专题2.5 二次根式与实数运算【60大题，160小题】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题2.5 二次根式与实数运算【60大题，160小题】（北师大版） 题组一 二次根式的乘除 1 题组二 二次根式的加减 3 题组三 二次根式的混合运算 4 题组四 二次根式的化简求值 6 题组五 实数与二次根式的运算 9 题组一 二次根式的乘除 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a≥0；b≥0）． 2．计算： （1）3； （2）（5）÷3； （3）（7）÷（2）； （4）． 3．计算： 4．计算： ． ． ． ． 5．化简下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 6．计算： （1） （2） （3） （4）2÷×． 7．计算： （1） （2）4×（﹣3） （3）×（a≥0） （4）× （5）×× （6）•（m≥0） （7）•（a≥0，b≥0） （8）× （9）× （10）•（x≥0，y≥0） 8．计算： （1）÷×（）； （2）×（）÷． 9．计算： （1） （2） （3）÷ （4）（）． 10．计算： （1）﹣3； （2）； （3）； （4）． 题组二 二次根式的加减 11．计算：（1）； （2）． 12．计算． 13．计算 （1）； （2） （3）． 14．计算 （1）2﹣7 （2）（+）+（﹣） （3）﹣9+3． 15．计算下列各式： （1） （2） （3） （4）． 16．化简：． 17．计算：（﹣﹣6）﹣2（﹣）． 18．计算： （1）． （2）++． （3）（﹣4）﹣（3﹣4）． （4）3﹣5+7． 19．计算： （1）+2﹣4﹣　 （2）（﹣2）﹣（+） （3）+6﹣2x． 20．计算： （1）3+4﹣5+； （2）3﹣5+4﹣3； （3）（﹣+2）﹣（﹣）． 题组三 二次根式的混合运算 21．计算： （1）； （2）． 22．（1）﹣× （2）（+1）（﹣1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|+﹣（π﹣3）0． 23．计算： （1）； （2）． 24．计算： （1）． （2）． （3）． 25．计算： （1）÷﹣2×+； （2）（2﹣3）2﹣（﹣）（+）． 26．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 27．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 28．计算： （1）； （2）． （3）． （4）+|﹣2|． 29．计算下列各小题： （1）； （2）； （3）． 30．计算： （1）； （2）|2﹣|﹣． 题组四 二次根式的化简求值 31．已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 32．已知：； （1）a+b＝　 　，ab＝　 　； （2）求a2+b2﹣ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 33．已知，求下列式子的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣5ab+b2． 34．已知a＝1+，b＝1﹣，求： （1）求a2﹣2a﹣1的值； （2）求a2﹣ab+b2的值． 35．已知，求代数式的值． 36．已知，求代数式（x﹣1）（x﹣3）的值． 37．例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 38．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2，c＝3． 39．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小军用来表示的小数部分，你同意小军的表示方法吗？ 事实上小军的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：，即1，所以的整数部分是1，小数部分是． 请回答下列问题： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　． （2）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． （3）已知a是的整数部分，b是其小数部分，先化简，再求值：． 40．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决问题“已知＝，求3a2﹣12a+4的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵a＝， ∴a﹣2＝， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴3a2﹣12a+4＝3（a2﹣4a）+4＝﹣3+4＝1． 任务：（1）化简：＝　 　． （2）若a＝，求2a2﹣12a﹣5的值． 41．先化简，再求值：，其中，y＝27． 42．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， 所以a2﹣4a＝﹣1， 所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． （1）化简：＝　 　； （2）化简：； （3）比较大小：与的大小； （4）若，按照小明的做法求a2﹣4a+4的值． 43．