专题02 直线与方程（4基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题02 直线与方程 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·北京101中学·期中）下列直线中，倾斜角为锐角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京西城·期中）直线的倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．120° D．135° 3．（23-24高二上·北京第十五中学·期中）已知直线经过点和点，则直线AB的斜率为（ ） A．3 B． C．2 D．不存在 4．（23-24高二上·北京·期中）已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5．（23-24高二上·北京育才中学·期中）若图中的直线､､的斜率分别为､､，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为 . 7．（23-24高二上·北京·期中）直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ． 直线与直线的位置关系 1．（23-24高二上·北京101中学·期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线：，：，若 ，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·北京师大二附中·期中）若点是直线：外一点，则方程 表示（    ） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 4．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京·期中）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·北京·期中）下面三条直线不能构成三角形，请给出一个符合题意的的值 . 直线的方程 1．（23-24高二上·北京·期中）若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京师大二附中·期中）直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为 ． 3．（23-24高二上·北京第八中学·期中）已知顶点，边上的高为且垂足为E. (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求点E的坐标． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知三角形的顶点为，，. (1)求BC边上的中线所在直线方程； (2)求BC边上的高线所在直线方程. 5．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知三边所在直线方程分别为. (1)求点坐标； (2)求与点关于直线对称的点的坐标； (3)求在平面内，过点且与直线无公共点的直线方程. 直线的距离问题 1．（23-24高二上·北京·期中）点P在直线上，O为原点，则|的最小值是 2．（23-24高二上·北京·期中）直线与之间的距离是 . 3．（23-24高二上·北京·期中）已知、是分别经过，两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程为 ． 直线方程的应用 1．（23-24高二上·北京房山·期中）在同一平面直角坐标中，表示：与：的直线可能正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京师大二附中·期中）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 直线中的最值问题 1．（23-24高二上·北京101中学·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（    ） A．10 B．12 C．13 D．20 3．（23-24高二上·北京·期中）过点且与原点距离最大的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知，，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标是 . 5．（23-24高二上·北京·期中）已知点，，点P在直线上，则最小值等于 ． 6．（23-24高二上·北京·期中）设点，，直线，于点，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与方程 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·北京101中学·期中）下列直线中，倾斜角为锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得. 【详解】设直线倾斜角为， A选项， 直线，斜率，即倾斜角为钝角； B选项， 直线，斜率，倾斜角为，是锐角； C选项， 直线，斜率，即倾斜角为，不是锐角； C选项， 直线，斜率不存在，即倾斜角为，是直角不是锐角. 故选：B. 2．（23-24高二上·北京西城·期中）直线的倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．120° D．135° 【答案】D 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由可知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角， 故选：D 3．（23-24高二上·北京第十五中学·期中）已知直线经过点和点，则直线AB的斜率为（ ） A．3 B． C．2 D．不存在 【答案】B 【详解】根据斜率公式有. 故选：B . 4．（23-24高二上·北京·期中）已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，结合图象即可得解. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， ， 因为直线过点且与射线相交， 由图可知，所以直线的斜率或. 故选：D. 5．（23-24高二上·北京育才中学·期中）若图中的直线､､的斜率分别为､､，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：A 6．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可得出直线的斜率. 【详解】不妨令直线的一个方向向量为，则，所以可以取，则，此时直线的一个方向向量为（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 7．（23-24高二上·北京·期中）直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当a=-1时，符合题意；当a≠-1时，只需<0或>1即可，解不等式综合可得． 【详解】当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为，只要>1或者<0即可，解得－1<a<－或者a<－1或者a>0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－)∪(0，＋∞)． 直线与直线的位置关系 1．（23-24高二上·北京101中学·期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线与直线平行，则，或， 验证均不重合，满足. 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线：，：，若 ，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】若：，：，当时，，代入后需验证，排除两直线重合的情况. 【详解】因为，所以， 即：，，解得：或， 当时，：，：，符合题意； 当时，：，即：， ：，此时与重合，舍去. 故选：A 3．（23-24高二上·北京师大二附中·期中）若点是直线：外一点，则方程 表示（    ） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 【答案】B 【分析】由题意可推出，由此可判断直线与平行，将代入方程，看是否成立，判断直线是否过点P，可得答案. 【详解】由题意可知点是直线：外一点， 故且为常数， 所以方程中，且为常数， 则直线与平行， 将代入中， 即，即点P在该方程表示的直线上， 故方程表示过点且与平行的直线， 故选：B 4．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把两直线的垂直关系转化为斜率的关系即可判断. 