专题03 轴对称【7大经典基础题+4大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题03 轴对称 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 轴对称图形 · 题型02、 轴对称的性质 · 题型03、 画轴对称图形 · 题型04、 线段的垂直平分线性质 · 题型05、等腰三角形 · 题型06、等边三角形 · 题型07、30°的直线三角形问题 【优选提升题】 · 题型01、路径最短问题 · 题型02、轴对称的几何变换 · 题型03、线段垂直平分线问题 · 题型04、等腰、等边三角形的性质 · · 轴对称图形 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·广东汕头·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图四个图案中，具有一个共有的性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 轴对称的性质 4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，E为上一点，A和E关于对称，B点和C点关于对称，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，和均与成轴对称，对称轴分别是直线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·广东珠海·期中）如图，与关于直线对称，已知，的面积是，则边上的高是(　　) A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，D、E分别是BC、AD的中点，与关于直线CE对称，若ABC的面积是8，则面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角 . 画轴对称图形 9．（23-24八年级上·广东江门·期中）已知坐标平面内有两点，若点A、B关于x轴对称，则的值（    ） A．1 B． C．0 D．2 10．（23-24八年级上·广东广州·期中）下列各选项中，关于y轴对称的一对点是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 12．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图在正方形网格中，直线与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． (1)已知和关于直线对称，请在图上把和补充完整； (2)在以直线为轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 13．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图：    (1)写出A、B、C三点的坐标． (2)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与原有怎样的位置关系． 线段的垂直平分线性质 14．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 15．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 16．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N，②连接．连接．若，，则的周长为（　　） A．5 B．11 C．12 D．17 17．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 等腰三角形 19．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：． 21．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（23-24八年级上·广东中山·期中）在中，分别是边的垂直平分线， (1)若，求的度数． (2)若，求的周长． 23．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，是的平分线，，垂足为点F (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 等边三角形 24．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 25．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 27．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在是等边三角形，是中线，过作 ，交延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：是的中线． 28．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 30°的直线三角形问题 29．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，，，，，则（　　） A．3 B．4 C． D．5 30．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 31．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，中，，于点D，，，则的长是 ． 32．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，是的平分线，求的长． 33．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是边上一个动点（不与点D重合），以为一边，在的下方作，交射线于点G，请画出完整图形，探究与数量之间的关系，并说明理由． 路径最短问题 34．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    35．（21-22八年级上·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 36．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请求出的面积； (3)请在y轴上找一点P，使得最小． 轴对称的几何变换 37．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．2.4 D．4.8 38．（23-24八年级上·广东阳江·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是 ．    39．（22-23八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 40．（22-23八年级上·广东茂名·期中）如图，在所给网格图（每小格边长均为1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使最小．（保留画的痕迹） 线段垂直平分线问题 34．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    35．（21-22八年级上·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 36．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请求出的面积； (3)请在y轴上找一点P，使得最小． 37．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．2.4 D．4.8 38．（23-24八年级上·广东阳江·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是 ．    39．（22-23八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 40．（22-23八年级上·广东茂名·期中）如图，在所给网格图（每小格边长均为1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使最小．（保留画的痕迹） 等腰、等边三角形的性质 41．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”， (1)求证：； (2)是线段的垂直平分线吗？请说明理由． (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 42．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图所示，已知，，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，点E在的延长线上，交于点F，且．    (1)求证：； (2)求证：平分． 43．