第四章 一次函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第四章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．（3分）如图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下列能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．a＞2 4．（3分）一次函数y＝（﹣2a+3）x的图象经过（﹣1，y1）、（1，y2）两点，且y1＞y2，则a的值可以是（　　） A．2 B． C．1 D． 5．（3分）如图，在点M，N，P，Q中，一次函数y＝kx﹣2（k＞0）的图象可能经过的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 6．（3分）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（　　） A．k2＜0＜k1 B．k1＜0＜k2 C．k1＜k2＜0 D．k2＜k1＜0 7．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax+2x﹣2024图象上不同的两个点，若记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＞0时，a的取值范围是（　　） A．a＜2024 B．a＞2024 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 8．（3分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）长方形的周长为20cm，其中一边为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则y关于x的关系式为 　 　． 10．（3分）某出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米，每增加1千米加收2元，则路程为x（x＞3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为：　 　． 11．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3，不经过第一象限时，则k的取值范围是 　 　． 12．（3分）一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时﹣3≤y≤5，则kb＝　 　． 13．（3分）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[1.3]＝1，（1.3）＝2，[1.3）＝1．则下列说法正确的是 　 　．（写出所有正确说法的序号） ①当x＝1.7时，[x]+（x）+[x）＝6； ②当x＝﹣1.1时，[x]+（x）+[x）＝﹣7； ③方程4[x]+3（x）+[x）＝11的解为1＜x＜1.5； ④当﹣1＜x＜1时，函数y＝[x]+（x）+x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（8分）如图，直线l1与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，5），直线l2的解析式为y＝3x﹣3． （1）求直线l1的解析式； （2）求直线l1被直线l2和y轴所截线段的长． 15．（9分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+m+2． （1）若该函数图象经过原点，求m的值； （2）在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围； （3）若m＝﹣1，当1≤y≤4时，直接写出x的取值范围． 16．（8分）已知A、B两地相距4800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为y1米、y2米，y1、y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出y1，y2与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 17．（9分）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 18．（8分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴正半轴上取一点C，使，连接BC． （1）求线段BC的长； （2）点D为线段BC的中点，动点E从点A出发，沿射线AB匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，连接DE，设△BDE的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点C作CN⊥BC，且CN＝BE，在线段AB的延长线上取一点K，连接NK，过点D作DH⊥NK于点H，连接BH交CN延长线于点M，若∠BHD+∠CDH＝90°，CN＝2MN，求点E的坐标． 20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx与直线y＝﹣x+k交于点A，直线y＝﹣x+k与x轴交于点B． （1）求点B的坐标（用含k的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．将△AOB内（不含边界）的整点个数记为m， ①当k＝4时，结合函数图象，直接写出m的值； ②若m＝1，直接写出k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【分析】根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，金额＝单价×数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价常量，数量与金额是变量， 故选：D． 2．