2.6直线与圆、圆与圆的位置关系（3知识点+9题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能根据给定直线、圆的方程, 判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 （1）掌握直线与圆、圆与圆的位置关系; （2）会求直线与圆相交的弦长； （3）会求解直线与圆的最值问题； （4）会求相交圆的公共弦方程； （5）会求两圆的公切线. 知识点01 直线与圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 【即学即练1】 已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用直线与圆的位置关系，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】圆的圆心，半径为， 由直线与圆相切，得，而，解得， 所以“”是“直线l与圆C相切”的充要条件. 故选：C 知识点02 直线与圆的弦长公式 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【即学即练2】 圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 知识点03圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别是,()，两圆圆心的距离为，则两圆有如下的位置关系 （1）两圆外离，无公共点； （2）两圆外切，一个公共点； （3）两圆相交，两个公共点； （4）两圆内切，一个公共点； （5）两圆内含，无公共点. 【即学即练3】 圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】A 【分析】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论. 【详解】由已知得圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 ， 故， 所以圆与圆相交. 故选：A. 【题型一：判断直线与圆的位置关系】 例1． 直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个交点，则或. 故选：D. 变式1-1．已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【答案】C 【分析】由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 变式1-2．若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式. 【详解】的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 所以，即. 故选：A. 变式1-3．实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上的点与点连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径为， 又由，所以表示圆上的点与点连线的斜率， 当过点与圆相切时，此时取得最值，如图所示， 设，可得，令， 整理得，解得或， 结合图象，可得的取值范围是. 故选：C. 【方法技巧与总结】 判断直线与圆的位置关系 方法1 判断圆心到直线的距离与圆的半径的大小； 方法2 联立直线与圆的方程，消元求判别式. 【题型二：过圆上一点的圆的切线方程】 例2．过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由点斜式求出直线l的方程，根据直线平行及两平行直线间的距离公式可得结果. 【详解】由条件知点在圆上，所以直线的斜率为切线的斜率为， 即直线方程为，整理得：直线与 直线平行，直线方程为，则直线与的距离为， 故选：A． 变式2-1．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 变式2-2．从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 变式2-3．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，由切线与平行，可得答案． 【详解】已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且； 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径， ，即. 故选：B． 【方法技巧与总结】 求过某定点圆的切线方程 1 设过点的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，从而得到切线方程； 2 若该点在圆上，则连接该点与圆心，利用半径与切线相互垂直，求出切线斜率从而得到切线方程. 【题型三：圆的弦长问题】 例3．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径，设圆心到直线的距离为，用表示出的面积，由面积为50解出，再结合点到直线的距离公式解出的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，则， 所以的面积，解得. 又，所以，化简，得，解得. 故选：A. 变式3-1．圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，. 故选：B. 变式3-2．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于，分别计算和，即可求得的面积. 【详解】 如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则, 故的面积为. 故选：B. 变式3-3．已知圆，直线都经过原点，且，若与被圆所截得的弦长之比为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得直线的斜率存在，且不为0，设的斜率为，则直线的斜率为，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式列出式子，求解即可得到直线的斜率. 【详解】由题可得圆的圆心为，半径，显然直线的斜率存在，且不为0，设的斜率为，则直线的斜率为， 则直线的方程为：，直线的方程为：，记圆心到直线和的距离分别为， 则，，由题意可知，整理得，，所以，解得 故选：C 变式3-4．已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】依题作出图形，从四边形的面积分析考虑得出，利用将其化为，要使最小，需使最小，即为圆心到直线的距离时，利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】    如图，易得,,则四边形的面积为, 化简得，，在中，， 代入整理得，， 要使线段长度最小，只需使线段长度最小，而是圆心到直线上任意点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，. 故选：A. 【方法技巧与总结】 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型四：直线与圆的位置关系求距离的最值】 例4．已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据四边形的面积为，得，所以当取得最小值时，最小，利用点到直线的距离求出的最小值，则可求出，从而可求出，进而可求出其正弦值. 【详解】的半径是2，圆心是，切线长， 根据四边形的面积为， 可知， 所以当取得最小值时，最小， 因为， 所以，此时， 又，则， 则，所以． 