专题训练：相似综合问题精练-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

相似综合问题 一线三等角及旋转相似 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，将矩形折叠，使点落到边上的中点处，折痕为，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题： (1)如图1，若M是边上的中点且，求的值； (2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积． 3．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________． 4．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 5．（2024·湖北襄阳·一模）某数学兴趣小组开展矩形的折叠实验探究，折叠矩形的一边，使点落在点处，折痕为． (1)如图1，当点恰好在边上时，证明：． (2)将矩形的边折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①如图2，当点恰好在边上时，若，连接，试判断的形状，并说明理由． ②如图3，当点在矩形内部时，若．点是的中点，求的长 6．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 相似中的动点问题 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝ s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 3．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为 秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似． 4．如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3 cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为 s． 5．.如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．当t=   秒时△APQ与△ABC相似. 平面直角坐标系中的相似 1．如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在直角坐标系中，点，点，过点的直线垂直于线段，点是直线上在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为，把沿翻折，使点落在点处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为 ．    3．（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，直线 与坐标轴分别相交于点 A，B，点C 在射线上，点 D 在射线上，且，将沿直线翻折得到，连接．若则的长为 ． 4．（23-24九年级上·重庆·自主招生）如图1，菱形的顶点C的坐标为，D为上一点，连接，，，与相交于点E，取的三等分点F（），连接并延长，交于点G，已知，反比例函数（）经过D，G两点，则k的值为 ． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，． (1)如图1， 求 k值； (2)如图2，点 C在 y轴正半轴上，，过点C作的垂线交x轴于点 D，点 E为垂足， 点 P在的延长线上，点P 的横坐标为t，连接，， 的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点 F在上， 连接，，若，求t值 ． 相似的最值、定值问题 1．如图，在菱形中，过点D作交对角线于点E，连接，点P是线段上一动点，作P关于直线的对称点，点Q是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 ． 2．如图，在等边三角形中，，在边上取一点，连接，，为边上一动点，于点，于点，连接，则长度的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，点是上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接．若，则的最小值是 ． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，点P为线段上一动点（不与点C，D重合），连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P且与垂直的直线于点Q． （1）连接，则的度数是 ； （2）连接，则周长的最小值是 ． 6．在中，，，．点D在边上，，垂足为E，，如图1，将绕点B顺时针旋转，连结，在上方作，的边与交点为F，连接，延长交于点M，如图2，在旋转的过程中，线段的最小值是 ． 7．【问题探究】 （1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ； （2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值； 【问题解决】 （3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在上截取．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）． 8．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求出的度数； (2)如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 相似与几何综合题 1．如图，有一正方形，边长为4，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，的值为 ． 2．如图 (1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； (2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 3．（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点为的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长． 5．（2023·广东清远·二模）在等腰中，，等腰的直角顶点P是边上的一个动点，斜边交所在的直线于点Q，连接． (1)如图1，当时，①与的关系是__________；②推断：与的位置关系是__________． (2)当点P在线段上运动时，上述结论是否成立？