2024-2025学年名校高一上学期10月月考数学（19题新题型）- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版必修第一册·重难点专题突破

2024- 2025学年名校高一上学期 10月月考数学 考试范围：必修 一册 一章， 二章 试卷满 ：150 考试用时：120 钟 一、 择题：本题共 8 题，每 题 5 ，共 40 ． 每 题给出的四个 项中，只有一项 符 题目要 的． 1.若 a∈ 1,2,a2 ， a的取 集 为 (    ) A. 0  B. 0,1  C. 0,2  D. 0,1,2  2.已知集 A满足 0,1 ⊆A⊊ 0,1,2,3 ， 集 A的个数为 (    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知全集U= 1,3,5,7,9 ，M= x x> 4 且 x∈U},N={3,7,9}， M∩ ∁UN = (    ) A. {1,5} B. {5} C. {1,3,5} D. {3,5} 4.已知 a,b,c∈R， a> b成 的一个充 不必要条件 (    ) A. a+ c> b+ c B. ac> bc C. a2> b2 D. ac2> bc2 5.已知集 A= x x= 2k+ 13 ,k∈ Z ，B= x x= 2k+ 1 3 ,k∈ Z ， (    ) A. A⊆B B. A∩B=∅ C. A=B D. A⊇B 6.学 举行运 时，高一 (1)班共有 28 学生参 比赛，有 15人参 游泳比赛，有 8人参 田径比 赛，有 14人参 类比赛， 时参 游泳比赛 田径比赛的有 3人， 时参 游泳比赛 类比赛 的有 3人， 有人 时参 三项比赛，只参 一项比赛的有 (　　)人． A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 7.若 a> 0，b> 0，ab= 4a+ b+ 12， ab的取 围 (    ) A. x 0< x≤ 18  B. x 0< x≤ 36  C. x x≥ 18  D. x x≥ 36  8.关于 x的方 ax2+ a+ 2 x+ 9a= 0有两个不相等的实数 x1,x2，且 x1< 1< x2， 么 a的取 围 (    ) A. - 27 < a< 2 5 B. a> 2 5 C. a<- 2 7 D. - 2 11 < a< 0 二、 择题：本题共 3 题，每 题 6 ，共 18 。 每 题给出的 项中，有多项符 题 目要 。全部 对的得 6 ，部 对的得部 ，有 错的得 0 。 9.若 a> b> 0， 下 结论一定成 的 (    ) A. 1a > 1 b B. ba + a b > 2 C. a+ 2 b+ 2 > a+ 1 b+ 1 D. a+ 1 b > b+ 1a 10.已知关于 x的不等式.ax² +bx+ c> 0的解集为 -∞,2 ∪ 3,+∞ . (    ) A. a> 0 B.不等式 bx+ c> 0的解集 x|x<-6  C. a+ b+ c> 0 D.不等式 bx+ a< 0的解集为 x x<- 13 或 x> 1 2  ·1· 11.我们已经学过了集 的 、交、补等几种基本运算，而集 还有很多其他的基本运算．设A，B为 两个集 ，称由所有 于集 A 不 于集 B的元素组成的集 为集 A与集 B的差集，记 为A-B，即A-B= x∈A|x∉B ．下 表达式一定正 的 (    ) A. A-B ∩ B-A =∅ B. (A-B) ∪ (B-A) =A∪B C. A- A-B =B- B-A  D. (A-B) ∪B=A∪ (B-A) 三． 题 (本题共 3 题，每 题 5 ，共 15 ) 12.已知集 A={x|x> 1}，B={x|x> a}，若A⊆B， 实数 a的取 围 . 13.已知-1< x- y< 4,2< x+ y< 3， 3x+ y的取 围 . 14.已知 a> b> c且 2 a- b + 1 b- c ≥ m a- c 恒成 ，实数m的最大 ． 四、解答题：本题共 5 题，共 77 ．解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤． 15.已知集 A= x x2+2x- 8≥ 0 ，B= x 2a- 6≤ x< a . (1)当 a= 3时， A∪ ∁RB ；(2)若A∩B=∅， a的取 围. 16.