（3分）如图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下列能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据水面面积和水位升高速度得结论． 【详解】解；由题意可知，随着时间的变化水位越来越高， 由于底部面积大，上部面积小，水位升高先慢后快． 综上图象选B． 故选：B． 3．（3分）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．a＞2 【分析】y随x的增大而增大，说明x的系数大于0；图象与y轴的交点在原点下方，说明常数项小于0，据此作答． 【详解】解：根据题意得， 解得：a＜2． 故选：C． 4．（3分）一次函数y＝（﹣2a+3）x的图象经过（﹣1，y1）、（1，y2）两点，且y1＞y2，则a的值可以是（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】根据题意可得一次函数y＝（﹣2a+3）x，y随x的增大而减小，则﹣2a+3＜0，即可求解． 【详解】解：∵一次函数y＝（﹣2a+3）x的图象经过（﹣1，y1）、（1，y2）两点，且y1＞y2，即y随x的增大而减小， ∴﹣2a+3＜0， 解得：， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 5．（3分）如图，在点M，N，P，Q中，一次函数y＝kx﹣2（k＞0）的图象可能经过的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 【详解】解：∵在y＝kx﹣2（k＞0）中，令x＝0可得y＝﹣2， ∴该一次函数经过点（0，﹣2）． ∵在一次y＝kx﹣2中，k＞0，b＝﹣2＜0， ∴一次函数y＝kx﹣2（k＞0）的图象经过第一、三、四象限， 其函数图象大致为： ∴其图象可能经过N点， 故选：B． 6．（3分）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（　　） A．k2＜0＜k1 B．k1＜0＜k2 C．k1＜k2＜0 D．k2＜k1＜0 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m（m＜0）的两个点A和B， 则A（m，k1m），B（m，k2m）， ∵k1m＜k2m， ∴k1＞k2， 当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2， 综上所述，k2＜k1＜0， 故选：D． 7．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax+2x﹣2024图象上不同的两个点，若记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＞0时，a的取值范围是（　　） A．a＜2024 B．a＞2024 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【分析】由m＞0，可得出x1﹣x2与y1﹣y2同号，进而可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出a+2＞0，解之即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），且m＞0， ∴x1﹣x2与y1﹣y2同号， ∵A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax+2x﹣2024图象上不同的两个点， ∴y随x的增大而增大， ∴a+2＞0， ∴a＞﹣2． 故选：D． 8．（3分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1 【分析】根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…以此类推第n个图：y＝n+2n，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：y＝1+2， 第2个图：y＝2+4＝2+22， 第3个图：y＝3+8＝3+23， …， 以此类推第n个图：y＝n+2n， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）长方形的周长为20cm，其中一边为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则y关于x的关系式为 　y＝﹣x2+10x　． 【分析】根据题意表示出另一边长，再利用长方形面积求法得出答案． 【详解】解∵长方形的周长为20cm，其中一边为x cm（其中x＞0）， ∴另一边长为：（10﹣x）cm， 故y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x． 故答案为：y＝﹣x2+10x． 10．（3分）某出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米，每增加1千米加收2元，则路程为x（x＞3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为：　y＝2x+2（x＞3）　． 【分析】由车费等于3千米以内（包括3千米）费用8元，再加上超过部分的费用即可得到答案． 【详解】解：由题意得，y＝8+2（x﹣3）＝2x+2（x＞3）， 故答案为：y＝2x+2（x＞3）． 11．（3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3，不经过第一象限时，则k的取值范围是 　1＜k≤3　． 【分析】依据题意，图象不过第一象限，由y＝kx+b，k＜0，b≤0时图象经过第二、三、四象限、或第二、四象限，不过第一象限，可得2﹣2k＜0，k﹣3≤0，即可求解． 【详解】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3图象不过第一象限， ∴经过第二、三、四象限或第二、四象限， ∴2﹣2k＜0，k﹣3≤0， ∴k＞1，k≤3， ∴1＜k≤3． 故答案为：1＜k≤3． 12．