专题4.5 等比数列的前n项和公式【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.5 等比数列的前n项和公式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 2 【题型3 等比数列前n项和的性质】 3 【题型4 求等比数列的前n项和】 4 【题型5 等比数列前n项和的最值问题】 4 【题型6 等比数列的简单应用】 5 【题型7 等比数列与不等式综合】 6 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 7 【知识点1 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 【例1】（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 【例2】（2024高二·全国·专题练习）在等比数列中，，求数列的通项公式． 【变式2-1】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. (3)求数列的前项和 【变式2-2】（2024·广东佛山·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值． 【变式2-3】（2024·河南周口·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，已知，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：. 【题型3 等比数列前n项和的性质】 【例3】（23-24高二下·甘肃白银·期中）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．76 D．80 【变式3-1】（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【变式3-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【题型4 求等比数列的前n项和】 【例4】（23-24高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 【变式4-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知}是各项均为正数的等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列前n项和． 【变式4-3】（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明是等比数列； (3)设，求数列的前项和 【题型5 等比数列前n项和的最值问题】 【例5】（23-24高二上·北京大兴·期末）记为等比数列的前n项和．已知，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 【变式5-1】（23-24高二下·北京丰台·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最小项 D．数列有最大项 【变式5-2】（23-24高三上·湖北黄冈·期中）数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值． 【变式5-3】（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求的最大值和最小值． 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（2024高二·全国·专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【变式6-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（    ） A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏 【变式6-2】（23-24高二上·河北邢台·期末）现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-3】（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【题型7 等比数列与不等式综合】 【例7】（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式7-1】（2024·北京西城·二模）已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等比数列． (2)求满足的最大整数． 【变式7-3】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列，， ，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：，． 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 【例8】（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式8-1】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式8-2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足. (1)分别求数列和的通项公式； (2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 【变式8-3】（2024·广东肇庆·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求； (2)已知，求数列的前项和； (3)求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 等比数列的前n项和公式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 3 【题型3 等比数列前n项和的性质】 5 【题型4 求等比数列的前n项和】 7 【题型5 等比数列前n项和的最值问题】 9 【题型6 等比数列的简单应用】 11 【题型7 等比数列与不等式综合】 13 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 15 【知识点1 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 【例1】（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【解题思路】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得. 【解答过程】由， 因，代入得，， 即，解得，或. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】由及通项公式，列出方程组求解即可. 【解答过程】在等比数列中，，，，所以， 由，及通项公式， 可得，解得. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据通项公式求公比，再由等比数列求和公式可得首项. 【解答过程】设等比数列的公比为，， 即，， ，． 故选：B． 【变式1-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 【解题思路】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】由，，得， 则， 所以，所以. 故选：A. 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 【例2】（2024高二·全国·专题练习）在等比数列中，，求数列的通项公式． 【解题思路】由和联立解出首项和公比，通过等比数列的通项公式得到答案. 【解答过程】设等比数列的公比为，由题意得 ，解得或， 所以或. 【变式2-1】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. (3)求数列的前项和 【解题思路】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）根据条件得到，从而有是以为首项，公差的等差数列，即可求解； （3）根据条件，利用错位相减法，即可求解. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，因为，所以， 则，解得， 所以数列的通项公式. （2），即，所以， 所以是以为首项，公差的等差数列， 所以，得到. （3）， 所以①， 则②， ①②，得. 则. 【变式2-2】（2024·广东佛山·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值． 【解题思路】（1）由已知结合等比数列的求和公式先求出，，然后结合等比数列的通项公式即可求解； （2）结合等比数列的求和公式及基本不等式即可求解． 【解答过程】（1）正项等比数列中，，， 所以，解得，（舍负）， 故； （2）正项数列满足，所以， 设，则，， ，当时，， 两式相除得，， 故，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列， ，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 即取最小值时，． 【变式2-3】（2024·河南周口·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，已知，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：. 【解题思路】（1）设等比数列的公比为，结合等比数列求和公式可得，即可得结果； （2）由（1）得，，利用错位相减法可得，进而分析证明. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由可知，， 则，得，解得（负值舍去）， 将代入，解得， 所以数列的通项公式为 . （2）由（1）得，， 则，可得， 两式相减可得 ， 可得. 因为，可知数列为递增数列，则； 综上可得. 【题型3 等比数列前n项和的性质】 【例3】（23-24高二下·甘肃白银·期中）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．76 D．80 【解题思路】设是该等比数列的前项和，依题意可知成等比数列，由等比数列的性质求解即可. 【解答过程】设是该等比数列的前项和，依题意可知 则成等比数列，即成等比数列， 则解得 故选：D. 【变式3-1】（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【解题思路】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可. 【解答过程】解：因为是正项等比数列的前项和， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得或(舍). 