4.2指数函数（2知识点+9题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

4.2 指数函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 了解指数函数的实际意义, 理解指数函数的概念; （2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 （1）理解指数函数的定义; （2）了解指数爆炸和指数衰减； （3） 掌握指数函数的图象与性质； （4）掌握指数函数图象与性质的应用.（难点) 知识点01 指数函数的概念 （1）概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 解释 (1)指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数. (2)指数函数中为什么要限制且呢？ ① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若或时，函数没研究价值. （2）指数爆炸和指数增长 ①当底数时，指数函数的值岁自变量的增长而增大，底数较大时指数函数的值增长速度惊人，被称为指数爆炸； ② 指数函数且在长为的周期区间中函数值增长，增长率为，它是个常量，我们称之为指数式增长，也称指数增长。 （3）指数衰减 当底数满足时，指数函数值岁自变量的增长而缩小以至无限接近于，这叫做指数衰减. 指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量. 【即学即练1】 若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【详解】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 知识点02 指数函数的图象与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【即学即练2】 已知， 若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数最值的性质得出，求出，得出实数的取值范围. 【详解】解：因为，使得，所以 因为，所以解得， 故选：A 【题型一：指数函数的判定与求值】 例1． 已知函数为指数函数，为幂函数，若，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求出，直接代入求解. 【详解】因为为指数函数，为幂函数， 所以可设（，且），（是常数）. ∵，， ∴，∴， ∴， ∴． 故答案为：. 变式1-1．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝ . 【答案】 【分析】设幂函数的解析式为f(x)＝ax，根据函数过点(2，9)，求出，进而可求出结果. 【详解】设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去). 所以f(x)＝3x. 所以f(－1)＝3－1＝. 故答案为： 变式1-2．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【方法技巧与总结】 1 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 可用待定系数法求指数函数的解析式. 【题型二：指数型函数图像过定点问题】 例2．函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】先利用指数函数的性质求得定点，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】对于函数，令，得，， 所以函数的图象恒过定点， 又定点的坐标满足方程，所以，即， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. 故选：B. 变式2-1．函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数型函数过定点，令即可得到结果 【详解】根据指数函数恒过定点， 则恒过定点，令，， 所以函数的图象必经过定点， 故选：D. 变式2-2．已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限. 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 【方法技巧与总结】 指数型函数(是常数)过定点，过定点指的是该函数不管取什么数，函数均过的点. 【题型三：根据指数型函数图像判断参数的范围】 例3．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】对分类讨论，利用数形结合分析得解. 【详解】（1）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像 若有两个交点，则， 因为，所以此种情况不存在； （2）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像 若有两个交点，则， 因为，所以. 综上，的取值范围是 故选：A 变式3-1．若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可； 【详解】， 由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限， 所以当时，，解得， 故选：A. 变式3-2．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】分别将和两种情况作出函数图象，利用数形结合根据交点个数即可求得的取值范围，即可得出选项. 【详解】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到， 分和两种情况分别作图. 当时，图象如下图所示： 此时需要，即， 所以； 当时，图象如下图所示： 此时需满足，都符合条件； 综上可知, 的取值范围为或， 所以的取值不可以是D. 故选：D 变式3-3．已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到， 将的图象向右平移1个单位得到， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点. 故选：B. 【方法技巧与总结】 函数图象的变换 （1）平移变换，口诀：左加右减，上加下减 （2）对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. （3） 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【题型四：比较指数幂的大小】 例4．设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 变式4-1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 变式4-2．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断. 【详解】因为在内单调递减，则，即； 且在内单调递增，则，； 且在内单调递增，，即； 综上所述：. 故选：B. 变式4-3．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和幂函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为，， 因为在上单调递减， 所以，所以，所以， 因为在上单调递增，由，可得， 所以，故. 故选：D. 【方法技巧与总结】 比较指数幂数值大小的方法很多，当底数相等的指数幂可利用指数函数的单调性比较，当指数相等的指数幂可利用幂函数利用中间值(常常是0或1)比较，利用作差作商比较等等. 【题型五：求指数型函数的值域】 例5．已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知的值域是的值域的子集，所以求出两函数的值域，再根据子集的关系列不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，， 所以在上递减，在上递增， 所以的最小值为， 因为，，所以的最大值为， 所以的值域为， 因为在上递增， 所以的值域为， 因为对，使得， 所以是的子集， 所以，解得， 即的取值范围 故选：D 变式5-1．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 变式5-2．