【资料阅读】杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程如下： a3﹣b3 ＝a3﹣a2b+a2b﹣b3 ＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2） ＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）[a2+b（a+b）] ＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 【方法提取】（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）．（从左往右推导） 【学以致用】（2）已知，xy＝9，求x3﹣8y3的值． 44．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣， ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝　 　； （2）化简+++……+； （3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 45．【阅读材料】问题：已知，求x2﹣2x+2的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴（x﹣1）2＝3． ∴x2﹣2x+1＝3 ∴x2﹣2x＝2． ∴x2﹣2x+2＝2+2＝4． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵x2﹣2x+2 ＝x2﹣2x+1+1 ＝（x﹣1）2+1 ∴当时， 原式＝ ＝3+1＝4 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求x2+6x﹣4的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求6x3+11x2的值． 题组五 实数与二次根式的运算 46．计算：+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0﹣2﹣1． 47．计算：． 48．计算：+﹣+． 49．计算： （1）﹣﹣ （2）|﹣|+|﹣1|+（）2． 50．计算： （1）a3•a5+（3a4）2； （2）； （3）． 51．计算： （1）； （2）π0﹣|； （3）﹣12024+|1﹣|﹣． 52．计算： （1）； （2）． 53．计算： （1）； （2）． 54．计算题： （1）x2﹣81＝0； （2）（x﹣1）3＝64； （3）； （4）； （5）； （6）． 55．计算： （1）|﹣2|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（）﹣1； （2）÷﹣×+． 56．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）|﹣2|； （6）． 57．计算： （1）； （2）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0． 58．计算： （1）； （2）． 59．计算： （1）； （2）． 60．计算： （1）； （2）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 二次根式与实数运算【60大题，160小题】（北师大版） 题组一 二次根式的乘除 1 题组二 二次根式的加减 7 题组三 二次根式的混合运算 7 题组四 二次根式的化简求值 16 题组五 实数与二次根式的运算 25 题组一 二次根式的乘除 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a≥0；b≥0）． 【解答】解：（1）原式＝＝6a； （2）原式＝2＝2； （3）原式＝＝7； （4）原式＝2＝10a； （5）原式＝﹣3a＝﹣18ab． 2．计算： （1）3； （2）（5）÷3； （3）（7）÷（2）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝＝＝； （2）原式＝＝＝﹣； （3）原式＝＝＝﹣﹣； （4）原式＝＝＝+． 3．计算： 【解答】解：由原式可判断x＞0，y＞0， ∴原式＝ ＝ ＝． 4．计算： ． ． ． ． 【解答】解：＝3×＝3， ＝3×5＝30， ＝﹣5××××3×3＝﹣30， ＝×（﹣）＝﹣． 5．化简下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝7； （2）原式＝ ＝×× ＝2××13 ＝； （3）原式＝ ＝6； （4）原式＝18 ＝108x3y； （5）原式＝ ＝x； （6）原式＝﹣ ＝﹣4． 6．计算： （1） （2） （3） （4）2÷×． 【解答】解：（1）原式＝＝＝； （2）原式＝＝＝|x|； （3）原式＝＝＝； （4）原式＝4÷×＝×＝． 7．计算： （1） （2）4×（﹣3） （3）×（a≥0） （4）× （5）×× （6）•（m≥0） （7）•（a≥0，b≥0） （8）× （9）× （10）•（x≥0，y≥0） 【解答】解：（1）＝10； （2）4×（﹣3）＝﹣12×4＝﹣48； （3）×（a≥0）＝3a2； （4）×＝9； （5）×× ＝×， ＝×6×2 ＝4； （6）•（m≥0） ＝ ＝4m； （7）•（a≥0，b≥0） ＝ ＝15a2b； （8）×＝＝6； （9）×＝＝＝2； （10）•（x≥0，y≥0）＝＝2xy2． 8．计算： （1）÷×（）； （2）×（）÷． 【解答】解：（1）÷×（） ＝×（）， ＝﹣， ＝﹣×， ＝﹣； （2）×（）÷ ＝×（﹣）×3， ＝﹣， ＝﹣6a． 9．计算： （1） （2） （3）÷ （4）（）． 【解答】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝200＝200x； （3）原式＝＝×＝； （4）原式＝＝． 10．