期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆中最值 1．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以，为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是(　　) A． B．6 C．8 D． 3．如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，  ，，点是线段上任意一点，则的最小值为 (   ) A．8 B． C． D．6 4．如图，E、F分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点G，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值为 ． 5．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 6．如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 类型二、相似最值 1．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 2．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，．是上一动点，连接，过作于，取中点，连接，若的延长线交于，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 4．如图，点E、F为正方形的边上两个动点，且，，于M，连，则的最小值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，在轴上有一动点，则的最小值为 ． 6．如图，半圆的半径为，为直径，为切线，，为弧上一动点，则的最小值为 ． 类型三、圆中的无刻度尺作图 1．请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法 (1)如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线； (2)如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线； (3)如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： (1)请在图1中作出的边上的高； (2)请在图2中线段上确定一点F，使得； (3)请在图3中作出的切线． 3．如图，是的直径，点C，D均在上，且，． (1)请你在图1中，用无刻度的直尺作出的平分线； (2)请你在图2中，用无刻度的直尺作出的平分线． 4．在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）． (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点，使得． 5．如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，点D为与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)画圆心O，并过点B作的切线BE； (2)作弦，并在上画点G，使． 6．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． (1)如图1，是半圆的直径，等边的边、与半圆分别交于点、点，请确定半圆所在圆的圆心； (2)如图2，是半圆的直径，，点、点是半圆上的两个点，连接，在上找一点，使得为等腰三角形． 类型四、相似中的无刻度尺作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先将线段绕点C逆时针旋转，画出对应线段，再画的平分线，交于点N； (2)在图2中，先画边上的高，再画，交于点F． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段； (2)在图（2）中，连接，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出； (3)在图（3）中，在上画一点，在上画一点，使得最小． 3．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，过点画一条平分周长的直线． (2)在图②中，过点画一条平分面积的射线． (3)在图③中，过点画一条将周长分成两部分的线段． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分； (2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且． 5．在的正方形网格中，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，过点作． (2)在图②中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形． (3)在图③中，作，使的面积等于面积的． 6．如图，在的方格纸中，点是方格纸中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画出线段的中点O； (2)在图②中画出一个平行四边形，使，且平行四边形为格点四边形． (3)在图③中画一个矩形，使得矩形的面积为． 类型五、一元二次方程的新定义 1．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求n的值； (3)若整式关于对称，求实数a的值． 2．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 3．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 4．先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 5．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 6．请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 类型六、圆的新定义 1．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2．给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕着点旋转，可以得到的弦（分别是的对应点）则称线段是以点为中心的的“关联弦”． (1)如图1，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，以点为中心的的“关联弦”是______； (2)如图2，点，，线段是以点为中心的的“关联弦”，求出点的坐标； (3)如果经过点的直线上存在以点为中心的的“关联弦”，求出这条直线与y轴交点的纵坐标的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点_______重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为2，点 ，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，其中 ，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 5．如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”， 在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为．写出的取值范围． 6．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为． ①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 类型七、相似的新定义 1．定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．    (1)若是“近直角三角形”，，，则　　度； (2)如图1，在中，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长． 2．【定义新知】 如图1，在线段上有一点P，若与相似，则称点P为与的“似联点”． 【理解运用】 （1）如图2，在的正方形网格中，四边形的顶点均在格点上，连接，在线段上画出点P，连接、，使得点P为与的“似联点”；（只需画出一种情况） （2）如图3，在中，弦与相交于点P，连接、，试判断点P是否为与的“似联点”，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，现有一块四边形铁皮，，，，点E、F分别是、边上的定点，，且．工人师傅想在线段上找出与的“似联点”P，并在点P处打孔，请你通过作图帮助工人师傅确定打孔的准确位置和数量（需说明理由），并求出孔（点P）与点E之间的距离．      3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．    (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，，求邻余线的长． 4．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．    （1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”） ②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由． 拓展探究 （2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由． 迁移应用 （3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值． 5．定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 6．已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 类型八、圆中的动点求t 1．如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．    (1)当时． ①求的度数； ②判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求t的值． 2．如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 3．如图，已知是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过三点作圆，交于点，连接．设运动时间为，其中． (1)求的值； (2)当时，求出内切圆的半径； (3)求四边形的面积． 4．如图，矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为． (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能请说明理由； (3)运动过程中，当点，，，四个点恰好在同一个圆上时，求值． 5．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 6．如图，在Rt△ABC中，，cm．点D从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，移动过程中始终保持（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中）． (1)当t为何值时，四边形DEFC的面积为18？ (2)是否存在某个时刻t，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由． 类型九、相似中的动点求t 1．如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． (1)线段的长为____________； (2)当矩形恰好是正方形时，求t的值； (3)当时，求t的值： (4)延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 2．在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，移动时间为． (1)求时，的面积． (2)移动过程中，是否存在这样的t使得的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)移动过程中，是否存在t值使得以点E，O，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 4．如图 1 ，在矩形中，动点 E 从 B 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿线段 方向运动，连接，以为边向上作正方形． 设点 E 的运动时间为t秒． (1)如图1，与边交于点M，当时，求t的值； (2)如图2，当点F恰好落在对角线上时，求t的值； (3)当点E从点 B运动到点C时，求点 F的运动路径长． 5．如图，在中，．点D为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结，将线段绕点D逆时针旋转线段，连结．设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到的距离 (2)当点E落在内部（不包括边界）时，求t的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段PE的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出t的值． 6．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 类型十、圆和相似中的三大运动 1．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：在线段上截取，连接、． 1°当点P在直线外时， 证明过程缺失 2°当点P在直线上时， 易知． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　． 【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　． 2．如图，在等边三角形中，，点E是射线上的一个动点，点D随着点E的运动而在射线上运动，连接，始终有，是的外接圆． (1)为如图1，若点D在边上，求证：是的切线； (2)如图2，若圆心O在边上时，求的长； (3)如图3，当点E运动到边的延长线上时，将的优弧沿直线翻折，交的垂线于点F，若，求弧的长． 3．在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 4．等腰中，，，先将绕正方形的顶点旋转，再平移线段至位置，连接，． (1)如图1，当点落在上时，直接写出、的数量关系； (2)如图2，当点不在上时，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)连接，若，，在绕点旋转的过程中，当、、三点共线时，直接写出线段的长度． 5．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作猜想】 操作一：对折正方形纸片，使边与边重合，得到折痕，把纸片展平，如图1； 操作二：继续沿折叠纸片，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，如图2． 根据以上操作：写出一个图2中与相等的角：______． (2)【探究证明】 如图3，延长与边交于点，连接． ①与的大小关系是______；线段，，之间的数量关系是______； ②求证：． (3)【拓展延伸】 如图3，若正方形的边长为，求点到线段的距离． 6．“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答． 问题情境： 如图①，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，四边形为矩形，连接．    特例分析： （1）的长是________． （2）如图②，当矩形绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边上时，请计算与的长，并求出与之间的数量关系．    深入探究： （3）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题． A．当矩形绕点A旋转至如图③的位置时，（2）中与之间的数量关系是否还成立？请说明理由．    B．“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图④，在平行四边形中，，，，E，F分别为，边的中点，四边形为平行四边形，连接．“智慧”数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系．如图⑤，当平行四边形绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，与是否还存在上述特定的数量关系？请说明理由．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆中最值 1．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以，为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是(　　) A． B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积；过作于，连接，则由三角形面积公式得，，可求圆上点到直线的最短距离，由此求得答案． 【详解】解：过作于，连接， 直线与轴、轴分别交于、两点， 令，则；令，则； 点为，，点为，， ； ，， 则由三角形面积公式得，， ， ， 圆上点到直线的最小距离是 ， 面积的最小值是； 故选：A． 3．如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，  ，，点是线段上任意一点，则的最小值为 (   ) A．8 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理, 的圆周角所对的弦是直径．垂径定理；利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得，，作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接交于，连接，，，如图， ∵， ∴， ∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， 作于，如图， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 4．如图，E、F分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点G，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，一点到圆上一定的距离最值问题，勾股定理，连接，证明推出，则点G在以为直径的圆上运动，故当点E与点A重合，点F与点B重合时，此时有最小值，即此时点G为正方形对角线的交点，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， ∴当点E与点A重合，点F与点B重合时，此时有最小值，即此时点G为正方形对角线的交点， ∵正方形的边长为2， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键． 5．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 6．如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键． 类型二、相似最值 1．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足为交于此时垂线段最短，最小值为求出当与B重合时，的延长线与交于点 最大值． 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定的最小值与最大值的位置． 【详解】解： 中，， 设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足，交于连接，延长与相交于点F，过F作于点G，如图1， 此时垂线段最短，最小值为，则四边形为矩形，平分 ． 设则 由勾股定理得， 解得： 即 如图2，当与B重合时，连接，延长与交于点 此时为最大值， ， ∴的最大值与最小值的和为： ， 故答案为：． 2．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，则最短也就是最短，作垂直于，证明，求出的长即可得出答案． 【详解】解：设和相交于点O ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴最短也就是最短， 作垂直于， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 3．如图，中，，，．是上一动点，连接，过作于，取中点，连接，若的延长线交于，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，以为直径作，连接，作于点，求出，，，结合，得出当最小时，最小，再结合，得出取最小值时，最小．由题意得，与相切时，最小．结合切线长定理与勾股定理，求出的长即可得解． 【详解】解：以为直径作，连接，作于点， ， ∵在中，，，，为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴当最小时，最小， ， 取最小值时，最小． 由题意得，与相切时，最小．此时，则． ∵与相切，与相切， ∴， ∴在中，，即， 解得， ． 故选B． 4．如图，点E、F为正方形的边上两个动点，且，，于M，连，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及圆的有关性质等知识，延长交的延长线于点H，得求出，得点M在以为直径的圆上运动，取的中点O，由勾股定理得出，从而可得出的最小值 【详解】解：延长交的延长线于点H，如图， 在正方形中， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ 即点M在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接交于点，则， 当三点共线时，，此时，值最小， 过点O作于点G，则， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为 故答案为： 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，在轴上有一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，在轴上取一点，则，作于于，交于由可得，推出，推出，根据垂线段最短可知，当与重合时，的值最小，最小值为的长，求出即可解决问题 【详解】解：在轴上取一点，则． 如图，作于于，交于 ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当与重合时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 的最小值为． 