（3分）一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时﹣3≤y≤5，则kb＝　2或﹣2　． 【分析】根据一次函数的增减性分以下两种情况讨论，①k＞0时，y随x的增大而增大，②k＞0时，y随x的增大而减小，根据增减性得到一次函数图象所过点的情况，将点代入y＝kx+b中，求出k，b的值，即可解题． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时﹣3≤y≤5， 下面两种情况讨论： ①当k＞0时，y随x的增大而增大， 即x＝﹣2时，y＝﹣3，x＝2时，y＝5， ∴，解得， ∴kb＝2×1＝2； ①当k＜0时，y随x的增大而减小， 即x＝﹣2时，y＝5，x＝2时，y＝﹣3， ∴，解得， ∴kb＝（﹣2）×1＝﹣2； 即kb＝2或﹣2． 故答案为：2或﹣2． 13．（3分）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[1.3]＝1，（1.3）＝2，[1.3）＝1．则下列说法正确的是 　③　．（写出所有正确说法的序号） ①当x＝1.7时，[x]+（x）+[x）＝6； ②当x＝﹣1.1时，[x]+（x）+[x）＝﹣7； ③方程4[x]+3（x）+[x）＝11的解为1＜x＜1.5； ④当﹣1＜x＜1时，函数y＝[x]+（x）+x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点． 【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①当x＝1.7时， [x]+（x）+[x） ＝[1.7]+（1.7）+[1.7） ＝1+2+2 ＝5， 故①错误； ②当x＝﹣1.1时， [x]+（x）+[x） ＝[﹣1.1]+（﹣1.1）+[﹣1.1） ＝（﹣2）+（﹣1）+（﹣1） ＝﹣4， 故②错误； ③当1＜x＜1.5时， 4[x]+3（x）+[x） ＝4×1+3×2+1 ＝4+6+1 ＝11， 故③正确； ④∵﹣1＜x＜1时， ∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y＝[x]+（x）+x＝﹣1+0+x＝x﹣1， 当﹣0.5＜x＜0时，y＝[x]+（x）+x＝﹣1+0+x＝x﹣1， 当x＝0时，y＝[x]+（x）+x＝0+0+0＝0， 当0＜x＜0.5时，y＝[x]+（x）+x＝0+1+x＝x+1， 当0.5＜x＜1时，y＝[x]+（x）+x＝0+1+x＝x+1， ∵y＝4x，则x﹣1＝4x时，得； x+1＝4x时，得； 当x＝0时，y＝4x＝0， ∴当﹣1＜x＜1时，函数y＝[x]+（x）+x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④错误， 故答案为：③． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（8分）如图，直线l1与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，5），直线l2的解析式为y＝3x﹣3． （1）求直线l1的解析式； （2）求直线l1被直线l2和y轴所截线段的长． 【分析】（1）依据题意，设l1为y＝kx+b，再将A、B两点代入求出k，b即可得解； （2）设直线l1和直线l2的交点为C，解方程组得到C（2，3），根据勾股定理得到BC2． 【详解】解：（1）由题意，设l1为y＝kx+b，再将A、B两点代入得， ∴， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+5； （2）设直线l1和直线l2的交点为C， 解得， ∴C（2，3）， ∴BC2， 答：直线l1被直线l2和y轴所截线段的长为2． 15．（9分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+m+2． （1）若该函数图象经过原点，求m的值； （2）在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围； （3）若m＝﹣1，当1≤y≤4时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据题意将原点（0，0）代入计算即可； （2）根据一次函数的性质列不等式计算即可； （3）当m＝﹣1时，此时y＝﹣3x+1，然后根据条件列不等式组解决问题即可． 【详解】解：（1）∵该一次函数的图象经过原点（0，0）， ∴0＝0+m+2， ∴m＝﹣2． （2）∵该一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴2m﹣1＞0， ∴． （3）当m＝﹣1时，此时y＝﹣3x+1． 当1≤y≤4时， ∴， 解得﹣1≤x≤0． 此时x的取值范围为﹣1≤x≤0． 16．（8分）已知A、B两地相距4800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为y1米、y2米，y1、y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出y1，y2与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 【分析】（1）先根据图象分别设出甲、乙的函数关系式即y1、y2与x的函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式； （2）由相遇时距离A地距离相同，令y1＝y2，解出x，再求出距离A地距离． 【详解】解：（1）设y1＝k1x，由题意代入点（60，4800），得： 60k1＝4800， 解得：k1＝80， ∴y1＝80x， 设 y2＝k2x+b，由题意代入点（20，4800），（60，0），得： ， 解得：， ∴y2＝﹣120x+7200 答：y1＝80x，其中自变量x的取值范围是0≤x≤60， y2＝﹣120x+7200，其中自变量x的取值范围是20≤x≤60； （2）由题意可知：y1＝y2，即80x＝﹣120x+7200， 解得：x＝36， ∴y2＝﹣120×36+7200＝2880 答：甲出发后36分钟两人相遇，相遇时乙离A地2880米． 17．