专题03二次函数考点分类复习（7题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题03 二次函数考点分类复习 二次函数的定义 1．（2023秋•淳安县期中）自由落体公式h＝gt2（g为常量），h与t之间的关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 2．（2023秋•浙江期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝2x2﹣x B．y＝2x+1 C． D． 3．（2023秋•绍兴期中）函数+2020x﹣2020是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣3 D．±3 4．（2023秋•嘉兴期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ C．y＝3x2+x﹣1 D．y＝2x3﹣1 5．（2022秋•南湖区校级期中）有下列函数： ①y＝5x﹣4；②y＝；③y＝2x3﹣8x2+3；④y＝x2﹣1；⑤y＝； 其中属于二次函数的是 　 　（填序号）． 二次函数的图象与性质 1．（2023秋•滨江区校级期中）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•兰溪市校级期中）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•东阳市期中）某同学在用列表描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x＝5时，y的值为（　　） 　x … ﹣1　 0 1　 2 3　 … y … 8 3　 0 ﹣1 0 … A．8 B．6 C．4 D．3 4．（2023秋•余杭区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x＞4时，y随x的增大而减小 D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大 5．（2023秋•北仑区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 6．（2023秋•江干区校级期中）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 7．（2023秋•金东区期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+1，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 　 　． 8．（2023秋•宁海县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 　 　． 9．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6． （1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围． 10．（2023秋•海曙区期中）已知某二次函数图象上两点坐标分别为A（0，3），B（2，3），与x轴的一个交点为C（3，0），D为顶点坐标． （1）求出该二次函数表达式； （2）求出△ACD的面积． 11．（2023秋•东阳市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值； （3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围． 二次函数图象与系数的关系 1．（2023秋•温岭市期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 2．（2023秋•鹿城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＜0），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣2 m n p ﹣2 … 若mn＜0，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．a＜﹣或﹣＜a＜0 3．（2023秋•萧山区期中）已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•诸暨市期中）已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 　 　． 5．（2023秋•西湖区期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②b﹣2a＝0；③a+b+c＞0；④若点，为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是（　　） A．①②④ B．①④ C．①③④ D．②④ 6．（2023秋•拱墅区校级期中）已知抛物线y＝（ax+1）（x﹣1）的顶点为P（m，n），与y轴的交点在线段EF上，E（0，﹣2），F（0，2）．下列结论正确的有（　　） ①该抛物线必过点（1，0）． ②a≤﹣0.5或a≥0.5． ③x≥1.5时，y随x的增大而增大． ④﹣． A．①②③④ B．①③ C．①② D．①②③ 7．（2023秋•拱墅区校级期中）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥． 二次函数图象上点的坐标特征 1．（2023秋•上城区校级期中）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 2．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．1＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1 3．（2023秋•鹿城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 4．（2023秋•温岭市校级期中）已知二次函数y＝a（x﹣m）2+n经过点（﹣1，y1），（7，y2），若y1＜y2，则下列说法正确的为（　　） A．当a＜0时，m＜4 B．当a＞0时，m＜3 C．当a＞0时，m＜4 D．当a＜0时，m＜3 5．（2023秋•瓯海区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为 　 　． 6．（2023秋•平湖市期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣6，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 　 　． 7．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1．若点P（1，m）、Q（2a+2，n）都在函数y的图象上，且m＞n．则a的取值范围为 　 　． 8．（2023秋•萧山区期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象过点（1，﹣5）． （1）若a﹣b＝7，求函数的表达式； （2）已知点和都在该函数图象上，试比较m、n的大小． 二次函数的三种表达式及求法 1．（2023秋•玉环市校级期中）将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣1 2．（2023秋•瓯海区期中）把二次函数y＝2x2﹣4x+1通过配方化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 　． 3．（2023秋•绍兴期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2（x﹣3）2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 　 　． 4．（2023秋•奉化区校级期中）由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+4）2，则下列平移方式可行的是（　　） A．向左平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 5．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝﹣3（x+2）2 D．y＝﹣3（x﹣2）2 6．（2023秋•瓯海区期中）如图，函数y＝﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为　 　． 7．（2023秋•浙江期中）在关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则b﹣a的值为 　 　． 8．（2023秋•平湖市校级期中）已知抛物线y＝a（x﹣h）2的对称轴是直线x＝﹣2，且过点（1，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 9．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 10．（2023秋•新昌县校级期中）在直角坐标系xOy中，已知点（t为非零实数），点B与点A关于原点对称，若抛物线Q过A，B，C三点． （1）当t＝2时，求抛物线Q对应的二次函数解析式； （2）尝试把t的取值分成两类，使抛物线对应的二次函数分别有关于t的最大、最小值，并写出最大值y1和最小值y2关于t的函数解析式． 二次函数与方程、不等式的关系 1．（2023秋•天门校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5 2．（2023秋•鄞州区期中）抛物线y＝2x2﹣4x+1与坐标轴交点个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2023秋•宁海县期中）抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 　 　． 4．（2023秋•上虞区期中）若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：①y1＝﹣5（x﹣3）（x+2）；②；③，其中“弦长”最大的是抛物线 　 　（填题序号即可）． 5．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 2 3 2 ？ … 关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间 D．当x＝2时，y＝1 6．（2023秋•鄞州区期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x，y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　 　． 7．（2023秋•东阳市期中）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1≥x2﹣3x+2的解集是 　 　． 8．（2023秋•上城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则方程ax2+bx+c＝m的解是 　 　，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　． 9．