解答下 题. (1)若 x> 3， x+ 4x- 3 的最 . (2)若正数 x,y满足 9x+ y= xy， ① xy的最 .② 2x+ 3y的最 . ·2· 17. LED灯具有节能环保的 用，且 用寿 长．经过 查，可知生产某种 LED灯需投入的 固定成本为 4万元每生产 x万件该产 ，需另投入变 成本W x 万元， 产 不足 6万件时， W x = 12 x 2+x， 产 不 于 6万件时，W x = 7x+ 100x - 39．每件产 售价为 6元． 设该产 每 的销 等于当 的产 ． (1)写出 L x (万元)关于 产 x(万件)的函数解析式． (注： = 销售收入-固定 成本-变 成本) (2) 产 为多 万件时， 最大？最大 多 ？ 18.设 y=mx2-mx- 6+m. (1)若对于任意 1≤ x≤ 3，y< 0恒成 ， 实数m的取 围. (2)若对于任意-2≤m≤ 2，y< 0恒成 ， 实数 x的取 围； (3)解关于 x的不等式mx2+ (1-m)x+m- 2<m- 1(m∈R). ·3· 19.已 知 S n = 1,2,⋯,n n≥ 3 ，A = a1,a2,⋯,ak k≥ 2  S n 的 子 集 ，定 义 集 A * = ai-a j ai,a j∈A且 ai> a j ，若A*∪ n = Sn， 称集 A Sn的恰当子集．用 X 表示有限集 X的元素个数． (1)若n= 5，A= 1,2,3,5 ， A* 断集 A 为S5的恰当子集； (2)已知A= 1,a,b,7 a< b  S7的恰当子集， a，b的 说 由； (3)若存 A Sn的恰当子集， 且 A = 5， n的最大 ． ·4· 2024- 2025学年名校高一上学期 10月月考数学 考试范围：必修 一册 一章， 二章 试卷满 ：150 考试用时：120 钟 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D A C D D 9 10 11 BD AC ACD 12 13 14 a≤ 1 3< 3x+ y < 10 3+ 2 2 一、 择 ： 共 8 ，每 5 ，共 40 ． 每 给出的四个 中，只 一 符 目要 的． 1.若 a∈ 1,2,a2 ， a的取 为 (    ) A. 0  B. 0,1  C. 0,2  D. 0,1,2  【答 】C 【 】结 元 与 的关系计算即可得. 【详解】当 a= 1时，a2= 1，不满足 中元 的互异 ，舍去； 当 a= 2时， a∈ 1,2,4 ，符 意， 当 a= a2时， a= 1或 a= 0，已知当 a= 1时符 意， 当 a= 0时， a∈ 1,2,0 ，符 意， 故 a的取 为 0,2 . 故 ：C. 2.已知 A满足 0,1 ⊆A⊊ 0,1,2,3 ， A的个数为 (    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答 】C 【 】 用 的子 、 子 的概念 解. 【详解】由 可知， A可以为：0,1 , 0,1,2 , 0,1,3 ,共 3个， 故 ：C. 2 / 11 3.已知全 U= 1,3,5,7,9 ，M= x x> 4 且 x∈U},N={3,7,9}， M∩ ∁UN = (    ) A. {1,5} B. {5} C. {1,3,5} D. {3,5} 【答 】B 【 】先 出M，∁UN，再 M∩ ∁UN ， 【详解】因为U= 1,3,5,7,9 ，M= x x> 4 且 x∈U}， 所以M={5,7,9}， 因为U= 1,3,5,7,9 ，N={3,7,9}，所以 ∁UN={1,5}， 所以M∩ ∁UN ={5}． 故 ：B． 4.已知 a,b,c∈R， a> b成 的一个充 不必要 件 (    ) A. a+ c> b+ c B. ac> bc C. a2> b2 D. ac2> bc2 【答 】D 【 】 给定 件， 用充 件、必要 件的定义，结 不等式 质 解即得. 【详解】对于A，a+ c> b+ c⇔ a> b，A不 ； 对于B，当 c< 0时，由 ac> bc，得 a< b，B不 ； 对于C，a2> b2，可能 a< b，如 a=-2,b= 1，C不 ； 对于D，由 ac2> bc2，得 c2> 0， a> b；若 a> b,c= 0， ac2= bc2，D . 故 ：D 5.