计算： （1）﹣3； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝﹣3×24＝﹣72； （2）原式＝＝2； （3）原式＝﹣＝﹣4； （4）原式＝＝10． 题组二 二次根式的加减 11．计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝6++﹣4＝﹣； （2）根据题意可知ab≠0， ①当a＞0，b＞0时，原式＝4+2﹣3﹣3＝0； ②当a＜0，b＜0时，原式＝﹣4﹣2+3﹣3＝﹣6． 12．计算． 【解答】解：原式＝3﹣﹣1﹣+﹣1＝． 13．计算 （1）； （2） （3）． 【解答】解：（1）原式＝3+6+﹣5 ＝； （2）原式＝×﹣（×+3×+×） ＝﹣﹣﹣ ＝； （3）原式＝（4b×+×a）﹣（3a×+3） ＝4+2﹣3﹣3 ＝0． 14．计算 （1）2﹣7 （2）（+）+（﹣） （3）﹣9+3． 【解答】解：（1）2﹣7 ＝2﹣14+12 ＝0； （2）（+）+（﹣） ＝4+2+2﹣ ＝6+； （3）﹣9+3 ＝4﹣3+6 ＝7． 15．计算下列各式： （1） （2） （3） （4）． 【解答】解：（1）原式＝﹣﹣2++ ＝﹣﹣； （2）原式＝2﹣﹣﹣+3 ＝+； （3）原式＝3﹣++ ＝； （4）原式＝2x+6+﹣x ＝x+7． 16．化简：． 【解答】解：设，则（）， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝． 又∵x≥0， ∴x+3＞0，x+1＞0． ∴原式＝． 17．计算：（﹣﹣6）﹣2（﹣）． 【解答】解：原式＝﹣﹣2﹣2+ ＝2﹣﹣﹣+2 ＝﹣． 18．计算： （1）． （2）++． （3）（﹣4）﹣（3﹣4）． （4）3﹣5+7． 【解答】解：（1）原式＝2+2﹣ ＝+2； （2）原式＝++ ＝； （3）原式＝2﹣﹣+2 ＝+； （4）原式＝3﹣10+21 ＝14． 19．计算： （1）+2﹣4﹣　 （2）（﹣2）﹣（+） （3）+6﹣2x． 【解答】解：（1）原式＝+2﹣﹣ ＝2﹣； （2）原式＝﹣2﹣+ ＝2﹣1﹣+5+4 ＝（2﹣+5+4）﹣1 ＝﹣1； （3）原式＝2+3﹣2 ＝3． 20．计算： （1）3+4﹣5+； （2）3﹣5+4﹣3； （3）（﹣+2）﹣（﹣）． 【解答】解：原式＝（3﹣5）+（4+） ＝﹣2+； （2）原式＝（3+4）+（﹣5﹣3） ＝7﹣8； （3）原式＝（3﹣+）﹣（﹣2） ＝3﹣+﹣+2 ＝（3﹣﹣）+（+2） ＝+． 题组三 二次根式的混合运算 21．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝2﹣1 ＝1． 22．（1）﹣× （2）（+1）（﹣1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|+﹣（π﹣3）0． 【解答】解：（1）原式＝﹣+2 ＝4﹣+2 ＝4+； （2）原式＝6﹣1﹣9+﹣1+3﹣1 ＝4﹣6． 23．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）解： ＝ ＝； （2） ＝ ＝3﹣2+2 ＝3． 24．计算： （1）． （2）． （3）． 【解答】解：（1） ＝2﹣ ＝； （2） ＝2+2+3+2﹣2+3 ＝10； （3） ＝15﹣10+6﹣6 ＝9﹣4． 25．计算： （1）÷﹣2×+； （2）（2﹣3）2﹣（﹣）（+）． 【解答】解：（1）÷﹣2×+ ＝﹣2+2 ＝﹣2+2 ＝4﹣2+2 ＝4； （2）（2﹣3）2﹣（﹣）（+） ＝12﹣12+18﹣（6﹣5） ＝29﹣12． 26．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）＝＝； （2）＝＝＝＝； （3）＝＝＝； （4）＝＝＝＝﹣13． 27．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1） ＝ ＝． （2） ＝ ＝ ＝12﹣18 ＝﹣6． （3） ＝ ＝ ＝． （4） ＝ ＝ ＝ ＝． 28．计算： （1）； （2）． （3）． （4）+|﹣2|． 【解答】解：（1） ＝3﹣2+ ＝3﹣2+2 ＝3； （2） ＝4﹣10+6+2 ＝2； （3） ＝2﹣2+3﹣（18﹣12） ＝2﹣2+3﹣6 ＝﹣2﹣1； （4）﹣2| ＝1﹣3+（﹣2）+2﹣ ＝1﹣4． 29．计算下列各小题： （1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式＝﹣4 ＝2﹣4 ＝﹣2； （2）原式＝2+×3 ＝2+2 ＝4； （3）原式＝7﹣6+1﹣2+6 ＝8﹣2． 30．计算： （1）； （2）|2﹣|﹣． 【解答】解：（1）原式＝4+2﹣2+ ＝2+3； （2）原式＝2﹣﹣+ ＝2﹣﹣+ ＝2﹣﹣+ ＝． 题组四 二次根式的化简求值 31．已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2， ∴a+b＝+2+﹣2＝2， a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4， （1）a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2 ＝42 ＝16； （2）a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝2×4 ＝8． 32．已知：； （1）a+b＝　14　，ab＝　25　； （2）求a2+b2﹣ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【解答】解：（1）∵， ∴，； 故答案为：14，25； （2）∵a+b＝14，ab＝25， ∴a2+b2﹣ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝142﹣3×25 ＝196﹣75＝121； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 33．