（2023秋•台州期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≤kx﹣c成立时，x的取值范围是 　 　． 10．（2024春•淳安县期中）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（k+4）x+3k． （1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点； （2）若二次函数的顶点P的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系及y的最大值． 二次函数的简单应用 1．（2023秋•丽水期中）某超市销售一种饮料，每瓶进价为3元，当售价为5元时，每天可卖出100瓶，据调查若每瓶售价每涨0.5元，每天销量减少5瓶．设每瓶定价为x元，每天利润为y元，则下列表达式正确的是（　　） A．y＝（x﹣3）（150﹣10x） B．y＝（x﹣3）（100﹣10x） C．y＝（x+2）（100﹣10x） D．y＝（x﹣3）（100﹣5x） 2．（2023秋•上城区期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（　　）米． A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 3．（2023秋•瓯海区期中）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（　　） A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒 4．（2023秋•龙泉市期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 　 　米． 5．（2023秋•西湖区校级期中）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 6．（2023秋•江北区校级期中）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． （1）预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； （2）某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？ 7．（2023秋•婺城区校级期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上，且OP＝2.8m． 素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+b． 素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 1．（2023秋•上城区期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．1＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1 3．（2023秋•西湖区期中）关于二次函数y＝﹣（x+1）2+3的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D．当x＝﹣1时，函数有最小值，最小值为y＝3 4．（2023秋•杭州期中）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，要使利润最大，每件的售价应为（　　） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 5．（2023秋•萧山区期中）在二次函数y＝ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法：①该二次函数的图象经过原点；②该二次函数的图象开口向下；③当x＞0时，y随着x的增大而增大；④该二次函数的图象经过点（﹣1，3）；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 6．（2023秋•温岭市期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 7．（2023秋•镇海区校级期中）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（　　） A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7 8．（2023秋•江北区期中）如图，直线y＝与y轴交于点A，与直线y＝﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1 9．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1．若点P（1，m）、Q（2a+2，n）都在函数y的图象上，且m＞n．则a的取值范围为 　 　． 10．（2023秋•东阳市期中）若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），为二次函数y＝﹣ax2﹣4ax+5（a＜0）图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　． 11．（2023春•柯桥区期中）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“平衡点”，例如：直线y＝﹣2x+3，上存在“平衡点”P（1，1）．若函数y＝（m﹣1）x2﹣3x+2m的图象上存在唯一“平衡点”，则m＝　 　． 12．（2023秋•乐清市校级期中）如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 　 　． 13．（2023秋•海曙区校级期中）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连接OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．当∠APQ＝∠B时，点P的坐标为 　 　． 14．（2023秋•东阳市期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　 　． 15．（2023秋•椒江区期中）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 16．（2023秋•萧山区校级期中）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24米，桥拱顶部O离水面的距离为8米，以桥拱顶部O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求圆弧型桥拱所在圆的半径； （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出y轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 17．（2023秋•萧山区期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 18．（2023秋•温州期中）根据以下素材，探索完成任务： 手提袋生产方案设计 素材1 如图是2023年第19届杭州亚运会的礼品手提袋，温州某包装厂承按了本次亚运会23万只礼品手提袋的生产任务． 素材2 该厂每个生产周期的最低产量为3万只，最大产量为10万只，生产成本、售价、利润与生产数量之间存在一定函数关系，部分生产信息如表所示： 生产数量（万只） 3 5 6 7 9 10 生产成本（元/只） 15 14.2 13.8 13.4 12.6 12.2 售价（元/只） 17 15.8 15.2 14.6 13.4 12.8 利润（元/只） 2 1.6 1.4 1.2 0.8 0.6 问题解决 任务1 建立函数模型 设该厂一个生产周期里手提袋的生产数量为x万只，每只手提袋的利润为y元，请在直角坐标系中，根据生产信息表中的数据进行描点并连线，选择合适的函数模型，并求出y关于x的函数表达式． 任务2 探究函数最值 设该厂一个生产周期里手提袋的销售总利润为w万元，请求出总利润w（万元）关于生产数量x（万只）的函数表达式，并求出生产数量为多少万只时，一个生产周期的总利润最大，最大是多少万元？ 任务3 设计最优方案 现计划分三个生产周期生产这23万只手提袋，且每个生产周期的产量均为整万只，请通过计算，帮助该厂设计一个生产方案，使得销售总利润最大． 生产数量 销售总利润 周期1 周期2 周期3 　 　万只 　 　万只 　 　万只 　 　万元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数考点分类复习 二次函数的定义 1．（2023秋•淳安县期中）自由落体公式h＝gt2（g为常量），h与t之间的关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 【分析】根据二次函数定义：形如y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数，就可以解答． 【解答】解：因为等号的右边是关于t的二次式，所以h是t的二次函数． 故选：C． 2．（2023秋•浙江期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝2x2﹣x B．y＝2x+1 C． D． 【分析】根据二次函数定义即可解答． 【解答】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意； B、该函数是一次函数，故本选项不符合题意； C、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（2023秋•绍兴期中）函数+2020x﹣2020是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣3 D．±3 【分析】根据二次函数的定义：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）求解即可， 【解答】解：∵函数+2020x﹣2020是关于x的二次函数， ∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3， 故选：C． 4．（2023秋•嘉兴期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ C．y＝3x2+x﹣1 D．y＝2x3﹣1 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意； B、y＝不是二次函数，故此选项不合题意； C、y＝3x2+x﹣1是二次函数，故此选项符合题意； D、y＝2x3﹣1不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 5．（2022秋•南湖区校级期中）有下列函数： ①y＝5x﹣4；②y＝；③y＝2x3﹣8x2+3；④y＝x2﹣1；⑤y＝； 其中属于二次函数的是 　②④　（填序号）． 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【解答】解：②y＝﹣6xy＝；④y＝x2﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数； ①y＝5x﹣4是一次函数，不属于二次函数； ③y＝2x3﹣8x2+3自变量的最高次数是3，不属于二次函数； ⑤y＝﹣﹣2的左边不是整式，不属于二次函数． 