2.3.2两点间的距离公式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3.2两点间的距离公式 第二章 直线和圆的方程 1 复习导入 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 直线方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 已知条件 直线上一定点 ,斜率 斜率k, y轴截距b 直线上两点 (x1,y1),(x2,y2) 非零截距a,b 系数 适用条件 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 斜率存在且不为，不过原点 任何位置 直线的方程 2 小结 若两条直线，：相交， 它们的交点坐标为方程组的解 经过两条直线，交点的直线方程为 其中是待定系数， 当时，表示直线， 此方程无法表示直线 3 新知探究 问题1：如图，已知平面内两点，，如何求间的距离？ 解：由点，，得. 于是， . 由此得到两点间的距离公式 . 特别地，原点与任一点间的距离. 4 新知探究 思考1：你能利用 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) 构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？ x y O P2 (x2，y2) P1 (x1，y1) ① x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) ② x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) ③ Q (x2，y1) 两点间的距离公式： || = || || = || 5 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)表示的是平面内点到点的距离.( ) (2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.( ) 【答案】 辨析2：已知点 关于点的对称点为，则点到原点的距离是( ). . . . . 【答案】 6 练习巩固 例1：已知点，，在轴上求一点，使，并求的值. 解：设所求点为，则 . 由，得.解得. 所以，所求点为，且. 7 练习巩固 辨析3：求下列两点间的距离： （1），； （2），. 【答案】 （2）代入两点间距离公式得： = . 练习1：已知 与 两点间的距离是17，求的值. 解：设代入两点间距离公式得： 即：，解得 . 8 练习巩固 变式1-1：如图，已知的三顶点，，. (1)判断的形状；(2)求的面积. 解：(1)∵， ， . ∴，且，∴是等腰直角三角形. (2)∵， ∴的面积为26. 9 练习巩固 变式1-2：试在直线上求一点，使它到点，的距离相等. 解：由直线，得，点在该直线上， 所以可设点的坐标为. 由已知， 所以， 即. 所以. 解得，从而所以. 10 练习巩固 练习2：试在中，是边上的中线.求证： 证明：以边所在直线为轴，以为原点，建立坐标系，如图所示， 设，，则. ∵，， ，， ∴， , ∴. 11 练习巩固 变式2-1：用坐标法证明：如果四边形是长方形，而对任一点，等式成立. 证明：如图，取长方形两边，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系. 设，，，，在平面上任取一点， 则， ， 所以. 12 练习巩固 变式2-2：用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 证明：如右图,以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，则有.设,由平行四边形的性质，得. 由两点间的距离公式，得， . 13 小结 平面上的两点，间的距离公式： 注：① 原点 O (0，0) 与任一点 P (x，y) 间的距离：； ② 当直线 P1P2 垂直于 x 轴时：|| = ||； ③ 当直线 P1P2 垂直于 y 轴时：|| = ||. 另，两点间的距离公式与两点的先后顺序无关 14 $$