已知 A= x x= 2k+ 13 ,k∈ Z ，B= x x= 2k+ 1 3 ,k∈ Z ， (    ) A. A⊆B B. A∩B=∅ C. A=B D. A⊇B 【答 】A 【 】由 A，B中的元 特征 断可得. 【详解】A= x x= 2k+ 13 ,k∈ Z = x x= 6k+ 1 3 ,k∈ Z ， 当 k∈ Z时，2k+ 1表示 2的整数 与 1的 ，6k+ 1表示 6的整数 与 1的 ， 故A⊆B， 故 ：A 6.学 举行运 时，高一 (1)班共 28 学生参 比赛， 15人参 游泳比赛， 8人参 田径比 赛， 14人参 类比赛， 时参 游泳比赛 田径比赛的 3人， 时参 游泳比赛 类比赛 的 3人， 人 时参 三 比赛，只参 一 比赛的 (　　)人． A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 【答 】C 【 】 用文 图， 式 解. 【详解】设只参 田径的人数为 x， 时参 田径 类比赛的人数为 y，只参 类的人数为 z， 由韦 图得： x+ y+ 3= 8 y+ z+ 3= 14 x+ y+ z+ 15= 28  ，解得 x= 2 y= 3 z= 8  ，所以只参 一 比赛的 x+ z+ 9= 19人， 2 / 11 故 ：C． 7.若 a> 0，b> 0，ab= 4a+ b+ 12， ab的取 围 (    ) A. x 0< x≤ 18  B. x 0< x≤ 36  C. x x≥ 18  D. x x≥ 36  【答 】D 【 】 意 用基 不等式可得 ab- 4 ab - 12≥ 0，以 ab为整 ，解一元二次不等式即 可. 【详解】因为 a> 0，b> 0，由基 不等式可得 ab= 4a+ b+ 12≥ 2 4ab+ 12= 4 ab+ 12， 即 ab- 4 ab- 12≥ 0，解得 ab≥ 6或 ab≤-2(舍去)，即 ab≥ 36， 当且仅当 b= 4a ab= 36  ，即 a= 3 b= 12  时，等号成 ， 故 ab的取 围 x x≥ 36 ． 故 ：D． 8.关于 x的方 ax2+ a+ 2 x+ 9a= 0 两个不相等的实数 x1,x2，且 x1< 1< x2， 么 a的取 围 (    ) A. - 27 < a< 2 5 B. a> 2 5 C. a<- 2 7 D. - 2 11 < a< 0 【答 】D 【 】说 a= 0时，不 意，从而 ax2+ a+ 2 x+ 9a= 0化为 x2+ 1+ 2a x+ 9= 0，令 y= x2+ 1+ 2a x+ 9，结 其与 x轴 两个交点，且 1的两 ，可 不等式即可 得答 . 【详解】当 a= 0时，ax2+ a+ 2 x+ 9a= 0即为 2x= 0，不符 意； 故 a≠ 0，ax2+ a+ 2 x+ 9a= 0即为 x2+ 1+ 2a x+ 9= 0， 令 y= x2+ 1+ 2a x+ 9， 由于关于 x的方 ax2+ a+ 2 x+ 9a= 0 两个不相等的实数 x1,x2，且 x1< 1< x2， y= ax2+ a+ 2 x+ 9a与 x轴 两个交点，且 1的两 ， 故 x= 1时，y< 0，即 1+ 1+ 2a × 1+ 9< 0，解得 2 a <-11，故- 2 11 < a< 0， 故 ：D 二、 择 ： 共 3 ，每 6 ，共 18 。 每 给出的 中， 多 符 目要 。全部 对的得 6 ，部 对的得部 ， 错的得 0 。 9.若 a> b> 0， 下 结论一定成 的 (    ) A. 1a > 1 b B. ba + a b > 2 C. a+ 2 b+ 2 > a+ 1 b+ 1 D. a+ 1 b > b+ 1a 【答 】BD 2 / 11 【 】 给定 件， 用不等式 质，结 差法比较大 即得. 【详解】对于A，由 a> b> 0，得 1a < 1 b ，A错误； 对于B，ba + a b - 2= a 2-2ab+ b2 ab = (a- b) 2 ab > 0，B正 ； 对于C，a+ 2 b+ 2 - a+ 1 b+ 1 = (a+ 2) (b+ 1) - (a+ 1) (b+ 2) (b+ 2) (b+ 1) = b- a (b+ 2) (b+ 1) < 0，C错误； 对于D，a+ 1 b - b+ 1a = a- b+ a- b ab = (a- b) 1+ 1 ab > 0，D正 . 故 ：BD 10.已知关于 x的不等式.ax² +bx+ c> 0的解 为 -∞,2 ∪ 3,+∞ . (    ) A. a> 0 B.