综上所述，其中属于二次函数的是②④． 故答案为：②④． 二次函数的图象与性质 1．（2023秋•滨江区校级期中）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【解答】解：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误，不符合题意； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误，不符合题意； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误，不符合题意； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，符合题意． 故选：D． 2．（2023秋•兰溪市校级期中）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意． 故选：B． 3．（2023秋•东阳市期中）某同学在用列表描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x＝5时，y的值为（　　） 　x … ﹣1　 0 1　 2 3　 … y … 8 3　 0 ﹣1 0 … A．8 B．6 C．4 D．3 【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x＝5时，y的值即可． 【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0）， ∴对称轴为x＝2， ∴当x＝﹣1时的函数值等于当x＝5时的函数值， ∵当x＝﹣1时，y＝8， ∴当x＝5时，y＝8． 故选：A． 4．（2023秋•余杭区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x＞4时，y随x的增大而减小 D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大 【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【解答】解：由图可知，x＝3和x＝6时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当x＜4.5时，y随x的增大而增大；当x＞4.5时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 5．（2023秋•北仑区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【解答】解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5， 所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）． 故选：D． 6．（2023秋•江干区校级期中）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围． 【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t， ∴a＜0， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴t≤1， ∴a＜0，t≤1． 故选：B． 7．（2023秋•金东区期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+1，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 　﹣3≤y＜6　． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）， 将x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+1得y＝1+4+1＝6， ∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣3≤y＜6， 故答案为：﹣3≤y＜6． 8．（2023秋•宁海县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 　0≤y≤9　． 【分析】由图象可得函数最大值与最小值． 【解答】解：当0≤x≤5时，由图象可得y＝9为函数最大值，y＝0为函数最小值， 故答案为：0≤y≤9． 9．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6． （1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围． 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）由二次函数顶点式求解． （3）根据抛物线开口方向及顶点坐标求解． 【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8； （2）∵y＝2（x﹣1）2﹣8， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣8）． （3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣8）． ∴x＝1时函数最小值为﹣8 将x＝﹣1代入y＝2x2﹣4x﹣6得y＝2+4﹣6＝0， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣8≤y≤0． 10．（2023秋•海曙区期中）已知某二次函数图象上两点坐标分别为A（0，3），B（2，3），与x轴的一个交点为C（3，0），D为顶点坐标． （1）求出该二次函数表达式； （2）求出△ACD的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式即可； （2）先求出顶点坐标，再计算△ACD的面积即可． 【解答】解：（1）设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c， ∵图象过点A（0，3），B（2，3），C（3，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D坐标为（1，4）， ∴S△ACD＝3×4﹣×3×3﹣×1×1﹣×2×4＝3． 11．（2023秋•东阳市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值； （3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围． 【分析】（1）令x＝0可得A的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴； （2）0≤x≤3时，y的最大值是3，可知抛物线开口向下，且对称轴x＝1，故最大值是顶点纵坐标，可求出a及抛物线解析式，又抛物线开口向小时，离对称轴越远，函数值越小，可知x＝3时函数取最小值，即可得到答案； （3）根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：（1）令x＝0得y＝2， ∴A（0，2）， ∵y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝1； （2）由a＜0可知抛物线开口向下， ∵对称轴是直线x＝1，当0≤x≤3时，y的最大值是3， ∴最大值在顶点处取得， ∴2﹣a＝3，解得a＝﹣1， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+2， ∵抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小， ∴当x＝3时，y有最小值，y＝﹣32+2×3+2＝﹣1； （3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，y1≠y2， ∴P（x1，y1），Q（x2，y2）不关于对称轴x＝1对称， ∴x1+x2≠2恒成立，即x1+x2＞2成立或x1+x2＜2成立， ∴t+（t+2）≥2或（t+1）+（t+3）≤2， 解得t≥0或t≤﹣1． ∴t的取值的范围t≥0或t≤﹣1． 二次函数图象与系数的关系 1．（2023秋•温岭市期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【解答】解：①由抛物线的开口方向向下， 则a＜0，故①正确； ②∵抛物线的顶点为P（1，m）， ∴﹣＝1，b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故②错误； ③∵抛物线经过点A（2，1）， ∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误； ④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤∵a＜0， ∴at2+bt﹣（a+b） ＝at2﹣2at﹣a+2a ＝at2﹣2at+a ＝a（t2﹣2t+1） ＝a（t﹣1）2≤0， ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 故选：D． 2．（2023秋•鹿城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＜0），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣2 m n p ﹣2 … 若mn＜0，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．a＜﹣或﹣＜a＜0 【分析】求得对称轴，即可求得顶点为（2，n），﹣＝2，即可得到b＝﹣4a由a＜0可知n是函数的最大值，由mn＜0即可得出m＜0，n＞0，从而得出y＝a﹣4a﹣2＜0，y＝4a﹣8a﹣2＞0，解得即可． 【解答】解：由表格可知，x＝0和x＝4时，y的值都是﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2， ∴顶点为（2，n），﹣＝2， ∴b＝﹣4a， ∵a＜0， ∴n是函数的最大值， ∵mn＜0， ∴m＜0，n＞0， ∴当x＝1时，y＝a﹣4a﹣2＜0，当x＝2时，y＝4a﹣8a﹣2＞0， 解得﹣＜a＜﹣． 故选：C． 3．（2023秋•萧山区期中）已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由抛物线满足：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，判断抛物线与x轴的交点，根据图象判断a、c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c， ∴由①可知当a＞0时b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个交点，当a＜0时b2﹣4ac＜0，则抛物线与x轴无交点； 由②可知：当x＝﹣1时，y＜0， 由③可知：﹣b+c＞0， ∵a﹣b+c＜0，∴必须a＜0， ∴符合条件的有C、D， 由C的图象可知，对称轴直线x＝﹣＞0，a＜0，∴b＞0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则b＞c， 由D的图象可知，对称轴直线x＝﹣＜0，a＜0，∴b＜0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则有可能b＜c， 故满足条件的图象可能是D， 故选：D． 