（9分）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【分析】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案； （2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可； （3）根据题意列不等式求解． 【详解】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320， 解得a＝4， ∴a的值是4． （2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴yx（4≤x≤10）． 当x＝7时，y7160， ∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人； （3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]，解得x≥5， 所以至少需同时开放6个售票窗口． 18．（8分）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值． 【详解】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套， 由题意可得：， 解得， 答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套； （2）设利润为w元， 由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20， ∴w随m的增大而减小， ∵10≤m≤20， ∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19， 答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴正半轴上取一点C，使，连接BC． （1）求线段BC的长； （2）点D为线段BC的中点，动点E从点A出发，沿射线AB匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，连接DE，设△BDE的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点C作CN⊥BC，且CN＝BE，在线段AB的延长线上取一点K，连接NK，过点D作DH⊥NK于点H，连接BH交CN延长线于点M，若∠BHD+∠CDH＝90°，CN＝2MN，求点E的坐标． 【分析】（1）先求得点B的坐标，进而得出，根据勾股定理，即可求解； （2）根据（1）可得线段BC的长为，则点E从点A运动到点B的时间为8秒，进而分0≤t＜8，和t＞8两种情况讨论，即可求解； （3）根据已知条件导角得出∠NHM＝∠HNM，则MH＝MN，根据△BCM是直角三角形，取BM的中点T，连接DT得出则DT是△BCM的中位线，设BE＝4x，则CN＝BE＝4x，，在Rt△BCM中，根据，勾股定理求得，进而可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）当x＝0时，，故点B（0，4），OB＝4， ∴， ∴， （2）当y＝0时，，解得：x＝﹣8， ∴AB2＝OA2+OB2＝82+42＝80，， ∵AC2＝（8+2）2＝100，BC2＝20， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∵点D为线段BC的中点， ∴， ∴， 当0≤t＜8时，，， 当t＝8时，点E与点A重合，不存在△BDE， 当t＞8时，，， （3）如图所示， ∵∠ABC＝∠CBK＝90°，DH⊥NK， ∴∠BDH+∠BKH＝180°， ∴∠CDH＝∠BKH ∵∠BHD+∠CDH＝90°，∠BHK+∠BHD＝90°， ∴∠CDH＝∠BHK， ∴∠CDH＝∠BHK＝∠BKH， ∴BK＝BH， ∵CN⊥BC，∠ABC＝90°， ∴CN∥AB， ∴∠HNM＝∠BKH， ∴MH＝MN， ∵△BCM是直角三角形，取BM的中点T，连接DT， 则DT是△BCM的中位线， ∴， ∵∠TDC＝∠TDH+∠HDC＝90°， 又∠BHD+∠CDH＝90°， ∴∠THD＝∠TDH， ∴TD＝TH， 设BE＝4x，则CN＝BE＝4x，， ∴， ∵TH＝TD，HM＝MN， ∴BM＝2TM＝2（TH+HM）＝2×（3x+2x）＝10x， 在Rt△BCM中，BM2＝CM2+BC2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是上的点， 设， ∴， 解得：t＝±2， ∴E点坐标为（﹣2，3），（2，5）． 20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx与直线y＝﹣x+k交于点A，直线y＝﹣x+k与x轴交于点B． （1）求点B的坐标（用含k的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．将△AOB内（不含边界）的整点个数记为m， ①当k＝4时，结合函数图象，直接写出m的值； ②若m＝1，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）将y＝0代入y＝﹣x+k即可求得； （2）①分别求出点A和点B的坐标，结合图象求解； ②结合图象去分析，由①知k＝4时有3个整点，将k＝3，k＝2代入画出图象即可得解，再考虑k为负值时只能有（0，﹣1）这个整点，所以结合图象可以得出此时k＝﹣2． 【详解】解：（1）将y＝0代入y＝﹣x+k得，x＝k， ∴点B的坐标为（k，0）； （2）①当k＝4时，直线l：y＝4x与直线y＝﹣x+4交于点A（，）， 而B（4，0），O（0，0）， 如图可得：△AOB内的整点有：（1，1），（1，2），（2，1）共3个点， ∴m＝3； ②∵m＝1， ∴△AOB内有1个整数点， 当k＝2时，如图所示，△AOB内无整数点； 当k＝3时，如图所示，△AOB内有1个整数点， ∴2＜k≤3时，△AOB内有1个整数点， 当k＝﹣2时，△AOB内有1个整数点， 综上，2＜k≤3或k＝﹣2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$