精品解析：北京市清华大学附属中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024—2025学年第一学期统一练习01 数学 （清华附中初22级）2024.09 一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，直线、相交于点，平分则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A B. C. ，且 D. ，且 5. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，． 给出下面三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___________. 10. 因式分解：____________． 11. 方程 的解为 ______ ． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，如果，那么的取值范围是______． 13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗个数 5 8 16 14 7 根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为__________万棵． 14. 如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为________． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的处，然后沿着射线退后到点，这时恰好在镜子里看到山头，利用皮尺测量米，若小宇的身高是米，则假山的高度为______米．（结果保留整数） 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：； 18. 解不等式组． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，的值． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p； c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0 （1）甲运动员这次试跳完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案） （2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由； （3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分． 24. 如图，在中，，是的中点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． （1）写出表中的值； （2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）求值（用含的代数式表示）； （2）点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 27. 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； （2）如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“双线关联点”． （1）已知，线段的两个端点分别为和，则在点，中，线段的“双线关联点”是___________： （2）是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，直接写出点的横坐标___________； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．若所有线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期统一练习01 数学 （清华附中初22级）2024.09 一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 如图，直线、相交于点，平分则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为是解题的关键． 先由对顶角性质求得，再根据角平分线的定义求出，再根据邻补角之和为计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， 又∵平分， ， ， 故选：C． 3. 已知，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且 故选：D． 5. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【详解】解：六边形的外角和是360°． 故选：C． 【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：D． 7. 如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，． 给出下面三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得，，，结合，求出，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明，得出，即可判断③，从而得解． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ，故①正确，符合题意； ，且， ，故②正确，符合题意； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故③正确，符合题意； 故选：D． 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 方程 的解为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，且， 一次函数的图像y随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k的正负性与一次函数的增减性之间的关系是解题的关键． 13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗个数 5 8 16 14 7 根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为__________万棵． 【答案】1.8 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在范围内的所占比，即可解题． 【详解】解：由题知，（万棵）， 故答案：． 14. 如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，，，， ， 故答案为：． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的处，然后沿着射线退后到点，这时恰好在镜子里看到山头，利用皮尺测量米，若小宇的身高是米，则假山的高度为______米．（结果保留整数） 【答案】14 【解析】 【分析】根据题意可得，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， 根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 【答案】 ①. ① ②. 1010 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案为：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将代入，即可求解， 本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ， 当时，． 20. 如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，结合可得，结合，可证四边形是平行四边形，再根据可证四边形是菱形； （2）先根据已知条件和（1）中结论证明是等边三角形，进而求出，，再利用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得． 解得 ∴， 答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 22. 在平面直角坐标系中，函数图象经过点， 且与y轴交于点 C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）函数的解析式为，点C的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式， （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式结合，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， 又， ∴， 解得：， ∴n的取值范围为． 23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p； c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0 （1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案） （2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由； （3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分． 【答案】（1）8.0，84； （2）<； （3）9.0分 【解析】 【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可； （2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案； （3）列方程求解即可． 【小问1详解】 解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5， 平均数=， ∴完成分P甲＝8.0； 得分A甲＝， 故答案为：8.0，84； 【小问2详解】 P甲'=， ∵7.5<8.0， ∴P甲'<P甲， 故答案为<； 【小问3详解】 由题意得， 解得， ∴这一跳乙的完成分P乙至少要达到9.0分． 【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键． 24. 如图，在中，，是的中点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据余角和对顶角的性质可得，即可证明． （2）连接，过点作的垂线，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，根据是的中点，，，得出，，，勾股定理可得，即，再根据余角和对顶角可得，得，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，过点作的垂线，垂足为，如图： ∵，是的中点，， ∴， ∵是的中点，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． （1）写出表中的值； （2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 【答案】（1） （2）①图见解析；② （3）不能 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可； ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【小问1详解】 解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， （）， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①补全水温与时间的函数图象如图所示： ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（）， 由此得， 解得， （分）， 根据表2的数据可知，经过分后水温降到了， ∴当时，． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分）， 由表2可知，水温从降到需要（分）， ∵，且电源已关闭， ∴出门前，他不能喝到低于的水． 故答案为：不能． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）求的值（用含的代数式表示）； （2）点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． （1）直接根据对称轴公式即可解答； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【小问1详解】 解：由题意得，对称轴为直线， 即． 【小问2详解】 解：． 理由如下： 令，得． ∴． ∴抛物线与x轴的两个交点为，． ∵抛物线与x轴的一个交点为，其中， ∴． ∵， ∴． ∴，． 设点关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由，得． ∴． ∴． ∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线开口向上． 当时，随的增大而增大． ∵点，，在抛物线上，且， ∴ 27. 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； （2）如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）依题意补全图形．连接，截取，连接交于N．根据证明得，，证明得，由三角形中位线可证，进而可得． 【小问1详解】 ∵，点D是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点G是的中点． 【小问2详解】 依题意补全图形． ． 证明：连接，截取，连接交于N． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴于N． ∵点D是中点， ∴， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“双线关联点”． （1）已知，线段的两个端点分别为和，则在点，中，线段的“双线关联点”是___________： （2）是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，直接写出点的横坐标___________； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．若所有线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2）①点的横坐标为或；② 【解析】 【分析】（1）当直线经过点，直线经过点，可得，值，即可得到直线，直线，联立即可求解第一种情况，当直线经过点，直线经过点时，同理可得第二种情况． （2）①将点代入，求出，即可得出，在按照（1）的步骤分情况谈论，当直线经过点，直线经过点时，或当直线经过点，直线经过点时，分别结合点纵坐标为，即可得出点的横坐标． ②设线段的双线关联点”为，由①得消元可得点在直线上运动，同理得点在直线上运动，在时，令慢慢变大，找到其一个交点和三个交点时的值，观察图象即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：，， ∴直线，直线， 联立得：， 解得：， 若直线经过点，直线经过点， 则代入得：，， ∴直线，直线， 联立得：， 解得：， 综上可得点是线段的“双线关联点”， 故答案为； 【小问2详解】 ①解：将点代入， 得，， 则， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得，， 解得：，， 求得直线，直线， 联立得：， 解得：， ∵点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为， 故， 解得：， ∴点的横坐标：． 因此；当直线经过点，直线经过点时， 同上可求，，， 联立得， 解得：， ∵点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为， 故， 解得：， ∴点横坐标：， 综上所述，点的横坐标为或； ②解：设线段的“双线关联点”为， 则由上可得， 由①得：， 消去可得：， ∴则点在直线上运动， 同理可求点在直线上运动， ∵线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上， ∴正方形与直线，直线恰好有两个交点， 当且很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着增大，当点落在直线上，此时个交点，不符合题意，如图： 则代入， 即， 解得：， 当继续增大，此时，则直线与正方形有个交点，符合题意，如图： 当继续增大，直至点落在直线， 则代入， 即： 解得， 此时有个交点，不符合题意，如图： 当时，此时有个交点，不符合题意，如图： ∴综上所述：当满足个交点时，． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，正方形的性质，坐标与图形，分情况讨论问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$