特训04 相似三角形（十一大题型，上海九月月考题精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训04 相似三角形（十一大题型，上海九月月考题精选） 题型1：比例线段 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．（22-23九年级下·上海·阶段练习）已知，那么的值是 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）若，则 ． 题型2：比例尺的实际应用 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 7．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 8．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，在一张比例尺为的地图上，测得、两地的距离为4厘米，则、两地的实际距离为 ． 题型3：比例中项、黄金分割 9．（2024·上海杨浦·一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）线段，为的黄金分割点，且，则 ． 14．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4：三角形一边的平行线的性质及推理 15．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，，则的长为 ．    16．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，若，，则 .    17．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点分别在上，以下能推得的条件是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、，求作线段，下列作图中正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·上海·阶段练习）点、分别在 的边和上，下列条件能判定的比例式是（   ） A． B． C． D． 20．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，梯形中，，，，则 ．    题型5：重心的性质 21．（24-25九年级上·上海·阶段练习），，，为重心，则 ． 22．（18-19九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 23．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 题型6：相似三角形的性质 24．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形的周长比是 ． 26．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，，则与的面积之比为 ．    27．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 题型7：相似三角形的判定 28．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列语句叙述正确的是（    ） A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似 C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似 29．（21-22九年级上·上海·阶段练习）依据下列条件不能判断ABC和DEF的相似是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm 30．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 31．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（    ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有3个及以上但个数有限 D．有无数个 32．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 题型8：相似三角形的判定与性质综合 34．（24-25九年级上·上海·阶段练习）中，点、在、上，，，若，则 ． 35．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）△中，，，，点D、E分别在边、上，如果，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，为上一点，，，，则 ． 37．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 38．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 39．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么 ． 40．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形 中，，若 ，则的值为 ． 43．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，与交于点，那么和的面积比是（    ） A． B． C． D． 题型9：平面向量的线性运算 44．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，且，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．，方向相同 D． 45．（23-24九年级下·上海闵行·阶段练习）如图，点E、F在对角线上，且，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 46．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（22-23九年级下·上海·阶段练习）已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型10：相似三角形的实际应用 48．（2023·上海黄浦·一模）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    49．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图，将水平的平面镜放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．如果，米，米，米，那么该古城墙的高度是 米．    题型11：相似三角形的其他应用 50．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，与相交于F，则图中所有的相似三角形共有（    ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 51．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，是上的高，．如果矩形内接于中，点分别在边上，点在上，设，矩形的面积为，那么那么关于的函数关系式是 （不需写出的取值范围）    52．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点，给出下列结论： ①；②；③；④；其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③ 53．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在矩形中，是的中点，，交于点，由上述条件得到以下两个结论：①；②．对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 相似三角形（十一大题型，上海九月月考题精选） 题型1：比例线段 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴A不符合题意； ∵， ∴B不符合题意； ∵， ∴C不符合题意； ∵， ∴D符合题意； 故选D． 2．（22-23九年级下·上海·阶段练习）已知，那么的值是 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设，，再代入求值即可． 【解析】解：， 设，， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解． 【解析】解：设， , 故选：A． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果． 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 题型2：比例尺的实际应用 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值．根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【解析】解：设、两地的实际距离为千米． 根据题意得到：， 解得：千米． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 【答案】240 【分析】本题考查比例线段，比例尺的定义，设实际距离为，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案． 【解析】解：设实际距离为， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：240． 8．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，在一张比例尺为的地图上，测得、两地的距离为4厘米，则、两地的实际距离为 ． 【答案】/20千米 【分析】本题考查了比例线段，能够根据比例尺的定义正确地列出比例式是解题的关键，注意单位之间的转换．根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离． 【解析】解：设、两地间的实际距离为，由题意，得： ， 解得． ， 即、两地的实际距离为． 故答案为：． 题型3：比例中项、黄金分割 9．（2024·上海杨浦·一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【解析】∵线段是线段和的比例中项， ∴， 即， ∴， 故答案为： ． 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可． 