【详解】已知直线的斜率 所以垂直直线的斜率为 而D项中的直线过点，且只有D中的直线的斜率为， 故选：D. 5．（23-24高二上·北京·期中）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线垂直可构造方程求得的值，由推出关系可得结论. 【详解】由两直线垂直可得：，解得：或； 或，或， “”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（23-24高二上·北京·期中）下面三条直线不能构成三角形，请给出一个符合题意的的值 . 【答案】（或或） 【分析】根据，或过和的交点求解即可. 【详解】当直线时，，得； 当直线时，，得； 解方程组得直线和的交点为， 当直线过点时，，解得. 综上，当或或时，三条直线不能构成三角形. 故答案为：（或或） 直线的方程 1．（23-24高二上·北京·期中）若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方向向量与斜率的关系求得直线斜率，根据点斜式建立直线方程，化简为直线的一般式方程即可得解. 【详解】解：∵的方向向量为， ∴直线的斜率， 又∵直线过点， ∴直线的方程为：，即. 故选：B. 2．（23-24高二上·北京师大二附中·期中）直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】先由直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，然后化为一般式即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为(2，1)， 所以直线的斜率为， 因为直线过点P(1，2)， 所以直线为，即， 故答案为： 3．（23-24高二上·北京第八中学·期中）已知顶点，边上的高为且垂足为E. (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、 （2）根据求得点的坐标. 【详解】（1），即， 所以直线的方程为. （2）直线的方程为， 设， 依题意， 所以， ，即. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知三角形的顶点为，，. (1)求BC边上的中线所在直线方程； (2)求BC边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点及A即可求解直线方程； （2）根据高所在直线斜率及A求解即可. 【详解】（1）设中点为，则，又， 所以中线的斜率不存在，所以中线所在直线方程为. （2）因为， 所以边的高所在直线的斜率为， 所以边上高所在直线为，即直线方程为. 5．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，进而得出答案； （2）由得，所以角平分线的倾斜角为，求出的斜率，进而可得出答案． 【详解】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为．    6．（23-24高二上·北京·期中）已知三边所在直线方程分别为. (1)求点坐标； (2)求与点关于直线对称的点的坐标； (3)求在平面内，过点且与直线无公共点的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立方程组，求解即可； （2）设，则，求解即可； （3）根据平行求得斜率，再利用点斜式方程即可求解. 【详解】（1）联立方程组，解得， （2）设，则，且的中点在直线上， ，解得. ； （3）记过点且与直线无公共点的直线为，则，， 所以直线的方程为：，即， 过点且与直线无公共点的直线方程为. 直线的距离问题 1．（23-24高二上·北京·期中）点P在直线上，O为原点，则|的最小值是 【答案】 【详解】解：因为点P在直线上，则点P到原点距离的最小值即为原点到直线的距离公式可知为 2．（23-24高二上·北京·期中）直线与之间的距离是 . 【答案】/ 【分析】由平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】易知直线与平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知、是分别经过，两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断出当⊥AB时、间的距离最大，求出，进而求出，即可求出直线的方程. 【详解】设两平行直线、的距离为d. 因为、是分别经过，点的两条平行直线， 所以,当且仅当⊥AB时取等号. 因为直线AB的斜率为，所以与直线AB垂直的直线的斜事为， 所以的方程为，即. 故答案为： 直线方程的应用 1．（23-24高二上·北京房山·期中）在同一平面直角坐标中，表示：与：的直线可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，即可判断. 【详解】对于A：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误． 对于B：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故B错误． 对于C：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，故C正确． 对于D：由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误． 故选：C． 2．（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解. 【详解】, 所以交点为,由于在第二象限，所以， 所以的取值范围为， 故选：D 3．（23-24高二上·北京师大二附中·期中）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程求得在坐标轴的截距，结合题意列出方程组，即可求解. 【详解】由直线，令，可得；令，可得， 因为直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1， 所以，可得，解得. 故选：C. 直线中的最值问题 1．（23-24高二上·北京101中学·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解. 【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：    设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称点为，则 由图知：的最小值为， 故选：D 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（    ） A．10 B．12 C．13 D．20 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线过定点，直线恒过定点，结合，得到，利用勾股定理，即可求解. 【详解】由直线过定点， 直线可化为， 令，解得，即直线恒过定点， 又由直线和，满足， 所以，所以，所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·北京·期中）过点且与原点距离最大的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意得到过点且与垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可. 【详解】由题知：过点且与原点距离最大的直线为过点且与垂直的直线. 因为，故所求直线为，即. 故选：A 4．（23-24高二上·北京·期中）已知，，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点，则直线与的交点即为所求. 【详解】点关于直线的对称点为，又， 则直线的方程为，即， 联立，解得，， 所以使取最小值的点的坐标是. 故答案为：. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知点，，点P在直线上，则最小值等于 ． 【答案】8 【分析】求出关于直线的对称点，然后三点共线时取最小值即可. 【详解】设关于直线的对称点为, 则，解得即， 且,.    如图，则. 故答案为：8 5．（23-24高二上·北京·期中）设点，，直线，于点，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】先求出直线过定点，再根据条件求出点的轨迹方程，再结合轨迹方程求出的最大值． 【详解】直线，则， 则，解得，，即直线恒过点， 设，，， ，即， 故点的轨迹为， 该轨迹是以为圆心，半径为1的圆， ． 故答案为：6. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$