不等式 bx+ c> 0的解 x|x<-6  C. a+ b+ c> 0 D.不等式 bx+ a< 0的解 为 x x<- 13 或 x> 1 2  【答 】AC 【 】由 件可得 2,3为方 ax² +bx+ c= 0的两 ，且 a> 0，结 与系数关系可得 a,b,c的 关系，再 断 . 【详解】因为不等式.ax² +bx+ c> 0的解 为 -∞,2 ∪ 3,+∞ ， 所以 2,3为方 ax² +bx+ c= 0的两 ，且 a> 0， 所以 2+ 3=- ba，2× 3= c a， 所以 b=-5a，c= 6a，a> 0， 因为 a> 0，所以A正 ； 因为 b=-5a，c= 6a，a> 0， 所以不等式 bx+ c> 0可化为 x< 65 ，B错误； 因为 b=-5a，c= 6a，a> 0， 所以 a+ b+ c= 2a> 0，C正 ； 因为 b=-5a，c= 6a，a> 0， 所以不等式 bx+ a< 0可化为 5x> 1， 解得，x> 15 ，所以D错误； 故 ：AC. 11.我们已经学过了 的 、交、补等几种基 运算，而 还 很多其他的基 运算．设A，B为 两个 ，称由所 于 A 不 于 B的元 组成的 为 A与 B的差 ，记 为A-B，即A-B= x∈A|x∉B ．下 表达式一定正 的 (    ) A. A-B ∩ B-A =∅ B. (A-B) ∪ (B-A) =A∪B C. A- A-B =B- B-A  D. (A-B) ∪B=A∪ (B-A) 【答 】ACD 【 】 差 的定义 个 可得答 . 【详解】对于A，(A-B) ∩ (B-A) = {x∈A|x∉B}∩ {x∈B|x∉A}=∅，故A正 ； 对于B，(A-B) ∪ (B-A) = {x∈A|x∉B}∪ {x∈B|x∉A}= (A∪B) - (A∩B)，故B不正 ； 对于C，因为A- (A-B) =A∩B，B- (B-A) =B∩A，所以A- (A-B) =B- (B-A)，故C 正 ； 对于D，因为 (A-B) ∪B=A∪B，A∪ (B-A) =A∪B，所以 (A-B) ∪B=A∪ (B-A)，故D 正 . 故 ：ACD 2 / 11 三． ( 共 3 ，每 5 ，共 15 ) 12.已知 A={x|x> 1}，B={x|x> a}，若A⊆B， 实数 a的取 围 . 【答 】(-∞,1] 【 】 数轴上画出两个 对 的 围， 用A⊆B可得实数 a的取 围. 【详解】如图， 数轴表示A,B，因为A⊆B，故 a≤ 1， -∞,1 . 13.已知-1< x- y< 4,2< x+ y< 3， 3x+ y的取 围 . 【答 】 3,10  【 】先设出 3x+ y=m x+ y +n x- y ， 出m,n，再结 不等式的 质解出即可； 【详解】设 3x+ y=m x+ y +n x- y = m+n x+ m-n y， 所以 m+n= 3 m-n= 1  ，解得m= 2,n= 1， 所以 3x+ y= 2 x+ y + x- y ， 又 2< x+ y< 3，所以 4< 2 x+ y < 6， 又-1< x- y< 4, 所以上述两不等式相 可得 3< 2 x+ y + x- y < 10， 即 3< 3x+ y< 10， 所以 3x+ y的取 围 3,10 ， 故答 为：3,10 . 14.已知 a> b> c且 2 a- b + 1 b- c ≥ m a- c 成 ，实数m的 大 ． 【答 】3+ 2 2 【 】 不等式转化， 用基 不等式 出 大 ，即可得 答 . 【详解】由 意，a- b> 0,b- c> 0,a- c> 0， 所以 2 a- b + 1 b- c ≥ m a- c 转化为 2 a- c  a- b + a- c b- c ≥m， 可得 2 a- b+ b- c  a- b + a- b+ b- c b- c ≥m，即 2+ 2 b- c  a- b + 1+ a- b b- c ≥m， 因为 2+ 2 b- c  a- b + 1+ a- b b- c ≥ 3+ 2 2，当且仅当 a- b= 2 b- c 时等号成 ， 所以实数m的 大 3+ 2 2. 四、解答 ： 共 5 ，共 77 ．解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤． 15.已知 A= x x2+2x- 8≥ 0 ，B= x 2a- 6≤ x< a . (1)当 a= 3时， A∪ ∁RB ； (2)若A∩B=∅， a的取 围. 