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【解答过程】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【解答过程】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 【题型4 求等比数列的前n项和】 【例4】（23-24高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解答过程】设等比数列的公比为q， 则由，，得， 解得， 故， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高三上·湖南·开学考试）若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 【解题思路】证明两等比数列的和数列仍为等比数列，再由等比数列求和公式可得. 【解答过程】因为两个等比数列的公比相等，设为， 则，且， 故，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前7项和． 故选：B. 【变式4-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知}是各项均为正数的等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列前n项和． 【解题思路】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前项和公式，即可求解. 【解答过程】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为q，，， 所以，解得（舍去）或4， 所以数列是首项为2、公比为4的等比数列，． （2）因为， 求和可得：． 【变式4-3】（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明是等比数列； (3)设，求数列的前项和 【解题思路】（1）根据分段求出数列通项； （2）应用等比数列定义证明即可； （3）应用等差、等比求和公式分组求和即可. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 因此数列的通项公式为； （2）， 因为是常数，， 故是等比数列； （3）是等比数列，首项是，公比是， ， ， 所以． 【题型5 等比数列前n项和的最值问题】 【例5】（23-24高二上·北京大兴·期末）记为等比数列的前n项和．已知，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 【解题思路】求出公比，求出，然后分析的性质即可． 【解答过程】设公比为，则，， ， 当为偶数时，，对应函数为减函数，即， 当为奇数时，，对应函数为增函数，即， 所以有最大项为，最小项为． 故选：D． 【变式5-1】（23-24高二下·北京丰台·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最小项 D．数列有最大项 【解题思路】由已知，分析等比数列的公比范围，进而可以判断的单调性，判断A，B；由，分，进行讨论，判断C，D． 【解答过程】设等比数列的公比为，则， 由可得，又，所以即，又，所以，即， 故等比数列首项，公比满足或， 当时，等比数列为正负项交替的摆动数列，故不单调； 当时，，等比数列单调递减，故A，B不正确； 又，且 所以当时，由于， 则，， 此时数列的最小项为，最大项为； 当时，有， 则数列为单调递增数列，有最小项，无最大项，故C正确，D不正确. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高三上·湖北黄冈·期中）数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值． 【解题思路】（1）由数列是公差为的等差数列求出，再由时，即可求解； （2）数列是等比数列，根据前项和的单调性求最大值与最小值． 【解答过程】（1）数列是公差为的等差数列， ，， ， 时，， 又符合上式， ． （2），数列是首项为，公比为的等比数列， ， ①当为奇数时，， 此时为单调递减数列，， ②当为偶数时，， 此时为单调递增数列，， 综上①②，的最小值为，最大值为. 【变式5-3】（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答. （2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有， 设等差数列的公差为，因，，则，解得，即， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）知，， 当时，，此时数列是递减的，恒有，此时； 当时，，此时数列是递增的，恒有，此时； 综上可得，的最大值为16，最小值为8. 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（2024高二·全国·专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【解题思路】由题意确定每天走的路程构成公比为的等比数列，即可求解 【解答过程】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走的路程为（里）． 故选：D. 【变式6-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（    ） A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏 【解题思路】根据等比数列的前和公式建立方程，解出即可. 【解答过程】设各层塔的灯盏数为， 数列是公比为的等比数列， 由题意可得， 解得， 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二上·河北邢台·期末）现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】由题意，归纳出截掉的长度和天数成等比数列，根据等比数列求解即可. 【解答过程】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列， 则该等比数列的前项和. 由，得，得. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【解题思路】由已知结合等差数列与等比数列的求和公式即可判断． 【解答过程】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬． 故选：C． 【题型7 等比数列与不等式综合】 【例7】（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果． 【解答过程】设等比数列的公比为，由，得， 则，即， 因为，所以，解得，所以， 所以， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，所以. 故选：C. 【变式7-1】（2024·北京西城·二模）已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等比数列的基本量求得，从而可得公差，由等比数列得前项和公式得，分类讨论，结合数列的单调性即可得求得满足不等式时的取值范围. 【解答过程】因为等比数列，由可得，所以， 则公比，所以， 当为奇数时，恒成立，所以， 又数列为递增数列，所以，，则此时； 当为偶数时，恒成立，所以， 又数列为递增数列，，则此时； 综上，的取值范围是. 故选：D. 【变式7-2】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等比数列． (2)求满足的最大整数． 【解题思路】（1）利用构造法，结合等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）的结果，结合等比数列前项和公式，即可求解不等式. 【解答过程】（1）证明：由，两边取倒数，并整理得， 则，因为，所以数列是等比数列． （2）由（1）得， 则， 显然为单调递增数列，则满足条件的最大整数为99． 【变式7-3】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列，， ，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：，． 【解题思路】（1）根据分析可得，进而可得，结合与的关系可得，结合等比数列运算求解； （2）根据积项可得，整理可得，即可证明. 【解答过程】（1）因为，则， 两式相减可得，即， 又因为，则， 整理可得，则， 两式相减可得，则，且， 可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，所以. （2）由（1）可得， 因为， 若，则； 若，则； 综上所述：. 又因为 ， 又因为，则， 所以. 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 【例8】（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解题思路】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【解答过程】（1）由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． （2）由题意及（1），可得， 则 ． 【变式8-1】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， ∵，， ∴， ∴. ∴. 设等比数列的公比为， 若选条件①，， 由，且， 得， ∴，解得. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 故. 若选条件②，， 令，得， ∴公比， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. 从而. （2）因为， 所以， 两式相减，得， 即， 所以. 【变式8-2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足. (1)分别求数列和的通项公式； (2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 【解题思路】（1）利用等差数列基本量运算求得，再由的和式采用作差法求得并验证即得通项； （2）由，列出数列的前8项，求出他们对应的数列中的相同项，确定为的前107项的和减去的前7项的和. 【解答过程】（1）设正项等差数列的公差为， 因为，，所以，解得： 所以. 数列满足 设， 当时，有，即， 当时，有，得 符合，所以 （2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256， 对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项， 故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列 设数列的前项和为，所以 . 【变式8-3】（2024·广东肇庆·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求； (2)已知，求数列的前项和； (3)求证：. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知条件求出和的通项，利用等比数列前项和公式求； （2）为奇数和是偶数时，分别求的通项，利用分组求和求数列的前项和； （3）利用放缩和等比数列前项和公式证明不等式. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，得，解得， 则， 由，，得，， 解得，则， 所以． （2）当是奇数时，， 当是偶数时，， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以， ， 所以. （3）证明：由（1）知，，当且仅当时取等号， 则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$