故选：C．    变式4-1．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 变式4-2．已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到过定点，得到点在圆上，且，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为直线，可化为， 由，解得，所以l过定点， 又因为点在圆上，且， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时， 所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离； 当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0， 故点P到的距离的取值范围为. 故选：D. 变式4-3．已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由数形结合即可求点到直线距离的最大值. 【详解】依题意，所以， 因为为的中点，所以， 如图所示，过点作直线的垂线，垂足为， 连接，则圆心到直线的距离为， 因为当且仅当三点共线时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 故选：C    【方法技巧与总结】 1 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 2 注意平面几何模型，比如将军饮马、三点共线、阿氏圆等等； 3 多数形结合，观察图象明确哪些量是变的哪些是不变的，注意各变量之间的关系，把问题进行转化处理. 【题型五：判断圆与圆的位置关系】 例5．两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距离，然后判断两圆的位置关系，从而可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， 所以圆心距． 又，所以两圆相交，所以公切线只有2条． 故选：B 变式5-1．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 变式5-2．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 【方法技巧与总结】 判断圆与圆的位置关系，主要看圆心距与两圆半径之差或和的关系. 【题型六：相交圆的公共弦方程】 例6．（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【分析】对于A，化简得圆的标准方程可知圆心和半径；对于B，将点代入圆的标准方程即可判断；对于C，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程；对于D，根据圆心距和两圆半径之间关系即可判断. 【详解】对于A，圆的标准方程为，所以半径，故A正确； 对于B，将点代入圆的标准方程中得， 所以点在圆的外部，故B错误； 对于C，由两圆方程相减得， 则公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以两圆与的圆心距为，小于两圆半径之和且大于两圆半径只差，即，故两圆相交，故D正确. 故选：ACD. 变式6-1．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 变式6-2．已知圆，直线，点P为上一动点．过点P作圆M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用是表示四边形的面积，从而转化为三角形的面积的2倍，又转化到求的最小值，最后转移到只需要求的最小值，这样就容易找到点的位置为的垂足，然后再利用两圆相交弦方程去求解即可. 【详解】根据圆与切线的性质可知，而四边形的面积等于， 所以要使得取最小值，即满足四边形的面积取到最小值， 又因为四边形的面积等于三角形的面积的2倍， 所以只需要满足三角形的面积取到最小值即可， 又因为，而圆，可知， 所以，即求的最小值， 又因为，所以只需要求的最小值， 由于点P为上一动点，点为定点，所以的最小值为点P到直线的距离， 此时，设垂足为，则由与垂线联立得：，即可得此时， 由可知两点在以为直径的圆上， 且以为直径的圆的方程为：， 所以直线方程为两圆的相交弦方程， 即由与为直径的圆的方程为：相减得： ， 故选：A. 【方法技巧与总结】 求圆与圆的公共弦方程，只需要将两圆的方程相减便可. 【题型七：两圆的公共弦长】 例8．已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，求出圆圆心坐标和半径，求出点到直线的距离，求得弦长，从而可得三角形面积． 【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为， 圆标准方程为，得，半径为， 所以到直线的距离为，线段的长度为， 所以的面积为． 故选：B. 变式8-1．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 变式8-2．已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由距离公式化简整理可得点M的轨迹，两圆相减得公共弦直线方程，利用几何关系即可求出弦长. 【详解】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系， 可设，，明显，圆O的半径为2，其方程为：①， 设动点，由，从而有， 化简得：，即②， 由可得相交弦的方程为：，圆心到距离， 所以公共弦长为.      故选:A. 【方法技巧与总结】 求两相交圆的的公共弦的弦长，可先求出公共弦方程，再利用直线与圆的弦长公式(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 【题型八：圆的公切线的方程】 例8．（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 【答案】ABD 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆 ， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD．    变式8-1．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 变式8-2．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 变式8-3．（多选）已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆关于直线对称 B．线段所在直线的方程为 C．圆与圆的公切线方程为或 D．若A，B分别是与上的动点，则的最大值为11 【答案】AD 【分析】利用等圆的性质可判定A，根据两圆公共弦方程公式可判定B，利用直线与圆的位置关系计算可判定C，利用两圆的位置关系计算可判定D. 【详解】对于A，两圆的半径均为3，则为线段的垂直平分线，故圆与圆关于直线PQ对称，A正确； 对于B，因为圆与圆相交，所以两个方程相减可得直线的方程为，B错误； 对于C，因为圆与圆相交，所以有两条公切线， 又两圆的半径相等，所以公切线与平行，即公切线的斜率， 设公切线方程为，即，所以，解得， 所以与的公切线方程为或，C错误； 对于D，的最大值为，D正确. 故选：AD 【方法技巧与总结】 求两圆的公切线，可先设公切线方程，再利用与两圆相切得到方程组进而求出公切线；或利用几何方法. 【题型九：圆的公切线长】 例9．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 变式9-1．圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    变式9-2．