故答案为： 6．如图，半圆的半径为，为直径，为切线，，为弧上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，由切线的性质可得，即得，取的中点，连接，可得，得到，即得，得到，可知当在一条直线上时，最小为，作于，于，则为的中位线，得到，进而可得，，即得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是半的切线， ， ， 取的中点，连接， ， ， 又， ， ， ， ， ∴当在一条直线上时，最小为， 作于，于，则为的中位线， ， ，， ， 的最小值为． 类型三、圆中的无刻度尺作图 1．请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法 (1)如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线； (2)如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线； (3)如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）如图，连接并延长交于点P即为所求； （3）如图，连接，延长交于点P，连接，可证，进而得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得，故为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，则平分，说明如下： ∵ 是直径 ∴ 又 ∴ ∴即为所求； （2）如图所示，即为所求．说明如下：连接， ∵，， ∴ ∴ ∴平分． （3）解：如图，连接，延长交于点P，连接，即为所求． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，全等三角形的性质和判定，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： (1)请在图1中作出的边上的高； (2)请在图2中线段上确定一点F，使得； (3)请在图3中作出的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）延长交于点D，连接即可； （2）利用三角形的三条中线交于一点解决问题即可； （3）取格点E，连接即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求； （3）解：如图3中，直线即为所求． 3．如图，是的直径，点C，D均在上，且，． (1)请你在图1中，用无刻度的直尺作出的平分线； (2)请你在图2中，用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，角平分线的性质，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，延长交于，交于，连接，即为所求； （2）如图，在（1）的基础上，连接交于，连接并延长交于，即为所求． 【详解】（1）解：如图，延长交于，交于，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即平分， 即：即为所求； （2）在（1）的基础上，连接交于，连接并延长交于， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴平分， 又∵平分， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 即：即为所求． 4．在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）． (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点，使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作的外接圆交于点，则根据圆周角定理得到； （2）先作点关于的对称点，则，再作的外接圆交于点，则根据圆周角定理得到，所以． 【详解】（1）解：作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆交于点，如图所示： 点为所作； （2）解：作点关于的对称点，再作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆交于点，如图所示： 点为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理． 5．如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，点D为与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)画圆心O，并过点B作的切线BE； (2)作弦，并在上画点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查切线的画法，圆心画法，平行线画法，圆周角画法． （1）根据圆心定义及切线定义即可画出； （2）根据平行线定义及圆周角定义即可画出． 【详解】（1）解：∵过格点A，B，C，点D为与格线交点， ∴取格点上的点A，B，H，C，连接，相交于点，即为圆心， ∵直径的纵横比为，化简纵横比可为，即切线纵横比应为， ∴取格点，连接交点即为点，连接即为切线，如下图所示： （2）解：连接，用无刻度直尺平移至点A画直线交于点， 连接，作交于点，则， ∴， 6．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图． (1)如图1，是半圆的直径，等边的边、与半圆分别交于点、点，请确定半圆所在圆的圆心； (2)如图2，是半圆的直径，，点、点是半圆上的两个点，连接，在上找一点，使得为等腰三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）连接，交于点J，由直径所对的圆周角是易知、是等边三角形的高，根据“三线合一”可知连接并延长交于点O，点O即为所求； （2）延长，交于点E，根据可知是等边三角形，连接，交于点J，连接交于点F，由（1）易证，点F即为所求． 【详解】（1）如图1所示，连接，交于点J，连接，延长交于点O，点O即为所求； （2）如图2所示，延长，交于点E，连接，交于点J，连接交于点F，点F即为所求． 【点睛】本题是无刻度直尺作图，考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 类型四、相似中的无刻度尺作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先将线段绕点C逆时针旋转，画出对应线段，再画的平分线，交于点N； (2)在图2中，先画边上的高，再画，交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，画三角形的高，画旋转图形，勾股定理等等 （1）取格点D、N，M，连接即可； （2）如图所示，取格点H，连接交于点E，点E即为所求；如图所示，分别取格点T、G，M、N，连接分别与格线交于Q、P，连接交于F，连接，则即为所求。 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 取格点D、N，易证明， 取格点M，易证明，则垂直平分，则平分； （2）解：如图所示，取格点H，连接交于点E，点E即为所求；如图所示，分别取格点T、G，M、N，连接分别与格线交于Q、P，连接交于F，连接，则即为所求； 易证明，则点E即为所求； 易证明，则， 利用等面积法易得， 由勾股定理得到， 则，则，可推出。 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段； (2)在图（2）中，连接，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出； (3)在图（3）中，在上画一点，在上画一点，使得最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）利用平移性质可画出，利用平行四边形的性质，连接和的中点并延长交于点，即可得到答案； （2）根据位似图形的性质得到，，取中点和上一点，连接并确定其中点，取上一点，连接并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例得到点为的中点，则即为所求作； （3）首先确定点关于的对称点：取格点，连接，，交于点，连接并延长交于点，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点关于对称；过点作的垂线，确定点：取格点，使得为等腰三角形，连接确定点，连接并延长确定点，连接并延长，交于点，交于点，连接，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，线段、线段即为所求作； 理由：由平移性质得四边形是平行四边形， ∵平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O为对称中心， ∴连接并延长与的交点G即为点P的对应点，故线段即为绕的中点O顺时针旋转所得的对应线段； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点M、N即为所求作． 【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键． 3．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，过点画一条平分周长的直线． (2)在图②中，过点画一条平分面积的射线． (3)在图③中，过点画一条将周长分成两部分的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一定理、中线性质可得； （2）根据矩形性质、中线性质可得； （3）先求出的周长，再求出将其周长分为时两部分的长，存在两种情况（画出其一即可）：①，；②，，结合平行线分线段成比例定理即可找到符合题意的点． 【详解】（1）解：在线段中找到中点，连接，直线即为所求； 依图得：是等腰三角形， 是中线，也是高线， ， ， 即符合题意． （2）解：由题意得，四边形是矩形， 、互相平分， 是中点， 射线符合题意． 如图，射线即为所求； （3）解：依题得：，， 的周长， 则将其分成两部分时，一部分长为，一部分长为， ，， 如图，连接，与交于点，连接即可， ，，， ， ， ， 即点符合要求，即为所求． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一、中线平分三角形面积、矩形性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是对相关知识熟练运用． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分； (2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取边与网格线的交点，连接，即，取格点，连接、，易证，进而证明，则，即与的交点即为点； （2）取格点、，连接交于点，则点是中点，连接交于点，由网格可知，进而得到，由因为，则点是高线的交点，连接并延长交于点，线段即为的高；由的面积公式，可得，取格点、、、，连接交于，连接交于点，连接即可．（由相似三角形可知，，，则，可得，且，进而得出） 【详解】（1）解：如图1，即为所求作； （2）解：如图2，即为所求作； 【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，网格与勾股定理，特殊四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 5．