第五章 一元一次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版2024）

第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x2＝16 B．x﹣7＝3 C． D．x+y+z＝9 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程据此解答即可． 【详解】解：A、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、含有三个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）方程去分母得（　　） A．1﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣4（2x﹣4）＝﹣x﹣7 C．12﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．4﹣4（2x﹣4）＝﹣x+7 【分析】等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式的两边仍然相等，特别要注意方程两边的每一项都要乘或除以同一个数（0除外）．将方程两边的每一项都乘以12即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以12，得：12﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7）， 故选：C． 3．（3分）解方程时，去分母正确的是（　　） A．2x﹣（3x+1）＝2 B．2x﹣3x+1＝2 C．2x﹣（3x+1）＝1 D．2x﹣3x+1＝1 【分析】将方程两边同时乘2即可． 【详解】解：方程两边同时乘2，得2x﹣（3x+1）＝2． 故选：A． 4．（3分）如果a＝b，那么下列说法正确的是（　　） A．a+2＝b﹣1 B．ac＝bc C．2a﹣1＝2（b﹣1） D． 【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、如果a＝b，那么a+2＝b+2≠b﹣1，本选项错误，不符合题意； B、如果a＝b，那么ac＝bc，本选项正确，符合题意； C、如果a＝b，那么2a﹣1＝2b﹣1≠2（b﹣1），本选项错误，不符合题意； D、如果a＝b，那么，本选项错误，不符合题意， 故选：B． 5．（3分）盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2：5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3：5．如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3：7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（　　） A．6：5 B．5：6 C．4：3 D．3：4 【分析】设原来盒子中黑棋子有x个，白棋子有y个，第一次放入白棋子，黑棋子不变，所以这时白棋子有x个，放入了（x﹣y）个白棋子；同理，第二次放入黑棋子，白棋子不变，所以这时黑棋子有个，放入了（x）个黑棋子；然后根据放入的黑棋子和白棋子的数量比是3：7，列比例式解答即可． 【详解】解：设原来盒子中黑棋子有x个，白棋子有y个，根据题意得， ， 整理得：3y＝4x， 所以，x：y＝3：4． 答：原来盒子中黑白棋子的数量之比是3：4． 故选：D． 6．（3分）把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．1 【分析】根据题意设左边中间位置为b，左上为c．求出“九宫格”中的b、c，再求出a即可求解． 【详解】解：如图，依题意可得2+5+8＝3+5+b， 解得b＝7． ∴2+5+8＝2+7+c， 解得c＝6． ∴2+5+8＝6+8+a， 解得a＝1． 故选：D． 7．（3分）如图，在周长为18m的长方形窗户上钉一块宽为3m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为（　　） A．4m2 B．25m2 C．16m2 D．9m2 【分析】设长方形窗户的长为x m，则宽为（9﹣x）m，根据题意可得方程x﹣3＝9﹣x，解方程即可得到答案． 【详解】解：设长方形窗户的长为x m，则宽为， 由题意得，x﹣3＝9﹣x， 解得x＝6， ∴长方形窗户的宽为9﹣x＝3m， ∴钉好后透光面积为3×3＝9m2， 故选：D． 8．（3分）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　） A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s 【分析】设列车的速度为x m/s，由题意：一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设列车的速度为x m/s， 由题意得：64x＝1000+280， 解得：x＝20， 即列车的速度为20m/s， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若方程（a﹣1）xa﹣1+3＝0是一元一次方程，则a＝　2　．x＝　﹣3　． 【分析】根据一元一次方程定义可得a﹣1＝1，且a﹣1≠0，解得a的值，代入方程（a﹣1）xa﹣1+3＝0，再解方程可得x的值． 【详解】解：由题意得：a﹣1＝1，且a﹣1≠0， 解得：a＝2， 方程为x+3＝0， 解得：x＝﹣3， 故答案为：2；﹣3． 10．（3分）矩形ABCD被分成6个正方形，其中最小的正方形边长为1，则矩形ABCD的面积为 　143　． 【分析】可设左下角的正方形的边长为未知数，表示出其余正方形的边长，根据最大正方形边长的两种表示方法相等可得未知数的值，进而得到矩形的边长，相乘即可． 【详解】解：∵最小正方形的面积等于1， ∴最小正方形的边长为1， 设左下角的正方形的边长为x． ∴BC＝x+1+（x+2）＝2x+3，AB＝2x+（x+1）＝3x+1， ∵最大正方形边长可表示为2x﹣1，也可表示为x+3， ∴2x﹣1＝x+3， 解得：x＝4， ∴AB＝13，BC＝11， ∴矩形的面积为11×13＝143． 故答案为：143． 11．（3分）对于非零的两个有理数a、b，规定a⊗b＝b，若1⊗（2x+1）＝1，则x的值为　　． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到x的值． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：2x+1﹣1＝1， 解得：x， 故答案为： 12．（3分）我们用＜a＞表示不小于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝4，＜﹣1.5＞＝﹣1．若1，则x的取值范围是 　﹣3＜x≤﹣1　． 【分析】因为＜a＞表示不小于a的最小整数，所以1时，01，解不等式组即可 【详解】解：∵＜a＞表示不小于a的最小整数， ∴1时， 01， 解得：﹣3＜x≤﹣1． 故答案为：﹣3＜x≤﹣1． 13．