（多选）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】 根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C. 【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 变式9-3．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【答案】BCD 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D. 【详解】解：因为圆，圆， 所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以，故圆与圆相交，即A错误； 因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确 将两圆方程作差得， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确； 因为的圆心为，半径， 所以到直线的距离为， 所以公共弦长为， 又圆心到直线的距离为， 所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确. 故选：BCD 【方法技巧与总结】 求两圆的公切线长，由于连接两切点和圆心得到一个直角梯形，易得. 一、单选题 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 【答案】B 【分析】根据圆心在直线上，即可求解. 【详解】的圆心为， 符合直线方程，故直线过圆心， 故选：B 2. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 3.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果. 【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为， 可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为． 故选：B． 4.直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，解得. 故选：A. 5.已知圆过点，且直线：被圆所截得的弦长为，若圆的圆心在轴右侧，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的圆心为，半径为，写出圆的标准方程，将，两点的坐标带入圆的标准方程，再由圆心到直线的距离、弦长和半径的关系可求得圆心坐标和半径，进而可求得圆的面积. 【详解】设圆的圆心为，半径为，则圆的方程为， 圆心到直线的的距离， 直线：被圆所截得的弦长为， ，① 圆过点，， ，② ，③ 圆的圆心在轴右侧， ， ①②③联立解得，，， 圆的面积为. 故选：B. 6. 已知圆和圆，则错误的是（    ） A．两圆可能无公共点 B．若两圆相切，则 C．直线可能为两圆的公切线 D．当时，若为两圆的公切线，则或 【答案】B 【分析】先根据题意求出圆和圆的圆心距为，当即可判断A；分两圆外切和内切两种情况即可判断B；当时即可判断C；结合选项B可得，当时，两圆外切，再根据圆和圆的圆心到直线的距离分别为和即可判断D． 【详解】由圆的圆心为，圆的圆心为，则圆和圆的圆心距为， 对于A，当，即时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确； 对于B，当两圆外切时，，得；当两圆内切时，，得，故B错误； 对于C，当时，直线可能为两圆的公切线，故C正确； 对于D，结合选项B可得，当时，两圆外切， 则有，解得或，故D正确． 故选：B． 7. 已知圆和圆的交点为，则错误的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】D 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则A可判断；由两圆中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则B可判断；利用两圆中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，则对C判断；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值，即可对D判断. 【详解】对于，因为圆，两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于，圆的圆心为，， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C正确； 对于为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误， 故选：D. 8.过点的动直线与圆于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先设切点再由得出，根据点到直线距离计算求参. 【详解】圆的圆心，半径为2， 所以圆与轴相切，切点坐标为，所以， 故， 设的中点为，连接，则， 设圆心到直线的距离为，则， 所以， 由于， 故， 由于，所以， 故，解得． 故选： 二、多选题 9． 直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 【答案】BCD 【分析】根据直线l斜率和倾斜角的关系，即可判断A选项；将圆心求出，即可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出，即可得出直线l与圆的位置关系，即可判断C选项；利用点到直线的距离公式求出，即可表示出直线l与圆的位置关系，计算求参，即可判断D选项. 【详解】直线l：的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，A选项错误； 而圆：，即，可知圆心，半径，B选项正确； 当时，直线l：， 设圆心到直线l的距离为，则， 所以直线与圆相切，故C正确； 对于D项，圆：，即，可知圆心，半径, 因为直线与圆C交于两点，所以圆心C到直线l的距离， 即，解得， 所以当时，直线l与圆C相交，故D项正确； 故选：BCD. 10.已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【分析】将直线的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据时被圆截得弦长最短，算出的最小值，从而判断出B项的正误； 利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出的最大值与的大小，从而判断出CD两项的正误． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 11.设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 【答案】BCD 【分析】根据为的直径，所以，可求，得点轨迹，判断A的真假；根据两圆公共弦的直线方程的求法 ，判断B的真假；利用二倍角公式，求，判断C的真假；利用点与圆的位置关系，判断D的真假. 【详解】对A：如图 时，，所以点Q的轨迹方程为，故A错误； 对B：如图： 当，时，的方程为：即， 所以直线的方程为 . 故B正确； 对C：如图： 当，时，在中，， 所以. 故C正确； 对D：因为点在外，所以，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1， 所以，所以，即. 故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先根据两条直线所过的定点，以及位置关系，确定点的轨迹方程，即可利用几何关系求最值. 