专题02 方程与不等式（5基础+3提升）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题02 方程与不等式 1、 基本考点 1、求不等式的解集 2、根据不等式求参数值 3、基本不等式的性质 4、均值不等式及其应用 5、解不含参不等式 2、 提升考点 1、根据根与系数关系化简求值 2、解含参不等式 3、恒成立和综合应用 求不等式的解集 1．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京昌平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·北京海淀·期中）不等式的解集是 ． 5．（23-24高一上·北京顺义·期中）若不等式的解集为或，则 ． 6．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 根据不等式求参数 1．（23-24高一上·北京延庆·期中）已知不等式的解集为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知关于x的方程的两个实根为，，且，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·北京·期中）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 基本不等式的性质 1．（23-24高一上·北京·期中）若，，则下面不等式中成立的一个是（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期中）设，，则下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·北京通州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（22-23高一上·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高一上·北京·期中）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高一上·北京·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 均值不等式及其应用 1．（23-24高一上·北京·期中）下列各不等式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知x，，若，则（    ） A．xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 3．（23-24高一上·北京·期中）设实数满足，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B．3 C．6 D．10 5．（23-24高一上·北京·期中）已知正数x，y满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解不含参不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 根与系数的关系化简求值 1．（23-24高一上·北京昌平·期中）关于的方程 (1)当时，求方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根， ①求实数的取值范围；②用关于的式子表示 2．（23-24高一上·北京·期中）关于的方程有两个不等实根，． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值； (3)若，求实数的值． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知关于的方程有两个不相等的实根. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 解含参一元二次不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）关于的不等式：． (1)若，求不等式的解集， (2)求不等式的解集， 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若的解集是，解关于的不等式 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； 4．（23-24高一上·北京·期中）已知关于的不等式，. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若，求不等式的解集. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. （Ⅰ）当时，解关于x的不等式； （Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围． 恒成立和综合应用 1．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 2．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，用表示中的较大者，记为，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知. 条件（1）: 条件（2）:恒成立. (1)求不等式的解集; (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围;注:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知参数k为非零实数，记与为关于x，y的方程组的两组不同实数解；记与为关于x，y的方程组的两组不同实数解． (1)求证：，； (2)求的值； (3)求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式 1、 基本考点 1、求不等式的解集 2、根据不等式求参数值 3、基本不等式的性质 4、均值不等式及其应用 5、解不含参不等式 2、 提升考点 1、根据根与系数关系化简求值 2、解含参不等式 3、恒成立和综合应用 求不等式的解集 1．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 2．（23-24高一上·北京昌平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集. 【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为： 【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题. 4．（23-24高一上·北京海淀·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】解：因为， 所以，， 即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．（23-24高一上·北京顺义·期中）若不等式的解集为或，则 ． 【答案】1 【分析】由题意可知：2，3是方程的两根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：2，3是方程的两根， 则，可得，所以. 故答案为：1. 6．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】等价于且，然后解出即可. 【详解】因为，所以且 所以 故答案为： 根据不等式求参数 1．（23-24高一上·北京延庆·期中）已知不等式的解集为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的系数与根的关系，根据韦达定理列方程组即可求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以方程的两个根分别为1，2， 由判别式和韦达定理可得，即. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京·期中）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 3．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C. 4．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知关于x的方程的两个实根为，，且，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，从而得到方程，求出a的值，检验后得到答案. 【详解】由韦达定理得， 故，解得， 当时，满足，故a的值为. 故选：B 5．（23-24高一上·北京·期中）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用判别式和韦达定理解决. 【详解】关于x的方程的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零， 则有，解得. 故选：C 6．（23-24高一上·北京·期中）已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将参数与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m的取值范围. 【详解】根据题意当时，不等式恒成立， 则恒成立，只需即可； 易知当时，由基本不等式可得，当且仅当时取等号； 所以，即， 所以实数m的取值范围是. 故选：A 基本不等式的性质 1．（23-24高一上·北京·期中）若，，则下面不等式中成立的一个是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质和关系进行判断即可． 【详解】，， ，则， 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合同向不等式相加的性质是解决本题的关键． 2．（22-23高一上·北京·期中）设，，则下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，举出反例逐一判断即可. 【详解】解：对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高一上·北京·期中）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质判断BD，由作差法判断AC即可. 【详解】，，∴，故D对B错； ，大小关系不确定，故AC错. 故选：D 4．（23-24高一上·北京·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解. 【详解】由数轴知 ，不妨取， 对于A， ， 不成立. 对于B，， 不成立. 对于C， ， 不成立. 对于D， ，因此成立. 故选：D． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案． 