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：， 故选：B. 【方法技巧与总结】 利用指数函数的单调性可求指数型式子的值域。 【题型六：指数函数最值与不等式综合问题】 例6．已知为奇函数，为偶函数，且满足，若对任意的都有不等式成立，则实数的最小值为（    ）. A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】解： 为奇函数，为偶函数，且① ② ①②两式联立可得，. 由，即， 得， ∵在是增函数，且，在上是单调递增， ∴由复合函数的单调性可知在为增函数， ∴， ∴，即实数的最小值为. 故选：B. 变式6-1．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 变式6-2．已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数的取值规律，由条件列不等式求的范围，可得结论. 【详解】（1）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， （2）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 变式6-3．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为 . 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 恒成立问题常常可转化为最值问题: ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则; 2 处理恒成立问题方法很多，可直接求解函数最值或分类参数法等； 3 遇到求类似形式的最值，可用分离常数法活换元法处理. 【题型七：指数型函数图象变换的应用】 例7．设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，数形结合，计算求解即可. 【详解】作函数的图象，如图， 设，， 所以，，， 所以，，， 故， 故选：D 变式7-1．对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中，作出函数，的图像，进而对四个选项一一作出判断. 【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示， 由图可知与的最小值都为1，A项正确； B选项，在上单调递增，在上不单调，B项错误； C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确； D选项，与在上均单调递减，D项错误. 故选：AC 变式7-2．已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图象，结合图象判断AB，再由讨论去掉绝对值号化简可判断CD． 【详解】由图示可知，的符号不确定，，故A、B错； ， 如上图，满足，故C不一定成立， 当时，由得，则，所以，故D正确． 故选：D 变式7-3．已知定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数是偶函数求的解析式，再利用偶函数的性质，画出函数的图像，利用图像求解不等式. 【详解】当时，，，令， 依题意，则图象在图象上方， 画出函数和的图像， 由，得， 则的解集为． 故选：B 【题型八：指数函数的实际应用】 例8．有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 【答案】B 【分析】由题意可得桶中水的体积，由，可得，利用，结合指数运算可得答案. 【详解】由题意，桶中水的体积， 因为时，，所以，得． 设再经过分钟后桶中的水只有升，则， 所以， 所以，即再经过15分钟，桶中的水只有升． 故选：B 变式8-1．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 变式8-2．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】 设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】 设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 【题型九：指数型函数的综合运用】 例9．（多选）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解. 【详解】对A， 满足， 令， 则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期， 再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期， 故， ， 令， 则， 又当时， ， 即， 即， ， 故，故C错误； 对D，满足， 关于中心对称， 又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， ，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 变式9-1．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 变式9-2．若实数，，满足，则下列不等关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可得， 作出函数图象，结合图象即可判断. 【详解】由题意知，，所以， 设（）， 在同一坐标系中作出函数，，（），（），如图所示， 当平移（）时，由图可得，，的大小关系可能为，，，，，，， 故B项、C项、D项正确，A项不可能成立. 故选：A. 变式9-3．已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】在同一坐标系内作出与的图象，再利用图象的对称性即可求得与的图象所有交点的横坐标之和. 【详解】函数的图象有对称轴， 定义在R上的偶函数满足， 则函数有对称轴，又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 由图象可得，与的图象有4个交点， 又与的图象均有对称轴， 则两函数所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 变式9-4．已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是上的增函数 (2) 【分析】（1）由是上的奇函数求出，，然后，即可判断出其单调性； （2）先化简得，根据题意恒成立，利用换元法和基本不等式可得实数m的取值范围． 【详解】（1）因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的x成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以，对任意的，， 有， 所以，故函数是上的增函数； （2）， 因为恒成立， 等价为恒成立， 令，， 则，则， 可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故． 变式9-5．设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 【答案】(1)不具有性质,理由见解析 (2), (3)，． 【分析】（1）原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可， （2）根据的值域为值域的子集即可列不等式求解， （3）根据的值域为值域的子集即可分类讨论求解， 【解答】解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集， 【详解】（1）由可得， 因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质； （2）函数在区间,的值域为,，函数在,上的值域为,， 要使函数具有性质,只需，解得，即的取值范围为,； （3）由题意的值域为,， 因为,，所以的对称轴,，且开口向下， 所以的最大值为，又，， 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，，符合题意； 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，所以符合题意， 综上，的取值为，． 一、单选题 1．已知，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数与幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】设，由指数函数的性质知在R上单调递减， 所以， 令，由幂函数的性质知在单调增， 所以， 所以. 