已知，求下列式子的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣5ab+b2． 【解答】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 34．已知a＝1+，b＝1﹣，求： （1）求a2﹣2a﹣1的值； （2）求a2﹣ab+b2的值． 【解答】解：（1）∵a＝1+， ∴a2﹣2a﹣1＝a2﹣2a+1﹣2＝（a﹣1）2﹣2＝（1+﹣1）2﹣2＝2﹣2＝0； （2）∵a＝1+，b＝1﹣， ∴a+b＝2，ab＝1﹣2＝﹣1， ∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝22﹣3×（﹣1）＝7． 35．已知，求代数式的值． 【解答】解：∵， ∴ ＝ ＝ ＝49﹣48+1+1 ＝3． 36．已知，求代数式（x﹣1）（x﹣3）的值． 【解答】解：将，代入（x﹣1）（x﹣3），得： ＝ ＝2﹣1 ＝1． 37．例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴的整数部分为b＝5， ∴＝2； （2）∵， ∴， ∴， 即13＜x+y＜14， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝13，， 则， 那么x﹣y的相反数为． 38．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2，c＝3． 【解答】解：设a+b+c＝x， ＝ ＝ ＝， ∵a＝2，b＝2，c＝3， ∴x＝a+b+c＝2+2+3＝7， ∴x﹣2a＝7﹣2×2＝3，x﹣2b＝7﹣2×2＝3，x﹣2x＝7﹣2×3＝1， ∴原式＝． 39．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小军用来表示的小数部分，你同意小军的表示方法吗？ 事实上小军的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：，即1，所以的整数部分是1，小数部分是． 请回答下列问题： （1）的整数部分是 　3　，小数部分是 　﹣3　． （2）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． （3）已知a是的整数部分，b是其小数部分，先化简，再求值：． 【解答】解：（1）∵3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是﹣3， 故答案为：3，﹣3； （2）∵3＜＜4， ∴10＜7+＜11， ∵，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝10，y＝7+﹣10＝﹣3， ∴x﹣y的相反数为y﹣x＝﹣3﹣10＝﹣13， 即x﹣y的相反数是﹣13； （3）∵3＜＜4， ∴﹣4＜﹣＜﹣3， ∴5＜9﹣＜6， ∴9﹣的整数部分是5，小数部分是9﹣﹣5＝4﹣，即a＝5，b＝4﹣， 原式＝6a2b﹣a﹣6a2b+3b﹣3 ＝﹣a+3b﹣3 ＝﹣5+12﹣3﹣3 ＝4﹣3． 40．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决问题“已知＝，求3a2﹣12a+4的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵a＝， ∴a﹣2＝， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴3a2﹣12a+4＝3（a2﹣4a）+4＝﹣3+4＝1． 任务：（1）化简：＝　　． （2）若a＝，求2a2﹣12a﹣5的值． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝， 故答案为：； （2）∵＝3， ∴a﹣3＝， ∴（a﹣3）2＝7， ∴a2﹣6a＝﹣2， ∵2a2﹣12a﹣5＝2（a2﹣6a）﹣5＝2×（﹣2）﹣5＝﹣9． 41．先化简，再求值：，其中，y＝27． 【解答】解：∵x＝＞0，y＝27＞0， ∴原式＝5﹣﹣4+ ＝， 当x＝，y＝27时，原式＝＝＝3． 42．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， 所以a2﹣4a＝﹣1， 所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． （1）化简：＝　　； （2）化简：； （3）比较大小：与的大小； （4）若，按照小明的做法求a2﹣4a+4的值． 【解答】解：（1）； （2）原式＝ ＝ ＝． （3）， ， ∵， ∴， ∴． （4）∵， ∴， 则， 左右同时平方可得：（a﹣2）2＝5， ∴a2﹣4a﹣1＝（a﹣2）2﹣5＝5﹣5＝0， 所以原式＝5． 43．【资料阅读】杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程如下： a3﹣b3 ＝a3﹣a2b+a2b﹣b3 ＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2） ＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）[a2+b（a+b）] ＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 【方法提取】（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）．（从左往右推导） 【学以致用】（2）已知，xy＝9，求x3﹣8y3的值． 