【详解】直线过定点，直线过定点， 且直线与直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 其方程为． 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为： 13. 已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意结合数量积的运算分析可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，即圆与圆有公共点，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 则，其中为坐标原点， 可得，则， 可知点的轨迹为以圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14.圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由直线与圆相切的几何关系，确定点的关键方程，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由可得，由可得 ，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 其方程为．又点在直线上， 故直线与圆有公共点，所以， 解得，所以或． 故答案为：或 四、解答题 15．已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 16.已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先得圆心在直线上，结合即可求解. （2）两圆相减首先得公共弦方程，由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点， 所以圆心在直线即直线上， 所以， 又， 所以解得， 所以圆的标准方程. （2）由（1）得圆的标准方程. 又圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 而圆的半径为， 所以圆与圆的公共弦长为. 17.已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 18.已知圆满足：①；②与圆外切；③被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）画出图形，由于圆与圆外切，得到，圆被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. 得到，求出即可； （2）画出图形，四边形为平行四边形,，得到，将直线设为：；则，结合垂径定理和勾股定理，得到，求出即可. 【详解】（1）如图所示，与圆交于，过作垂直于于点． 由于，配方得， 则圆心为，半径．，圆心为，半径． 由于圆与圆外切，则（∗）． 圆被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. 则， 则（∗∗），与（∗）联立方程，解得（）. 因此，则圆的方程为：． （2） 直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，则，. 则，则直线设为：，即. 四边形为平行四边形,则． 过作于 点，由垂径定理得， 则， 运用点到直线的距离公式得到，则，解得， 则直线的方程为：，即或. 19.已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】(1)圆与圆外切，理由见解析 (2)①最大值为；②平行，理由见解析 【分析】（1）根据对称关系求出圆方程，从而求出圆心距，即可判断两圆的位置关系； （2）①方法一：令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，由垂直关系可得四边形是矩形，即，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到，进而由基本不等式，得到的最值，从而求得结果； 方法二：分类讨论直线与中有一条直线的斜率不存在和直线与斜率都存在，且互为倒数，两种情况下的值，最后综合讨论结果得到答案. ②由已知直线和直线与轴分别交于点、，且，可得直线与斜率都存在，且互为相反数，可设，，求出，坐标后，代入斜率公式，判断直线和的斜率是否相等，即可得到答案. 【详解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切． （2）方法一：令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形，    所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在， 则，此时 若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，， 点到的距离为，同理可得点到的距离为， ， ， 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 ②直线和平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ，    由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，所以， ， 所以，直线和一定平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能根据给定直线、圆的方程, 判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 （1）掌握直线与圆、圆与圆的位置关系; （2）会求直线与圆相交的弦长； （3）会求解直线与圆的最值问题； （4）会求相交圆的公共弦方程； （5）会求两圆的公切线. 知识点01 直线与圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 【即学即练1】 已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 知识点02 直线与圆的弦长公式 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【即学即练2】 圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 知识点03圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别是,()，两圆圆心的距离为，则两圆有如下的位置关系 （1）两圆外离，无公共点； （2）两圆外切，一个公共点； （3）两圆相交，两个公共点； （4）两圆内切，一个公共点； （5）两圆内含，无公共点. 【即学即练3】 圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【题型一：判断直线与圆的位置关系】 例1． 直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 变式1-1．已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 变式1-2．若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断直线与圆的位置关系 方法1 判断圆心到直线的距离与圆的半径的大小； 方法2 联立直线与圆的方程，消元求判别式. 【题型二：过圆上一点的圆的切线方程】 例2．过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 变式2-1．