2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（苏科版）

2024-2025学年八年级上学期第一次月考试卷 数学试题 考试内容：第1至2章，满分120分，难度系数：0.65 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（　　） A． B． C．或 D．或 4．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第4题 第5题 5．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ）   A．15 B．30 C．45 D．60 6．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 第6题 7．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 第7题 第9题 8．在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点D，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B．C． D． 9．如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） 第10题 A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 第11题 第12题 12．如图，，，，，则 ． 13．如图所示的方格中， 度． 第13题 第14题 14．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 15．等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ． 16．如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 第16题 第17题 第18题 17．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 18．如图，为等腰的高，其中，， （用含α的代数式表示）；E，F分别为线段，上的动点，且，当且取最小值时，的度数为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 19．（本题6分）如图，已知，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 20．（本题6分）如图，在中，，，． (1)请用尺规作出边的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹，并在图中标明字母）； (2)连接，求的周长和的度数． 21．（本题6分）①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明） 22．（本题6分）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 23．（本题8分）如图，中，，于点D． (1)求证：； (2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 24．（本题8分）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； (3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 25．（本题10分）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）操作判断 如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现：，的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点为的中点”改为“点到顶点，的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 26． （本题10分）已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； (3)在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒（）时，线段长度取到最小值． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$第1页，共8页 2024-2025 学年八年级上学期第一次月考试卷 数学试题 考试内容：第 1至 2章，满分 120分，难度系数：0.65 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分） 1．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知 ABC ，下列尺规作图的方法中，能确定 BAD CAD∠ = ∠ 的是（ ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的腰长为8，腰上的高为4，则此三角形的顶角是（ ） A．30° B．150° C．30°或150° D．30°或120° 4．如图， ABC AEF≌△ △ ，则对于结论① AC AF= ，② FAB EAB∠ = ∠ ，③EF BC= ，④ EAB FAC∠ = ∠ ，其中正确结论的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第 4 题 第 5 题 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90C∠ = °，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC ， AB 于点 M N， ，再分别以点M N， 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线 AP 交边BC 于 点 D，若 4CD = ， 15AB = ，则 ABD△ 的面积是（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 第2页，共8页 6．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB OA、 重合，另一边相交于点 P，则OP 平分 BOA∠ 的依据 是（ ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 第 6 题 7．如图所示，有 、 、A B C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使 超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在 AC BC、 两边高线的交点处 B．在 AC BC、 两边中线的交点处 C．在 AC BC、 两边垂直平分线的交点处 D．在 A B∠ ∠、 两内角平分线的交点处 第 7 题 第 9 题 8．在 ABC 中， 90ABC∠ = °， AB BC> ，用无刻度的直尺和圆规在 AC 上找一点 D，使 ABD△ 为等腰 三角形，下列作法不正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，已知 ABC 中， 90ACB∠ = °， 40A∠ = °，在直线 AC 取一点 P，使得 PAB 是等腰三角形，则 符合条件的点 P 共有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 10．如图，已知Rt ABC△ ， AB AC= ，D为平面内一动点，BD AC= ， E 为BD上一点， 2BE DE= ， AB 上两点F ，G ， BF FG GA= = ．下面能表示CD AE+ 最小值的线段是（ ） 第 10 题 A．线段CA B．线段CG C．线段CF D．线段CB 第3页，共8页 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分） 11．如图，线段 AD与 BC 相交于点 O，连接 AB CD、 ，且OB OD= ，要使△ ≌△AOB COD ，应添加一个 条件是 （只填一个即可）． 第 11 题 第 12 题 12．如图， AOD BOC△ △≌ ， 30A∠ = °， 50C∠ = °， 145AOC∠ = °，则 COD∠ = ． 13．如图所示的方格中， 1 2 3∠ +∠ +∠ = 度． 第 13 题 第 14 题 14．如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 3，过 AB 边上一点 P 作PE AC⊥ 于点E Q， 为BC 延长线上一 点，取PA CQ= ，连接 PQ，交 AC 于点 M，则ME 的长为 ． 15．等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差4的三角形，若这个等腰三角形的一边长 为8，则等腰三角形的周长为 ． 16．如图，点 O 是 ABC 内一点， BO平分 ABC∠ ，OD BC⊥ 于点D，连接OA．若 3OD = ， 10AB = ，则 AOB 的面积是 ． 第 16 题 第 17 题 第 18 题 17．如图，点 D 在 ABC 内部，BD平分 ABC∠ ，且 AD BD⊥ ，连接CD．若 BCD△ 的面积为 2，则 ABC 的面积为 ． 18．