第三章 图形的相似知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

第三章 图形的相似知识归纳与题型突破（题型清单） 一、比例的性质 1．，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．(反比定理)； 3．(或)(更比定理)； 4．(合比定理)； 5．(分比定理)； 6．(合分比定理)；7．(等比定理). 二、 黄金分割 如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比． 三、平行线分线段成比例定理 1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，，则． 特别的，“”字型，“”字型．则有 ． 四、相似三角形的定义 1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形． 如图，与相似，记作，符号读作“相似于”． 2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比； 全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。 五、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似。 3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。 【注意】1．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 3．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 六、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，与相似，则有． 2．相似三角形的对应边成比例 如图，与相似，则有（为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）． 如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）． 如图，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得． 七、位似 1．定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。 题型一　成比例线段 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，那么等于 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆·开学考试）若，则 ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）若，则的值为 ． 3．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是 ． 题型二　黄金分割 例题：（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知线段的长为1，点P是的黄金分割点，则的长是 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）线段，为的黄金分割点，且，则 ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 题型三　平行线分线段成比例 例题3-1：（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为 ． 例题3-2：（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，则 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，则 ．    2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，，若，，，则的长是 ． 4．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 题型四　相似图形 例题：（23-24九年级下·江苏淮安·开学考试）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为，若，则 ． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为 ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一个四边形边长为3，4，5，6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是 ． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 5．（2024·广东·一模）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 题型五　相似三角形的判定与性质 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的边长为，点分别在边上，平分连接，分别交于点，，且，有下列四个结论：①垂直平分；②；③；④若点是边上的一个动点，则的最小值为，其中正确的有 ．    巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，为上一点，，，，则 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ． 4．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 5．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为 6．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与相似． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为 ． 9．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 10．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，D，E，F分别是的边上的点，． (1)求证：． (2)若，，求和． 11．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，动点以2cm/s的速度从向移动，（不与B重合），动点以4cm/s的速度从向移动，（不与C重合），若、同时出发，设运动时间为t秒． (1)求当时，t的值； (2)经过几秒后，与相似？ 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长与的延长线相交于点，若， ①求证：； ②直接写出的值． 13．（九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设． (1)求证：； (2)当P也是边中点时，求的值； (3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值； (4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由． 14．（2024九年级上·河北·专题练习）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明． 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、D是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，为等腰直角三角形，是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接． (1)①猜想图1中线段的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． (2)将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，正方形改为矩形，如图4，且，交于点H，交于点O，连接，求的值． 16．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 题型六　相似三角形的应用 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·期末）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，求建筑物的高 2．（九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米． (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 5．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 6．（23-24八年级下·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度． 7．（23-24八年级下·山东济南·期末）某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 8．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，（，），小明在距离树的B处（），看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 题型七　位似 例题7-1：（2023·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 例题7-2：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 例题7-3：（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在正方形格纸中． (1)请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，并写出点B坐标； (2)以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点A的对应点的坐标； (3)若线段绕原点O旋转后点B的对应点为，写出点的坐标． 巩固训练 1．（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，将以点O为位似中心放大后得到，若，则与的相似比为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（江西省2023-2024学年九年级上学期期末综合测评联考数学试题）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为。 (2)证明和相似． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的相似知识归纳与题型突破（题型清单） 一、比例的性质 1．，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．(反比定理)； 3．(或)(更比定理)； 4．(合比定理)； 5．(分比定理)； 6．(合分比定理)；7．(等比定理). 二、 黄金分割 如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比． 三、平行线分线段成比例定理 1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，，则． 特别的，“”字型，“”字型．则有 ． 四、相似三角形的定义 1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形． 如图，与相似，记作，符号读作“相似于”． 2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比； 全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。 五、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似。 3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。 【注意】1．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 3．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 六、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，与相似，则有． 