已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 【方法技巧与总结】 求过某定点圆的切线方程 1 设过点的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，从而得到切线方程； 2 若该点在圆上，则连接该点与圆心，利用半径与切线相互垂直，求出切线斜率从而得到切线方程. 【题型三：圆的弦长问题】 例3．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式3-1．圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 变式3-2．直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 变式3-3．已知圆，直线都经过原点，且，若与被圆所截得的弦长之比为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式3-4．已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【方法技巧与总结】 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型四：直线与圆的位置关系求距离的最值】 例4．已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为（    ） A． B． C．1 D． 变式4-1．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式4-2．已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 【方法技巧与总结】 1 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 2 注意平面几何模型，比如将军饮马、三点共线、阿氏圆等等； 3 多数形结合，观察图象明确哪些量是变的哪些是不变的，注意各变量之间的关系，把问题进行转化处理. 【题型五：判断圆与圆的位置关系】 例5．两圆与的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式5-1．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 变式5-2．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 判断圆与圆的位置关系，主要看圆心距与两圆半径之差或和的关系. 【题型六：相交圆的公共弦方程】 例6．（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 变式6-1．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 变式6-2．已知圆，直线，点P为上一动点．过点P作圆M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求圆与圆的公共弦方程，只需要将两圆的方程相减便可. 【题型七：两圆的公共弦长】 例8．已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 变式8-1．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 变式8-2．已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求两相交圆的的公共弦的弦长，可先求出公共弦方程，再利用直线与圆的弦长公式(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 【题型八：圆的公切线的方程】 例8．（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 变式8-1．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 变式8-2．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式8-3．（多选）已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆关于直线对称 B．线段所在直线的方程为 C．圆与圆的公切线方程为或 D．若A，B分别是与上的动点，则的最大值为11 【方法技巧与总结】 求两圆的公切线，可先设公切线方程，再利用与两圆相切得到方程组进而求出公切线；或利用几何方法. 【题型九：圆的公切线长】 例9．（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 变式9-1．圆与圆的公切线长为 . 变式9-2．（多选）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 变式9-3．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【方法技巧与总结】 求两圆的公切线长，由于连接两切点和圆心得到一个直角梯形，易得. 一、单选题 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 2. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 3.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4.直线被圆所截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．2 5.已知圆过点，且直线：被圆所截得的弦长为，若圆的圆心在轴右侧，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6. 已知圆和圆，则错误的是（    ） A．两圆可能无公共点 B．若两圆相切，则 C．直线可能为两圆的公切线 D．当时，若为两圆的公切线，则或 7. 已知圆和圆的交点为，则错误的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 8.过点的动直线与圆于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 9． 直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 10.已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 11.设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（    ） A．当时，点Q的轨迹方程为 B．当，时，直线的方程为 C．当，时， D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则 三、填空题 12．直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 13. 已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 14.圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 16.已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 17.已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 18.已知圆满足：①；②与圆外切；③被直线分成两段圆弧，其弧长的比为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，求直线的方程. 19.已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$