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．如果点P，Q同时出发，P点到达B点时，P，Q两点都停止运动，移动时间用t（s）表示． （1）当点Q在AC上运动时，AQ＝　（5﹣3t）cm　（用含t的代数式表示）； （2）当QA＝AP时，t＝　1或5　． 【分析】（1）由题意得当点Q在AC上运动时，CQ＝3t cm，即可得出结论； （2）分两种情况，①当点Q在AC上运动时，②当点Q在AB上运动时，分别根据QA＝AP列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动，移动时间用t（s）表示， ∴当点Q在AC上运动时，CQ＝3t cm， ∴AQ＝AC﹣CQ＝（5﹣3t）（cm）， 故答案为：（5﹣3t）cm； （2）分两种情况： ①当点Q在AC上运动时，QA＝AP， 即5﹣3t＝2t， 解得：t＝1； ②当点Q在AB上运动时，QA＝AP， 即3t﹣5＝2t， 解得：t＝5， 此时P点与Q点同时到达B点； 综上所述，t的值为1或5， 故答案为：1或5． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（8分）2024年7月27日至8月12日在法国巴黎召开奥运会，共产生324枚金牌．每枚金牌重529克，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比为3：264.5，求本次奥运会做金牌需要的黄金共多少克？ 【分析】设做一枚金牌需要3x克黄金，则一枚金牌的质量为264.5x克，于是列方程得264.5x＝529，求得x＝2，再求出做324枚金牌所需黄金的总质量即可． 【详解】解：设做一枚金牌需要3x克黄金， 根据题意得264.5x＝529， 解得x＝2， ∴3×2×324＝1944（克）， 答：本次奥运会做金牌需要的黄金共1944克． 15．（8分）一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度． 【分析】设船在静水中的速度是x千米/小时，根据顺流而行和逆流而行的路程相等，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/小时， 由题意得：3（x+3）＝5（x﹣3）， 解得：x＝12， 答：船在静水中的速度为12千米/小时． 16．（8分）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高 　2　cm，放入一个大球水面上升 　5　cm． （2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球多少个． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意设放入大球x个，则放入小球（10﹣x）个，列一元一次方程即可． 【详解】解：（1）解：根据题意得：（32﹣26）÷3＝2（cm），（32﹣26）÷2＝3（cm）， 放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面上升3cm． 故答案为：2，3； （2）设放入大球x个，则放入小球（10﹣x）个，根据题意得， 2（10﹣x）+3x＝52﹣26， 解得：x＝6， 答：应放入大球6个． 17．（9分）定义一种新运算“△”，其规则为x△y＝xy﹣x+y． 例如：3△2＝3×2﹣3+2＝5． （1）计算4△5的值； （2）若（2m）△3＝m△4，求m的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求解； （2）已知等式利用题中的新定义可得关于m的一元一次方程，解方程即可； （3）根据题中的新定义可知“△”运算不满足交换律，举例说明即可． 【详解】解：（1）4△5＝4×5﹣4+5＝21； （2）（2m）△3＝m△4， 故6m﹣2m+3＝4m﹣m+4， 解得：m＝1； （3）“△”运算不满足交换律，举例如下： 2△3＝2×3﹣2+3＝7，3△2＝3×2﹣3+2＝5，故2△3≠3△2． 18．（9分）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗翻酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 【分析】设清酒x斗，则醐酒有（4﹣x）斗．根据“拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有（4﹣x）斗． 根据题意，得8x+2（4﹣x）＝20， ∴4﹣x＝2． 答：清酒2斗，醐酒有2斗． 19．（9分）某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 （1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍：甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【分析】（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，根据第一次用7000元购进甲、乙两种商品，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件， 根据题意得：40×2x+60x＝7000， 解得：x＝50， ∴2x＝2×50＝100， 答：该超市第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件； （2）第一次获得的总利润为：（50﹣40）×100+（80﹣60）×50＝2000（元）， 设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得：（50﹣40）×100+（80×0.1y﹣60）×50×3＝2000﹣400， 解得：y＝8， 答：第二次乙商品是按原价打8折销售． 20．（10分）阅读材料：在数轴上A点所表示的数为a，B点所表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数，即AB＝b﹣a． 请用上面的知识解决下面的问题： 已知：数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且满足|a+7|+|c﹣2|＝0，点B对应的数为﹣3﹒ （1）a＝　﹣7　，c＝　2　． （2）若在数轴上有两动点P、Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P，Q两点的距离为3． （3）若在数轴上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离之和为15，请求出点P所对应的值． 【分析】（1）根据绝对值的非负性，即可确定a，c的值． （2）由（1）确定点A表示的数，根据数轴可确定点B表示的数，根据题意，分两种情况，点P在点A的左侧和右侧，根据P，Q两点的距离为3，进而求得时间． （3）由（1）确定点A，C表示的数，设点P表示的数为m，分情况讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点C的右侧时，再根据PA+PC＝15求解即可． 