专题05 排列组合（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（重庆专用）

专题4.1 数列 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：计数原理 4 【变式探究】 4 考点二：排列与排列数 5 【变式探究】 6 考点三：组合与组合数 7 【变式探究】 8 【真题演练】 10 【考纲要求】 1.计数原理 要求：掌握分类计数原理和分步计数原理； 2.排列与组合 要求：了解排列与组合的概念； 掌握排列与组合的公式； 能用计数原理、排列与组合知识处理简单问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 排列与组合 6 6 6 6 6 考向预测 1、 分类计数原理和分步计数原理。 2、 排列与组合的应用。 【考点导图】 【知识清单】 1．计数原理 (1)、分类（加法）计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (2)、分步（乘法）计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 2．排列与排列数 (1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示． (3) 排列数公式 ① P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. ②P＝. (4) 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为P＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 3．组合及组合数 (1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． (3) 组合数的公式 ①C＝，其中m，n∈N*，并且m≤n ②C＝ (4) 组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 规定：C＝1. (5) 排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数P间存在的关系:P＝CP 【考点分类剖析】 考点一：计数原理 例1．4名同学在3道数学题中选择一道来解答，不同选择方法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理进行求解. 【详解】每名同学均有3种选法，故一共有种. 故选：A 2．4位同学参加3个外语节目选拔，每个同学恰选择一个节目参加，则不同的参加方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分步乘法原理求解. 【详解】设4为同学为甲乙丙丁，先安排甲：有3种选择，再安排乙：有3种选择，同理丙和丁都有3种选择，根据分步乘法原理有 种方法； 故选：A. 【变式探究】 1．甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（    ） A．180种 B．210种 C．240种 D．270种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【详解】依题意可知，不同的选法有种. 故选：B 2．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【详解】依题意，不同的选法共有种. 故选：A 3．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．504种 C．24种 D．12种 【答案】C 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种. 故选：C. 4．3月5日，两江新区学雷锋纪念日，现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（    ） A． B． C．30 D．11 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理分析计算即可得解. 【详解】依题意，每名志愿者都有5种选择方法， 所以6名志愿者共有种不同的选法. 故选：A. 5．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（    ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】由分步乘法计数原理可知不同的选择方法有. 故选：C. 考点二：排列与排列数 例2：求的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】利用排列数的计算方法即可得解. 【详解】. 故选：B. 2．在中不重复地选取4个数字，共能组成（    ）个不同的四位数. A．96 B．18 C．120 D．84 【答案】A 【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可. 【详解】四位数首位不能为零， 故为种不同的四位数， 故选：A. 【变式探究】 1．若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用组合数公式和排列数公式化简即可得解. 【详解】由得， 解得. 故选：D 2．计算的值是（   ） A．62 B．102 C．152 D．2540 【答案】A 【分析】 用排列数和组合数公式计算即可. 【详解】， 故选：A 3．某记者要去武汉4个医院采访，则不同的采访顺序有（　　） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】D 【分析】根据排列计算即可. 【详解】由题意可得不同的采访顺序有=24（种）， 故选：D. 4．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．16 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果. 【详解】第一步，从中任选一个数字排在百位，有种； 第二步，从剩下的个数字中任选个排在十位和个位，有种， 根据分步乘法计数原理得共有个无重复数字的三位数. 故选：C 5．已知，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答. 【详解】因为，而，即有，于是， 所以n的值为5. 故选：C 6．有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（   ） A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】B 【分析】根据捆绑法进行求解即可. 【详解】不同排法种数为种， 故选：B. 考点三：组合与组合数 例3：从甲､乙､丙､丁､戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（    ） A．6 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【分析】先选副组长，利用组合知识计算即可. 【详解】先选副组长再选组长，有． 故选：C 2．从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（   ） A．33 B．45 C．84 D．90 【答案】B 【分析】利用组合数公式直接计算. 【详解】. 故选：B 【变式探究】 1．从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（    ）种． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，分析可得答案． 【详解】根据题意，从4名男生和2名女生中选2人参加会议，有种选法， 其中没有男生，即全部为女生的选法有种， 则至少有一名男生的选法有． 故选：B． 2．甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（    ）种 A．6 B．10 C．18 D．36 【答案】C 【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】解：先安排甲乙共有,再安排丙丁共有, 所以根据分步乘法计数原理得总共有（种）， 故选:C. 3．某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（    ） A．15 B．20 C．30 D．120 【答案】B 【分析】根据组合数计算即可 【详解】由题意，组成该评审委员会不同方式的种数为种 故选：B 4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．35种 【答案】C 【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求. 【详解】从7人中选3人,有种选法，其中甲、乙都不入选的有种选法， 所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有种, 故选：C 5．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（    ） A．60种 B．36种 C．10种 D．6种 【答案】D 【分析】由组合数公式即求. 【详解】甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有(种). 故选：D. 6．某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A．14 B．24 C．28 D．48 【答案】A 【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况， 故不同的选派方案种数为．故选A. 