在的正方形网格中，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，过点作． (2)在图②中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形． (3)在图③中，作，使的面积等于面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点、，连接即可； （2）取格点，连接，，则即为所求； （3）取格点F、M、N，连接交于点J，连接交于点K，连接并延长，交于点E，交于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的直线； 连接，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，即为所求作的平行四边形； 根据格点特点可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， 设边上的高为，边上的高为，边上的高为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理． 6．如图，在的方格纸中，点是方格纸中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画出线段的中点O； (2)在图②中画出一个平行四边形，使，且平行四边形为格点四边形． (3)在图③中画一个矩形，使得矩形的面积为． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查勾股定理与格点与特殊四边形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，比例的运用，平行线的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，对角线相互平分的性质即可求解； （2）根据格点的性质分别算出的值，根据格点与勾股定理即可确定点M，N的位置； （3）先根据格点画出正方形，再根据格点的性质，确定，在线段上到点分割点，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求点的位置， （2）解：如图所示， ∴，，且点在格点上， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形即为所求图形； （3）解：如图所示，作正方形，与交于点， ∴，， ∵，， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形即为所求图形． 类型五、一元二次方程的新定义 1．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求n的值； (3)若整式关于对称，求实数a的值． 【答案】(1)1； (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解； （2）依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解； （3）依据题意，由，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴多项式关于对称． ∵， ∴多项式关于对称． 故答案为：1；． （2）解：由题意，多项式， ∴多项式关于对称． 又多项式关于对称． ， ． （3）解：由题意：得 ， ∴关于对称． 又∵关于对称， ． 2．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算得出，解之可得到答案； （2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）根据运算定义，可得， 化简得   ， 解得∶ ； （2）根据运算定义，可得， ∴， ∴， ∴在方程 中， ， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根． 3．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 4．先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 【答案】(1)6，（或，6） (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程等知识．理解题意，熟练掌握完全平方公式，因式分解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）由方程 是可分解分式方程，可得 进而可求； （2）由可分解分式方程 的两个解分别为 可得 ，根据代值求解即可； （3）由方程 是可分解分式方程，可得 不妨设 ，则，由可得，可求，由，可得，，进而可得k的值为． 【详解】（1）解： ∵方程 是可分解分式方程， ∴ 故答案为： 6，． （2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为 ∴， ∴的值为． （3）解：方程 是可分解分式方程， ∴ ∵k为实数，不妨设 ， ， ， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴k的值为． 5．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 6．请认真阅读，并根据理解，完成相应任务： 阅读材料： 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． 任务一： （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③． 任务二： （2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； 任务三： （3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】（1）①②；（2）1或；（3）或． 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）① 解得：，， ②， 解得：， ③， 解得， 所以，属于“同伴方程”的有①② 故答案为：①②； （2）一元二次方程的解为， 当相同的根是时，则，解得； 当相同的根是时，则，解得； 综上，的值为1或； （3）∵关于的一元二次方程（） 同时满足和， ∴关于的一元二次方程的两个根是， ∵的两个根是， ∵关于的一元二次方程（）与互为“同伴方程”， ∴或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键． 类型六、圆的新定义 1．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，最大为 【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键． （1）过作于，先利用勾股定理求出，再分别求和； （2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定的最大值，即可得到答案． 【详解】解：（1）过作于，如图1， ，，， ， 四边形是美好四边形，， ， ， ， 在中，， ，， ； （2）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2， 过点作于，过点作于， 则， ，， ， ． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3， 则， 当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点到湖泊的最近距离为，的半径为， ， 又， 当、、依次共线时最长，如图4， 又时，， 此时四边形面积最大， 此时， ， 故四边形的面积最大为． 2．给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 3．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕着点旋转，可以得到的弦（分别是的对应点）则称线段是以点为中心的的“关联弦”． (1)如图1，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，以点为中心的的“关联弦”是______； (2)如图2，点，，线段是以点为中心的的“关联弦”，求出点的坐标； (3)如果经过点的直线上存在以点为中心的的“关联弦”，求出这条直线与y轴交点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)当，时，；当，时， (3) 【分析】（1）作以为中心的对称圆，观察哪条线段在上，即可； （2）由题意，作出图形利用数形结合的思想进行求解即可； （3）作以为中心的对称圆，过点作的两条切线，切点为，连接，过点作，分别求出直线的解析式，进而求出两条直线与轴的交点，即可得出结果． 【详解】（1）解：作以为中心的对称圆，如图： 只有在上， 故以点为中心的的“关联弦”是； 故答案为：； （2）∵线段是以点为中心的的“关联弦”， ∴为的弦，且，， ∴四边形为平行四边形， 如图： 当时，满足题意，此时； 当时，也满足题意，此时：，即：； （3）作关于的对称圆，过点作的两条切线，切点为，连接，过点作，则：，，，如图， ∵， ∴轴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴； ∴当时，； ∴直线与轴的交点： 同法可得：，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点： ∴当过点的直线与轴的交点的纵坐标时，满足题意． 【点睛】本题考查成中心对称，平行四边形的判定和性质，切线的性质，一次函数与几何的综合应用等知识点，熟练掌握成中心对称的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点_______重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为2，点 ，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，其中 ，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)或 【分析】（1）当点A在y轴右侧时，先过点C作的切线，连接，可知，和，过点A作轴于H，可求得，则有点A的临界值，由对称性可得点A在y轴左侧时的值取得且，①结合点和的横坐标即可判断；②可求得点A的横坐标的最小值； （2）由题意可得线段和除过点A为不能有交点，当线段除点A外不与有交点，当与相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当时，线段除点A外不与有交点；当线段除点A外不与有交点，即点B在处，记作点，结合为等边三角形，求得，过点作轴于G，进一步求得，在上取一点M，连接，使得，可求得，，则，在中利用勾股定理可求得，则有，即可得到m的取值范围； （3）分三种情况讨论：①当点C在圆内时，即；②当点C在圆外时，，过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T，证得四边形是矩形，进一步证得，则有，，结合题意可知，则有，，求得，③当与相切时，由和，得点B与点O重合，此时，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， 当点A在y轴右侧时，过点C作的切线，连接，则，， ∴， 过点A作轴于H，则， ∴， ∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得，， 综上所述，且； ①∵点的横坐标为，而， ∴点A不能与点重合， ∵点的横坐标为，而， ∴点A能与点重合， 故答案为：； ②由前面所求可知点A的横坐标的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图2， ∵为的“点A关联三角形”， ∴线段和除点A外不能与有交点， 当线段除点A外不与有交点，且当与相切时， ∴轴，此时， ∵点A的横坐标为2， ∴点C的横坐标为2，即， ∴时，线段除点A外不与有交点， 当点B在处时，记作点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， 过点作轴于G， ∴，， ∴， 在上取一点M，连接，使得， ∴， 在中，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴或（舍去）， ∴， ∴时，线段除点A外不与有交点， 综上所述，可知当时，为的“点A关联三角形”； （3）解：①当点C在圆内时，当时，即， ∵直线与在第一象限的交点为A， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 如图，过点A作轴于E，过点B作交延长线于D， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点B此时一定在圆外， ∴此时与圆只有一个交点， ∴时，符合题意； ②当点C在圆外时，当时， 如图4， 过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点A在直线上， ∴点A到x，y轴的距离相等是， ∴R在y轴上，点B也在y轴负半轴上， ∴， 当点B在上时，，， ∴， ∴， ③当与相切时，则， ∵， ∴点B与点O重合，此时， ∴， 综上所述，r的取值范围是：或． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理等知识，综合运用这些知识点和分类讨论思想是解题的关键． 5．如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”， 在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为．写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3）或 【分析】（1）由题意得，若将绕着点R旋转后的的圆记作，则经过， 点在弦的垂直平分线上，且的半径与的半径相等，“割圆点”R在线段的垂直平分线于弦所在的直线的交点，由，得到不是关于的“割圆点”的线段；确定点为中点，而的垂直平分线于平行，故不是关于的“割圆点”的线段；对于线段，先确定点为中点，“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，可求直线表达式为：，把代入得； （2）可求直线表达式为，为等腰直角三角形，则，，找到两个临界位置，当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上，则，代入直线，可求，因此可求的取值范围； （3）可求，由于直线l经过点，以直线分析，由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦，连接，，，第一种情况，当线段在点H异侧时，此时，当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，则，同理，因此，但是取不到，故；第二种情况，当线段在点H同侧时，当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，则，当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，连接，可求，故，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得，若将绕着点R旋转后的的圆记作，则经过， 则， ∴点R在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点为中点， ∵的垂直平分线与平行， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得圆心在弦的垂直平分线上，且根据旋转的性质， 得， ∴点即为中点， 由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，如图： ∵，， ∴设直线表达式为： ， 代入得：， 解得， ∴直线表达式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴是关于的“割圆点”的线段， 故答案为：，； （2）解：将代入得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴， ∴， 由题意知点R为的垂直平分线与直线的交点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而，， ∴， 当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，如图： 当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时，如图： 当点Q运动到时，即的垂直平分线与直线平行，此时正无穷大，如图： ∴， 当点Q继续向上运动一点时，的垂直平分线与直线交点在第三象限很远处， 此时负无穷大，如图： 当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上， ∴，代入直线得：， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）∵点， ∴， ∵直线l经过点，以直线分析， 由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦， 连接，， ∵经过圆心，点M为中点， ∴， ∴， 当减小时，增大直至等于，如图： 第一种情况，当线段在点H异侧时， 当点与点M重合时，此时，如图： 当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，如图： 则，同理， ∴，但是取不到， ∴； 第二种情况，当线段在点H同侧时， 当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图： ∴， 当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键． 6．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为． ①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②证明见解析． (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据圆美四边形的定义，四边形的性质，得到，，由此得到答案． （2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，，由勾股定理得到的长． ②连接，根据已知条件，得到是等边三角形，延长到，使得，得到，由此得到为等边三角形，． （3）延长和交于点，在（1）的条件下，，，由已知条件，得到，在中，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：由题意得： 四边形是圆美四边形， ， ， ． （2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接， ，，， ， ，， ． 故答案为：． ②如图，连接，在（1）的条件下， ，， 平分， ， ， ， 是等边三角形，延长到，使得， 又，， ， ，， ， 为等边三角形， 则， 即， ． （3）如图，延长和交于点， 在（1）的条件下，，， 是直径， ，， ， ，， 在中， ， ， 即， 解得：． 类型七、相似的新定义 1．定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．    (1)若是“近直角三角形”，，，则　　度； (2)如图1，在中，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长． 【答案】(1)20 (2)①详见解析；②存在， (3)或． 【分析】（1）根据题意可得不可能是或，当时，，，不成立；故时，，，由此即可得到答案； （2）①由是的平分线得到，再由在中，，得到，则，由此即可证明； ②当是近直角三角形，得到或，当时，可证得此时D、E重合不符合题意；当时，得到，则，可证明，得到，即，则，； （3）分两种情况：当时，是近直角三角形，当时，是近直角三角形，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴不可能是或， 当时，， ∴， ∴不成立； 当时，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：20； （2）①证明：如图1所示，∵是的平分线， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴是“近直角三角形”； ②解：如图所示，假设在边上存在点E（异于点D），使得是“近直角三角形” ∵在中，， ∴， ∵是近直角三角形， ∴或， 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴此时D、E重合不符合题意； 当时，   ， ∴， 又∵， 则， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图所示，由（2）①可知，当时，是近直角三角形，    ∴由垂径定理得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，由（2）②可知当时，是近直角三角形， 过点A作交于点H，交于点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为线段的垂直平分线， ∵是圆的直径， ∴G为圆心，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则（圆的半径）， ∵点H是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴ 在中，， ∴综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，垂径定理，圆周角定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够正确理解题意和掌握相似三角形的性质与判定． 2．【定义新知】 如图1，在线段上有一点P，若与相似，则称点P为与的“似联点”． 【理解运用】 （1）如图2，在的正方形网格中，四边形的顶点均在格点上，连接，在线段上画出点P，连接、，使得点P为与的“似联点”；（只需画出一种情况） （2）如图3，在中，弦与相交于点P，连接、，试判断点P是否为与的“似联点”，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，现有一块四边形铁皮，，，，点E、F分别是、边上的定点，，且．工人师傅想在线段上找出与的“似联点”P，并在点P处打孔，请你通过作图帮助工人师傅确定打孔的准确位置和数量（需说明理由），并求出孔（点P）与点E之间的距离．      【答案】（1）见解析；（2）是，见解析；（3）线段上与的“似联点”P有3个，故工人师傅打孔的点P的数量为3个，位置如图所示，孔与点E的距离分别为、、 【分析】（1）连接与交点即为点P，由于，故与相似； （2）由得到，而，因此，故点P是与的“似联点”； （3）连接，交于点，根据平行线得到8字形相似；作点D关于的对称点，连接，以为直径作圆交于点、，找的是“一线三等角”相似，根据已知数据，再分别利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：（1）如图，点P为所求．（答案不唯一）    （2）点P为与的“似联点”，理由： ， ， ， ． 故点P是与的“似联点”． （3）线段上与的“似联点”P有3个，位置如图中点、、， 理由如下：如图，连接，交于点．      ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ， 即是线段上与的“似联点”； 作点D关于的对称点，连接，以为直径作圆交于点、， ∵点D关于的对称点， ∴， ，， 是圆的直径， ， ∴ ， 又， ， 是线段上与的“似联点”； 同理可证是线段上与的“似联点”． 