4．（2023秋•诸暨市期中）已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 　0≤m≤1.5　． 【分析】根据题意，判断对称轴x＝﹣≤2，2m≥0，解出m的取值范围即可． 【解答】解：∵x＞2时，抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m满足y随x的增大而增大， ∴≤2，解得，m≤1.5， ∵抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m不经过第三象限，开口向上， ∴2m≥0，解得m≥0， 故答案为：0≤m≤1.5． 5．（2023秋•西湖区期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②b﹣2a＝0；③a+b+c＞0；④若点，为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是（　　） A．①②④ B．①④ C．①③④ D．②④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac， 故①正确； 由图象可知：对称轴x＝﹣＝﹣1， ∴2a﹣b＝0， 故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0 由图象可知：当x＝1时y＝0， ∴a+b+c＝0； 故③错误； 由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2， 故④正确． 故选：A． 6．（2023秋•拱墅区校级期中）已知抛物线y＝（ax+1）（x﹣1）的顶点为P（m，n），与y轴的交点在线段EF上，E（0，﹣2），F（0，2）．下列结论正确的有（　　） ①该抛物线必过点（1，0）． ②a≤﹣0.5或a≥0.5． ③x≥1.5时，y随x的增大而增大． ④﹣． A．①②③④ B．①③ C．①② D．①②③ 【分析】①当x＝1时，y＝（ax+1）（x﹣1）＝0，即可求解； ②当x＝0时，y＝（ax+1）（x﹣1）＝﹣，则﹣2≤≤2，即可求解； ③由a≤﹣0.5或a≥0.5得：﹣0.5≤m≤1.5且图象开口向上，进而求解； ④抛物线的对称轴为直线x＝m＝，则抛物线顶点的纵坐标n＝，由a≤﹣0.5或a≥0.5，即可求解． 【解答】解：①当x＝1时，y＝（ax+1）（x﹣1）＝0， 故该抛物线必过点（1，0）， 故①正确，符合题意； ②当x＝0时，y＝（ax+1）（x﹣1）＝﹣， 则﹣2≤≤2，则a≤﹣0.5或a≥0.5， 故②正确，符合题意； ③抛物线的顶点为P（m，n）， 则抛物线的对称轴为直线x＝m， 由a≤﹣0.5或a≥0.5得：﹣0.5≤m≤1.5且图象开口向上， 故x≥1.5时，y随x的增大而增大，正确，符合题意； ④由顶点坐标公式得：抛物线的对称轴为直线x＝m＝，抛物线顶点的纵坐标n＝， ∵a≤﹣0.5或a≥0.5， 当a＝﹣1时，n＝0， 当a＝﹣0.5或0.5时，则n＝﹣或﹣； 当﹣1≤x＜0时，﹣n≤0， 当0＜x≤1时，﹣≤n， ∴﹣≤n≤0， 故④错误，不符合题意． 故选：D． 7．（2023秋•拱墅区校级期中）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥． 【分析】（1）把a＝2代入二次函数的关系式，再把x＝1，y＝1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a+）2+，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥． 【解答】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2， ∵当x＝﹣1时，y＝1， ∴1＝2﹣b+2， ∴b＝3， ∴二次函数的关系式为y＝2x2+3x+2； （2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0， 当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2， ∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m）， ∴4a+2b+2＝2a+4b， ∴2a+2＝2b， ∴b＝a+1， ∴a2+b2 ＝a2+（a+1）2 ＝2a2+2a+1 ＝2（a+）2+， ∴a2+b2≥． 二次函数图象上点的坐标特征 1．（2023秋•上城区校级期中）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2， ∵a＝﹣3＜0， ∴x＝﹣2时，函数值最大， 又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小， ∴y3＜y1＜y2． 故选：B． 2．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．1＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1 【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c， ∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴点P（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1）， ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2），且y1＜y2， ∴m＜﹣1或m＞3， 故选：C． 3．（2023秋•鹿城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+1＝m，即可得到p＝m﹣1，由抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）得到t＝p2﹣2mp＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，结合﹣1≤m≤2即可确定t的最小值． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m， ∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）， ∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp， ∴＝m，即p+1＝m， ∴p＝m﹣1， ∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1， ∵﹣1≤m≤2， ∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3． 故选：A． 4．（2023秋•温岭市校级期中）已知二次函数y＝a（x﹣m）2+n经过点（﹣1，y1），（7，y2），若y1＜y2，则下列说法正确的为（　　） A．当a＜0时，m＜4 B．当a＞0时，m＜3 C．当a＞0时，m＜4 D．当a＜0时，m＜3 【分析】根据抛物线上的点与直线x＝m的距离越小对应的y值就越小；y＝a（x﹣m）2+n（a＜0）开口向下，对称轴为直线x＝m，根据抛物线上的点与直线x＝m的距离越小对应的y值就越大，即可得到m的取值范围． 【解答】解：当a＞0时， y＝a（x﹣m）2+n开口向上， ∵二次函数y＝a（x﹣m）2+n经过点（﹣1，y1），（7，y2），且y1＜y2， ∴m﹣（﹣1）＜7﹣m， ∴m＜3，故选项B符合题意，选项C不符合题意； 当a＜0时， y＝a（x﹣m）2+n开口向下， ∵二次函数y＝a（x﹣m）2+n经过点（﹣1，y1），（7，y2），且y1＜y2， ∴m﹣（﹣1）＞7﹣m， ∴m＞3，故选项A不符合题意，选项D不符合题意； 故选：B． 5．（2023秋•瓯海区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为 　﹣5　． 【分析】把x＝0代入抛物线解析式即可求出与y轴交点的纵坐标． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2（0﹣1）2﹣3＝﹣5， 即与y轴交点的纵坐标为﹣5． 故答案为：﹣5． 6．（2023秋•平湖市期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣6，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 　6+2　． 【分析】由题意可求点A，点B，点D坐标，即可求AB的长，OD的长，根据勾股定理可求CO的长，即可得CD的长． 【解答】解：如图：连接CM， 当y＝0时，y＝x2﹣2x﹣6＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， ∴AB＝8， 又∵M为AB的中点， ∴M（2，0）， ∴OM＝2，CM＝4， ∴CO＝＝2， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴OD＝6， ∴CD＝6+2， 故答案为：6+2． 7．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1．若点P（1，m）、Q（2a+2，n）都在函数y的图象上，且m＞n．则a的取值范围为 　0＜a＜或a＜﹣　． 【分析】抛物线的对称轴为直线x＝2，当a＞0时，抛物线开口向上，且，则m＞n，当a＜0时，抛物线开口向下，且2a+2＜1＜2，则m＞n，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+1． ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ①当a＞0时，抛物线开口向上，且，则m＞n， 解得0＜a＜； ②当a＜0时，抛物线开口向下，且2a+2＜1＜2，则m＞n， 故a的取值范围为：a＜﹣． 故a的取值范围为0＜a＜或a＜﹣． 8．（2023秋•萧山区期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象过点（1，﹣5）． （1）若a﹣b＝7，求函数的表达式； （2）已知点和都在该函数图象上，试比较m、n的大小． 【分析】（1）把（1，﹣5）代入二次函数解析式得：a+b﹣2＝﹣5，然后与已知a﹣b＝7组成方程组，解方程组求得a、b即可； （2）根据函数解析式和a+b﹣2＝﹣5，可以求得函数顶点的横坐标，然后利用分类讨论的数学思想和二次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：（1）把（1，﹣5）代入二次函数解析式得：﹣5＝a+b﹣2， 又∵a﹣b＝7， ∴， 解得， ∴二次函数为y＝2x2﹣5x﹣2； （2）∵y＝ax2+bx﹣2（a≠0），a+b﹣2＝﹣5， ∴b＝﹣3﹣a， ∴该函数的顶点的横坐标是：， ∴当a＞0时，当时，y随x的增大而减小， ∵点和都在该函数图象上，则， ∴m＜n； 当a＜0时，当时，y随x的增大而减小， 点和都在该函数图象上，则， ∴m＞n， 由上可得，当a＞0时，m、n的大小是m＜n，当a＜0时，m、n的大小是m＞n． 二次函数的三种表达式及求法 1．