本题考查了比例中项即，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】解：∵线段c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【解析】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长． 【解析】解：根据题意得：， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）线段，为的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可． 【解析】解：如图， 线段，为的黄金分割点且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得，即可得出结论． 【解析】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故选项D符合题意， 故选：D． 题型4：三角形一边的平行线的性质及推理 15．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解． 【解析】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 16．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，若，，则 .    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 17．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点分别在上，以下能推得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的判定证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【解析】解：A、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； B、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； C、，即，为公共角，可判定，即能证明，能推得，故符合题意； D、，不能判定，即不能证明，不能推得，故不符合题意； 故选：C． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、，求作线段，下列作图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成比例线段的相关知识，熟练掌握平行线分线段成比例的定理是解题的关键． 【解析】解：A.由作图可得，则，不符合题意； B.作图错误，不符合题意； C.由作图可得，则，符合题意； D.由作图可得，则，不符合题意； 故选：C． 19．（23-24九年级上·上海·阶段练习）点、分别在 的边和上，下列条件能判定的比例式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意确定相似三角形的对应边是解题的关键． 根据题意确定相似三角形的对应边即可解答． 【解析】解：如图： 当时，，即, ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 20．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，梯形中，，，，则 ．    【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【解析】解：∵ ∴ ，，， ， , 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质． 题型5：重心的性质 21．（24-25九年级上·上海·阶段练习），，，为重心，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可. 【解析】解：如图， ∵为的重心，    ∴是的中线，， ， ， ， 故答案为：. 22．（18-19九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知，可得，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案． 【解析】如图，连接AG并延长AG交BC于D， ∵点G是△ABC的重心， ∴AG=2GD，即， ∴， ∵由GH⊥BC，∠ACB=90°， ∴GH//BC， ∴， ∵AC=6， ∴GH=AC·=6×=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 23．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 【答案】/6平方厘米 【分析】本题考查了三角形重心的性质及三角形中位线的性质，根据点是的中点，得到的面积为，再由是重心，求出，即可求解． 【解析】解：点是的中点，的面积为， 的面积为， 是重心， ， 的面积为：， 故答案为：． 题型6：相似三角形的性质 24．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键．据相似三角形的周长的比等于它们的相似比，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可． 【解析】解：两个相似三角形的周长比为， 它们的相似比为． ∴它们的对应中线的比为， 故选：C． 25．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形的周长比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比成为解题的关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答． 【解析】解：根据相似三角形的周长比等于相似比可得：已知相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形的周长比是． 故答案为：． 26．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，，则与的面积之比为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先判定,然后求得相似比，最后根据相似三角形的性质即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为． 27．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 设的高为h， ， 设为，则为，为， ， ∴ ， 故选：B． 题型7：相似三角形的判定 28．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列语句叙述正确的是（    ） A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似 C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明． 本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用． 【解析】A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误； B、有一个角是的直角三角形都相似，正确； C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误； D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误； 故选：B． 29．（21-22九年级上·上海·阶段练习）依据下列条件不能判断ABC和DEF的相似是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【解析】A. ∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° ， ABCDEF，不符合题意； B. ∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm 又 ，不符合题意； C. ∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm 但 不能判断ABC和DEF相似符合题意； D. AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm ，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 30．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案． 【解析】解：A．若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意； B．若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意； C．若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意； D．若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法． 31．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（    ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有3个及以上但个数有限 D．有无数个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【解析】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能， 一种是6和8为直角边，则斜边为； 另一种可能是6是直角边，而8是斜边，则另一条直角边为； 另一个与它相似的直角三角形也有两种可能， 第一种是，解得； 第二种是，解得； 可以有2个． 故选：B． 32．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 33．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分与为对应边和与为对应边，两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【解析】解：是直角三角形， 以点D，C，O为顶点的三角形也是直角三角形， 点D在x轴上， ， 、、， ， 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 综上，这样的直线有4条， 故答案为：4． 题型8：相似三角形的判定与性质综合 34．