如图，𝐴𝐴𝐴𝐴为等腰 ABC 的高，其中 ACB α∠ = ， AC BC= ， BAD∠ = （用含 α的代数式表 第4页，共8页 示）；E，F 分别为线段𝐴𝐴𝐴𝐴， AC 上的动点，且 AE CF= ，当 50α = °且 BF CE+ 取最小值时， AFB∠ 的度 数为 ． 三、解答题（本大题共 8小题，共 60分） 19．（本题 6 分）如图，已知 ,EA AC FD BD AE DF⊥ ⊥ =， ，若用“ HL ”证明Rt RtAEC DFB△ ≌ △ ，需添 加什么条件？写出来并证明． 20．（本题 6 分）如图，在 ABC 中， 6AB AC= = ， 4BC = ， 40A∠ = °． (1)请用尺规作出边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E（不写作法，保留作图痕迹，并在图中 标明字母）； (2)连接 BE ，求 EBC 的周长和 EBC∠ 的度数． 21．（本题 6 分）①如图，某地区要在区域S内建一个超市M ，按照要求，超市M 到两个新建的居民小 区A ， B 的距离相等，到两条公路OC ，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？ ( 本题要求：尺规 作图，不写作法，保留作图痕迹 ) 第5页，共8页 ②如图，在正方形网格中有一 ABC ，点A 、 B 、C 均在格点上， 5AB = ，点M 在线段 AB 上（点M 与 A 、 B 不重合），点 N 在线段BC 上（点 N 与 B 、C 不重合），若直线MN 恰好将 ABC 的周长和面积都平 分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线MN ，并用文字简要说明点M 和点 N 如何找到 的（不要求证明） 22．（本题 6 分）如图， 30HAB∠ = °，点 B 与点C 关于射线 AH 对称，连接 AC ．D点为射线 AH 上任意 一点，连接CD．将线段CD绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE，连接 BE ． (1)求证：直线EB是线段 AC 的垂直平分线； (2)点 D是射线 AH 上一动点，请你直接写出 ADC∠ 与 ECA∠ 之间的数量关系． 23．（本题 8 分）如图， ABC 中， AB AC= ，𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐵𝐵𝐵𝐵于点 D． (1)求证： ACD ABD△ ≌△ ； (2)过点 C 作𝐵𝐵𝐶𝐶 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵于点 E，CE交 AD于点 F，若CE AE= ．求证： 2AF CD= ． 第6页，共8页 24．（本题 8 分）已知点 P 为 EAF∠ 平分线上一点，PB AE⊥ 于 B，PC AF⊥ 于 C，点 M、N 分别是射线 AE AF、 上的点． (1)如图 1，当点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 的延长线上，且PM PN= ，求证：BM CN= ； (2)在（1）的条件下，直接写出线段 AM ，CN 与 AC 之间的数量关系 ； (3)如图 2，当点 M 在线段 AB 的延长线上，点 N 在线段 AC 上时，且 180MAN MPN∠ +∠ = °，若 8, 4AC PC= = ，求四边形 ANPM 的面积． 第7页，共8页 25．（本题 10 分）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）操作判断 如图 1，在 ABC 中， AB AC= ，点D为BC 的中点，DE AB⊥ 于点E ，DF AC⊥ 于点F ．在折叠等腰 三角形 ABC 纸片的过程中，不难发现：DE ， DF 的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图 2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点D为BC 的中点”改为“点D到 顶点 B ，C 的距离相等”，结论仍然成立．请你就图 2 的情形进行证明． （3）拓展应用 已知 ABC 是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当 DEB ， DFC△ 是等腰直角三角形时，请直接写 出 BDC∠ 的度数． 第8页，共8页 26． （本题 10 分）已知等腰 ABC 中， 20cmAB AC= = ， 30ABC∠ = °，CD AB⊥ 交 BA延长线于点 D， AF 为CA的延长线，点 P 从 A 点出发以每秒2cm 的速度在射线 AF 上向右运动，连接BP，以 BP为 边，在BP的左侧作等边 BPE ，连接 AE ． (1)如图 1，当BP AC⊥ 时，求证： ABP ACD≌△ △ ； (2)当点 P 运动到如图 2 位置时，此时点 D 与点 E 在直线 AP 同侧，求证： AP AB AE= + ； (3)在点 P 运动过程中，连接DE ，当点 P 运动多少秒（ 10t ≥ ）时，线段DE 长度取到最小值． 2024-2025学年八年级上学期第一次月考试卷 数学试题·全解全析 考试内容：第1至2章，满分120分，难度系数：0.65 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意； C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； D、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意； 故选：D． 3．若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论，为锐角三角形或钝角三角形，取斜边中点，利用等边三角形的判定与性质结合直角三角形的性质，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1， 由题意得，高线， ∴， 取中点为点K， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即顶角是， 如图2， 由题意得腰长，高线， ∴， 同上可求， 顶角， 所以，此三角形的顶角是或． 故选：C． 4．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ，，， 故①③正确； ∴ ∴ 故④正确， 无法证明，故②错误， 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 5．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据角平分线的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点到射线的距离相等， ∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴点在的平分线上， ∴平分，故A正确． 故选：A． 7．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 8．在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点D，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查基本尺规作图，涉及等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握相关性质是解答的关键．根据等腰三角形的判定及作图痕迹，结合相关性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A，由尺规作图可知：， ∴为等腰三角形， 故选项A的作法能使为等腰三角形，不符合题意； 对于选项B，由尺规作图可知：点D在线段的垂直平分线上， ∴，则为等腰三角形， 故选项B的作法能使为等腰三角形，不符合题意； 对于选项C，由尺规作图可知：点D是线段的中点， ∵是直角三角形，且， ∴，则为等腰三角形， 故选项C的作法能使为等腰三角形，不符合题意； 对于选项D，由尺规作图可知：是的平分线， 只有当时，，则是等腰三角形，但， 故选项D的作法不能使为等腰三角形，符合题意． 故选：D． 9．如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 10．如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．观察图形可知：已有一角一边对应相等．根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：添加条件， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，，，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，有全等三角形的性质可得出，再利用三角形内角和定理可得出，最后再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图所示的方格中， 度． 【答案】135 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识．证明，推出，推出，可得结论． 【详解】解：由题意得，， ， 由题意得，，， ， ， ， ． 故答案为：135． 14．