（2023秋•玉环市校级期中）将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【分析】根据配方法求解可得． 【解答】解：y＝x2﹣2x+3 ＝x2﹣2x+1+2 ＝（x﹣1）2+2， 故选：B． 2．（2023秋•瓯海区期中）把二次函数y＝2x2﹣4x+1通过配方化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　y＝2（x﹣1）2﹣1　． 【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式即可． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1， 故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣1． 3．（2023秋•绍兴期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2（x﹣3）2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 　y＝2（x﹣6）2+1　． 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y＝2（x﹣3﹣3）2+1，即y＝2（x﹣6）2+1． 故答案为：y＝2（x﹣6）2+1． 4．（2023秋•奉化区校级期中）由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+4）2，则下列平移方式可行的是（　　） A．向左平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则即可判断． 【解答】解：抛物线y＝x2向左平移4个单位长度得到抛物线y＝（x+4）2， 故选：A． 5．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝﹣3（x+2）2 D．y＝﹣3（x﹣2）2 【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大． 当1＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0， ∴x2﹣x1＞0． ∴y2＞y1． ∴当x＞2时，y随x的增大而增大． 当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0， ∴x2﹣x1＞0． ∴y2＜y1． ∴当x＜2时，y随x的增大而减小． ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上． 故选：B． 6．（2023秋•瓯海区期中）如图，函数y＝﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为　y＝﹣（x+1）2+5　． 【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式． 【解答】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，5） 所以函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+5． 故答案为y＝﹣（x+1）2+5． 7．（2023秋•浙江期中）在关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则b﹣a的值为 　﹣2或6　． 【分析】求出顶点坐标，分两种情形分别求解即可． 【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a， ∴顶点坐标为（1，b﹣a）， 当a＞0时， ∵0≤x≤3时，﹣2≤y≤6， ∴函数有最小值， ∴b﹣a＝﹣2， 当a＜0时， ∵0≤x≤3时，﹣2≤y≤6， ∴函数有最大值， ∴b﹣a＝6， 故答案为：﹣2或6． 8．（2023秋•平湖市校级期中）已知抛物线y＝a（x﹣h）2的对称轴是直线x＝﹣2，且过点（1，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 【分析】（1）根据对称轴，可得h的值，根据抛物线过点（1，﹣3），可得a值． （2）根据函数图象及函数的增减性回答即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2的对称轴为直线x＝﹣2， ∴抛物线为y＝a（x+2）2 又∵抛物线过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a（1+2）2， 即9a＝﹣3， 解得 a＝﹣， 所以该抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2． （2）∵a＝﹣， ∴开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值， ∵抛物线的顶点为（﹣2，0）， ∴当x＝﹣2时，函数有最大值0． 9．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点； （2）根据函数的增减性求解； （3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解． 【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时， ∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴顶点坐标为（2，7）． ②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7）， ∴当 x＝2 时，y有最大值7， ∵2﹣（﹣1）＞3﹣2， ∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2， ∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7． （2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， ∴c＝2， 又∵， ∴b＝±2， ∵b＞0， ∴b＝2． ∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2． 10．（2023秋•新昌县校级期中）在直角坐标系xOy中，已知点（t为非零实数），点B与点A关于原点对称，若抛物线Q过A，B，C三点． （1）当t＝2时，求抛物线Q对应的二次函数解析式； （2）尝试把t的取值分成两类，使抛物线对应的二次函数分别有关于t的最大、最小值，并写出最大值y1和最小值y2关于t的函数解析式． 【分析】（1）先将三个点坐标代入关系式，再用含t的代数式表示a，b，c，可得含有t的二次函数关系式，然后代入得出答案； （2）分t＞0，t＜0两种情况，并根据二次函数的顶点坐标求出答案即可． 【解答】解：（1）设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c， ∵点和点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为． ∵抛物线Q过A，B，C三点，得： 解得 ∴抛物的关系式为． 当t＝2时，抛物线的关系式为； （2）当t＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值， 即； 当t＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值， 即． 二次函数与方程、不等式的关系 1．（2023秋•天门校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标． 【解答】解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1． 所以x1＝﹣1，x2＝5， ∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5， 故选：C． 2．（2023秋•鄞州区期中）抛物线y＝2x2﹣4x+1与坐标轴交点个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据抛物线y＝2x2﹣4x+1，可以得到该抛物线与x轴和y轴的交点，然后即可得到抛物线y＝2x2﹣4x+1与坐标轴交点个数． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+1， ∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x1＝，x2＝； ∴该抛物线与y轴交于点（0，1），与x轴交于点（，0），（，0）， 故选：B． 3．（2023秋•宁海县期中）抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 　（3，0）　． 【分析】依据题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，令y＝x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0． ∴x＝1或x＝3． ∴一个交点为（1，0），另一个交点为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 4．（2023秋•上虞区期中）若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：①y1＝﹣5（x﹣3）（x+2）；②；③，其中“弦长”最大的是抛物线 　②　（填题序号即可）． 【分析】解方程5（x﹣3）（x+2）＝0得到抛物线y1与x轴的两交坐标为（﹣2，0），（3，0），则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为5；解方程x2﹣4x﹣5＝0得到抛物线y2与x轴的两交坐标为（﹣1，0），（5，0），则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为6；解方程（x﹣2）2﹣2＝0得到抛物线y3与x轴的两交坐标为（0，0），（4，0），则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为4，从而得到“弦长”最大的抛物线． 【解答】解：①y1＝﹣5（x﹣3）（x+2）， 当y1＝0时，5（x﹣3）（x+2）＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣2， ∴抛物线y1与x轴的两交坐标为（﹣2，0），（3，0）， ∴该抛物线在x轴上截得的“弦长”为3﹣（﹣2）＝5； ②， 当y2＝0时，x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴抛物线y2与x轴的两交坐标为（﹣1，0），（5，0）， ∴该抛物线在x轴上截得的“弦长”为5﹣（﹣1）＝6； ③， 当y3＝0时，（x﹣2）2﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝4， ∴抛物线y3与x轴的两交坐标为（0，0），（4，0）， ∴该抛物线在x轴上截得的“弦长”为4﹣0＝4； ∴“弦长”最大的是抛物线②． 故答案为：②． 5．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 2 3 2 ？ … 关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间 D．当x＝2时，y＝1 【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D． 【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0， ∴抛物线的顶点为（0，3）， ∴y＝3是函数的最大值， ∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降， 所以A错误，B错误； ∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2， ∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间， 所以C正确，D错误． 综上所述：其中正确的结论有C． 故选：C． 6．（2023秋•鄞州区期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x，y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　﹣6＜x＜2　． 【分析】从表格数据看，x＝﹣5和x＝1的函数值相同，则抛物线的对称轴为：x＝（1﹣5）＝﹣2，进而求解． 【解答】解：从表格数据看，x＝﹣5和x＝1的函数值相同， 则抛物线的对称轴为：x＝（1﹣5）＝﹣2， 当x＝2时，y＝0， 根据抛物线对称性，另外一个使y＝n的x值为：﹣6， 故答案为：﹣6＜x＜2． 7．（2023秋•东阳市期中）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1≥x2﹣3x+2的解集是 　1≤x≤3　． 【分析】写出直线y＝x﹣1在抛物线y＝x2﹣3x+2上方所对应的自变量的范围（含端点）即可． 【解答】解：∵直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2）， ∴当1≤x≤3时，x﹣1≥x2﹣3x+2， 即不等式x﹣1≥x2﹣3x+2的解集为1≤x≤3． 故答案为：1≤x≤3． 8．（2023秋•上城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则方程ax2+bx+c＝m的解是 　x＝﹣3或x＝﹣1　，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　x＜﹣6或x＞2　． 【分析】根据函数与方程及不等式的关系求解． 【解答】解：∵当x＝﹣5时，y＝﹣2.79，当x＝1时，y＝﹣2.79， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2． ∵当x＝﹣3时，y＝m， ∴当x＝﹣1时，y＝m． ∴方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1． ∵当x＝2时，y＝0， ∴当x＝﹣6时，y＝0． ∵当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0． ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣6或x＞2． 故答案为：x＝﹣3或x＝﹣1；x＜﹣6或x＞2． 9．（2023秋•台州期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≤kx﹣c成立时，x的取值范围是 　x≤﹣2或x≥2　． 【分析】由图象求出ax2+bx+c≤kx+h的解集，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点， ∴由图可知，ax2+bx+c≤kx+h的解集为x≤﹣2或x≥2， ∴ax2+bx﹣h≤kx﹣c的解集为x≤﹣2或x≥2， 故答案为：x≤﹣2或x≥2． 10．（2024春•淳安县期中）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（k+4）x+3k． （1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点； （2）若二次函数的顶点P的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系及y的最大值． 【分析】（1）当y＝0时，x2﹣（k+4）x+3k＝0，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答； （2）根据二次函数的顶点坐标公式，得出顶点坐标为，设，可得k＝2x﹣4，将其代入，得出y关于x的函数表达式，即可解答． 【解答】（1）证明：当y＝0时，x2﹣（k+4）x+3k＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+4）]2﹣4×3k＝k2﹣4k+16＝（k﹣2）2+12＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根， ∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点． （2）解：∵a＝1，b＝﹣（k+4），c＝3k， ∴二次函数y＝x2﹣（k+4）x+3k的顶点坐标为， 设，可得k＝2x﹣4，将其代入， 整理后得y＝﹣（x﹣3）2﹣3． ∵顶点的运动轨迹为二次函数y＝﹣（x﹣3）2﹣3的图象，且该图象开口向下， 故当x＝3时，y取得最大值，最大值为﹣3． 二次函数的简单应用 1．（2023秋•丽水期中）某超市销售一种饮料，每瓶进价为3元，当售价为5元时，每天可卖出100瓶，据调查若每瓶售价每涨0.5元，每天销量减少5瓶．设每瓶定价为x元，每天利润为y元，则下列表达式正确的是（　　） A．y＝（x﹣3）（150﹣10x） B．y＝（x﹣3）（100﹣10x） C．y＝（x+2）（100﹣10x） D．y＝（x﹣3）（100﹣5x） 【分析】设每瓶定价为x元，根据题意表示出每瓶利润，日销售量，根据等量关系列出表达式即可． 【解答】解：设每瓶定价为x元，则每天可卖出100﹣×5＝（150﹣10x）瓶， 根据题意得： y＝（x﹣3）（100﹣×5）＝（x﹣3）（150﹣10x）， 故选：A． 2．（2023秋•上城区期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（　　）米． A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案． 【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：∵AB＝DE＝1.5m， ∴点B与点D关于对称轴对称， ∴AE＝2×1.6＝3.2（m）； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5， 将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5， 当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5， 解得x＝0（舍）或x＝3.2， 所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米， 故选：A． 3．（2023秋•瓯海区期中）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（　　） A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒 【分析】在y＝﹣x2+10x中，令y＝0解出x的值即可得到答案． 【解答】解：在y＝﹣x2+10x中，令y＝0得： 0＝﹣x2+10x， 解得x＝0（舍去）或x＝50， ∴当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒； 故选：C． 4．（2023秋•龙泉市期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 　8　米． 【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0， 解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米， 故答案为：8． 5．（2023秋•西湖区校级期中）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可； （2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6， 把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）此船不能通过，理由： 当y＝2+3＝5时，， 解得x＝5或x＝15， ∵15﹣5＝10＜12， ∴此船不能通过桥洞． 6．（2023秋•江北区校级期中）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． （1）预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； （2）某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得关于m的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x， 由题意，得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 答：平均每年的增长率为20%； （2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得： w＝（m﹣30）[200+50×（40﹣m）] ＝﹣50（m﹣37）2+2450， ∵﹣50＜0， ∴当m＝37时，w取得最大值为2450． 答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元． 7．（2023秋•婺城区校级期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上，且OP＝2.8m． 素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+b． 素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【分析】任务一：先求出点P的坐标，再分别 代入一次函数与二次函数解析式计算即可求解； 任务二：在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得（舍去）或，由|7﹣5|＞|3.82﹣5|，即可得到答案． 【解答】解：任务一：∵OP＝2.8m， ∴P（0，2.8）， 把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8， 解得：a＝﹣0.4， ∴a的值是﹣0.4； 把P（0，2.8）代入y＝﹣0.4x+b得2.8＝b， ∴b的值是2.8． 任务二：∵OA＝3m，CA＝2m， ∴OC＝5m， ∴C（5，0）， 在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7， 在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得（舍去）或， ∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|， ∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近． 