请说明理由． (3)如图2，过点D作交的延长线于点C，过点E作交于点H，已知，，求的面积． 6．（2024·湖北恩施·模拟预测）综合与实践： 中，，点D是的中点，点E是线段上一点（不与B、D重合），交于点F，点M是的中点，连接． 【初步思考】（1）如图1，若，连接．求证：是等腰直角三角形； 【实践探究】（2）在（1）的条件下，当等于多少时，． 【拓展延伸】（3）如图2，点E是的中点，在线段上截取 ，连接，试探究四边形的形状． 7．（2024·安徽·模拟预测）如图，在菱形中，为边的中点，连接交延长线于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图1，证明：点为线段的三等分点； (3)如图2，连接交于点，若，，求的长． 8．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图，在中，点E在边上，连接交于点F，若，． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点M在上，作交的延长线于点，若，，求的长； (3)如图3，点G在上，连接，若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似综合问题 一线三等角及旋转相似 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，将矩形折叠，使点落到边上的中点处，折痕为，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，相似三角形的判定及性质，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， 又是的中点， ， 在中， ， ， 解得：． 故选：A． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题： (1)如图1，若M是边上的中点且，求的值； (2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或5 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质，可证明，进而求得，根据，即可求解； （2）过点作交延长线于，过点作延长线于，延长交于，可证，，得，，则，，再根据是的三等分点，可知，或，，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 则 ∵是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 则， ∴； （2）过点作交延长线于，过点作延长线于，延长交于， 则四边形是矩形，，，， ∵，，则 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴，则 ∵是的三等分点， ∴，或，， 当，时，，则， ∵，即：， ∴，， 则 ； 当，，时，，则， ∵，即：， ∴，， 则 ； 综上，的面积为或5． 3．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 (3) 【分析】（1）证明，根据旋转得出，，即可证明； （2）①根据M，N分别为边与的中点．得出，证明，即可得．由旋转可知，，证明，即可证明． ②分为当点G在线段上时，和当点G在线段延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）取中点P，连接，根据三角形中位线定理得出．．再结合，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴．     由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：①证明：如图3， ∵M，N分别为边与的中点． ∴， ∴， ∴． 由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在与中， ∵， ∴． ②解：如图4，当点G在线段上时， ∵在中，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图5，当点G在线段延长线上时， 同理可得，． （3）解：取中点P， ∵K为中点，连接， ∴． ∵H为中点， ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． 4．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】(1)；； (2)没有变化，证明见解析； (3)． 【分析】（）利用等腰三角形的性质判断出， ，进而得出，得出，即可得出结论； 同的方法，即可得出结论； （） 利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论； （）判断出点在的延长线上时，最大，再求出 ，即可得出结论； 此题是考查了旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，的大小没有变化； 证明：在中， ∵，， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为， 在中，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·湖北襄阳·一模）某数学兴趣小组开展矩形的折叠实验探究，折叠矩形的一边，使点落在点处，折痕为． (1)如图1，当点恰好在边上时，证明：． (2)将矩形的边折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①如图2，当点恰好在边上时，若，连接，试判断的形状，并说明理由． ②如图3，当点在矩形内部时，若．点是的中点，求的长 【答案】(1)见解析 (2)①为等腰直角三角形，理由见解析；② 【分析】（1）由题意可得，推出即可求证； （2）①由题意可得是等腰直角三角形，进一步得是等腰直角三角形；证即可求证；②延长交于点，连接，可证；设，则，根据解得：；设，则，根据解得：；据此即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得： ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：①为等腰直角三角形，理由如下： 由题意得： ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ 由（1）得： ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形 ②延长交于点，连接，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得：； ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得：； ∴ 6．