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，的两条高与交于点，，．    (1)求证：； (2)连结，试说明：是的垂直平分线； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 44．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，过C作直线，B关于直线的对称点为D，连接，，，与的交点为E，设．    (1)若，则请直接写出下列两个角的度数： _______， _______． (2)随着α的变化，的度数是否也发生变化，请说明理由； (3)当成为等腰三角形时，求α的值． 45．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交AB于点E，交AC于点F，过点O作于点D．下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（23-24八年级上·广东珠海·期中）（1）如图1，等腰直角中，，线段经过点，过作于点，过作于．求证：． （2）如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； （3）如图3，在中，，点（不与点重合）是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到（即），连接，试猜想的度数，并给出证明． 47．（22-23八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点D坐标为，已知a，b，d满足，轴且，交y轴于点C，交x轴于点F． (1)求点A，B，D的坐标； (2)求点E，F的坐标； (3)如图，过作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在Р的右侧）使，OE交x轴于N，交y轴正半轴于M，求的值． 48．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知中，，点是边上一点，点为边上一点．    (1)如图1，若，连接，以为一边作等腰直角，，连接，求证：． (2)如图2，若，以为一边作等腰直角，，连接，求的度数． (3)如图3，若把（1）中的条件改为：，以为一边作等边，连接．求的度数（直接写出结果，不需要过程）． ( 22 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 轴对称图形 · 题型02、 轴对称的性质 · 题型03、 画轴对称图形 · 题型04、 线段的垂直平分线性质 · 题型05、等腰三角形 · 题型06、等边三角形 · 题型07、30°的直线三角形问题 【优选提升题】 · 题型01、路径最短问题 · 题型02、轴对称的几何变换 · 题型03、线段垂直平分线问题 · 题型04、等腰、等边三角形的性质 · · 轴对称图形 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东汕头·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图四个图案中，具有一个共有的性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，解题关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．题目中的四个图形都是轴对称图形，据此即可作出判断． 【详解】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8． 故选C． 轴对称的性质 4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，E为上一点，A和E关于对称，B点和C点关于对称，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据对称的性质得到．根据对称的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵A和E关于对称， ∴， ∵B点和C点关于对称， ∴， ∴， 设，则， 在中， 解得，即． 故选：B． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，和均与成轴对称，对称轴分别是直线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得，，，再结合三角形的内角和和外交定理可求得，由此可得． 【详解】解：∵和均与成轴对称， ∴，，， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， ， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角定理，轴对称的性质．理解轴对称的性质是解题关键． 6．（22-23八年级上·广东珠海·期中）如图，与关于直线对称，已知，的面积是，则边上的高是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得,的面积也是，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，，的面积是， ∴,的面积也是， ∴边上的高为 ． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 7．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，D、E分别是BC、AD的中点，与关于直线CE对称，若ABC的面积是8，则面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据D、E分别是BC、AD的中点，可得，，再由对称即可求得． 【详解】解：∵D别是BC的中点， ∴， ∴的底是DC，的底是BC， 又∵和的高相同， ∴， ∵E别是AD的中点， ∴， ∴的底是DE，的底是AD， 又∵和的高相同， ∴， 又∵与关于直线CE对称， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换，解题的关键是掌握两个三角形的高（或底）相等，面积比等于底（或高）之比． 8．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角 . 【答案】/20度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，根据入射角等于反射角，可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 画轴对称图形 9．（23-24八年级上·广东江门·期中）已知坐标平面内有两点，若点A、B关于x轴对称，则的值（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程组，求出的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∴； 故选A． 10．（23-24八年级上·广东广州·期中）下列各选项中，关于y轴对称的一对点是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，熟练掌握点的对称特点是解决本题的关键．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等可得答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为． 故选：B． 11．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解； （2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； （3）根据对称求最短路径的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接，    ∴即为所求图形． （2）解：由（1）可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． （3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点， ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 12．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图在正方形网格中，直线与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． (1)已知和关于直线对称，请在图上把和补充完整； (2)在以直线为轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—轴对称、坐标与图形变换—轴对称； （1）根据轴对称的性质找出点和点的对称点的位置，作图即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，和即为所求 （2）由题意可得，点的坐标为． 故答案为： ． 