【详解】解：（1）∵|a+7|+|c﹣2|＝0，|a+7|≥0，|c﹣2|≥0， ∴a+7＝0，c﹣2＝0， ∴a＝﹣7，c＝2． 故答案为：﹣7，2． （2）∵点A表示的数为﹣7，点B表示的数为﹣3， 依题意动点P、Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒， 设运动时间为ts，则点P表示是数是﹣7+2t，Q点表示是数是﹣3+t ①当点P在点Q左侧时， ﹣3+t﹣（﹣7+2t）＝3， 解得：t＝1， ②当P点在Q点右侧时， ﹣7+2t﹣（﹣3+t）＝3， 解得：t＝7， ∴经过1s或7s时，P，Q两点的距离为3． （3）由（1）可知，点A表示是数是﹣7，点C表示的数是2， ∴AC＝2﹣（﹣7）＝9， ∵PA+PC＝15， ∴点P在点A的左侧或点P在点C的右侧， 设点P表示的数为m， ①当点P在点A的左侧时， PA＝﹣7﹣m，PC＝2﹣m， ﹣7﹣m+2﹣m＝15， 解得：m＝﹣10， ②当点P在点C的右侧时， PA＝m﹣（﹣7），PC＝m﹣2， m﹣（﹣7）+m﹣2＝15， 解得：m＝5， ∴点P表示的数是﹣10或5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x2＝16 B．x﹣7＝3 C． D．x+y+z＝9 2．（3分）方程去分母得（　　） A．1﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣4（2x﹣4）＝﹣x﹣7 C．12﹣4（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．4﹣4（2x﹣4）＝﹣x+7 3．（3分）解方程时，去分母正确的是（　　） A．2x﹣（3x+1）＝2 B．2x﹣3x+1＝2 C．2x﹣（3x+1）＝1 D．2x﹣3x+1＝1 4．（3分）如果a＝b，那么下列说法正确的是（　　） A．a+2＝b﹣1 B．ac＝bc C．2a﹣1＝2（b﹣1） D． 5．（3分）盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2：5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3：5．如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3：7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（　　） A．6：5 B．5：6 C．4：3 D．3：4 6．（3分）把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．1 7．（3分）如图，在周长为18m的长方形窗户上钉一块宽为3m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为（　　） A．4m2 B．25m2 C．16m2 D．9m2 8．（3分）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（　　） A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）若方程（a﹣1）xa﹣1+3＝0是一元一次方程，则a＝　 　．x＝　 　． 10．（3分）矩形ABCD被分成6个正方形，其中最小的正方形边长为1，则矩形ABCD的面积为 　 　． 11．（3分）对于非零的两个有理数a、b，规定a⊗b＝b，若1⊗（2x+1）＝1，则x的值为　 　． 12．（3分）我们用＜a＞表示不小于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝4，＜﹣1.5＞＝﹣1．若1，则x的取值范围是 　 　． 13．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝5cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C开始以3cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．如果点P，Q同时出发，P点到达B点时，P，Q两点都停止运动，移动时间用t（s）表示． （1）当点Q在AC上运动时，AQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）当QA＝AP时，t＝　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（8分）2024年7月27日至8月12日在法国巴黎召开奥运会，共产生324枚金牌．每枚金牌重529克，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比为3：264.5，求本次奥运会做金牌需要的黄金共多少克？ 15．（8分）一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度． 16．（8分）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高 　 　cm，放入一个大球水面上升 　 　cm． （2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球多少个． 17．（9分）定义一种新运算“△”，其规则为x△y＝xy﹣x+y． 例如：3△2＝3×2﹣3+2＝5． （1）计算4△5的值； （2）若（2m）△3＝m△4，求m的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 18．（9分）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗翻酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 19．（9分）某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 （1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍：甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 20．（10分）阅读材料：在数轴上A点所表示的数为a，B点所表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数，即AB＝b﹣a． 请用上面的知识解决下面的问题： 已知：数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且满足|a+7|+|c﹣2|＝0，点B对应的数为﹣3﹒ （1）a＝　 　，c＝　 　． （2）若在数轴上有两动点P、Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P，Q两点的距离为3． （3）若在数轴上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离之和为15，请求出点P所对应的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$