清单01 二次根式（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单01 二次根式（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】知识点1：二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 1.有最小值，为0 2. 3.的性质 【清单02】 二次根式的乘除法法则 1，二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单03】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单04】 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单05】 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单06】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】二次根式的定义 【典例1】下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． 【变式1-3】当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【考点题型二】二次根式有意义的条件 【典例2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式2-1】使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】代数式中x的取值范围是 ． 【变式2-3】函数中自变量的取值范围是 ． 【考点题型三】二次根式的性质与化简 【典例3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3-2】已知，化简： ． 【变式3-3】把中根号外的a移入根号内，则 ． 【考点题型四】最简二次根式 【典例4】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列二次根式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列式子中是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【考点题型五】同类二次根式 【典例5】下列各式中，能与合并的是（    ） A． B．4 C． D． 【变式5-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【考点题型六】二次根式的乘除法 【典例6】计算∶ (1)； (2)． 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算：； 【变式6-3】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【考点题型七】分母有理化． 【典例7】在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ． 像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简： (1) (2) （n为正整数）； (3)求 的值． 【变式7-1】先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【变式7-2】阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【变式7-3】阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 【考点题型八】二次根式的加减法 【典例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-1】计算 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【变式8-3】计算： (1)； (2)． 【考点题型九】二次根式的混合运算 【典例9】计算下列各题： (1) ； (2)． 【变式9-1】计算： (1)； (2)． 【变式9-2】计算： (1) (2) 【变式9-3】计算 (1)； (2)． 【考点题型十】二次根式的化简求值 【典例10-1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【典例10-2】先化简，再求值：，其中 【变式10-1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式10-2】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式10-3】先化简，再求值：，其中 【考点题型十一】二次根式的实际应用 【典例11】如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【变式11-1】如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【变式11-2】【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【变式11-3】秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． (1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次根式（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】知识点1：二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 1.有最小值，为0 2. 3.的性质 【清单02】 二次根式的乘除法法则 1，二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单03】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单04】 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单05】 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单06】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】二次根式的定义 【典例1】下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，故本选项不符合题意； B、不是二次根式，故本选项不符合题意； C、不是二次根式，故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D. 【变式1-1】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 【变式1-2】下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的概念，属于基础题型． 根据二次根式的概念即可判断． 【详解】解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故A错误； B、是二次根式，故B正确； C、37不是二次根式，故C错误； D、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故D错误； 故选：B． 【变式1-3】当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 【考点题型二】二次根式有意义的条件 【典例2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数的自变量的取值范围，二次根式的性质，解不等式，正确记忆函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负是解题关键．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：且． 故选：D． 【变式2-1】使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-2】代数式中x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0列出不等式求解即可． 【详解】解： 由题可知，且， 解得且． 故答案为：且． 【变式2-3】函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件可得且，解不等式即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且， 解得， 故答案为：． 【考点题型三】二次根式的性质与化简 【典例3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，解题的关键是掌握相关的知识．先根据数轴判断出、和的符号，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式3-1】已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴及二次根式化简、绝对值的化简，关键是根据数轴得出与的正负情况． 根据数轴先确定、的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题． 【详解】解：根据实数在数轴上的位置得知：， 即：，， ∴ ． 故选：A． 【变式3-2】已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】把中根号外的a移入根号内，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】最简二次根式 【典例4】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意；     D、 ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】下列二次根式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，根据最简二次根式应满足的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式（不含有分母）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含有二次根式，由此即可求解 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意 故选：A ． 【变式4-2】下列式子中是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握最简二次根式定义是解题的关键．根据二次根式化简的运算法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故A不符合题意； B．是最简二次根式，故B符合题意； C．，不是最简二次根式，故C不符合题意： D．，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【变式4-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【考点题型五】同类二次根式 【典例5】下列各式中，能与合并的是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．与不能合并； B．4与不能合并；     C．与不能合并；     D．与能合并； 故选D． 【变式5-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式． 【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误； B．与不是同类二次根式，故该选项错误； C．与是同类二次根式，故该选项正确； D．与不是同类二次根式，故该选项错误； 故选：C． 【变式5-2】下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的，即可解答． 【详解】解：A、，不能与合并，不符合题意； B、，能与合并，符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，不能与合并，不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，解一元一次方程等知识点，牢记同类二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质将化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义可得出，求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项，得：， 合并同类项，得：， 故答案为：． 【考点题型六】二次根式的乘除法 【典例6】计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式6-1】计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 【变式6-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【考点题型七】分母有理化． 【典例7】在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ． 像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简： (1) (2) （n为正整数）； (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键． （1）先分母有理化，再求出答案即可； （2）先分母有理化，再求出答案即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解： ． ． 【变式7-1】先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵，，即，， ∴； ②； （2）解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）解： ． 【变式7-2】阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 【变式7-3】阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 【答案】(1)①；② (2)44 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出，结合规律代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：；； （2）解： ， ， ， ， …， ， ∴ ． 【考点题型八】二次根式的加减法 【典例8】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式加减混合运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （3）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （4）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-1】计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简各二次根式，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型九】二次根式的混合运算 【典例9】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案； （2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解 ： ； （2）解： ． 【变式9-2】计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的化简，完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合计算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式，二次根式的性质分别化简，再计算加法即可； （2）先根据平方差公式及二次根式的性质化简括号内的二次根式，合并后再计算除法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9-3】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） 【考点题型十】二次根式的化简求值 【典例10-1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由，，求出与的值，将原式提取公因式得到，代入计算即可； （）根据（）中与的值，将原式利用完全平方公式变形后代入计算即可， 本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）由（）得，， ∴， ， ． 【典例10-2】先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 【变式10-1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）根据，结合，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式10-2】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据完全平方公式进行因式分解，然后再代入求值即可； （2）先根据平方差公式进行因式分解，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式10-3】先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考点题型十一】二次根式的实际应用 【典例11】如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 【变式11-1】如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 【变式11-2】【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【答案】(1) (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (3)菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． 【变式11-3】秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． (1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据“海伦一秦九韶公式” 即可解答； （）将，代入得到，再利用即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形中，， ∴“海伦一秦九韶公式”中的，， ∴， ； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，明确题意熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$