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 相似中的动点问题 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 【答案】5或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，能与相似． ∵， ，点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒， ∴，，， 当时，则即， 解得； 经检验，是方程的根； 当时，则即， 解得，； 经检验，，都是方程的根； 但是舍去， 故， 故答案为：5或． 2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝ s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 【答案】s或 【分析】先用t表示出AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当时，△BPQ∽△BAC或当时，△BPQ∽△BCA，然后利用比例线段得到关于t的方程，再解方程求出t即可． 【详解】解：如图，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t， ∵∠PBC＝∠ABC， ∴当时，△BPQ∽△BAC， 即，解得t＝， 当时，△BPQ∽△BCA， 即，解得t＝， 即当t＝s或s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 故答案为∶s或． 3．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为 秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似． 【答案】1或 【分析】分两种情形：①如图，当△PFE∽△EAD时，②如图，当△EFP∽△EAD时，分别求解即可． 【详解】解：①如图，当△PFE∽△EAD时， ∴∠ADE=∠FEP， ∴AD∥PE， ∴PE⊥CD， ∴四边形AEPD是矩形， ∵四边形ABCD是正方形，E是AB的中点， ∴t=DP=AE=1； ②如图，当△EFP∽△EAD时， ∴∠ADE=∠FPE，∠AED=∠FEP， ∵DC∥AB， ∴∠AED=∠CDE， ∴∠FEP=∠CDE， ∴PD=PE， ∴PF是DE的垂直平分线， ∴F为DE中点， DE=， EF=DF=DE=， ∵， 即， 解得t=DP=， 综上所述，满足条件的t的值为1s或s． 故答案为：1或． 4．如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3 cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为 s． 【答案】1.5或2.4 【分析】先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在． 【详解】因为四边形ABCD是矩形，得△ADC是直角三角形，CD=AB， 所以，, 由题意得DN＝2t，AN＝6﹣2t，AM＝t， 若△NMA∽△ACD， 则有＝，即＝， 解得t＝1.5秒， 若△MNA∽△ACD 则有＝，即＝， 解得t＝2.4秒， 答：当t＝1.5秒或2.4秒时，△AMN与△ACD相似． 故答案为：1.5或2.4． 5．.如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．当t=   秒时△APQ与△ABC相似. 【答案】 或 【分析】分两种情况进行讨论：①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值；②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值即可. 【详解】∵∠C=90°，BC=8，AC=6 ∴ ∴， ①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC 则 ∴ 解得： ②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC 则 ∴ 解得： 故填：或. 平面直角坐标系中的相似 1．如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形相似是解决问题的关键．证明，利用相似比可得，设E点坐标为，则F点的坐标为，由于，得到，然后根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：作轴于P，轴于C，轴于D，轴于H，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 设E点坐标为，则F点的坐标为， ∴ ∵， 而， ∴． 故选：C． 2．如图，在直角坐标系中，点，点，过点的直线垂直于线段，点是直线上在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为，把沿翻折，使点落在点处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】求出直线l的解析式，证出△AOB∽△PCA，得出，设AC=m（m＞0），则PC=2m，根据△PCA≌△PDA，得出 ，当△PAD∽△PBA时，根据，，得出m=2，从而求出P点的坐标为（4，4）、（0，-4），若△PAD∽△BPA，得出，求出，从而得出，求出，即可得出P点的坐标为． 【详解】∵点A（2，0），点B（0，1）， ∴直线AB的解析式为y=-x+1 ∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB， ∴直线l的解析式为；y=2x-4，∠BAO+∠PAC=90°， ∵PC⊥x轴， ∴∠PAC+∠APC=90°， ∴∠BAO=∠APC， ∵∠AOB=∠ACP， ∴△AOB∽△PCA， ∴， ∴， 设AC=m（m＞0），则PC=2m， ∵△PCA≌△PDA， ∴AC=AD，PC=PD， ∴， 如图1：当△PAD∽△PBA时，    则， 则， ∵AB=， ∴AP=2， ∴， ∴m=±2，（负失去） ∴m=2， 当m=2时，PC=4，OC=4，P点的坐标为（4，4）， 如图2，若△PAD∽△BPA，    则， ∴， 则， ∴m=±，（负舍去） ∴m=， 当m=时，PC=1，OC=， ∴P点的坐标为（，1）， 故答案为：P（4，4），P（，1）． 3．（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，直线 与坐标轴分别相交于点 A，B，点C 在射线上，点 D 在射线上，且，将沿直线翻折得到，连接．若则的长为 ． 