1．（2023秋•上城区期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项正确； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 2．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．1＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1 【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c， ∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴点P（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1）， ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2），且y1＜y2， ∴m＜﹣1或m＞3， 故选：C． 3．（2023秋•西湖区期中）关于二次函数y＝﹣（x+1）2+3的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D．当x＝﹣1时，函数有最小值，最小值为y＝3 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2+3， ∴a＝﹣1＜0，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线x＝﹣1，故选项B正确，不符合题意； 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； 当x＝﹣1时，函数有最大值y＝3，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4．（2023秋•杭州期中）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，要使利润最大，每件的售价应为（　　） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案． 【解答】解：设利润为w 元， 由题意可得，w＝（x﹣20）（30﹣x）＝﹣x2+50x﹣600＝﹣（x﹣25）2+25， ∵﹣1＜0，20≤x≤30， ∴当x＝25时w最大， 故选：B． 5．（2023秋•萧山区期中）在二次函数y＝ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法：①该二次函数的图象经过原点；②该二次函数的图象开口向下；③当x＞0时，y随着x的增大而增大；④该二次函数的图象经过点（﹣1，3）；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【分析】结合图表可以得出当x＝0或x＝2时，y＝0，当x＝3时，y＝3，根据此三点可求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质逐一判断即可． 【解答】解：由图表可以得出当x＝0或x＝2时，y＝0；当x＝3时，y＝3； 即， 解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x； ∵图表可以得出图象经过点（0，0）， 故二次函数的图象经过原点；即①正确； ∵a＝1＞0， ∴二次函数的图象开口向上，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线x＝1，且a＞0， ∴x＞1时，y随着x的增大而增大，x＜1时，y随着x的增大而减小，故③错误； 将x＝﹣1代入y＝x2﹣2x，得y＝3， ∴二次函数的图象经过点（﹣1，3），故④正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0），（2，0）， ∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故正确； 综上，①④⑤说法正确， 故选：D． 6．（2023秋•温岭市期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【解答】解：①由抛物线的开口方向向下， 则a＜0，故①正确； ②∵抛物线的顶点为P（1，m）， ∴﹣＝1，b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故②错误； ③∵抛物线经过点A（2，1）， ∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误； ④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤∵a＜0， ∴at2+bt﹣（a+b） ＝at2﹣2at﹣a+2a ＝at2﹣2at+a ＝a（t2﹣2t+1） ＝a（t﹣1）2≤0， ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 故选：D． 7．（2023秋•镇海区校级期中）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（　　） A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7 【分析】由题意可知，当2≤x≤5时，y的最小值为3而不是﹣1，故2和5不在对称轴的两侧，而是在对称轴的同侧．然后分情况讨论x的取值与y的最小值的关系即可解答． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2﹣1开口向上，对称轴为直线x＝m，y的最小值为﹣1， 又∵当2≤x≤5时，y的最小值为3， ∴2和5只会分布在对称轴x＝m的同侧，否则其最小值为﹣1，而不是3． ①若m＜2，则当x＝2时，y＝3． ∴3＝（2﹣m）2﹣1，即2﹣m＝±2，解得m＝0或m＝4（舍去）． ②若m＞5，则当x＝5时，y＝3． ∴3＝（5﹣m）2﹣1，即5﹣m＝±2，解得m＝3（舍去）或m＝7． 综上，m＝0或7． 故选：B． 8．（2023秋•江北区期中）如图，直线y＝与y轴交于点A，与直线y＝﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1 【分析】将y＝与y＝﹣联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y＝﹣可求得k＝﹣，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围． 【解答】解：∵将y＝与y＝﹣联立得：，解得：． ∴点B的坐标为（﹣2，1）． 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）． ∵将x＝h，y＝k，代入得y＝﹣得：﹣h＝k，解得k＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h． 如图1所示：当抛物线经过点C时． 将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h＝0，解得：h1＝0，h2＝． 如图2所示：当抛物线经过点B时． 将B（﹣2，1）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：（﹣2﹣h）2﹣h＝1，整理得：2h2+7h+6＝0，解得：h1＝﹣2，h2＝﹣． 综上所述，h的范围是﹣2≤h≤． 故选：A． 9．（2023秋•江干区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1．若点P（1，m）、Q（2a+2，n）都在函数y的图象上，且m＞n．则a的取值范围为 　0＜a＜或a＜﹣　． 【分析】抛物线的对称轴为直线x＝2，当a＞0时，抛物线开口向上，且，则m＞n，当a＜0时，抛物线开口向下，且2a+2＜1＜2，则m＞n，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+1． ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ①当a＞0时，抛物线开口向上，且，则m＞n， 解得0＜a＜； ②当a＜0时，抛物线开口向下，且2a+2＜1＜2，则m＞n， 故a的取值范围为：a＜﹣． 故a的取值范围为0＜a＜或a＜﹣． 10．（2023秋•东阳市期中）若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），为二次函数y＝﹣ax2﹣4ax+5（a＜0）图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 　y3＞y1＞y2　． 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【解答】解：∵y＝﹣ax2﹣4ax+5（a＜0）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣2， ∵点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），为二次函数y＝﹣ax2﹣4ax+5（a＜0）图象上的三个点， ∴点A（﹣，y1）关于直线x＝﹣2的对称点（，y1）在抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+5（a＜0）上， ∵﹣2， ∴y3＞y1＞y2， 故答案为：y3＞y1＞y2． 11．（2023春•柯桥区期中）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“平衡点”，例如：直线y＝﹣2x+3，上存在“平衡点”P（1，1）．若函数y＝（m﹣1）x2﹣3x+2m的图象上存在唯一“平衡点”，则m＝　2或﹣1或1　． 【分析】根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于m的一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：由题意可知，方程t＝（m﹣1）t2﹣3t+2m有唯一解， 整理得：（m﹣1）t2﹣4t+2m＝0，且Δ＝0． 即42﹣4×（m﹣1）•2m＝0， 解得m＝2或﹣1． 当m＝1时，它是一次函数，存在唯一“不动点”， 故答案为：2或﹣1或1． 12．（2023秋•乐清市校级期中）如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 　﹣　． 【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD＝OB，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【解答】解：如图，连接OB， ∵四边形OABC是边长为的正方形， ∴∠BOC＝45°，OB＝2， 过点B作BD⊥y轴于D， ∵边OC与y轴的负半轴的夹角为15°， ∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°， ∴BD＝OB＝1， ∴OD＝＝， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣）， ∵点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上， ∴a（﹣1）2＝﹣， 解得a＝﹣． 