精品解析：2024年中考二模模拟练习数学试题

2023-2024学年北师大版数学九年级中考数学二模模拟练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（　　） A B. 0 C. D. 2. 我国的长征二号运载火箭将神舟十三号载人飞船送入太空，在此次发射任务中，若火箭静止时对发射台的压力，则此时压力F用科学记数法表示为（ ）N． A. B. C. D. 3. 下列几何体中，从正面看和从左面看形状均为三角形的是（） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 冠豸中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，八（10）班一名同学连续一周体温情况如下表所示： ，，，，，， 则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，，则的度数为(　　) A. B. C. D. 7. 如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，3），则点B1的坐标为（　　） A （1，﹣3） B. （2，﹣6） C. （6，﹣2） D. （﹣6，2） 8. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 垂直于半径直线是圆的切线 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 9. 北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　 ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解： ________________． 12. 已知凸边形每一个外角均为，则 ______． 13. 一个不透明布袋里共有5个球（只有颜色不同），其中3个是黑球，2个是白球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球是一黑一白的概率是____． 14. 如图，点，是双曲线上的两点，连接，，过点作轴于点，交于点．若，的面积为12，点B坐标为，则m的值为______． 15. 如图，正方形边长为5，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，则的长为_______. 三、解答题（共55分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）m=　　　，n=　　　； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是　　　； （4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　　　名． 19. 高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 20. 如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. 有、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发度电，焚烧吨垃圾比焚烧吨垃圾少度电． （1）求焚烧吨垃圾，和各发电多少度？ （2）、两个发电厂共焚烧吨的垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾两倍，求厂和厂总发电量的最大值． 22. 如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，且，过D作，垂足为F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求四边形面积的最大值； （3）是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北师大版数学九年级中考数学二模模拟练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数大小的比较原则计算判断即可． 【详解】∵， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键． 2. 我国长征二号运载火箭将神舟十三号载人飞船送入太空，在此次发射任务中，若火箭静止时对发射台的压力，则此时压力F用科学记数法表示为（ ）N． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 3. 下列几何体中，从正面看和从左面看形状均为三角形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键；注意所有的看到的棱都应表现在三视图中； 分别找出各图形的左视图和主视图，然后进行判断． 【详解】解：A．主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项不合题意； B．主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项不合题意； C．主视图和左视图均为三角形，故本选项符合题意； D．主视图为一行两个相邻的矩形，左视图为矩形，故本选项不合题意． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，运用相关运算法则进行计算，再判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，此选项符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； D. ，此选项计算错误，不符合题意； 故选：B 5. 冠豸中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，八（10）班一名同学连续一周体温情况如下表所示： ，，，，，， 则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数的计算．众数指出现次数最多的数，中位数指有顺序的一组数中处于中间位置的数，根据题意，将原数据从小到大排列即可求出众数和中位数． 【详解】解：将数据从小到大排列如下： ，，，，，， 故众数是，中位数是． 故选：B． 6. 如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可以求得的度数，然后即可得到的度数，再根据三角形内角和，即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7. 如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，3），则点B1的坐标为（　　） A. （1，﹣3） B. （2，﹣6） C. （6，﹣2） D. （﹣6，2） 【答案】B 【解析】 【分析】先作BC⊥y轴，作B1D⊥y轴，根据点B的坐标求出BC，OC，再根据相似三角形的性质得出，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得△BOC∽△B1OD，即可求出OD，B1D，进而得出答案． 【详解】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D， ∵点B的坐标为（﹣1，3）， ∴BC＝1，OC＝3. ∵△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2， ∴. ∵∠BCO＝∠B1DO＝90°，∠BOC＝∠B1OD， ∴△BOC∽△B1OD， ∴OD＝2OC＝6，B1D＝2BC＝2， ∴点B1的坐标为（2，﹣6）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质和判定，求某点的坐标的常用方法是就是从该点向x或y轴的垂线，再求出线段的长即可． 8. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 垂直于半径的直线是圆的切线 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据切线的定义、平行线的性质、矩形的判定逐一判断即可得出答案．熟练掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：A、若，则或，故A选项错误； B、过半径的外端且垂直于圆的半径的直线是切线，故B选项错误； C、两直线平行，同旁内角互补，故C选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确； 故选：D． 9. 北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x千米/时，根据题意得： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 10. 如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴， ，，， 函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解： ________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 已知凸边形的每一个外角均为，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角和定理，关键是熟记多边形的外角和等于．