【答案】或 【分析】求出点 A，B的坐标，翻折，推出四边形为菱形，进而得到，设交轴与点，分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线 与坐标轴分别相交于点 A，B， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴的横坐标相同， 设交轴与点， 当点在线段上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时： ∵ ∴， ∴点为的中点， ∴，， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·重庆·自主招生）如图1，菱形的顶点C的坐标为，D为上一点，连接，，，与相交于点E，取的三等分点F（），连接并延长，交于点G，已知，反比例函数（）经过D，G两点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点D、G分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，根据题意得，结合菱形的性质得和，则求得，由三等分得，同理得，，进一步证得，得，设，，则，，结合函数得，求得a，即可求得，即有k值． 【详解】解：过点D、G分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的三等分点为点F（）， ∴， ∴， 同理，， ∵，， ∴， ∴， 设，，则，， ∵反比例函数（）经过D，G两点， ∴， 解得，， ∴， 则k的值为：， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，． (1)如图1， 求 k值； (2)如图2，点 C在 y轴正半轴上，，过点C作的垂线交x轴于点 D，点 E为垂足， 点 P在的延长线上，点P 的横坐标为t，连接，， 的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点 F在上， 连接，，若，求t值 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线，得到，，利用勾股定理得到，再根据建立等式求解，即可解题； （2）证明得到，，过点作于点，利用等面积法得到，进而得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题； （3）结合勾股定理和全等三角形性质证明，得到，作轴于点，延长交于点，过点作于点交于点，证明，推出，证明，推出，，证明得到，，再证明利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线交x轴负半轴于点A，交y轴于点B， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， ， 点P 的横坐标为t， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 作轴于点，延长交于点，过点作于点交于点， 易得， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 记交于点， 有，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 解得， 经检验是该方程的解． 相似的最值、定值问题 1．如图，在菱形中，过点D作交对角线于点E，连接，点P是线段上一动点，作P关于直线的对称点，点Q是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长交于，作点关于的对称点，连接，则在上移动，作关于的对称线段，则点关于对称的点在上移动，，故最大时，取到最大值，此时与重合，与重合，即的最大值为的长，取的中点，连接，则，证明，求出，由勾股定理得出，，证明，得出，再求出即可得解． 【详解】解：如图，延长交于，作点关于的对称点，连接，则在上移动，作关于的对称线段，则点关于对称的点在上移动，，故最大时，取到最大值，此时与重合，与重合，即的最大值为的长， 取的中点，连接，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴由菱形的对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 2．如图，在等边三角形中，，在边上取一点，连接，，为边上一动点，于点，于点，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，取中点，连接，，则有，由，即，故最小时，最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，此时，由是等边三角形， 得，，根据直角三角形的性质得，，设，则，求出，，，则，从而可知，，，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴最小时，最小， 根据垂线段最短可知，当时，最小，此时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，点是上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．作点关于的对称点，连接，过点作于点，交于点，证明当三点共线，且时，的值最小，此时点在点处，点在点位置．先求出，再证明，得到，求出，即可得到的最小值为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则，三点共线，过点作于点，交于点，则，即当三点共线，且时，的值最小，此时点在点处，点在点位置． ∵，， ， ∵， ， ， ， ，即， 解得， 即的最小值为． 故答案为： 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形，证明，则，得到，当取最小值时，最小，过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小，得到，连接，过点作于点K，求出,证明是等腰直角三角形，得到的面积,即可得到答案． 【详解】解：过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 当取最小值时，最小， 过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 连接，过点作于点K， ∴， ∴，， ∴, ∵是等腰直角三角形， ∴的面积, 即取最小值时，的面积是， 故答案为： 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，点P为线段上一动点（不与点C，D重合），连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P且与垂直的直线于点Q． （1）连接，则的度数是 ； （2）连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 /45度 / 【分析】（1）以为边向下作正方形，连接、，证明，可得； （2）首先得到点Q在上移动，然后根据点D与点E关于对称可知当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】（1）如图，以为边向下作正方形，连接、， 由题意知和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵为的高线， ∴， ∴， ∴， （2）∵， ∴点Q在上移动， ∵四边形是正方形， ∴点D与点E关于对称， ∴当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵在等腰直角中，为高线，， ∴，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 6．