期中考前满分冲刺之基础常考题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、比例线段与性质 1．若，则（   ） A． B．1 C． D．35 2．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则 ． 5．四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 ． 6．已知，则 ． 类型二、黄金分割 1．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 2．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，C为线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 5．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 6．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） 类型三、一元二次方程含解方程 1．将一元二次方程化为一般形式为（    ）． A． B． C． D． 2．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 4．若是关于的方程的解，则的值为 ． 5．解下列方程： (1) (2)（配方法） (3) (4) 6．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 类型四、一元二次方程的根 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 2．若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若关于x的方程有两个不等的实根，则m的取值范围是 ． 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是 5．已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 6．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 类型五、一元二次方程的应用一 1．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 2．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 3．某课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长5米、宽3米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余全部用来种植，要使种植面积为10平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 ． 4．某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 ． 5．如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 类型六、一元二次方程根与系数关系 1．已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（   ） A． B．3 C．1 D． 2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 4．已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 5．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 6．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围 (2)如果一元二次方程的两个实数根分别为，，，求k的取值范围． 类型七、垂径定理 1．如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 2．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 4．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为 ． 5．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． (1)求的半径长； (2)连接，作于点，求的长． 6．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 类型八、直线与圆的位置关系 1．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 2．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 3．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 4．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 5．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 6．已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． 类型九、圆心角、弧、弦 1．如图，中的度数为，是的直径，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：的度数为；；为等边三角形；弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知下列命题：①在两个圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②等弧所对的弦相等；③相等的弦，所对的弧相等；其中真命题的个数有 个． 4．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 5．如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 6．如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E．连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 类型十、位似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（   ）    A．6 B．3 C．4 D．8 3．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 4．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 5．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、比例线段与性质 1．若，则（   ） A． B．1 C． D．35 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“若，则”，即得答案． 【详解】， ． 故选D． 2．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，，故C不符合题意； D．因为，所以，故D符合题意； 故选D． 3．如果，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可． 【详解】A、，变形为：，不符合题意； B、，变形为：，符合题意； C、，变形为：，不符合题意； D、，变形为：，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是掌握比例式与乘积式的互换． 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是求出． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 5．四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例线段的定义，解题的关键是熟记比例线段的定义． 由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由，，，即可求得a的值． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴， ，，， ， 解得：． 故答案为：． 6．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用等比性质和等式的性质化简求分式的值，明确等比性质和等式的性质是解题的关键． 设，利用等比性质和等式的性质化简，可得，，再代入要求得式子计算即可． 【详解】解：设， 则， ，， ∴， 故答案为：4． 类型二、黄金分割 1．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点． 【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为， ∵线段， ∴， ∴点F最接近线段的黄金分割点． 故选：C． 2．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ∴， 故选：C． 3．如图，C为线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，先根据黄金分割的定义得出，即可解答． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：A． 4．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可． 【详解】解：如图， 线段，为的黄金分割点且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 6．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，， ∴ ∴， ∴支撑点C，D之间的距离为， 故答案为：． 类型三、一元二次方程含解方程 1．将一元二次方程化为一般形式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 2．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：1 4．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】此题考查了一元二次方程的解及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则原式， 故答案为：2027． 5．解下列方程： (1) (2)（配方法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用配方法求解即可； （3）运用因式分解法求解即可； （4）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 开方，得， ∴或， 解得，； （2）解： 配方，得， 即， 开方，得， 解得， （3）解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，； （4）解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 6．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可； （3）根据配方法解一元二次方程即可； （4）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， 或， ，． 类型四、一元二次方程的根 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 2．若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 由方程无实数根即，从而得出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ， 解得：． 故选：D． 3．若关于x的方程有两个不等的实根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据题意可知且，求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． 故答案为：且． 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是 【答案】15 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质．分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑，当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程可求出的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出，解之即可得出值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解． 【详解】解：当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程得， 解得：， 此时原方程为，即， 解得：，， ， 不能为等腰三角形的腰； 当3为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 此时， 、6、6可以围成等腰三角形， 该三角形的周长是：． 故答案为：15． 5．已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 6．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． 类型五、一元二次方程的应用一 1．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在解答时根据降价率建立等量关系建立方程是方程．设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，根据题意建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，由题意，得， 解得：（舍去），， 故选A． 2．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 3．某课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长5米、宽3米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余全部用来种植，要使种植面积为10平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为10平方米列出方程即可． 【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为， 化简得，， 故答案为：． 