故答案为：﹣． 13．（2023秋•海曙区校级期中）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连接OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．当∠APQ＝∠B时，点P的坐标为 　（4，11）　． 【分析】利用抛物线的解析式求得点A（0，3），点B（6，3），即可求得AB＝6，然后证明△ABO∽△HPA，则，即可求解． 【解答】解：对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3， ∴点A（0，3）， 令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6， ∴点B（6，3）， ∴AB＝6， 设P（m，﹣m2+6m+3）， ∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°， ∴△ABO∽△HPA，故， ∴， 解得m＝4． ∴P（4，11）． 故答案为：（4，11）． 14．（2023秋•东阳市期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　6　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　　． 【分析】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解； （2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2＝，x1x2＝﹣9，进而求解． 【解答】解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c， 则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c）， 将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：y＝x2+c①， PQ＝2xQ＝6， 故答案为：6； （2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°， 设直线CH的解析式为y＝x+b， 将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②， 联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0， 则x1+x2＝，x1x2＝﹣9， 则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝， 则|x1﹣x2|＝， 由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°， 则CH＝|x1﹣x2|＝， 故答案为：． 也可采取以下方法： 设过点C（6，8）的直线和x轴的夹角为45°， 故设该直线的表达式为：y＝x+b， 将点C的坐标代入上式得：8＝6+b， 解得：b＝2， 则直线的表达式为：y＝x+2， 由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2， 联立上述两式得：x2＝x+2， 解得：x＝6或﹣1.5， 则|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5， 则CH＝7.5×＝． 15．（2023秋•椒江区期中）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即Δ＞0即可； （2）根据题意，令x＝0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值． 【解答】（1）证明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0， ∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1 ＝（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m） ＝1＞0， ∴方程有两个不等的实数根， ∴原抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）解：令x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+3， 解得m＝﹣3或1． 16．（2023秋•萧山区校级期中）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24米，桥拱顶部O离水面的距离为8米，以桥拱顶部O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求圆弧型桥拱所在圆的半径； （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出y轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【分析】（1）设圆弧型拱桥的圆心为M，圆的半径为r，则BN＝12米，MN＝（r﹣8）米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆M与F，作FK⊥OM于点K，如图2，从而得到FK＝6米，FM＝13米，利用勾股定理求得KM＝米，求得K＝（13﹣）米，EF＝（14﹣）米，进而得解． 【解答】解：（1）设圆弧型拱桥的圆心为M，圆的半径为r，连接MB，OM交AB于点N，如图1， 由题意得：AB⊥OM，ON＝8米，AB＝24米， ∴BN＝AB＝12米，MN＝（r﹣8）米， 由勾股定理得：MB2＝MN2+BN2， ∴r2＝（r﹣8）2+122， 解得：r＝13， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），设其表达式为y＝a（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入得： 4＝a（0﹣6）2+1， 解得：a＝， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y＝（x﹣6）2+1； ②由题意可知，EF即为所求彩带的长度，如图2，连接圆M与F，作FK⊥OM于点K， 则FK＝6米，FM＝13米， ∴KM＝＝＝（米）， ∴OK＝（13﹣）米， ∴EF＝1+13﹣＝（14﹣）（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为（14﹣）米． 17．（2023秋•萧山区期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可； （2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9， 把点A（3，0）代入，得： 9a+9＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9； （2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求； 把x＝1代入y＝﹣x2+9，得： y＝8， ∴B（1，8） 设直线A′B的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得：， ∴y＝2x+6， 令x＝0，得y＝6， ∴P点的坐标为（0，6）； （3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1）， 当0＜b≤4时，得： ﹣62+12b+b﹣1≥9， 解得：， ∴≤b≤4， 当4＜b＜6时， 由b﹣4＞6﹣b，得： b＞5， ∴﹣42+8b+b﹣1≥9， 解得：， ∴5＜b＜6； 由b﹣4≤6﹣b，得： b≤5， ∴﹣62+12b+b﹣1≥9， ∴4＜b≤5； ∴当4＜b＜6时，都成立； 当b≥6时，得： ∴﹣42+8b+b﹣1≥9， 解得：， ∴b≥6都成立； 综上所述，b的取值范围为． 18．（2023秋•温州期中）根据以下素材，探索完成任务： 手提袋生产方案设计 素材1 如图是2023年第19届杭州亚运会的礼品手提袋，温州某包装厂承按了本次亚运会23万只礼品手提袋的生产任务． 素材2 该厂每个生产周期的最低产量为3万只，最大产量为10万只，生产成本、售价、利润与生产数量之间存在一定函数关系，部分生产信息如表所示： 生产数量（万只） 3 5 6 7 9 10 生产成本（元/只） 15 14.2 13.8 13.4 12.6 12.2 售价（元/只） 17 15.8 15.2 14.6 13.4 12.8 利润（元/只） 2 1.6 1.4 1.2 0.8 0.6 问题解决 任务1 建立函数模型 设该厂一个生产周期里手提袋的生产数量为x万只，每只手提袋的利润为y元，请在直角坐标系中，根据生产信息表中的数据进行描点并连线，选择合适的函数模型，并求出y关于x的函数表达式． 任务2 探究函数最值 设该厂一个生产周期里手提袋的销售总利润为w万元，请求出总利润w（万元）关于生产数量x（万只）的函数表达式，并求出生产数量为多少万只时，一个生产周期的总利润最大，最大是多少万元？ 任务3 设计最优方案 现计划分三个生产周期生产这23万只手提袋，且每个生产周期的产量均为整万只，请通过计算，帮助该厂设计一个生产方案，使得销售总利润最大． 生产数量 销售总利润 周期1 周期2 周期3 　 7　万只 　 8　万只 　 8　万只 　 24.4 　万元 【分析】（1）根据表格中的数据，描点、连线即可； （2）根据总利润＝每只的利润×生产数量，可求w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可求解； （3）三个生产周期生产23万只，3万只≤每个生产周期的产量≤10万只，且均为整万只，又因为生产数量为6.5万只时，一个生产周期的总利润最大，所以三个周期分别生产7万只、8万只、8万只，时销售利润最大，求出最大利润即可． 【解答】解：（1）描点、连线： 由图象可知，一个生产周期里手提袋的生产数量x万只与每只手提袋的利润y元成一次函数关系， 设y＝kx+b，将（3，2）和（5，1.6）代入得， ， 解得， ∴y＝﹣0.2x+2.6（3≤x≤10）； （2）根据题意得， w＝xy＝x（﹣0.2x+2.6）＝﹣0.2x2+2.6x（3≤x≤10）， ∵此函数为二次函数，且a＝﹣0.2＜0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当x＝﹣＝6.5时， w最大＝﹣0.2×6.52+2.6×6.5＝8.45（万元）， ∴生产数量为6.5万只时，一个生产周期的总利润最大，最大是8.45万元； （3）∵三个生产周期，每个生产周期的产量均为整万只， 又∵生产数量为6.5万只时，一个生产周期的总利润最大， 23÷3≈7.7（万只）， ∴三个周期分别生产7万只、8万只、8万只， 此时销售利润最大，最大利润为﹣0.2×72+2.6×7﹣0.2×82+2.6×8﹣0.2×82+2.6×8＝24.4（万元）． 故答案为：7，8，8，24.4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$