【答 】(1) x x< 0 或 x≥ 2  (2) 1,2 ∪ 6,+∞  【 】(1)算出A，B即可计算出CRB； (2) B 为 计算即可. 【详解】(1)由 意可得A= x x≥ 2或 x≤-4 ， 当 a= 3时，B= x 0≤ x< 3 ， CRB={x|x< 0或 x≥ 3}， 2 / 11 故A∪ (CRB) = {x|x< 0或 x≥ 2}. (2)当B=∅时，2a- 6≥ a，解得 a≥ 6，此时A∩B=∅，符 意， 当B≠∅时，由A∩B=∅，可得 2a- 6< a, a≤ 2, 2a- 6>-4,  解得 1< a≤ 2， 综上，a的取 围为 1,2 ∪ 6,+∞ . 16.解答下 . (1)若 x> 3， x+ 4x- 3 的 . (2)若正数 x,y满足 9x+ y= xy， ① xy的 . ② 2x+ 3y的 . 【答 】(1)7； (2)① 36；② 29+ 6 6. 【 】(1) x+ 4x- 3 变形为 x- 3+ 4 x- 3 + 3， 由基 不等式可得答 ； (2)①由基 不等式结 9x+ y= xy可得答 ；②由 9x+ y= xy可得 9y + 1 x = 1， 由基 不等 式可得答 . 【详解】(1)由 x+ 4x- 3 = x- 3+ 4 x- 3 + 3≥ 2 x- 3 ⋅ 4 x- 3 + 3= 7. 当且仅当 x- 3= 4x- 3，即 x= 5时取等号； (2)①由 9x+ y= xy结 基 不等式可得： xy= 9x+ y≥ 2 9xy= 6 xy⇒ xy xy- 6 ≥ 0，又 x,y为正数， xy≥ 6⇒ xy≥ 36，当且仅当 9x= y，即 x= 2,y= 18时取等号； ②由 9x+ y= xy可得 9y + 1 x = 1， 2x+ 3y= 9y + 1 x 2x+ 3y = 29+ 18x y + 3y x ≥ 29+ 2 18x y ⋅ 3y x = 29+ 6 6. 当且仅当 18x y = 3y x ⇒ 18x 2= 3y2⇒ 6x= y，又 9x+ y= xy， 即 x= 3 62 + 1,y= 9+ 6时取等号. 17. LED灯具 节能环保的 用，且 用寿 长．经过 查，可知生产某种 LED灯需投入的 固定成 为 4万元每生产 x万件该产 ，需另投入变 成 W x 万元， 产 不足 6万件时， W x = 12 x 2+x， 产 不 于 6万件时，W x = 7x+ 100x - 39．每件产 售价为 6元． 设该产 每 的销 等于当 的产 ． (1)写出 L x (万元)关于 产 x(万件)的函数解 式． (注： = 销售收入-固定 成 -变 成 ) (2) 产 为多 万件时， 大？ 大 多 ？ 【答 】(1)L x = - 12 x 2+5x- 4,0< x< 6, 35- x+ 100x ,x≥ 6.  (2)当 产 为 10万件时， 大， 大 为 15万元． 【 】(1) “ = 销售收入-固定成 -变 成 ”， 0< x< 6 x≥ 6即可 出L (x)的解 式； 2 / 11 (2) 二次函数 基 不等式 出 L(x) 0< x< 6 x≥ 6时的 大 ，比较即可得 答 ． 【详解】(1) ∵每件产 售价为 6元，∴ x万件产 的销售收入为 6x万元， 意得，当 0< x< 6时，L x = 6x- 12 x 2+x - 4=- 12 x 2+5x- 4， 当 x≥ 6时，L x = 6x- 7x+ 100x - 39 - 4= 35- x+ 100 x ． ∴L x = - 12 x 2+5x- 4,0< x< 6, 35- x+ 100x ,x≥ 6.  (2)当 0< x< 6时，L x =- 12 x- 5  2+ 172 ，当 x= 5时，L x 取得 大 17 2 ． 当 x≥ 6时，L x = 35- x+ 100x ≤ 35- 2 x ⋅ 100 x = 35- 20= 15，当且仅当 x= 100 x ，即 x= 10时，L x 取得 大 15． ∵ 172 < 15，∴当 产 为 10万件时， 大， 大 为 15万元． 18.设 y=mx2-mx- 6+m. (1)若对于任意 1≤ x≤ 3，y< 0 成 ， 实数m的取 围. (2)若对于任意-2≤m≤ 2，y< 0 成 ， 实数 x的取 围； (3)解关于 x的不等式mx2+ (1-m)x+m- 2<m- 1(m∈R). 