在中，，，．点D在边上，，垂足为E，，如图1，将绕点B顺时针旋转，连结，在上方作，的边与交点为F，连接，延长交于点M，如图2，在旋转的过程中，线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】由，，，求得，再证明，则，求得，，，作交的延长线于点，连接并延长交于点，交于点，连接、，可证明，得，变形为，进而证明，则，，求得，再证明，则，且，推导出四边形是平行四边形，所以，由，得，求得线段的最小值是，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，∵于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，作交的延长线于点，连接并延长交于点，交于点，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值是， 故答案为：． 7．【问题探究】 （1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ； （2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值； 【问题解决】 （3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在上截取．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由勾股定理求出，由旋转的性质求出的长，则可得出答案； （2）连接并延长交于点，当点、、共线，即点在的位置时，的值最大，最大值为的长，过点作于点，则，，求出可得出答案； （3）连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点、的对应点分别是点、，作点关于的对称点，连接、，延长交于点，过点作于点，则，点在的延长线上，，得出当、、三点共线，即点与点重合时，的值最大，证明，得出，，求出的长可得出答案． 【详解】解：（1），，， ， 将绕点逆时针旋转到的位置， ， ， 故答案为：． （2）连接并延长交于点， 由图可得， 当点、、共线，即点在的位置时，的值最大，最大值为的长， 过点作于点，则，， 由点是矩形的对称中心， ，， ． ， ， 的最大值为． （3）连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点、的对应点分别是点、， ，，． 点是的中点，， ， ， 作点关于的对称点，连接、，延长交于点，过点作于点，则，点在的延长线上，， ， 当、、三点共线，即点与点重合时，的值最大， ， ． ，， ， ，， ． ，， ， ， ， 即， ． ， 当文化长廊的长最大时，此时的长为． 8．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求出的度数； (2)如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3) 【分析】（1）在上截取，证明，得出，由已知得出，进而得出，即可求解； （2）连接交于点，证明，然后证明，得出，等量代换得出，证明，得出，即可得出； （3）勾股定理得出，最大时即取得最小值时，当时，最小，如图所示，设与交于点，依题意，，且，则，，当最大时，即与重合时，取得最大值，此时，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，在上截取， ∵为的角平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵将线段绕点顺时针旋转得线段，， ∴，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵最大时即取得最小值时， 当时，最小，如图所示，设与交于点， 依题意，，且， 则，， ∴的面积最大时，为边上的高取得最大值， ∴当最大时，即与重合时，取的最大值， 此时， ∴的面积的最大值为． 相似与几何综合题 1．如图，有一正方形，边长为4，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，的值为 ． 【答案】或． 【分析】分和两种情形求解即可． 【详解】依题意可得：， 设，则有； ①当时，（如图1） 由得，解得：； ②当时，（如图2） 由得， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 2．如图 (1)【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； (2)如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 【答案】(1)； (2)，，理由见解析； (3)． 【分析】()证明，即可得到； ()证明，得到，，延长相交于点，可以证明； ()作于，交的延长线于，首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值即可求解． 【详解】（1）解： ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，理由如下： 延长相交于点 ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为， 由()知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 【答案】(1)45° (2) (3)或2 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，即可求解； （2）证是等腰直角三角形，得，则，进一步求出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理再求出，最后根据线段的和差关系求解即可． （3）分两种情形：当，当，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， ， 由（1）得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，得正方形，    当时，， ， ∴， ∴， ∴， ， 由（1）可知， 设，则， ， ， ． 当时，同法可得． 综上所述，满足条件的的值为或2． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点为的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质证明，再结合全等三角形的性质可得答案； （2）先证明，再证明，结合相似三角形的性质可得答案； （3）求解，结合（2）可得：， ，求解，由等面积可得，，，证明，可得，，，，过作于，过作于，证明，可得，可得，，证明，再结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点为的中点，正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵正方形，， ∴，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， 过作于，过作于， ∵，平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2023·广东清远·二模）在等腰中，，等腰的直角顶点P是边上的一个动点，斜边交所在的直线于点Q，连接． (1)如图1，当时，①与的关系是__________；②推断：与的位置关系是__________． (2)当点P在线段上运动时，上述结论是否成立？请说明理由． (3)如图2，过点D作交的延长线于点C，过点E作交于点H，已知，，求的面积． 【答案】(1)相似，平行 (2)两结论都成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）证出，由相似三角形的判定可得出结论；证明，得出，由平行线的判定可得出结论； （2）方法同（1）可证明，； （3）证明，得出．求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形， ， ， ， 则与的关系是相似； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则与的位置关系是：平行， 故答案为：相似，平行； （2）成立．理由如下： 等腰中，， ．， 等腰中，， ，， 又． ； 成立．理由如下： 在和中， ，． ． ， ， ， 又， ． ， ， ； （3），， 四边形为正方形． ， ． ， ， ， ，． ，， ， ， ． ， ， ． 6．（2024·湖北恩施·模拟预测）综合与实践： 中，，点D是的中点，点E是线段上一点（不与B、D重合），交于点F，点M是的中点，连接． 【初步思考】（1）如图1，若，连接．求证：是等腰直角三角形； 【实践探究】（2）在（1）的条件下，当等于多少时，． 【拓展延伸】（3）如图2，点E是的中点，在线段上截取 ，连接，试探究四边形的形状． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识， （1）证明，，得到，即可得到结论； （2）由得到，证明，，设，则，得到，即可得到答案 ； （3）过点F作，垂足为G，连接交于点P，证明四边形是矩形，根据平行线分线段成比例定理得到，，即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ∴是等腰直角三角形； （2）∵ ∴ ∵ ∴平分 ∴，， 设，则 ∴ ∴ （3）四边形是平行四边形，理由如下： 过点F作，垂足为G，连接交于点P， ∵ ∴ 又，点D是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵点E是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形 7．（2024·安徽·模拟预测）如图，在菱形中，为边的中点，连接交延长线于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图1，证明：点为线段的三等分点； (3)如图2，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）根据菱形的性质得到平分，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）连接分别交、于点、，如图1所示．根据菱形的性质得到垂直平分，由（1）得，，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，于是得到点为线段的三等分点； （3）连接交于点，连接，如图2所示．根据菱形的性质得到垂直平分，根据相似三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 平分， 平分， ， ， 即：； （2）证明：连接分别交、于点、，如图1所示． 四边形是菱形， 垂直平分， 由（1）得，， ∴， ， ， 为的中点，， ，，， ∴， ， 又， ∵，， ，即点为线段的三等分点； （3）解：连接交于点，连接，如图2所示． 四边形是菱形， 垂直平分， 又为的中点， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得（负值舍去）， ． 8．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图，在中，点E在边上，连接交于点F，若，． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点M在上，作交的延长线于点，若，，求的长； (3)如图3，点G在上，连接，若，，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形推出，，得到，再判定，根据相似三角形的性质得到，然后根据已知条件即可推出结果； （2）根据四边形是平行四边形得到，，由根据平行线分线段成比例定理得到，求出的长，根据得到，设，，判定四边形是平行四边形后得到，根据角的数量关系推出，判定后根据相似三角形的性质得到，把和的长代入比例式求出后再代入比例式即可求出结果； （3）作平分交于，过点作交于，根据得到，根据平分得到，再根据推出，得到，根据，设，则，得到，由（1）知，得到，，过作于，于，根据角平分线定理得到，根据三角形面积比与底和高度关系推出与的比，设，则，得到，求出，，判定，得到，根据用a,b表示的线段求出，之间的关系，用含的代数式分别表示出，和，，根据判定，得到，用含的代数式表示出和，根据，得到，根据得到，判定后得到，用含的代数式表示出，再用含的代数式表示出，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴，即， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，，，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，作平分交于，过点作交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，设，则， ∴， 由（1）知，， ∴，， 过作于，于， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$