝+2+－log325·log23 ＝＋2－－5＝－1． 10．B　[由题意可得10＝v0ln ，其中m1＝2m2， 则10＝v0ln ≈v0(ln 3－ln 2)≈0.4v0，解得v0≈25．故选B．] 11．BD　[对于A，当M＝2时，lg E＝4.8＋1.5×2＝7.8，解得E＝107.8，A错误； 对于B，当E＝109.3时，9.3＝4.8＋1.5M，解得M＝3，B正确； 对于C，令9级地震释放的能量为E1，8级地震释放的能量为E2， 则lg ＝lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9)－(4.8＋1.5×8)＝1.5，于是＝101.5>10，C错误； 对于D，释放的能量为E0，对应的震级为M0，释放的能量为1 000E0，对应的震级为M′， 则lg E0＝4.8＋1.5M0，且lg 1 000E0＝4.8＋1.5M′，两式相减得1.5(M′－M0)＝3，解得M′－M0＝2，D正确．故选BD．] 12．AD　[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0，且k≠1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k， 对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得＋＝2，因为＋＝＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误； 对于选项C，＋＝＋＝2logk4＋logk6＝logk96，＝＝2logk9＝logk81，故≠＋，即C错误；对于选项D，－＝－＝2logk6－logk4＝logk9，＝＝logk9，故＝－，即D正确．故选AD．] 13．A　[因为Q＝＋1，当Q＝6时，T＝60， 所以6＝＋1，解得λ＝12，设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2， 则K2－K1＝12log3(6n)－12log3n＝12log36＝12×≈12×＝19.5(天)． 故选A．] 14．解：设至少需要过滤n次， 则0.02×＝0.001，即＝． 所以n lg ＝lg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20， 即n＝＝≈7.4． 又n∈N，所以n≥8． 所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求． 15．解：(1)由换底公式， 得logax＋－＝3(a>1)， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3． 当x＝at时，logax＝logaat＝t， 所以logay＝t2－3t＋3． 所以y＝ ( t≠0)． (2)由(1)可知y＝， 因为0<t≤2，a>1， 所以当t＝时，ymin＝＝8． 所以a＝16，此时x＝＝6 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十三)　换底公式 一、选择题 1．的值是(　　) A．1 B． C． D．2 2．已知a＝log23，则用a的代数式表示log38－log26＝(　　) A．－1－a B．2a－1 C．－1＋a D．4a－1 3．(2022·天津高考)化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 4．已知2x＝3y≠1，则＝(　　) A．lg B．lg C．log32 D．log23 5．(多选)已知2a＝5b＝m，现有下面四个命题，其中正确的是(　　) A．若a＝b，则m＝1 B．若m＝10，则＋＝1 C．若a＝b，则m＝10 D．若m＝10，则＋＝ 二、填空题 6．若logab·log3a＝4，则b＝________． 7．已知2m＝3n＝6，则＝________． 8．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 三、解答题 9．化简求值(需要写出计算过程)： (1)若100a＝4，10b＝25，求2a＋b的值； (2)＋eln 2＋－log332·log23． 10．单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v＝v0·ln ．其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量．v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为10 km/s．则火箭发动机的喷气速度约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4) A．15 km/s B．25 km/s C．35 km/s D．45 km/s 11．(多选)研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　) A．震级为2级的地震释放的能量为106.8焦耳 B．释放的能量为109.3焦耳的地震震级为3级 C．9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍 D．释放的能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级 12．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ 13．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用K(n)＝λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝＋1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q＝6，T＝60．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为(结果保留一位小数．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．19.5天 B．20.5天 C．18.5天 D．19.0天 14．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤多少次？(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 15．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)． (1)若设x＝at，试用a，t表示y； (2)在(1)的条件下，若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和x的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　换底公式 [学习目标]　1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理) 2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算) [讨论交流]　预习教材P125－P126，并思考以下问题： 问题1．换底公式是如何表述的？ 问题2．如何证明换底公式？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　对数的换底公式 探究问题1　通过上一课时的学习，我们知道lg 15＝lg 3＋lg 5，即lg 15可以用lg 3，lg 5表示．能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab＝？说出你的理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． ＝logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝_______(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)计算： (1)log4＋log23－log0.5； (2)(log32＋log23)2－－． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 [学以致用]　1．求值： (1)(log43)·； (2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　对数运算中的条件求值问题 [典例讲评]　2．(1)若3x＝4y＝36，求＋的值； (2)已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． [学以致用]　2．(1)已知log23＝a，log27＝b，则log1221＝________．(用含a，b的代数式表示) (2)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为________． 探究3　实际问题中的对数运算 [典例讲评]　3．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　) A．20% B．23% C．28% D．50% [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． [学以致用]　3．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．第5代种子 B．第6代种子 C．第7代种子 D．第8代种子 1．(多选)下列等式正确的有(　　) A．log34＝ B．log34＝ C．log34＝ D．log34＝ 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　) A． B． C． D． 3．化简log832的值为(　　) A． B．2 C．4 D． 4．一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗)．那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要(附：lg 2≈0.3)(　　) A．23年 B．22年 C．21年 D．20年 1．知识链：(1)换底公式； (2)对数的实际应用． 2．方法链：换底公式、转化法． 3．警示牌：要注意对数的换底公式的结构形式． 指数的换底公式 很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在3根金针上移动”)都涉及264这个数． (1)你能用64个2相乘算出它的值吗？ (2)你会用计算器得出它的结果吗？ (3)如果恰好你手头没有计算器，又需要你马上估计出它的值，你有什么办法？ 分析　(1)如果你愿意不厌其烦地计算，可以得出 264＝18 446 744 073 709 551 616． (2)使用科学计算器，可以算出 264≈1.844 674 407×1019． (3)若把264换成以10为底的幂，则便于估计它的值．怎么转换呢？ 根据指数函数的性质，对于数2一定存在唯一的常数α，使得2＝10α(如图)．由对数的概念，得 α＝lg 2． 因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．也就是说，264是1019和1020之间的数． 一般地，对于任意不为1的正数a和b，有a＝，所以对任意的实数α，都有 aα＝． 这就是指数的换底公式． 例如，可以用上述公式把以3为底的幂转换为以10或以e为底的幂： 35＝105lg 3，35＝e5ln 3． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 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