特训09 全等三角形高频考点-半角模型-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训09 全等三角形高频考点——半角模型 【基本模型】 （1）条件：如图，正方形，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，为等边三角形，是等腰三角形，，，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. 【特训过关】 1．如图，是边长为a的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一 个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长是（　　） A．a B． C． D．不能确定 2．如图，中，D、E为边上两点，且，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接．下列4个结论：①；②；③； ④．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、 分别交、于点E、F，连接交于点G，以下五个结论：①；②； ③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中 正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 4．如图，在四边形中，，，点E，F分别是，上的点，且 ，若，求的度数． 5．如图，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且 ，求证：． 6．如图，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且 ．求证：． 7．已知，如图，在四边形中，，，E，F分别是线段，上的点， 且．求证：． 8．如图．在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的 点，且，求证：． 9．如图，在四边形中，，，，以D为顶点作一个 角，角的两边分别交、于E、F两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并 加以证明． 10．在四边形中，，，，现将一个角的顶点落在点 A处． （1）如图①，当该角的两边分别与、边相交于E、F时．求证：； （2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与、边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段、与之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索） 11．如图1，在正方形中，E、F分别是，上的点，且．则有结论 成立； （1）如图2，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 12．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A顺时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F、B、G共线，易证　 　，故、、之间的数量关系为　 　． （2）类比引申 如图②，在四边形中，，．E、F分别是、上的点．且．猜想图中线段、、之间的数量关系　 　． （3）拓展提高 如图③，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，探究上述结论是否仍然成立？说明理由． 13．同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于．下面我们就在 四边形中来研究几个问题： （1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　 　； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进，同时，舰艇乙沿北偏东的方向以60海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 14．【感知】如图①，点M是正方形的边上一点，点N是延长线上一点，且， 易证，进而证得（不要求证明） 【应用】如图②，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 【拓展】如图③，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为　 　． 15．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长到点E使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，此时： 　 　（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于E，F两点，连接，此时： 　 　（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形中，（），，，且（3） 中的结论仍然成立，则　 　（用含的代数式表示）. 16．【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，、与、分别交于E、F两点，为了探究、、之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到、、之间的数量关系． （1）提出问题：、、之间的数量关系为 　 　． （2）知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，、与、分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，、与、分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长＝　 　．（用含a、b、c的式子表示．） 17．已知，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且 ． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明　 　；再证明了　 　，即可得出，，之间的数量关系为 　 　． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若E、F分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段、、之间的数量关系为 　 　．（不用证明） 18．已知四边形中，，，，，， 绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E、F． （1）当绕B点旋转到时，求证：． （2）当绕B点旋转到时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 19．（1）如图1，四边形是边长为5 cm的正方形，E，F分别在，边上，．为 了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长＝　 　cm； （2）如图3，在四边形中，，，．E，F分别是线段 ，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，E，F分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点E、F分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 20．探究： （1）如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：　 　； （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 全等三角形高频考点——半角模型 【基本模型】 （1）条件：如图，正方形，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，为等边三角形，是等腰三角形，，，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. 【特训过关】 1．如图，是边长为a的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一 个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长是（　　） A．a B． C． D．不能确定 【答案】B． 【解析】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为a的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，为公共边， ∴， ∴， ∴的周长是：， 故选：B． 2．如图，中，D、E为边上两点，且，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接．下列4个结论：①；②；③； ④．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【解析】解：∵绕点A顺时针旋转得， ∴，①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，②错误； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴，③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； ∴正确的有①③④共3个， 故选：C． 3．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、 分别交、于点E、F，连接交于点G，以下五个结论：①；②； ③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中 正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D． 【解析】解：∵，， ∴， 故①正确； ∵点P为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形的面积为， 故④正确，⑤不正确； ∵， ∴和互补， 故③正确； ∵不是定长，故②不正确． ∴正确的有：①③④， 故选：D． 4．如图，在四边形中，，，点E，F分别是，上的点，且 ，若，求的度数． 【答案】． 【解析】解：延长到G使，连接，如图， ∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且 ，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：延长至M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且 ．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：延长到G，使，连接． ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∴． 在与中 ， ∴． ∴． ∵， ∴． 7．已知，如图，在四边形中，，，E，F分别是线段，上的点， 且．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：把绕点A顺时针旋转的度数得到，旋转到，旋转到，如图， ∴，，，， ∵， ∴， ∴点G、B、C共线， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴， ∴． 8．如图．在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的 点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：在上截取，使，连接． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 9．如图，在四边形中，，，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、于E、F两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】，理由见解析． 