当时，， 即， 可得， 解得； 当时，， 即， 可得， 解得； 当时，， 即， 可得， 解得． 综上所述，线段上与的“似联点”P有3个，故工人师傅打孔的点P的数量为3个，位置如图所示，孔与点E的距离分别为、、． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆周角定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找出点P的位置是解题的关键． 3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．    (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，，求邻余线的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键． （1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得，则可得与互余，即与互余，从而可得答案； （2）画出图形即可． （3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得、，再判定，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解． 【详解】（1）解：，是的角平分线， ， ， ， 与互余， 四边形是邻余四边形； （2）解：如图所示（答案不唯一），四边形为所求；    （3）解：，是的角平分线， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．    （1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”） ②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由． 拓展探究 （2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由． 迁移应用 （3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值． 【答案】（1）①是；②四边形是“垂美四边形”，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，即可得到结论； ②设与分别相交于点M和点N，证明，进一步得到，即可得到结论； （2）设相交于点O，利用勾股定理即可证明结论； （3）过点P作于点D，证明，得到，设则，则，证明，则，解得，，，即可得到答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是“垂美四边形”． 故答案为：是． ②四边形是“垂美四边形”，理由如下： 设与分别相交于点M和点N，    ∵以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是“垂美四边形”； （2）．理由如下： 如图3，设相交于点O，    已知四边形中，∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； （3）∵，，． ∴， 过点P作于点D，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当四边形是四边形是“垂美四边形”时，则， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 经检验，是原方程的解， 当时， ，此时点P在线段上， 当时， ，此时点P在线段的延长线上， 当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，的值为或． 5．定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题主要考查了复杂作图-作垂线，作相等线段，以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，作出对应图形． （1）根据“型三角形”的定义即可得出需要作以为直角边等腰直角三角形即可； （2）根据是“型三角形”，得出，设，则，，根据，证明，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出，即可证明． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求； 【详解】（1）根据“型三角形”的定义即可得出，作以为直角边的“型三角形”即过点作的垂线，且等于，即以为直角边等腰直角三角形，如图：    （2）∵是“型三角形”， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求；    理由：∵是“型三角形”（为正整数），， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． 6．已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，得出，，根据等腰三角形三线合一得出，，设，得出，求出，，最后得出答案即可； （2）根据含30度直角三角形的性质得出，求出，证明，得出； （3）过点作于点，过点作于点，连接，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴，， ∴． （2）解：为等边三角形 ， ， 在中，， ， ， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 为等边三角形， ， ， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 类型八、圆中的动点求t 1．如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．    (1)当时． ①求的度数； ②判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求t的值． 【答案】(1)①；②与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）①由题意可知，，根据弧长公式，设，当时，，求解即可； ②连接，由①可知，，，可知为等边三角形，则，再证，则，得，即可求得，可证得与相切； （2）由（1）可知，，，由轴对称可知，，，根据勾股定理的逆定理可证明，则，再由弧长公式得，即可求得． 【详解】（1）解：①∵是的直径，， ∴， 设，当时， ∴，即：； ②与相切，理由如下： 连接，    由①可知，，， ∴为等边三角形，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， ∴与相切； （2）由（1）可知，，， 由轴对称可知，，， 在中，，， ∴， ∴，则， 则，解得：． 2．如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，解方程等知识点，灵活运用性质解题及方程思想的运用是解题的关键． （1）过点作于点，由题意可知，由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）连接，与交于点，过点作于点，证明，得出，即的中点为矩形的中心，由勾股定理可得出答案； （3）由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）过点作于点，由题意可知， ∵四边形是矩形， 是矩形，    （2）连接，与交于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即的中点为矩形的中心， 以为直径的圆与相切， ∴圆的半径， 则， 在中，由（1）得 由勾股定理可得：， 解之得． 综上：或；    （3）由（2）可知，经过矩形的中心， 当时，点到的距离有最大值， ∵， ∴， ∴点到的最远距离为． 故答案为：．    3．如图，已知是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过三点作圆，交于点，连接．设运动时间为，其中． (1)求的值； (2)当时，求出内切圆的半径； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意分别表示出，用含的式子表示出来相加即可求解； （2）如图，作内切圆，切点分别为，连接，求解，证明四边形是正方形，，可得，从而可得结论； （3）根据圆周角定理可得，是等腰直角三角形．进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ． （2）当时，， ，    如图，作内切圆，切点分别为，连接， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 即内切圆的半径为1． （3）， 是圆的直径． ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 在中，． 四边形的面积， ． 四边形的面积为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解三角形的内切圆的半径，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用圆的基础知识与切线长定理求解是解本题的关键． 4．如图，矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为． (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能请说明理由； (3)运动过程中，当点，，，四个点恰好在同一个圆上时，求值． 【答案】(1) (2)的面积不可能为 (3)或时、、、四点恰好在同一个圆上 【分析】（1）根据运动速度表示出长度，然后计算出三个直角三角形面积，再由矩形面积减去三个直角三角形面积就能得到的面积； （2）根据（1）总得出的面积计算方式，列出关于的方程，通过判断方程有无解来即可判断； （3）是直角三角形如果它的三个顶点都在圆上，可得是直径，也要在圆上，那么也是直角三角形，通过勾股定理用表示出，再由列出方程求解即可. 【详解】（1）由题意得， ， ，， （2）根据题意得 整理得 ， 方程无实数根 的面积不可能为 （3） 、、三点在以为直径的圆上 若点也在圆上，则 当 解得 或时、、、四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积以及一元二次方程的应用，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 5．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒    (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 【答案】(1) (2)8或9秒 【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解； (2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解． 【详解】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：      当t=2.5时，BE=2.5， ∵EF=10， ∴OE=EF=5， ∴OB=2.5， ∴EB=OB， 在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB， ∴△MBE≌△MBO(SAS)， ∴ME=MO， ∴ME=EO=MO， ∴△MOE是等边三角形， ∴∠EOM=60°， ∴． （2）解：连接GO和HO，如下图所示：      ∵∠GOH=90°， ∴∠AOG+∠BOH=90°， ∵∠AOG+∠AGO=90°， ∴∠AGO=∠BOH， 在△AGO和△OBH中，， ∴△AGO≌△BOH(AAS)， ∴AG=OB=BE-EO=t-5， ∵AB=7， ∴AE=BE-AB=t-7， ∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t， 在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2， ∴(t-5)2+(12-t)2=52， 解得：t1=8，t2=9， 即t的值为8或9秒． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键． 6．如图，在Rt△ABC中，，cm．点D从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，移动过程中始终保持（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中）． (1)当t为何值时，四边形DEFC的面积为18？ (2)是否存在某个时刻t，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，说明见解析 (3)能， 【分析】（1）由题意知，四边形为梯形，则，，求t的值，由得出结果即可； （2）假设存在某个时刻t，则有，解得t的值，若，则存在；否则不存在； （3）假设点E在以DF为直径的圆上，则四边形DEFC为矩形，，故有，求t的值，若，则存在；否则不存在． 【详解】（1）解：∵ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形，四边形为直角梯形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得或． ∵且 ∴ ∴． （2）解：假设存在某个时刻t，使得． ∴ 化简得 解得或 ∵ ∴不存在某个时刻t，使得． （3）解：假设点E在以DF为直径的圆上，则四边形DEFC为矩形 ∴，即 解得 ∵ ∴当时，点E在以DF为直径的圆上． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直径所对的圆周角为90°，矩形的性质，等腰三角形等知识点．解题的关键在于正确的表示线段的长度． 类型九、相似中的动点求t 1．如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． (1)线段的长为____________； (2)当矩形恰好是正方形时，求t的值； (3)当时，求t的值： (4)延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)的值为或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及矩形的面积，解题的关键是熟练掌握分类讨论思想和相似三角形的判定与性质： （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据矩形恰好是正方形，则，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据相似三角形的性质即可求解； （4）分情况讨论，①当点P在上时，②当点P在上时，根据三角形相似和矩形面积公式即可求解， 【详解】（1）解：在中，， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵矩形恰好是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∴ ∴的值为： （3）解：则（2）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为： （4）解：设与交于点， ①当点在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴； ②当点P在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或 2．在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【答案】(1)、 (2)、2 (3)、 【分析】（1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，分两种情况分类讨论，当时，解得，当时，解得：即可得出结论． 【详解】（1）在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，，或当时， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，， ，即， ， 同理：， ∵动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵以为直角边 ∴当时， ∴ ∴ 解得： 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述：当，或时，是等腰三角形，以为直角边. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的求法以及三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，移动时间为． (1)求时，的面积． (2)移动过程中，是否存在这样的t使得的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)移动过程中，是否存在t值使得以点E，O，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)36 (2)不存在，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况． （1）由于轴，则时，，关键是求证明，则，从而求出的长度，得出的面积； （2）假设存在这样的，使得的面积等于40，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论； （3）如果与相似，由于，则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：；． 【详解】（1）， 又， ， ， 当时，，，，， ， ； （2）不存在． 理由：， ， ， 整理，得， ， 方程没有实数根． 不存在使得的面积等于40的值； （3）当时，∽， ，即， 解得； 当时，∽， ，即， 解得． 当或时，与相似． 4．如图 1 ，在矩形中，动点 E 从 B 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿线段 方向运动，连接，以为边向上作正方形． 设点 E 的运动时间为t秒． (1)如图1，与边交于点M，当时，求t的值； (2)如图2，当点F恰好落在对角线上时，求t的值； (3)当点E从点 B运动到点C时，求点 F的运动路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由“”可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求解； （2）连接，过点F作于点H，证明，推出，，再，利用三角形相似的性质即可求解； （3）以为边作正方形，连接，过点E作，交于点H，由“”可证，可得，则点F在的角平分线上运动，点F的运动路径长为的长，即的长，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵正方形，矩形， ∴，， 在和， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向运动， ∴； （2）解：如图，连接，过点F作于点H， 点F恰好落在对角线上，四边形是正方形， ， 四边形是矩形，，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：如图，以为边作正方形，连接，过点E作，交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴平分， ∴点F在的角平分线上运动，点F的运动路径长为的长，即的长， 当点E和点B重合时，点H与点A重合， 当点E与点C重合时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的运动路径长为． 【点睛】本题四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，三角形相似的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构造三角形全等，相似是是解题的关键． 5．如图，在中，．点D为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结，将线段绕点D逆时针旋转线段，连结．设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到的距离 (2)当点E落在内部（不包括边界）时，求t的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段PE的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或6 (4)或或 【分析】（1）先作辅助线，根据两个三角形相似可得到结果； （2）当点E在边界上时，求出结果，即可得到取值范围； （3）可分为两种情况，，，根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可求解． （4）分为三种情况，分别是经过三条中线，分别画出图形，结合图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，过点P作于点F， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点B运动， ∴, 即； 故答案为：； （2）解：当点E在上时，过点D作于点G，如图所示， ∵，点D是的中点， ∴点G是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， 当点E在上时，如图所示， 此时，，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当点E落在内部（不包括边界）时，； （3）解：分两种情况： 当时，过点P，E分别作垂线，，如图所示， 此时四边形时矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 当时，过点D作，，如图所示， ∴， ∵是的中点， ∴是的中点， ∴， 当与的一边平行时，线段的长度为或6； （4）解：当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，此时点E在的中线上，可分为三种情况： 当点在上时，如图所示： 此时, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 即， 当点E在中线上时，如图所示，连接，则， 过点D作于点G，过点E作于点F，交于点H， 在，中， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点E经过中线时， 同理可得， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质．熟练掌握各知识点是解题的关键. 6．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】发现：，；（1）①秒②秒（2）满足条件的t的值为或秒 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，综合性较强，证明三角形相似是解题的关键， 发现：利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； 猜想：（1）①利用建立方程求解即可得出结论；②先求出的面积，进而求出的面积，最后用的面积建立方程并解方程，即可得出结论； （2）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：发现：在中，， ∴， ∵， ∴， ， 由运动知，， ， ∴， 故答案为：，； 猜想：（1）①∵， ∴， ∴秒； ②∵ ， ∴， ∵与四边形面积比值为， ∴， 如图，过点M作于D， 在中，，， ∴， ∴， 解得：秒； （2）∵与相似， 当时， ∴ ， ∴ ， ∴秒， 当时， ∴， ∴， ∴秒， 即：满足条件的t的值为或秒； 类型十、圆和相似中的三大运动 1．