利用多边形的外角和除以即可得到的值． 【详解】解：边形的外角和为，每一个外角都为， ， 故答案为：8． 13. 一个不透明布袋里共有5个球（只有颜色不同），其中3个是黑球，2个是白球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球是一黑一白的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】先列出两次摸球的所有可能的结果，再列出两次摸出的球是一黑一白的结果，最后利用概率公式求解即可. 【详解】由题意，将这5个球依次标记为，其中B表示黑球，W表示白球.因此，两次摸球的所有可能的结果有25种，如下表所示： 第一次 第二次 它们每一种结果出现的可能性相等 从表中看出，两次摸出的球是一黑一白的结果有12种，即 则所求的概率为：. 【点睛】本题考查了用列举法求概率，依据题意列出所有可能的结果是解题关键. 14. 如图，点，是双曲线上的两点，连接，，过点作轴于点，交于点．若，的面积为12，点B坐标为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用三角形的面积关系求得的面积，再应用k的几何意义求得k，最后代入B点坐标便可得解． 【详解】∵，的面积为12，和高相等， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵点B坐标为，在反比例函数上， 代入得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用的面积转化为的面积． 15. 如图，正方形的边长为5，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，则的长为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． 连接，由正方形和折叠的性质，易证，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 正方形的边长为5， ，， 由折叠可知，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值四类运算．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则对分式进行化简，然后将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值， 解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，正确化简分式是解题的关键． 18. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）m=　　　，n=　　　； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是　　　； （4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　　　名． 【答案】（1）50，10；（2）补全条形统计图见解析；（3）72°；（4）估计“总线”专业的毕业生有180名． 【解析】 【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的数据计算即可． (2)先算出硬件专业毕业生人数,再补充统计图即可． (3)先算出软件专业的占比,再利用周角相乘即可算出圆心角． (4)用600与总线所占比相乘即可求出． 【详解】（1）由统计图可知，，n=10． （2）硬件专业的毕业生为人，则统计图为 （3）软件专业的毕业生对应的占比为，所对的圆心角的度数为． （4）该公司新聘600名毕业生，“总线”专业的毕业生为名． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的画图和信息获取,关键在于通过图象获取有用信息． 19. 高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】高楼的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而即可解答． 【详解】解：如图，过D作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 由题意，得， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米． 答：高楼的高度AB为17.2米． 20. 如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证； （2）点A作，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）∵AECF菱形， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 有、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发度电，焚烧吨垃圾比焚烧吨垃圾少度电． （1）求焚烧吨垃圾，和各发电多少度？ （2）、两个发电厂共焚烧吨的垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾两倍，求厂和厂总发电量的最大值． 【答案】（1）焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度 （2）厂和厂总发电量的最大是度 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据数量关系列出方程组是解答本题的关键． （1）设焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，根据“每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发度电，焚烧吨垃圾比焚烧吨垃圾少度电”列方程组解答即可； （2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨垃圾，总发电量为度，得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度， 由题意，得， 解得：， 故焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度． 【小问2详解】 解：设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨垃圾，总发电量为度， 由题意，得， ∵， ∴， ∵随的增大而增大 ∴当时，有最大值（度） 故厂和厂总发电量的最大是度． 22. 如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，且，过D作，垂足为F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2）的半径为5 【解析】 【分析】（1）连接，由，，得到为的中位线，得到，根据，得到，即可得证； （2）由直角三角形两锐角互余求出的度数，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再由，利用等边对等角求出，的度数，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出圆的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， 则的半径为5． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 23. 已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求四边形面积的最大值； （3）是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）51 （3）存在这样的点，使得点P到和两边的距离相等 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点P作轴交于D，先求出直线的解析式，设，则，则，求出的最大值，再由可知当最大时，最大，由此即可得到答案； （3）如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，先证明，进而得到平分，则直线上的点到的距离相等，由此即可知点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴可设抛物线解析式为， 又∵当时，，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点P作轴交于D，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大27， ∵，， ∴， ∴当最大时，最大，最大为； 【小问3详解】 解：如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴平分， ∴直线上的点到的距离相等， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$