【答 】(1) -∞, 67  (2) -1,2  (3)答 见解 【 】(1)由 意 不等式整 ，得m x2-x+ 1 < 6，结 x∈ 1,3 时，x2-x+ 1> 0， 原不等 式转化为m< 6 x2-x+ 1 ， 出 6 x2-x+ 1 1,3 上的 即可. (2) f x 转化为关于m的一次函数 g m ， 断 g m 的单 ，得 g 2 < 0，解不等式即可. (3)由 意 不等式整 得 mx+ 1 x- 1 < 0，然 类讨论m的 况：m> 0、m= 0、-1< m< 0、m=-1、m<-1，从而可 解. 【详解】(1)要 f x =mx2-mx- 6+m=m x2-x+ 1 - 6 1,3 上 成 ， 即m x2-x+ 1 < 6，x∈ 1,3 ， 因为当 x∈ 1,3 时，x2-x+ 1∈ 1,7 ， m< 6 x2-x+ 1 1,3 上 成 ， 当 x∈ 1,3 ，令 g x = 6 x2-x+ 1 = 6 x- 12  2 + 34 ≥ 67 ，即 g x min= 6 7 ， 所以m< 6 x2-x+ 1 1,3 上 成 ， m< g x min， 即m< 67 ，故实数m的取 围为 -∞, 6 7 . (2)设 f x = g m =mx2-mx- 6+m=m x2-x+ 1 - 6 g m  关于m的一次函数，且一次 系数为 x2-x+ 1= x- 12  2 + 34 > 0， 所以 g m  -2,2 上单 ． 所以 g m < 0等价于 g 2 = 2 x2-x+ 1 - 6< 0，解得-1< x< 2， 故实数 x的取 围为 -1,2 . (3)由mx2+ 1-m x+m- 2<m- 1，化简得mx2+ 1-m x- 1< 0，即 mx+ 1 x- 1 < 0， 当m= 0时，x- 1< 0，解得 x< 1. 2 / 11 当m> 0时，对于不等式 mx+ 1 x- 1 < 0，解得- 1m < x< 1， 当-1<m< 0时，对于不等式 mx+ 1 x- 1 < 0，解得 x< 1或 x>- 1m， 当m=-1时，对于不等式 mx+ 1 x- 1 < 0，解得 x< 1或 x> 1， 当m<-1时，对于不等式 mx+ 1 x- 1 < 0，解得 x> 1或 x<- 1m， 综上所述：当m<-1时，关于 x的不等式解为 -∞,- 1m ∪ 1,+∞ ； 当m=-1时，关于 x的不等式解为 -∞,1 ∪ 1,+∞ ； 当-1<m< 0时，关于 x的不等式解为 -∞,1 ∪ - 1m ,+∞ ； 当m= 0时，关于 x的不等式解为 -∞,1 ； 当m> 0时，关于 x的不等式解为 - 1m ,1 . 【点 】方法点 ： (1) 离参数法：结 意， 离参数 问 转化为函数 给定区间上的 问 ，再 用函数的 质 得 ，从而得 参数的取 围； (2)更 主次元法：结 问 ， 问 的变 参数进行转 ，得 关于参数的式子， 得 关于m的一次函数 g m ， 用函数 g m 的单 问 转化为函数的 大 于 0，即可得 关于 x的不等式解得 围． (3) 用 类讨论， 结 二次函数的 质及一元二次不等式 解，从而可 解. 19.已 知 S n = 1,2,⋯,n n≥ 3 ，A = a1,a2,⋯,ak k≥ 2  S n 的 子 ，定 义 A * = ai-a j ai,a j∈A且 ai> a j ，若A*∪ n = Sn， 称 A Sn的 当子 ．用 X 表示 X的元 个数． (1)若n= 5，A= 1,2,3,5 ， A* 断 A 为S5的 当子 ； (2)已知A= 1,a,b,7 a< b  S7的 当子 ， a，b的 说 由； (3)若存 A Sn的 当子 ， 且 A = 5， n的 大 ． 【答 】(1)A*= 1,2,3,4 ， A S5的 当子 ； (2)a= 2，b= 5或 a= 3，b= 6. (3)10 【 】(1)由定义 A* 断 A 为S5的 当子 ； (2)已知A= 1,a,b,7 a< b  S7的 当子 ， A*= 1,2,3,4,5,6 ， 方 a，b的 验； (3)证 n= 10时，存 A S10的 当子 ；当n= 11时，不存 A S11的 当子 ， 【详解】(1)若n= 5， S5= 1,2,3,4,5 ，由A= 1,2,3,5 ， A*= 1,2,3,4 ， 满足A*∪ 5 =S5， A S5的 当子 ； (2)A= 1,a,b,7 a< b  S7的 当子 ， A*= 1,2,3,4,5,6 ， 7- 1= 6∈A*，由 5∈A* 7- a= 5或 b- 1= 5， 7- a= 5时，a= 2，此时 b= 5，A= 1,2,5,7 ，满足 意； b- 1= 5时，b= 6，此时 a= 3，A= 1,3,6,7 ，满足 意； a= 2，b= 5或 a= 3，b= 6. (3)若存 A Sn的 当子 ， 且 A = 5， 当n= 10时，A= 1,2,3,7,10 ， A*= 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，满足A*∪ 10 =S10， 所以A= 1,2,3,7,10  S10的 当子 ， 当 n= 11时，若存 A S11的 当子 ， 且 A = 5， 需满足A*= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，由 10∈A*， 1∈A且 11∈A；由 9∈A*， 2∈A或 10∈A， 2 / 11 2 ∈ A 时 ，设 A = 1,2,a,b,11 3≤ a< b≤ 10 ，经 验 这 的 a , b 满 足 A * = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ； 当 10 ∈ A 时 ，设 A = 1,a,b,10,11 2≤ a< b≤ 9 ，经 验 这 的 a , b 满足 A * = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ；， 因此不存 A S11的 当子 ， 且 A = 5， 所以存 A Sn的 当子 ， 且 A = 5，n的 大 为 10. 2 / 11 2024-2025学年名校高一上学期10月月考数学 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年名校高一上学期10月月考数学 考试范围：必修第一册第一章，第二章 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 7．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 11．我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 13．已知，则的取值范围是 . 14．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 16．解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 17．LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 18．设. (1)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 19．已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年名校高一上学期10月月考数学 考试范围：必修第一册第一章，第二章 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D A C D D 9 10 11 BD AC ACD 12 13 14 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 2．已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解. 【详解】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 3．已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，再求， 【详解】因为，且， 所以， 因为，，所以， 所以． 故选：B． 4．已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合，中的元素特征判断可得. 【详解】， 当时，表示的整数倍与的和，表示的整数倍与的和， 故， 故选：A 6．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】C 【分析】利用文氏图，列式求解. 