【解答】解：（1）a3+b3 ＝a3+a2b﹣a2b+b3 ＝a2（a+b）﹣b（a2﹣b2） ＝a2（a+b）﹣b（a+b）（a﹣b） ＝（a+b）（a2﹣ab+b2）； （2）∴x2﹣8y3 ＝（x﹣2y）（x2+2xy+4y2） ＝（x﹣2y）（x2﹣4xy+4y2+6xy） ＝（x﹣2y）[（x﹣2y）2+6xy] ∵，xy＝9， ∴原式＝ ＝． 44．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣， ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝　﹣　； （2）化简+++……+； （3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 【解答】解：（1）＝＝﹣； 故答案为﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣1 ＝13﹣1 ＝12； （3）∵a＝＝+2， ∴a﹣2＝， ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3 ＝a2×1﹣4a+3 ＝a2﹣4a+3 ＝1+3 ＝4． 45．【阅读材料】问题：已知，求x2﹣2x+2的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴（x﹣1）2＝3． ∴x2﹣2x+1＝3 ∴x2﹣2x＝2． ∴x2﹣2x+2＝2+2＝4． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵x2﹣2x+2 ＝x2﹣2x+1+1 ＝（x﹣1）2+1 ∴当时， 原式＝ ＝3+1＝4 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求x2+6x﹣4的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求6x3+11x2的值． 【解答】解：（1）由题意，∵x2+6x﹣4＝（x+3）2﹣13， 又x＝﹣3， ∴x2+6x﹣4＝（﹣3+3）2﹣13＝5﹣13＝﹣8． （2）由题意，x2＝，6x＝2﹣4． ∴6x3+11x2＝x2（6x+11）＝（14﹣4）（2+7）＝×18＝2． 题组五 实数与二次根式的运算 46．计算：+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0﹣2﹣1． 【解答】解：+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0﹣2﹣1 ＝9+4×（﹣1）﹣8+1﹣0.5 ＝9﹣4﹣8+1﹣0.5 ＝﹣2.5． 47．计算：． 【解答】解：原式＝＝． 48．计算：+﹣+． 【解答】解：原式＝8+3﹣+2﹣﹣1 ＝﹣． 49．计算： （1）﹣﹣ （2）|﹣|+|﹣1|+（）2． 【解答】解：（1）原式＝3﹣6+3＝0； （2）原式＝﹣+﹣1+2＝+1． 50．计算： （1）a3•a5+（3a4）2； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式＝a8+9a8＝10a8； （2）原式＝|2﹣3|+3﹣1＝1+3﹣1＝3； （3）原式＝． 51．计算： （1）； （2）π0﹣|； （3）﹣12024+|1﹣|﹣． 【解答】解：（1） ＝4﹣1+4 ＝7； （2） ＝1﹣2+3﹣1 ＝1； （3） ＝ ＝ ＝． 52．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝ ＝． 53．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝11﹣5+3﹣+ ＝9． （2） ＝﹣1﹣（﹣1） ＝﹣1﹣+1 ＝﹣． 54．计算题： （1）x2﹣81＝0； （2）（x﹣1）3＝64； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解答】解：（1）x2﹣81＝0， x2＝81， x＝±9； （2）（x﹣1）3＝64， （x﹣1）3＝43， x﹣1＝4， x＝5； （3） ＝ ＝； （4） ＝﹣2+π﹣3+3﹣π ＝﹣2； （5） ＝2﹣（﹣3）﹣2 ＝3； （6） ＝ ＝． 55．计算： （1）|﹣2|+（﹣2）2+（7﹣π）0﹣（）﹣1； （2）÷﹣×+． 【解答】解：（1）原式＝2+4+1﹣3＝4； （2）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+． 56．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）|﹣2|； （6）． 【解答】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝； （5）原式＝2﹣1+2＝3； （6）原式＝﹣1+4﹣1﹣3＝﹣1． 57．计算： （1）； （2）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0． 【解答】解：（1） ＝ ＝； （2） ＝ ＝． 58．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+2+1﹣2＝； （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 59．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝． 60．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝1+2﹣（﹣3） ＝6； （2） ＝ ＝． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$