4．某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，准确找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； 根据每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，找出等量关系列出一元二次方程，解方程即可； 【详解】最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍， 最底层开了80盏灯，记作第一层为80盏．那么第二层开灯的数量就是第一层的盏．第三层开灯的数量盏． 三层停车库共开了380盏灯， 解得∶， （不符合题意，舍去）， 故答案为：． 5．如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【答案】(1)不可能，理由见详解 (2)或 【分析】本题考査整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ， ， ， 该方程没有实数根， 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ， ， 解得：或． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后共有729人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）解：（人． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 类型六、一元二次方程根与系数关系 1．已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入整理后的代数式，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 3．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：11． 4．已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． 先利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，然后解的方程即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 5．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据判别式的意义得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，加上，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：，， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 6．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围 (2)如果一元二次方程的两个实数根分别为，，，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义． （1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值． 【详解】（1）一元二次方程有实数根， 解得∶ ． 故k的取值范围是； （2）一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 解得：， 由（1）可得， ． 类型七、垂径定理 1．如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：连接， ∵于C， ∴， 设的半径为r， 则，， ∴，解得， 故选：A． 2．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键． 先根据勾股定理得，再根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，作，连接，先求出半径，进而得出，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，最后根据垂径定理得出答案． 【详解】过点O作于点F，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 4．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，    在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为： 5．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． (1)求的半径长； (2)连接，作于点，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． （1）连接，如图，设的半径长为，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径长为， ， ，， 在中，，，， ， 解得， 即的半径长为5； （2）解：在中，，， ， ， ，， 在中，， 即的长为． 6．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 类型八、直线与圆的位置关系 1．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 2．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D， 根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， ∴， 以长为半径作，则与的位置关系是相交， 故选：A． 3．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 【答案】或 【分析】本题需要分两种情况进行讨论：圆与斜边相切时， 点在圆内部、点在圆上或圆外时．首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆与斜边的位置关系与公共点数量之间的联系进行分类讨论．其中，圆与斜边相切时的半径的长可利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：如图，在中， 根据勾股定理，， 分两种情况： 圆与斜边相切时， 连接圆心与切点， 根据切线的性质可知：， ， ， 即； 点在圆内部、点在圆上或圆外时， 此时， 即， ， 此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 4．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 5．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 6．已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）6；（3）4﹣＜t＜4+ 【分析】(1)先得到∠A=30°，∠ACB=60°，作OD⊥BC，则OD=1，当△ABC的边AC与圆第一次相切时，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，得到∠OC′D=60°，算出C′D=，进而得到2t+1+=5即可求解； (2)△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，由切线的性质得O′Q=1，则D′B′=1，然后利用线段之间的关系得到5+t+1=2t，再解一次方程即可； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3，由（1）得C1D=，则DB1=，进而得=2t，即；当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3，作O′H⊥A2C2于H，得到∠O′C2D′=30°，则C2D′=O′D′=，进而得=2t，解得，由此求解 ． 【详解】解：(1)∵AB=，BC=1，∠ABC=90°， ∴， ∴∠A=30°，∠ACB=60°， 作OD⊥直线BC，则OD=1， 当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，则OC′平分∠DC′E， ∵∠A′C′B′=∠ACB=60°， ∴∠OC′D=60°， 在Rt△ODC′中，∵OD=1，∠DOC′=30°， ∴C′D=， ∵BB′=2t，B′C′=BC=1，BD=5， ∴2t+1+=5， ∴， 故答案为：； (2)如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q， 则O′Q=1，∴D′B′=1， ∵BD=5，DD′=t，BB′=2t， ∴5+t+1=2t， ∴t=6， 故答案为：t=6； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3， 由(1)得C1D=， ∵BD=5，DD′=t，BB1=2t， ∴DB1=DD′﹣B1C1﹣C1D′= ， ∴， ∴； 当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3， 作O′H⊥A2C2于H， ∵O′C2平分∠A2C2B2， ∴∠O′C2D′=30°， ∴C2D′=O′D′=， ∵CD+DD′+D′C2=CC2， ∴， ∴， ∴当d＜1时，t的取值范围为＜t＜． 【点睛】本题考查了圆的综合题，掌握圆的切线有关的性质、直线与圆的位置关系，会利用含30度的直角三角形三边的关系进行计算，会应用方程思想解决几何计算问题． 类型九、圆心角、弧、弦 1．如图，中的度数为，是的直径，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的知识，等边对等角，三角形内角和定理，由中的度数为可得出，由平角的定义求出，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵中的度数为， ∴， ∵是的直径 ， ∵， ∴， 故选：A． 2．在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：的度数为；；为等边三角形；弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，根据圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵弦所对的劣弧为圆的， ∴的度数为，故正确， 的度数即为的度数，即，故正确， ∵，， ∴是等边三角形，故正确， ∵是等边三角形, ∴， ∵，都是半径， ∴弦的长等于这个圆的半径，故正确， 故选：． 3．已知下列命题：①在两个圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②等弧所对的弦相等；③相等的弦，所对的弧相等；其中真命题的个数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等；  在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等的知识是解题的关键． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等，故原命题是假命题，不符合题意； ②等弧：能完全重合的弧， ∴等弧所对的弦相等，故原命题是是真命题，符合题意； ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的弧相等，故原命题是假命题，不符合题意； 故答案为：1 ． 4．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 5．如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ，的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ，弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E．连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用已知条件和垂径定理证明，然后根据证明，然后利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，设的半径为r,由，列出关于r方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， ∵是的直径且， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴； （2）解：如图:连接，设的半径为r, 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握数形结合思想是解题的关键． 类型十、位似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查坐标与位似，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标关系，是解题的关键．根据位似比等于相似比，分位似图形在原点的同侧和异侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：相似比为， 位似比为， 当位似图形在原点的同侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 当位似图形在原点的异侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 综上：的坐标为或； 故选：B． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（   ）    A．6 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， 是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 4．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键． 根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长：四边形的周长， ∵四边形的周长是8， ∴四边形的周长为28， 故答案为：28． 5．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为 ． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【分析】（）找出点关于轴的对称点，依此连接三点即可得出图形； （）连接并延长到，使得，同样做法找出点，依此连接三点即可得出图形； 本题考查了作图中的轴对称变换，位似变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，找出点关于轴的对称点，依此连接三点，    ∴即为所求； （2）如图，连接并延长到，使得，同样做法找出点，依此连接三点，    ∴即为所求． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$