【详解】解：， ，故错误； 两边同除得：，故错误； ，故错误； 两边同乘得：，故正确； 故选． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，由此可判断得选项. 【详解】解：因为，，所以一定有，b的符号不能确定，所以，的符号不能确定,，一定成立的是， 故选：D. 7．（23-24高一上·北京通州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】举例说明判断ABC，利用不等式性质推理判断D. 【分析】对于A，由，得，取，显然，A错误； 对于B，由，取，显然，B错误； 对于C，由，取，显然，C错误； 对于D，由，得，则，而， 因此，所以，D正确. 故选：D 8．（22-23高一上·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可判断A，B，C；举反例可判断D. 【详解】对于A，当时，则时，，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，即，故，C正确； 对于D，若，不妨取若，则，D错误， 故选：C 9．（23-24高一上·北京·期中）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：当时结论不成立，所以A错误； 对于B：因为，所以，所以， 两边同除可得，B错误； 对于C：因为，两边同除可得，C错误； 对于D：因为，两边同乘可得，两边同乘可得， 所以，D正确， 故选：D 10．（23-24高一上·北京·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】特殊值法判断A、B、C，由不等式性质判断D. 【详解】A：时，，错； B：时，，错； C：当时，，错； D：，则，故，对. 故选：D 均值不等式及其应用 1．（23-24高一上·北京·期中）下列各不等式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取特殊值可判断ACD；利用基本不等式可判断B. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，当时，，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知x，，若，则（    ） A．xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 【答案】A 【分析】利用重要不等式求解. 【详解】由不等式可知，，所以， 当且仅当时取得等号，所以xy的最大值为1，A正确，B错误； 由不等式可知，，所以， 当且仅当或时取得等号， 所以xy的最小值为，CD错误； 故选:A. 3．（23-24高一上·北京·期中）设实数满足，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】变形函数，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选： 4．（23-24高一上·北京西城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知正数x，y满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 当且仅当，且，即，时等号成立. 所以，. 故选：C. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知、均为正数，利用韦达定理得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知，、是方程的两根，所以，， 所以，， 且， 当且仅当时，取等号，因此，的最小值为. 故选：A． 解不含参不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集为. 2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）由，得，则或， 所以解集为 （2）由，得，，解得， 所以解集为 （3）由，得， 当时，即时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 根与系数的关系化简求值 1．（23-24高一上·北京昌平·期中）关于的方程 (1)当时，求方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根， ①求实数的取值范围；②用关于的式子表示 【详解】（1）由题设，可得或. （2）①由方程有两个不相等的实数根，则， 所以， ②由根与系数关系知：， 所以. 2．（23-24高一上·北京·期中）关于的方程有两个不等实根，． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值； (3)若，求实数的值． 【详解】（1）因为关于的方程有两个不等实根，， 所以有且， 所以实数的取值范围为； （2）当时， 根据一元二次方程根与系数的关系可知：， 所以； （3）根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ， 因为实数的取值范围为， 所以. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知关于的方程有两个不相等的实根. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【详解】（1）由已知可得，，所以. 由韦达定理可得，. 因为， 所以有，即， 整理可得， 解得（舍去）或， 所以，. （2）由（1）知，，， 则. 因为，所以， 所以，的取值范围是. 解含参一元二次不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）关于的不等式：． (1)若，求不等式的解集， (2)求不等式的解集， 【详解】（1）若，则，解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 对应方程的根为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若的解集是，解关于的不等式 【详解】（1）当时，， 则不等式，即为 即，解得， 所以的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程即的两根， 则，解得， 所以可化为， 即，解得或， 所以的解集为或. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； 【详解】（1）的解集为， 即在上恒成立， 当时，不恒成立， 当时，需满足且一元二次方程无实根， 则有， 即，解得. 综上，的取值范围为. （2），即， 即， ①当时，解集为； ②当时，， ， 解集为； ③当时，， ， 解集为. 4．（23-24高一上·北京·期中）已知关于的不等式，. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若，求不等式的解集. 【详解】（1）依题意，是方程的两个实根，且， 于是，且，解得， 所以实数的值为. （2）当时，不等式化为， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. （Ⅰ）当时，解关于x的不等式； （Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围． 【详解】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求． 详解：（Ⅰ）由得, 即 ①当，即时，解得； ②当即时，解得或； ③当，即时， 由于 ， 故解得． 综上可得：当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． （II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立． 即对任意的恒成立， 由于， ∴对任意的恒成立． 令， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴实数的取值范围是． 另解: 不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设 (1)当时,,解得 (2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去 (3)当时, (ⅰ),即,得 (ⅱ),解得 综上可得实数的取值范围是． 恒成立和综合应用 1．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 【详解】（1）不等式即为：， 当时，不等式可变形为：， 因为， 当且仅当时取等号，所以， 所以实数a的取值范围是. （2）不等式， 等价于，即， ①当时，不等式整理为，解得； 当时，方程的两根为，， ②当时，可得，解不等式得或； ③当时，因为，解不等式得； ④当时，因为，不等式的解集为； ⑤当时，因为，解不等式得； 综上所述，不等式的解集为： ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为． 2．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，用表示中的较大者，记为，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知. 条件（1）: 条件（2）:恒成立. (1)求不等式的解集; (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围;注:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）若选择条件①因为， 所以，故. 所以， 因为，故， 解得或， 所以不等式解集为. 若选择条件②恒成立，故最小值为， 所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①. （2）不论是条件①或是条件②均可以得到， 因为， 根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，， 所以， 又因为当，不等式恒成立， 故当，不等式恒成立， 即恒成立，. 因为， 当且仅当时等号成立，故，即. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知参数k为非零实数，记与为关于x，y的方程组的两组不同实数解；记与为关于x，y的方程组的两组不同实数解． (1)求证：，； (2)求的值； (3)求的值． 【详解】（1）由消去y并整理得：，显然是此一元二次方程的两个根， 所以：，. （2）由消去y并整理得：，显然是此一元二次方程的两个根， 于是，，由（1）知，， 所以. （3）由（1）（2）知，， 所以 . ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$