（24-25九年级上·上海·阶段练习）中，点、在、上，，，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质定理得到答案． 【解析】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 35．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）△中，，，，点D、E分别在边、上，如果，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出，即可求解． 【解析】解：如图，∵，，，， ∴，, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 36．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，为上一点，，，，则 ． 【答案】 【分析】题考查了相似三角形的判定与性质，由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长． 【解析】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） 故答案为： 37．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先得到，然后根据对应边成比例解题即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【解析】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 39．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形是平行四边形，可得，即可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解析】解：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 40．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中线性质，以及中位线的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．由分别为的中点，分别是、的中点，得到是的中位线，推出，，进而得到，由相似三角形的性质即可判断选项A、B、C，再利用三角形中线性质，即可判断D项． 【解析】解：与是的中线， ，分别是、的中点， ，， ， ， 即， 故选项A错误，不符合题意； ， ， 故选项B错误，不符合题意； ， ， ， 故选项C正确，符合题意； 是的中线， ， 是的中线， 是的中点， 是的中线， ， ， ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 41．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是平行四边形得，证，进而判断即可． 【解析】解：在平行四边形中， ， ， ， A、，错误； B、，错误； C、，正确； D、．错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 42．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形 中，，若 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点G、F作、垂直，利用相似三角形对应边成比例即可得到与的比值． 【解析】解： 如图：过点G、F作、垂直， ∵在矩形中，， ∴，, ∵，, ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 43．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，与交于点，那么和的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质，延长交于G，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到，通过，得到，设，求得，由，得到，由，得到，即可得到结论． 【解析】解：如图延长交于G， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积比为：， 故选：B． 题型9：平面向量的线性运算 44．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，且，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．，方向相同 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．根据向量的和与差运算可以得到向量与的关系即可解答． 【解析】解：，，且， ，即， ，，与方向相反， ∴选项A，B，D正确，C错误， 故选：C 45．（23-24九年级下·上海闵行·阶段练习）如图，点E、F在对角线上，且，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，根据，得到，进而得到，利用三角形法则进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； 故答案为： 46．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，向量，根据大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化． 【解析】解：如图， ①由菱形图象可知，的大小，方向一样，故，①正确； ②这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确； ③，， ，故③正确； ④，， ，， 成立，④正确， 综上所述，正确的有：①②③④， 故选：D． 47．（22-23九年级下·上海·阶段练习）已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了向量的有关概念，解题的关键是熟练掌握向量的有关概念．根据向量相等的基本概念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同． 【解析】解：A、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意； B、，即，等式正确，符合题意； C、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意； D、与的方向不一定相同，无法推出，等式错误，不符合题意； 故选：B． 题型10：相似三角形的实际应用 48．（2023·上海黄浦·一模）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．    【答案】/ 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【解析】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 49．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图，将水平的平面镜放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．如果，米，米，米，那么该古城墙的高度是 米．    【答案】10 【分析】由题意得，，从而得到，由此得到，代入数据进行计算即可得到答案． 【解析】解：由题意得：，， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， 该古城墙的高度是10米， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 题型11：相似三角形的其他应用 50．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，与相交于F，则图中所有的相似三角形共有（    ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行解答即可． 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵与为对顶角，与为对顶角， ∴，， ∴，，，，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 综上分析可知，共有8对相似三角形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握两个三角形相似的判定方法． 51．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，是上的高，．如果矩形内接于中，点分别在边上，点在上，设，矩形的面积为，那么那么关于的函数关系式是 （不需写出的取值范围）    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，先证明,然后得到，即可得到，然后根据计算即可． 【解析】设与交于点,    ∵四边形是矩形, ∴, ∵, , ∴, ∵, ∴, ，即， 解得， ∴矩形的面积为， 故答案为:． 52．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点，给出下列结论： ①；②；③；④；其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】由正方形，与是等边三角形的性质求解，求解，从而可判断①；证明 ，可判断②；由，可判断③； 证明，再证明，可得，从而可判断 ④． 【解析】解： 正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， 故①符合题意； 正方形， ∴，， ， ， 是等边三角形， ， 而， ， ， 由， ， ， ，故②符合题意； ， 不相似，故③不符合题意； 正方形， ， ， ， ， ，故④符合题意， 综上：符合题意的有：①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 53．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在矩形中，是的中点，，交于点，由上述条件得到以下两个结论：①；②．对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，则，证明得到，，进而推出，进一步推出，由，可得，故②正确；证明，可得，故①错误． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 故选B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$