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，进而分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线， 根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长， ∵是腰上的中线， ∴， 当时，， 若，则 解得，此时的周长为； 若，则解得，此时的周长为； 当时， 若，则 解得， ∴， 此时的周长为； 若，则解得， ∴， ∵，，不符合三角形的条件， ∴此情形应舍去， 故答案为：或或． 16．如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过作于点， 平分，于点， ， 的面积， 故答案为：15． 17．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题主要是考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，然后证得，得出，根据中点定义可得的面积为面积的2倍． 【详解】延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ． ∴， ， ，， ． 故答案为：4． 18．如图，为等腰的高，其中，， （用含α的代数式表示）；E，F分别为线段，上的动点，且，当且取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 根据等腰三角形性质可知，再由直角三角形两锐角互余求出，根据即可求出， 作，且，连接交于M，连接，证明，得到，，当B、F、H三点共线时，即当F为与的交点时，即可求出最小值，由等腰直角三角形性质求出． 【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接， 是等腰三角形，， ，， ， 当且取最小值时， ， ， ， ， 在与中， ， ， ∵， ∴当B、F、H三点共线时，即当F为与的交点时，如图2，的值最小， 此时， ， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 19．（本题6分）如图，已知，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据“”证明，已知，则添加（斜边相等）即可证明． 【详解】解：条件是， ， ， 和是直角三角形， 证明：在和中， ， ． 20．（本题6分）如图，在中，，，． (1)请用尺规作出边的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹，并在图中标明字母）； (2)连接，求的周长和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是10，的度数是 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角. （1）分别以A、B两点圆心，以大于长一半的长度为半径画弧，两弧交于不同两点，过这两个交点作直线，交于点D，交于点E，即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得出，再线段的垂直平分线的性质得到，得到，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1即为所求作． （2）解：如图2，连接． 因为，， 所以， 因为垂直平分， 所以，， 所以， 的周长为． 21．（本题6分）①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明） 【答案】①见解析；②见解析 【分析】①由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以超市在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以超市在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案． ②在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】解：①分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建超市的位置． ②如图，在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 理由：如图，取的中点，连接，作格点，交、于、， ， 根据勾股定理求得， ∵， 的周长,； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（）， ∴， ∴的周长的一半，， ∴直线恰好将的周长和面积都平分 22．（本题6分）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)当为钝角时，；当为锐角时， 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）连接，，，可得为等边三角形，再利用证明，得，从而证明结论； （2）分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，，， 点与点关于射线对称，， ，， ， ， 为等边三角形，， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分； （2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知， ， 如图，当为锐角时， ，， ． 23．（本题8分）如图，中，，于点D． (1)求证：； (2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由直角三角形的性质可得，，从而得出，再由“”可证，可得，再证明即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 24．（本题8分）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； (3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)32 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，可证明，可得，再证明，可得，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 25．（本题10分）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）操作判断 如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现：，的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点为的中点”改为“点到顶点，的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）相等；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）分点在内部和点在外部两种情况讨论，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）证明：相等，理由如下： ，点为的中点， 是的角平分线， ，， ； 故答案为：相等； （2）证明：结论仍成立，理由如下： ， ， 点到顶点，的距离相等， ， ， ，即， ，， ， ； （3）解：若点在内部，如图所示：    是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 若点在外部，如图所示：    是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 综上所述，的度数为或． 26． （本题10分）已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； (3)在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒（）时，线段长度取到最小值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)当点P运动秒时，线段长度取到最小值 【分析】（1）利用“”即可直接证明； （2）在上取一点T，使得，先证明是等边三角形，再证明即可； （3）分当点D与点E在直线AP同侧时和当点D与点E在直线两侧时来讨论，确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，问题随之得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）证明：如图，在上取一点T，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点D与点E在直线AP同侧时， 由（2）中有：是等边三角形，即， ∴， 则根据可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点D与点E在直线两侧时，如图， 在上截取， ∵， ∴结合对顶角相等，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即运动过程中，所在的直线平分， 则有点E在的角平分线l上运动， 当时，取到最短．此时，，点D与点E在直线AP同侧时． ∵中，，， ∴． ∵中，，， ∴． ∴根据（2）的结论，有， ∴． 即：当点P运动时，线段长度取到最小值． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$