法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种， 故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A 【真题演练】 1.若要求选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有（ ） A．12种 B．18种 C．34种 D．35种 【答案】C 【解析】本题考查分类计数原理、排列与组合。 方法一(分类)：由题可知，只是选出选出4人参加，因此只选不排，即为组合，而4人中既有男生又有女生有：1女3男、2女2男、3女1男这三种情况，因此分类： 1女3男：种；2女2男：种；3女1男：种，所以不同的选法共有12+18+4=34种 方法一(正难反易)：由题可知，4人中既有男生又有女生分类较多，因此选择反面从7人中选出4人，只要保证排除4人都是男生这种情况即可，所以种 故答案为：C. 2.（2023年高等职业教育分类考试数学第6题）3名同学到两个社区参加志愿者活动，每名同学只去一个社区，每个社区至少1名同学，则不同的分配方案共有（ ） A．3种 B．6种 C．9种 D．12种 【答案】C 【解析】本题考查分类计数原理、排列与组合。 由题可知，即选还要排，即为排列，3名同学到两个社区参加志愿者活动，每名同学只去一个社区，每个社区至少1名同学，可分类为2名同学去A社区，1名同学去B社区、1名同学去A社区，2名同学去B社区，所以有种 故答案为：C. 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第9题）从4名男生和3名女生组成的班委中，选3名班长候选人，要求3名班长候选人中男生和女生均至少有1名，则不同的选法共有（ ） A．12种 B．18种 C．30种 D．35种 【答案】A 【解析】本题考查分类计数原理、排列与组合。 由题可知，只选不用排，即为组合，选3名班长候选人，要求3名班长候选人中男生和女生均至少有1名 即：班长候选人男生1名，女生1名，还有一个名额就从剩下的5人在选择，所以不同的选法共有种 故答案为：A. 4.（2021年高等职业教育分类考试数学第8题）袋中有8个大大小小相同的球，其中白球6个，红球2个，从中任取3个球，则至少有1个红球的取法有（ ） A．30种 B．36种 C．42种 D．60种 【答案】B 【解析】本题考查分类计数原理、排列与组合。 方法一(反面)：由题可知，任取3个球有顺序，即选还要排，即为排列，白球6个，红球2个，从中任取3个球，则至少有1个红球，我们可以算反面即：从8个球中选择3个球，排除掉全是白球的情况：种 方法而(分类)：由题可知，白球6个，红球2个，从中任取3个球，则至少有1个红球，可分类为：1个红球，2个白球、2个红球，1个白球 所以1个红球，2个白球：种、2个白球、2个红球，1个白球：种，所以至少有1个红球的取法有30+6=36种 故答案为：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 数列 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：计数原理 4 【变式探究】 4 考点二：排列与排列数 4 【变式探究】 5 考点三：组合与组合数 5 【变式探究】 5 【真题演练】 6 【考纲要求】 1.计数原理 要求：掌握分类计数原理和分步计数原理； 2.排列与组合 要求：了解排列与组合的概念； 掌握排列与组合的公式； 能用计数原理、排列与组合知识处理简单问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 排列与组合 6 6 6 6 6 考向预测 1、 分类计数原理和分步计数原理。 2、 排列与组合的应用。 【考点导图】 【知识清单】 1．计数原理 (1)、分类（加法）计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (2)、分步（乘法）计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 2．排列与排列数 (1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示． (3) 排列数公式 ① P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. ②P＝. (4) 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为P＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 3．组合及组合数 (1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． (3) 组合数的公式 ①C＝，其中m，n∈N*，并且m≤n ②C＝ (4) 组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 规定：C＝1. (5) 排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数P间存在的关系:P＝CP 【考点分类剖析】 考点一：计数原理 例1．4名同学在3道数学题中选择一道来解答，不同选择方法的种数是（    ） A． B． C． D． 2．4位同学参加3个外语节目选拔，每个同学恰选择一个节目参加，则不同的参加方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式探究】 1．甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（    ） A．180种 B．210种 C．240种 D．270种 2．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 3．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．504种 C．24种 D．12种 4．3月5日，两江新区学雷锋纪念日，现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（    ） A． B． C．30 D．11 5．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（    ） A． B．20 C． D． 考点二：排列与排列数 例2：求的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 2．在中不重复地选取4个数字，共能组成（    ）个不同的四位数. A．96 B．18 C．120 D．84 【变式探究】 1．若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．计算的值是（   ） A．62 B．102 C．152 D．2540 3．某记者要去武汉4个医院采访，则不同的采访顺序有（　　） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 4．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．16 B．36 C．48 D．60 5．已知，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（   ） A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 考点三：组合与组合数 例3：从甲､乙､丙､丁､戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（    ） A．6 B．10 C．16 D．20 2．从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（   ） A．33 B．45 C．84 D．90 【变式探究】 1．从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（    ）种． A．13 B．14 C．15 D．16 2．甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（    ）种 A．6 B．10 C．18 D．36 3．某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（    ） A．15 B．20 C．30 D．120 4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．35种 5．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（    ） A．60种 B．36种 C．10种 D．6种 6．某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A．14 B．24 C．28 D．48 【真题演练】 1.若要求选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有（ ） A．12种 B．18种 C．34种 D．35种 2.（2023年高等职业教育分类考试数学第6题）3名同学到两个社区参加志愿者活动，每名同学只去一个社区，每个社区至少1名同学，则不同的分配方案共有（ ） A．3种 B．6种 C．9种 D．12种 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第9题）从4名男生和3名女生组成的班委中，选3名班长候选人，要求3名班长候选人中男生和女生均至少有1名，则不同的选法共有（ ） A．12种 B．18种 C．30种 D．35种 4.（2021年高等职业教育分类考试数学第8题）袋中有8个大大小小相同的球，其中白球6个，红球2个，从中任取3个球，则至少有1个红球的取法有（ ） A．30种 B．36种 C．42种 D．60种 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$