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：在线段上截取，连接、． 1°当点P在直线外时， 证明过程缺失 2°当点P在直线上时， 易知． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　． 【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　． 【答案】问题解决：见解析；结论应用：；拓展提升： 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，矩形的性质等等： （1）根据平移的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． （2）在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，再根据圆周长公式求解即可； （3）如图所示，在上截取，连接，同理可证明，则点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，则在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，在中利用勾股定理求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】问题解决：证明：在线段上截取，连接、． 当点P在直线外时， 由平移的性质可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 结论应用：如图所示，在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆， ∴点P在上运动一周，则点M的运动路径长为； 拓展提升：如图所示，在上截取，连接， 同理可证明， ∴点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆， ∵， ∴当点N固定时，当点M运动到上时，有最小值，最小值为， ∴在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值， 同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在等边三角形中，，点E是射线上的一个动点，点D随着点E的运动而在射线上运动，连接，始终有，是的外接圆． (1)为如图1，若点D在边上，求证：是的切线； (2)如图2，若圆心O在边上时，求的长； (3)如图3，当点E运动到边的延长线上时，将的优弧沿直线翻折，交的垂线于点F，若，求弧的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，得出，结合是等边三角形，得出，，，即可证明； （2）当圆心O在边上时，则 ，得出，，根据，得出，即可得，结合，即可求出； （3）连接．根据是等边三角形，得出，结合，得出，判断出垂直平分， 再证明垂直平分，即可得为翻折后的圆心，解得，根据弧长公式即可求解； 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：当圆心O在边上时， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 连接． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， ， ∴． 垂直平分，， ∵， ∴是等边三角形， 垂直平分， ∴为翻折后的圆心， ， ， ∴弧的长． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，切线的判定，弧长公式，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 3．在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别作关于的对称点，，进而根据题意可得点到圆上的距离的最大值为，即可求解； ②同①的方法，分别作出线段，，关于的对称图形，观察图形，找到关于的“对称长度”为的线段，即可求解． （2）根据题意，得出正方形关于的对称图形的轨迹，进而根据一点到圆上的距离的最值方法，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，分别作关于的对称点，，观察图形可得，到的最大距离为，符合题意，即关于直线的“对称长度”为； 故答案为：． ②如图所示，观察图形可得关于的对称图形，到的最大距离为，即， 故答案为：． （2）解：如图所示，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，正方形关于的对称点所在轨迹如图所示， ∵， ∴的解析式为 当关于的对称点为时，此时正方形关于的“对称长度”取得最小值， ∵，设，则，即① ， ∴② 由①②得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理，解一元二次方程，平面上一点到圆上的距离，中点坐标公式，熟练掌握以上知识，理解新定义是解题的关键． 4．等腰中，，，先将绕正方形的顶点旋转，再平移线段至位置，连接，． (1)如图1，当点落在上时，直接写出、的数量关系； (2)如图2，当点不在上时，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)连接，若，，在绕点旋转的过程中，当、、三点共线时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）连接、，由正方形的性质得，，则，由平移得，，则四边形是平行四边形，点在上，点在上，所以，，，则； （2）连接、、、，可证明四边形和四边形都是平行四边形，则，进而证明，得，再证明，得，则，再证明，得，所以，则，所以； （3）分两种情况，一是点、点在点同侧，则，，所以，，则，，所以，则，，由勾股定理得；二是点、点在点异侧，此时，则． 【详解】（1）解：（1）， 理由：如图1，连接、， 四边形是正方形， ，，， ， 平移线段得到线段， ，， 四边形是平行四边形， 点在上， ， 点在上， 四边形是矩形， ， 点在上， ， ， 点在上， ， ，， ． （2）解：当点不在上时，（1）中的结论依然成立， 证明：如图2，连接、、、， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：当、、三点共线，且点、点在点同侧，如图3，连接、、、， 由（2）得，， ，， ，， ，， ， ， ， ； 当、、三点共线，且点、点在点异侧，如图4，连接、、、， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 5．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作猜想】 操作一：对折正方形纸片，使边与边重合，得到折痕，把纸片展平，如图1； 操作二：继续沿折叠纸片，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，如图2． 根据以上操作：写出一个图2中与相等的角：______． (2)【探究证明】 如图3，延长与边交于点，连接． ①与的大小关系是______；线段，，之间的数量关系是______； ②求证：． (3)【拓展延伸】 如图3，若正方形的边长为，求点到线段的距离． 【答案】(1)（或） (2)①（或相等）；②详见解析 (3)点到线段的距离为 【分析】（1）由折叠的性质可得，故；由折叠得，则即可； （2）①由得：，，从而证得； ②设，，在中，通过勾股定理得到：，解方程得，，即，从而解决问题； （3）过点作的垂线段，垂足为，则，通过相似三角形的对应边成比例即可求出点到线段的距离． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， 故； 由折叠得， ∴， 故答案为：（或）； （2）①四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，即，，， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：； ②设，， 由折叠性质得：， ，，， 在中， ， ， 解得：， 即， （3）如图：过点作的垂线段，垂足为，则，   ， ， ， ， ， ， ， ． 点到线段的距离为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 6．“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答． 问题情境： 如图①，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，四边形为矩形，连接．    特例分析： （1）的长是________． （2）如图②，当矩形绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边上时，请计算与的长，并求出与之间的数量关系．    深入探究： （3）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题． A．当矩形绕点A旋转至如图③的位置时，（2）中与之间的数量关系是否还成立？请说明理由．    B．“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图④，在平行四边形中，，，，E，F分别为，边的中点，四边形为平行四边形，连接．“智慧”数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系．如图⑤，当平行四边形绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，与是否还存在上述特定的数量关系？请说明理由．    【答案】（1）5；（2），，；（3）A，成立，理由见解析；B，成立，理由见解析 【分析】（1）如图1中，由此交于H，则四边形是矩形．在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）如图2中，作于P．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出、即可解决问题； （3）A、成立．理由如下：连接、．只要证明，可得即可解决问题； B、在图4，图5中，方法同上，可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于H，则四边形是矩形，    ∵E，F分别为，边的中点， ∴在中，，， ∴， 故答案为：5． （2）如图2中，作于P，    在矩形中， ∵，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． （3）A，成立．理由如下：连接、， 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，由(2)得，    ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． B，存在，理由如下： 如图4中，延长交于H，作于K．    由题意可知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 在图5中，连接、．    同法可证：， 可得，可得． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$