13．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图：    (1)写出A、B、C三点的坐标． (2)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与原有怎样的位置关系． 【答案】(1)，， (2)图见解析，与原的位置关系是关于x轴对称． 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，轴对称作图和点的坐标的确定，图对称图形的判定． （1）直接根据坐标系确定坐标即可； （2）先确定对称点，再顺次连接即可作图，利用坐标特征和图可知其关于x轴对称． 【详解】（1）解：A、B、C三点的坐标分别是，，； （2）解：∵各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘， 又由（1）知：A、B、C三点的坐标分别是，，， ∴、、三点的坐标分别是，，， 如图，即为所作，    由坐标特征和图可知：与原的位置关系是关于x轴对称． 线段的垂直平分线性质 14．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 15．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出； （2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长． 【详解】（1）解：如图为所求； （2）解：连接． 点D在的垂直平分线上， ，， 周长= ． 16．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N，②连接．连接．若，，则的周长为（　　） A．5 B．11 C．12 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ∴的周长． 故选：D． 17．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定．根据角平分线的性质可得，可证明，推出，据此即可证明是的垂直平分线． 【详解】证明：是的角平分线，，， ， 在和中，， ， ， ∵， ∴是的垂直平分线． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质； （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； （2）解：∵，的周长是， ∴， ∵， ∴． 等腰三角形 19．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟知三线合一定理和等边对等角是解题的关键. 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴． ∴, 故B、C、D正确，A错误． 故选：A． 20．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明 是本题的关键．由等腰三角形的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得结论． 【详解】证明： ，点 是 的中点， ， ， ， ∴， ． 21．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，涉及到平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再由平分，，即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， 平分， ， ， ． 22．（23-24八年级上·广东中山·期中）在中，分别是边的垂直平分线， (1)若，求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据等边对等角可得，，再通过三角形内角和定理求出，通过等量代换即可求解； （2）利用线段垂直平分线的性质可得，，通过等量代换可得，即可求解． 【详解】（1）解： ，分别是边，的垂直平分线， ，， ，． ， ， ， ． （2）解： ，分别是边，的垂直平分线， ，， ， 即的周长是8． 23．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，是的平分线，，垂足为点F (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理． （1）由平行线的性质及角平分线的定义可得，从而得到，根据“三线合一”即可证得平分； （2）由是的平分线得到，从而，又得到，根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 等边三角形 24．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 25．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称知识，等边三角形的判定与性质．分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，再根据已知条件可证是等边三角形即可． 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，连接，如图所示： ∵点关于的对称点为，关于的对称点为 ∴ ∵点关于的对称点为 ∴ ∴ ∵周长的最小值是4 ∴ ∴ 即 ∴，即是等边三角形 ∴ ∴． 故选：B． 26．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键． 根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：4． 27．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在是等边三角形，是中线，过作 ，交延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：是的中线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形的中线； （1）根据等边三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数； （2）求出，可得，再根据等边三角形的性质得出即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，是中线， ∴平分， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴是的中线． 28．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 是边上的中线， ，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 30°的直线三角形问题 29．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，，，，，则（　　） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半． 先求出，再得出，即可推出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 30．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ，， ∵ ， ， ， ， ． 故答案为：． 31．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，中，，于点D，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含直角三角形的性质； 求出，然后利用两次含直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，是的平分线，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质．由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得． 【详解】解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 33．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是边上一个动点（不与点D重合），以为一边，在的下方作，交射线于点G，请画出完整图形，探究与数量之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）延长至H，使得，连接，证是等边三角形，得，，得，然后证，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 平分， ， ， 又 ， ， ， 又 ， 是等边三角形； （2）解：，理由如下： 如图，延长至H，使得，连接， 由（1）得，， ， ， ， 又 ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 路径最短问题 34．