故选：C 2.已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断. 【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示： 由图象知，当时，，所以选项正确； 作出直线，当时，若，则，所以选项正确； 当时，若，则，所以选项正确． 所以不可能成立的是， 故选：． 3.已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（    ）名 A．10000 B．8000 C．4000 D．3500 【答案】B 【分析】由已知列出方程组，求解得出参数值，代入，即可得出答案. 【详解】由题意得：， 解得， 所以，． 故选：B． 4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的值域，进而根据高斯函数定义求解即可. 【详解】，因为，所以，所以，即， 所以，即，所以. 故选：C 5.设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，设，结合 题意求得，得到函数，即可求得的值. 【详解】对任意的，总有且， 所以， 又因为函数为单调函数，可得，即， 可设（其中为常数）， 所以， 所以 ，所以，所以，可得. 故选：D. 6.已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】求出的图象关于中心对称，关于中心对称，且，设，则关于点中心对称，从而求出答案. 【详解】，且， 由于 ， 故的图象关于中心对称， 又关于中心对称，且， 不妨设， 与的交点关于点中心对称， 即， 故. 故选：B 7. 已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，分三种情况当时，当时，当时，求得函数的值域，问题转化为，对任意，，，恒成立求解． 【详解】解：因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 8.设，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】变形得到和，构造，由函数单调性得到，求出答案. 【详解】由题意得，方程两边同除以得， ， 同理同时除以得，，即， 设，则，， 因为在R上单调递增， 故，所以. 故选：B 二、多选题 9．已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项. 【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则， 且当时，，可得. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对. 故选：ABD. 10. 设函数，则下列说法错误的是（　　） A．在上单调递增 B．为奇函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】对于B,因为的定义域为R,但，故不是奇函数；对于C,只需验证是否成立即可；对于D,只需验证是否成立即可；结合C,D可以判断A. 【详解】∵， ∴， 即， 即的图象关于直线对称，故C正确，A，D错误； ∵因为的定义域为R,但， ∴不是奇函数，故B错误． 故选：ABD. 11.已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】作出函数的图象，由数形结合判断四个选项的正误. 【详解】的图象如下图所示,由图可知在单调递减，在上单调递增 因为， 若，因为在单调递减，此时不满足 所以，同理可得， 因为，所以 所以，即，对. 即，错. 若，因为 所以 此时，错，，对. 若,因为 所以 即 综上所述，对. 故选： 三、填空题 12．指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 【答案】64 【分析】将点代入解析式得出，进而由解析式得出. 【详解】因为指数函数（且）的图像过点， 所以或（舍）. 若时，；时，， 因此. 故答案为：64. 13.已知，则的解集为 ． 【答案】 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14.已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可，分别求出在的最大值及在上的最大值，则答案可求. 【详解】， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 在R上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可，即，解得， 即m的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数    (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1)； (2)图象见解析，递增区间为，无递减区间； (3). 【分析】（1）根据解析式求函数值即可； （2）由分段函数解析式，结合指数函数性质画出函数大致图象，进而判断单调性； （3）根据（2）所得图象，数形结合确定x的取值范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）   所以的递增区间为，无递减区间. （3）由（2）知：，即. 16.已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式，求，的值； （2）证明函数在上单调递增，有，可求的取值范围． 【详解】（1）函数的图象经过点，， 得，解得； （2）由（1）得，， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 因为关于的不等式在上有解， 所以，解得， 即的取值范围为 17. 已知函数的表达式为且 (1)求函数的解析式; (2)若方程 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围; 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）结合指数函数和二次函数的图像求解即可 【详解】（1）故 所以. （2）方程 ，即， ，， 若方程 有两个不同的实数解，令 所以方程 有两个不同的实数解 所以，即 此时方程 有两个不同的实数解， 故. 18.已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， （2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； （3）， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 19．已知（且）是上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数n，使不等式有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据，，即可求出的值，从而可求函数的解析式； （2）设等分点的横坐标为，.首先根据，可得到函数的图象关于点对称，从而可得到，；进而可求出 ；再根据，从而只需求即可； （3）利用区间的定义以及指数函数的单调性，得到，利用函数的单调性，将问题进行转化，利用换元法，将问题进一步转化为二次方程根的分布问题，列出方程组，求解即可. 【详解】（1）∵是上的奇函数，∴， 由，可得，， ∵，∴，，所以. 又，所以为奇函数. 所以. （2）把区间等分成份，则等分点的横坐标为，， 又，为奇函数， 所以的图象关于点对称，所以，， 所以 ， 因为，所以，即. 故存在正整数，使不等式有解. （3）因为，所以 ，从而 , 又 知 ，所以, 由（1）知，函数为上的单调增函数. 因为函数在区间上的值域是, 所以,即 从而关于的方程有两个互异实根. 令，所以方程 有两个互异正根. 所以，解得，. ∴. 【点睛】关键点点睛：第（3）小问，解题的关键是通过函数的单调性，利用函数在区间上的值域是，列出关系式，两式相结合求解的范围，考查数学转化思想和计算能力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 指数函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 了解指数函数的实际意义, 理解指数函数的概念; （2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 （1）理解指数函数的定义; （2）了解指数爆炸和指数衰减； （3） 掌握指数函数的图象与性质； （4）掌握指数函数图象与性质的应用.