2．相似三角形的对应边成比例 如图，与相似，则有（为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）． 如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）． 如图，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得． 七、位似 1．定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。 题型一　成比例线段 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，那么等于 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题关键．根据，可设，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆·开学考试）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）若，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．根据等式用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：7 3．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 设，则，代入原式化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 设， 则， ∴， 故答案为：． 题型二　黄金分割 例题：（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知线段的长为1，点P是的黄金分割点，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，分两种情况当时或当时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵线段的长为1，点P是的黄金分割点， ∴当时，， 当时，，， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）线段，为的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可． 【详解】解：如图， 线段，为的黄金分割点且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，， ∴ ∴， ∴支撑点C，D之间的距离为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 题型三　平行线分线段成比例 例题3-1：（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E，则垂直于直线b，再由题意可得，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：如图所示，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E， ∵，垂直于直线c， ∴垂直于直线b， ∵a与b的距离为3，b与c的距离为5， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 例题3-2：（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，则 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：6． 2．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，，若，，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出，则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作交的延长线于点，证明出，然后由得到，然后等量代换得到，然后代数求解即可． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 则， 平分， ． 故答案为：． 题型四　相似图形 例题：（23-24九年级下·江苏淮安·开学考试）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似图形的性质，由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意熟记定理是关键． 【详解】解：∵两个相似图形的周长比为， ∴其相似比为， ∴其面积比为， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【详解】解：五边形五边形相似比为． ， ， ． 故答案为：6 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，根据矩形矩形列出比例式，求出的值即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，如图， 则，，， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一个四边形边长为3，4，5，6，与它相似的四边形最小边长为4，那么这个相似四边形的周长是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，因而最长的边一定是对应边，最短的边一定也是对应边．先求出已知四边形的相似比，再列式求解即可． 【详解】解∶ 两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为4， 则相似比是， 根据相似四边形的周长的比等于相似比，设后一个四边形的周长的长为x， 则， 解得：． 即后一个四边形的周长的长为24． 故答案为∶24． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的周长为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出． 【详解】解：正方形的周长为4， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为：8． 5．（2024·广东·一模）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为. 故答案为：． 题型五　相似三角形的判定与性质 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的边长为，点分别在边上，平分连接，分别交于点，，且，有下列四个结论：①垂直平分；②；③；④若点是边上的一个动点，则的最小值为，其中正确的有 ．    【答案】①②④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，三角形的面积，证明，得，进而可得，，进而证明，得到，即可判断①；连接，证明得到，可得四边形在以为直径的圆上，进而可得，得到，即得，进而由得，即可判断②；延长至，使，过点作于点，则点与点关于对称，连接交于点，此时点使取最小值，即为的长，证明可得，又利用正方形的性质可得，即得，进而得，，利用勾股定理得，据此即可判断④；利用三角形面积公式可得，即可判断③；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中'， ， ∴， ∴， ∴垂直平分，故①正确； 连接，如图，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 延长至，使，过点作于点，如图，则点与点关于对称，    连接交于点，此时点使取最小值，即为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴的最小值是，故④正确； ∵，， ∴，故③错误； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，能通过构造辅助线构造相似三角形是解决本题的关键．过点作于点，交于点，求出，证，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，为上一点，，，，则 ． 【答案】 【分析】题考查了相似三角形的判定与性质，由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） 故答案为： 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，如图，设交于点，可得，进而得，即得，得到，再由得到，设，则，，可得，即得，得到，再代入代数式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据等腰三角形性质可知，，再根据可知，结合，可得，最后根据即可求得的长． 【详解】解：为等边三角形，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 5．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出，再证明，得到，进而证明，得到，代入已知即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：和是对应边时，， ， 即， ， 和是对应边时，， ， 即， ， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，点P为边的中点， ∴，， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 9．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)15 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键． （1）利用“一线三直角”即可证明； （2）由，求出和的长，利用求出的长度，再由求出的长度，即可求出的长． 【详解】（1）解： 四边形为正方形， ， ， ， ， ∴； （2）解：四边形为正方形， ，， ， ， 设， ∵， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，D，E，F分别是的边上的点，． (1)求证：． (2)若，，求和． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）通过两组平行，得到对应角相等，即可证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出比例式即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ，，， ， ； （2）解：， ， 又，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，动点以2cm/s的速度从向移动，（不与B重合），动点以4cm/s的速度从向移动，（不与C重合），若、同时出发，设运动时间为t秒． (1)求当时，t的值； (2)经过几秒后，与相似？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键． （1）求出运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当t的值为秒时，； （2）解：设秒后与相似，则，，， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 即经过秒或秒后，与相似． 故答案为：或． 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，并延长与的延长线相交于点，若， ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用证明，即可得出结论； （2）①根据正方形的性质，证明，得， 即，由（1）证得，即可得到； ②设，，则，根据，列出方程，解得，进而解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，由旋转的性质，得，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①由旋转的性质可得，， 是等腰直角三角形， ， ， 在正方形中，， ，， ， ， ， 即， 由（1）证得， 又， ， ， ②设，，则， ， 整理得， ， 解得（负值舍去）， 即， ， ． 13．（九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设． (1)求证：； (2)当P也是边中点时，求的值； (3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值； (4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2或5 (4)相等，理由见解析 【分析】（1）先证明，再由，即可证出； （2）当P是的中点时，，由，由相似三角形对应边成比例即可得出结论； （3）分两种情况：当时，则，得出四边形为矩形．