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    【答案】18 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，在上运动， ∴， ∴的周长， ∴要想的周长最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，此时， ∴此时的周长， ∴的周长最小值为， 故答案为：．    35．（21-22八年级上·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 是等边三角形， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为5． 故答案为：5． 36．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请求出的面积； (3)请在y轴上找一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)3.5 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）作A点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点． 【详解】（1）解： 与关于x轴对称，， ， 如图，为所作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P为所作． 轴对称的几何变换 37．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．2.4 D．4.8 【答案】D 【分析】由题意可以把Q反射到的O点，如此的最小值问题即变为C与线段上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解． 【详解】解：如图，作Q关于的对称点O，连接，过点C作于点M，则，所以O、P、C三点共线时，，此时有可能取得最小值， ∵当垂直于即移到位置时，的长度最小， ∴的最小值即为的长度， ∵， ∴，即的最小值为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 38．（23-24八年级上·广东阳江·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查轴对称的最短问题、垂线段最短等知识，作关于的对称点，连接 ，作 于交于．因为，所以当与，与重合时，最小，求出即可解决问题． 【详解】如图，作关于的对称点，连接 ，作 于交于．    ， 当与，与重合时，最小， ，， ， 的最小值为， 故答案为． 39．（22-23八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】过作于点，连接，可得到，从而得到，，再由，可得，作点关于的对称点，连接，则，可得到点在直线上，，从而得到的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接，则， ∴点在直线上，， ∴的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称——最短距离问题，根据题意得到的最小值为是解题的关键． 40．（22-23八年级上·广东茂名·期中）如图，在所给网格图（每小格边长均为1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使最小．（保留画的痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找到点关于轴的对称点，然后进行连线即可得到； （2）找到点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）如图所示，点即为所求； 【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于坐标轴对称的点的特征，是解题的关键． 线段垂直平分线问题 34．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    【答案】18 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，在上运动， ∴， ∴的周长， ∴要想的周长最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，此时， ∴此时的周长， ∴的周长最小值为， 故答案为：．    35．（21-22八年级上·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 是等边三角形， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为5． 故答案为：5． 36．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请求出的面积； (3)请在y轴上找一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)3.5 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）作A点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点． 【详解】（1）解： 与关于x轴对称，， ， 如图，为所作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P为所作． 37．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．2.4 D．4.8 【答案】D 【分析】由题意可以把Q反射到的O点，如此的最小值问题即变为C与线段上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解． 【详解】解：如图，作Q关于的对称点O，连接，过点C作于点M，则，所以O、P、C三点共线时，，此时有可能取得最小值， ∵当垂直于即移到位置时，的长度最小， ∴的最小值即为的长度， ∵， ∴，即的最小值为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 38．（23-24八年级上·广东阳江·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查轴对称的最短问题、垂线段最短等知识，作关于的对称点，连接 ，作 于交于．因为，所以当与，与重合时，最小，求出即可解决问题． 【详解】如图，作关于的对称点，连接 ，作 于交于．    ， 当与，与重合时，最小， ，， ， 的最小值为， 故答案为． 39．（22-23八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】过作于点，连接，可得到，从而得到，，再由，可得，作点关于的对称点，连接，则，可得到点在直线上，，从而得到的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接，则， ∴点在直线上，， ∴的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称——最短距离问题，根据题意得到的最小值为是解题的关键． 40．（22-23八年级上·广东茂名·期中）如图，在所给网格图（每小格边长均为1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使最小．（保留画的痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找到点关于轴的对称点，然后进行连线即可得到； （2）找到点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）如图所示，点即为所求； 【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于坐标轴对称的点的特征，是解题的关键． 等腰、等边三角形的性质 41．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”， (1)求证：； (2)是线段的垂直平分线吗？请说明理由． (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 【答案】(1)见解析 (2)是线段的垂直平分线，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据垂直平分线的判定即可得出证明； （3）根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， （3）∵ ∴ ∴“筝形”的面积为：． 42．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图所示，已知，，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，点E在的延长线上，交于点F，且．    (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可得到结论； （2）过点A分别作，，证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）过点A分别作，，垂足分别为M，N，    ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A在的角平分线上， ∴平分． 【点睛】本题考查了角平分线的判定、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 43．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，的两条高与交于点，，．    (1)求证：； (2)连结，试说明：是的垂直平分线； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或4 【分析】（1）证明，即可得到； （2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线； （3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解． 【详解】（1）证明：、是高， ， 在与中， ， ； （2）证明：，， ， ， 、是高， ． 在与中，， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； （3）解：①如图1，当点在延长线上时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． ②如图2，当点在之间时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． 综上所述，或4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（3）问要注意分类讨论． 44．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，过C作直线，B关于直线的对称点为D，连接，，，与的交点为E，设．    (1)若，则请直接写出下列两个角的度数： _______， _______． (2)随着α的变化，的度数是否也发生变化，请说明理由； (3)当成为等腰三角形时，求α的值． 【答案】(1)； (2)不变，理由见解析； (3)或或或 【分析】（1）根据轴对称的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，证明是等边三角形，得出，，根据等腰三角形性质求出，最后求出结果即可； （2）根据解析（1）的思路，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出即可证明结论； （3）分四种情况进行讨论，根据等腰三角形的定义，进行分类，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1中，    ∵B，D关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）解：如图2中，结论：的度数不变，．      理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图3中，当时，    ∵，， ∴，关于对称， ∴， ∴； 如图4中，当时，是等边三角形，    ∴， ∴； 如图5中，当时，    ∵，，， ∴， ∴， ∴； 如图6中，当时，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的α的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 45．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交AB于点E，交AC于点F，过点O作于点D．下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键在于熟练掌握角平分线的性质与等腰三角形的性质． （1）由平行线的性质及角平分线得到与是等腰三角形可求得①； （2）根据角平分线和，与三角形内角和定理可求得②； （3）由角平分线的性质得出交点到三角形各边距离相等可求得③； （4）由，，以及角平分线的性质，表示出三角形的面积可求得④． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ． 同理可得， ． ∴①正确； ∵和的平分线相交于点O， ， 又， ． ∴②正确； 如图，连接，过点分别作于点； 于点， 和分别为和的角平分线， ；；， ∴点到各边的距离相等． ∴③正确； 若， 则点到的距离， ， ． ∴④正确． 综上，①②③④均正确． 故选：D． 46．（23-24八年级上·广东珠海·期中）（1）如图1，等腰直角中，，线段经过点，过作于点，过作于．求证：． （2）如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； （3）如图3，在中，，点（不与点重合）是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到（即），连接，试猜想的度数，并给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定： （1）只需要利用证明，得到即可得到结论； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作于M，过点C作于N，先求出，同理可证明，得到，则； （3）分两种情形：当点运动到点A右侧时，如图②中，延长至，使，连接，，．利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴≌； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作于M，过点C作于N， ∵点，点， ∴， 同理可证明， ∴， ∴； 解：猜想，证明如下： ①当点运动到点右侧时， 如图②中，延长至，使，连接，，． 在和中 ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 即 在和中 ，， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 47．（22-23八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点D坐标为，已知a，b，d满足，轴且，交y轴于点C，交x轴于点F． (1)求点A，B，D的坐标； (2)求点E，F的坐标； (3)如图，过作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在Р的右侧）使，OE交x轴于N，交y轴正半轴于M，求的值． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】本题是三角形综合题，涉及知识点有非负数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握非负数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由非负数的性质可求得、、的值，可求得、、的坐标； （2）由条件可证明，可求得和的长，可求得点坐标，由得，，在中，可得，从而得出，然后求出，可求得点坐标； （3）过点E作，，垂足分别为点G，H，在GA上截取，先证明，可得，，再证明，可得，再结合条件可求得，可求得答案． 【详解】（1）， ，，， ，，． （2），，， ，，， ， 在和中， ， ， ， 由得，， 在中， 即， 又在中，， ， ， 故在直角三角形中，， ， 点F的坐标为． （3）过点E作，，垂足分别为点G，H，在上截取，如图4， ，， ， 四边形为正方形， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ． 48．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知中，，点是边上一点，点为边上一点．    (1)如图1，若，连接，以为一边作等腰直角，，连接，求证：． (2)如图2，若，以为一边作等腰直角，，连接，求的度数． (3)如图3，若把（1）中的条件改为：，以为一边作等边，连接．求的度数（直接写出结果，不需要过程）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作交于，同（1）的方法判断出，推出，即可得出结论； （3）过点作交于，同（1）的方法判断出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ； （2）如图2，    在中，，， ， 过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图3， 在中，，， ， 过点作交于，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加辅助线． ( 71 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$