【解析】证明： 如图，结论：， 理由如下：延长到M，使， ∵，又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．在四边形中，，，，现将一个角的顶点落在点 A处． （1）如图①，当该角的两边分别与、边相交于E、F时．求证：； （2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与、边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段、与之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索） 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析． 【解析】解：（1）如图①， 延长到H点，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）（1）中的结论不成立， 如图②，在上截取， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图1，在正方形中，E、F分别是，上的点，且．则有结论 成立； （1）如图2，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1）成立，理由见解析；（2），证明见解析． 【解析】解：（1）延长到G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）结论不成立，应为， 证明：在上截取，使，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 12．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A顺时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F、B、G共线，易证　 　，故、、之间的数量关系为　 　． （2）类比引申 如图②，在四边形中，，．E、F分别是、上的点．且．猜想图中线段、、之间的数量关系　 　． （3）拓展提高 如图③，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，探究上述结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）成立，理由见解析． 【解析】解：（1）思路梳理： 如图①，把绕点A顺时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ∴， 即点F、B、G共线， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）类比引申 如图②，把绕点A顺时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ∴， 即点F、B、G共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）拓展提高 结论仍然成立， 理由如下：如图③，将绕点A顺时针旋转得到， 由旋转可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点H、B、F三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于．下面我们就在 四边形中来研究几个问题： （1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　 　； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进，同时，舰艇乙沿北偏东的方向以60海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，证明见解析；（3）两舰艇之间的距离是210海里． 【解析】解：（1），证明如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为 ． （2）结论仍然成立； 理由：延长到点G．使．连接，如图2， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，， ∴， 又∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 14．【感知】如图①，点M是正方形的边上一点，点N是延长线上一点，且， 易证，进而证得（不要求证明） 【应用】如图②，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 【拓展】如图③，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为　 　． 【答案】【应用】证明见解析；【拓展】6.4． 【解析】【应用】如图②中，过点A作交延长线于点G． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 【拓展】如图③中，过点A作交延长线于点G． ∵，，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形的周长为， 故答案为6.4． 15．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长到点E使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，此时： 　 　（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于E，F两点，连接，此时： 　 　（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形中，（），，，且（3） 中的结论仍然成立，则　 　（用含的代数式表示）. 【答案】（1）；；（2）；（3）＝；（4）． 【解析】解：（1）在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）如图，延长至点G，使，连接，， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）， 如图，延长至点G，使，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：＝； （4）由（3）同理可得， ∴，， 若， 则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，、与、分别交于E、F两点，为了探究、、之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到、、之间的数量关系． （1）提出问题：、、之间的数量关系为 　 　． （2）知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，、与、分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，、与、分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长＝　 　．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）． 【解析】解：（1）延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：； （2）成立，理由如下：延长到点G，使，连接， ∵，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （3）延长到点H，使，连接， 则， ∵与互补， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 17．已知，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且 ． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明　 　；再证明了　 　，即可得出，，之间的数量关系为 　 　． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若E、F分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段、、之间的数量关系为 　 　．（不用证明） 【答案】（1），，；（2）上述结论依然成立，理由见解析（3）． 【解析】（1）证明：如图1中，延长到点G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵，， ∴， 在与中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴； （3）解：在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．已知四边形中，，，，，， 绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E、F． （1）当绕B点旋转到时，求证：． （2）当绕B点旋转到时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）不成立，，理由见解析． 【解析】（1）证明：如图，将顺时针旋转，得， ∴，，， ∵，， ∴点A与点C重合， ∵， ∴， ∴点G、C、F三点共线， ∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，，理由如下： 如图，将顺时针旋转，得， ∴， 由（2）同理得，点C、F、G三点共线， ∵，， ∴点A与点C重合，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 19．（1）如图1，四边形是边长为5 cm的正方形，E，F分别在，边上，．为 了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长＝　 　cm； （2）如图3，在四边形中，，，．E，F分别是线段 ，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，E，F分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点E、F分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）10；（2），理由见解析；（3）成立，理由见解析；（4），理由见解析． 【解析】解：（1）如图1，延长到H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：10． （2）． 证明：如图2所示，延长到点G．使．连接． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）成立． 证明：如图3，延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由如下：在上截取，使， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴． 20．探究： （1）如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：　 　； （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3），理由见解析． 【解析】解：（1）如图1，将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （2）结论仍然成立． 理由如下：如图2，将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到， 则， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴、B、E三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）发生变化．、、之间的关系是． 理由如下：如图3，将绕点A顺时针旋转，使与重合，点F落在上点处，得到， ∴， ∴，，， 又∵，且， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$