（难点) 知识点01 指数函数的概念 （1）概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 解释 (1)指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数. (2)指数函数中为什么要限制且呢？ ① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若或时，函数没研究价值. （2）指数爆炸和指数增长 ①当底数时，指数函数的值岁自变量的增长而增大，底数较大时指数函数的值增长速度惊人，被称为指数爆炸； ② 指数函数且在长为的周期区间中函数值增长，增长率为，它是个常量，我们称之为指数式增长，也称指数增长。 （3）指数衰减 当底数满足时，指数函数值岁自变量的增长而缩小以至无限接近于，这叫做指数衰减. 指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量. 【即学即练1】 若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 知识点02 指数函数的图象与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【即学即练2】 已知， 若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型一：指数函数的判定与求值】 例1． 已知函数为指数函数，为幂函数，若，且，则 ． 变式1-1．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝ . 变式1-2．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【方法技巧与总结】 1 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 可用待定系数法求指数函数的解析式. 【题型二：指数型函数图像过定点问题】 例2．函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 变式2-1．函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 指数型函数(是常数)过定点，过定点指的是该函数不管取什么数，函数均过的点. 【题型三：根据指数型函数图像判断参数的范围】 例3．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（    ） A． B． C．2 D．4 变式3-1．若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（    ） A． B． C． D．3 变式3-3．已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 函数图象的变换 （1）平移变换，口诀：左加右减，上加下减 （2）对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. （3） 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【题型四：比较指数幂的大小】 例4．设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 比较指数幂数值大小的方法很多，当底数相等的指数幂可利用指数函数的单调性比较，当指数相等的指数幂可利用幂函数利用中间值(常常是0或1)比较，利用作差作商比较等等. 【题型五：求指数型函数的值域】 例5．已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用指数函数的单调性可求指数型式子的值域。 【题型六：指数函数最值与不等式综合问题】 例6．已知为奇函数，为偶函数，且满足，若对任意的都有不等式成立，则实数的最小值为（    ）. A． B． C．1 D． 变式6-1．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【方法技巧与总结】 1 恒成立问题常常可转化为最值问题: ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则; 2 处理恒成立问题方法很多，可直接求解函数最值或分类参数法等； 3 遇到求类似形式的最值，可用分离常数法活换元法处理. 【题型七：指数型函数图象变换的应用】 例7．设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 变式7-2．已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型八：指数函数的实际应用】 例8．有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 变式8-1．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 变式8-2．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【题型九：指数型函数的综合运用】 例9．（多选）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C． D． 变式9-1．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 变式9-2．若实数，，满足，则下列不等关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式9-4．已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 变式9-5．设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 一、单选题 1．已知，，.则（    ） A． B． C． D． 2.已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3.已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（    ）名 A．10000 B．8000 C．4000 D．3500 4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5.设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6.已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 7. 已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.设，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 10. 设函数，则下列说法错误的是（　　） A．在上单调递增 B．为奇函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 11.已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 13.已知，则的解集为 ． 14.已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知函数    (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若，求x的取值范围. 16.已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 17. 已知函数的表达式为且 (1)求函数的解析式; (2)若方程 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围; 18.已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 19．已知（且）是上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数n，使不等式有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上的值域是，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$