【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以只参加一项比赛的有人， 故选：C． 7．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 8．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法比较大小即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 10．已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】由条件可得为方程的两根，且，结合根与系数关系可得的关系，再逐项判断各选项. 【详解】因为不等式.的解集为， 所以为方程的两根，且， 所以，， 所以，，， 因为，所以A正确； 因为，，， 所以不等式可化为，B错误； 因为，，， 所以，C正确； 因为，，， 所以不等式可化为， 解得，，所以D错误； 故选：AC. 11．我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据差集的定义逐个分析可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选： 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用可得实数的取值范围. 【详解】如图，在数轴表示，因为，故，填. 13．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）算出，即可计算出； （2）分是否为空集计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 当时，，则， 故. （2）当时，，解得，此时，符合题意， 当时，由，可得解得， 综上，的取值范围为. 16．解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】(1)7； (2)①36；②. 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题. 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 17．LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式； (2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案． 【详解】（1）∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，． ∴ （2）当时，，当时，取得最大值． 当时，，当且仅当，即时，取得最大值15． ∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 18．设. (1)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意将不等式整理，得，结合时，，将原不等式转化为，求出在上的最小值即可. （2）将转化为关于的一次函数，判断的单调性，得到，解不等式即可. （3）由题意将不等式整理得，然后分类讨论的情况：、、、、，从而可求解. 【详解】（1）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. （2）设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. （3）由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 【点睛】方法点睛： （1）分离参数法：结合题意，分离参数将问题转化为函数在给定区间上的最值问题，再利用函数的性质求得最值，从而得到参数的取值范围； （2）更换主次元法：结合问题，将问题的变量和参数进行转换，得到关于参数的式子，本题就是得到关于的一次函数，利用函数的单调性将问题转化为函数的最大值小于，即可得到关于的不等式解得范围． （3）利用分类讨论，并结合二次函数的性质及一元二次不等式求解，从而可求解. 19．已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$