求出，即；当，且时，先求出，得到 ，再由勾股定理得出的长，再得出的长，根据相似三角形的性质求出的长，即可得出结论； （4）先证明，求出、，再证明，即可得出． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴； （2）当P是的中点时，． ∵， ∴，即， ∴； （3）分两种情况： ①当，且时，则有， ∴四边形为矩形， ∴，即． ②当，且时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点F为的中点． ∵， ∴ ，即， ∴， ∴，即； ∴满足条件的x的值为2或5； （4）．理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 14．（2024九年级上·河北·专题练习）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明． 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、D是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】② 【分析】（1）作，交的延长线于E，可证得，因此，再证，从而得出； （2）延长至T，使，连接，可证得，，进而证得，进而证得，进一步得出结果； （3）延长至Q，使，连接，作，交的延长线于D，由得出，由平分得出，不妨设，，则，由得出，进而得出． 【详解】（1）证明：如图1，    作，交的延长线于E， ，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如图2，        延长至T，使，连接，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，    延长至Q，使，作， ， ， 平分， ， 不妨设，， 由上知：， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，为等腰直角三角形，是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接． (1)①猜想图1中线段的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． (2)将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，正方形改为矩形，如图4，且，交于点H，交于点O，连接，求的值． 【答案】(1)①，；，仍然成立，证明见解析 (2) 【分析】（1）①结论：，；只要证明，推出，，即可得出结论； ②证推出，即可得出结论； （2）证得，推出，由勾股定理得，在和中，求得，，即可求解． 【详解】（1）①解：，； 理由：如图1中，延长交于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ②，仍然成立， 证明：如图2中， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由垂直平分，则，，根据等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （）过作交延长线于点，连接，证明，，然后根据性质即可求证； （）取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，通过全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 题型六　相似三角形的应用 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·期末）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，则，，证明，则，即，可求，同理，则，即，可求，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴真身宝塔的高度为米． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，求建筑物的高 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵标杆高为，测得， ∴， 解得，， 即建筑物的高是． 2．（九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米． (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1) (2)，可多次测量，取测量数据的平均值 【分析】本题考查相似三角形的应用； （1）根据相似三角形的对应边成比例的建立方程，解出长，然后计算即可． （2）根据有理数的减法计算，然后提出减小误差的方法即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 解得， 答：大雁塔的高度 为 米. （2）误差为(米). 减小误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值(合理即可). 4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 5．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】(1)旗杆的高度约为10米 (2)不可以．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用： （1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可； （2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度． 【详解】（1）解：由题意，可知． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴（米）． 答：旗杆MN的高度约为10米． （2）解：不可以． 理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可） 6．（23-24八年级下·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度． 【答案】． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用及矩形的判定及性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，由是水平线，都是铅垂线，则四边形是矩形，四边形是矩形，如图， ，，， ， 又根据题意，得，， ， ，即， 解得：， ， 答：这棵树的高度为． 7．（23-24八年级下·山东济南·期末）某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】真身宝塔的高度为48米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 答：真身宝塔的高度为48米． 8．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，（，），小明在距离树的B处（），看树的顶端D的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 【答案】树的高度为10.3米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过点作于点，延长交于点，则，证明，可得，求得，进而可求得． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则， ，，， 四边形，四边形是矩形． ，，， ， ， ， ， ，即， 解之，得． ， 答∶树的高度为1 0.3米． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 【答案】咸阳奥体中心的高度为50． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题意得：，，， ， ，， ， ， ， 解得：， 善咸阳奥体中心的高度为50． 题型七　位似 例题7-1：（2023·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键． 根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长：四边形的周长， ∵四边形的周长是8， ∴四边形的周长为28， 故答案为：28． 例题7-2：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标． 【详解】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为． 故答案为：． 例题7-3：（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在正方形格纸中． (1)请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，并写出点B坐标； (2)以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点A的对应点的坐标； (3)若线段绕原点O旋转后点B的对应点为，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)或 【分析】该题主要考查的知识点是：利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键，是个基础型的题目． （1）以与A点左边相距2个单位长的格线所在的直线为y轴，以与A点下方3个单位长的格线所在的直线为x轴，两直线交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，即可得到B的坐标； （2）连接并延长使，连接并延长使，连接并延长使，连接，可得为所求的三角形； （3）画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示， 由图形可得：； （2）解：如图所示：即为所求，由图形可得：； （3）解：若线段绕原点O顺时针（或逆时针）旋转后点B的对应点为（或）， 则点的坐标为或． 巩固训练 1．（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，将以点O为位似中心放大后得到，若，则与的相似比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵以点O为位似中心放大后得到， ∴， ∴与的相似比为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若 ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：D． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似变换的概念是解题的关键，利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或进行求解即可． 【详解】解：∵点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或 ∴点的坐标为或， 故选：D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查坐标与位似，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标关系，是解题的关键．根据位似比等于相似比，分位似图形在原点的同侧和异侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：相似比为， 位似比为， 当位似图形在原点的同侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 当位似图形在原点的异侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 综上：的坐标为或； 故选：B． 6．（江西省2023-2024学年九年级上学期期末综合测评联考数学试题）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为。 (2)证明和相似． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据和位似，且位似比为作出图形即可； （2）利用相似三角形的判定定理，结合勾股定理，证明即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ； （2）证明：小正方形边长为1， ，，，，，， ，，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$