专题2.7 实数单元知识总结【16大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题2.7 实数单元知识总结【10大题型】（北师大版） 题组一 平方根与算术平方根 1 题组二 立方根 1 题组三 二次根式非负性 2 题组四 根式的估值 2 题组五 二次根式有意义 3 题组六 二次根式整数小数部分 3 题组七 同类二次根式 4 题组八 二次根式的性质 4 题组九 二次根式的乘除的理解 5 题组十 二次根式的混合运算 5 题组十一 二次根式化简求值 6 题组十二 运用平方根性质解方程 6 题组十三 分母有理化 7 题组十四 分子有理化 8 题组十五 复合二次根式 9 题组十六 二次根式求最值 10 题组一 平方根与算术平方根 1．关于“9的平方根是±3”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．（﹣3）2的平方根是﹣3 3．化简的结果是（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．9 4．一个数的平方根是﹣2m+1和m+1，则这个数是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．9 5．的算术平方根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 题组二 立方根 6．下列说法中，正确的是（　　） A．＝±3 B．﹣64的立方根是﹣4 C．﹣5的算术平方根是 D．0.01的平方根是0.1 7．若，则的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．15 D．25 8．的立方根是（　　） A．2 B．±2 C．8 D．﹣8 9．下列运算正确的是（　　） A．（﹣1）2022＝﹣1 B．﹣22＝4 C．＝±3 D．＝﹣3 10．一个自然数的立方根为a，则下一个自然数的立方根是（　　） A．a+1 B． C． D．a3+1 题组三 二次根式非负性 11．已知，则的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．4 12．已知y＝，则x3+y2009的值是（　　） A．5 B．﹣9 C．7 D．不能确定 13．若y＝﹣6，则xy的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 14．已知y＝﹣3，则5xy的值是（　　） A．﹣15 B．15 C． D． 15．已知y＝5+，则y的值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．0 题组四 根式的估值 16．估计﹣1的值（　　） A．在3和4之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间 17．估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 18．估算的值（　　） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在3和4之间 D．在6和7之间 19．估计（3﹣）×的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 20．估计的值（　　） A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在4和5之间 D．在3和4之间 题组五 二次根式有意义 21．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 22．在，，，中，一定有意义的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 23．若代数式有意义的m的取值范围为（　　） A．m≥2 B．m≤2 C．m＜2 D．m＞2 24．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1 25．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≠2 C．x≥1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2 题组六 二次根式整数小数部分 26．的整数部分为m，小数部分为n，则m﹣n的值为（　　） A． B． C． D． 27．已知的小数部分为A，的小数部分是B，则A+B的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．已知的整数部分为a，小数部分为b，则3a+2b的值为（　　） A． B． C． D．5 29．若的整数部分是m，小数部分是n，则|n﹣m|为（　　） A． B． C． D．8 30．已知x是的整数部分，y是的小数部分，且+|2b2﹣2|＝0，则+b（﹣y）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0或4 D．2或﹣2 题组七 同类二次根式 31．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　 　． 32．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 　 　． 33．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 　 　． 34．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　 　． 35．若最简二次根式和是同类二次根式，则＝　 　． 题组八 二次根式的性质 36．＝　 　． 37．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简得结果是 　 　． 38．已知a，b，c为三角形的三边，则＝　 　． 39．化简：＝　 　． 40．计算：＝　 　． 题组九 二次根式的乘除的理解 41．已知，且x是偶数，则的值为 　 　． 42．若＝，则x的取值范围为　 　． 43．化简：＝　 　． 44．能使成立的所有整数a的和是 　 　． 45．计算：＝　 　． 题组十 二次根式的混合运算 46．（1）； （2）； （3）； （4）． 47．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 48．计算下列各题 （1）； （2）； （3）． 49．计算： （1）； （2）（3）； （3）． 50．计算： （1）2+﹣； （2）（﹣）﹣1﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|； （3）÷﹣×+； （4）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2． 题组十一 二次根式化简求值 51．若x＝，y＝，求x2﹣xy+y2的值． 52．已知x＝，求的值． 53．已知，； （1）求x+y，x﹣y和xy的值； （2）求x2﹣3xy+y2+1943的值． 54．已知x＝，y＝，求的值． 55．已知：x＝，y＝．求值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣3xy+y2． 题组十二 运用平方根性质解方程 56．运用平方根的定义探索下列问题： （1）若x2＝25，则x＝　 　； （2）解方程：（2y+1）2＝25． 57．求下列各式中x的值． （1）x2﹣49＝0； （2）﹣64x2+＝0； （3）（1﹣2x）2＝1； （4）9（3x+1）2＝64； 58．用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 59．解方程：x2﹣4x+1＝0． 60．解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 题组十三 分母有理化 1．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　 　； （2）计算：+++⋯+＝　 　； （3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值． 2．在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1 ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小光的解题过程，解决如下问题： （1）＝　 　； （2）化简； （3）若，求a4+6a3+6a+2023的值． 3．阅读材料并解决问题： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知，．试求a的值． 题组十四 分子有理化 4．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较c＝4大小，c 　 　d（填写“＞”“＜”或“＝”）． （2）猜想m＝2之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，． ∵，∴． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 5．二次根式的计算中，有一种方法叫做“分子有理化”，即分母和分子同时乘以一个适当的因式，从而消除分子中的根式． 比如：． “分子有理化”可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些代数式的最值问题． 例如：比较和的大小． 解：，． 因为， 所以，即． 再例如，求代数式的最大值．做法如下： 解：由x+2≥0且x﹣2≥0可知：x≥2，而 ＝ 当x＝2时，分母有最小值2，所以原式的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较和的大小； （2）求代数式的最大值． 6．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： （1）化简； （2）比较与的大小，并说明理由． 题组十五 复合二次根式 7．我们已经学习了整式的乘法，其中完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用这个公式可把3+2配成完全平方的形式：3+2＝（）2+2+12＝（+1）2． （1）根据上述方法，请把下列各式都配成完全平方的形式： ①8﹣2；②1﹣；③8+4；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）； （2）已知x＝8+4，求﹣的值； （3）计算： +++++++． 8．阅读以下材料，解决后续问题： 材料：①我们学习过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，其中形如a2±2ab+b2 的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式， 比如：＝＝＝＝+1， ＝＝＝＝﹣1． ②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如64＝82，则64是一个完全平方数．完全平方数有如下因数特征：若N＝ab（a、b为互质的整数）为完全平方数，则a、b均为完全平方数 （1）化简 ① ② （2）已知m、n均为正整数，设N＝11（m+8n）为完全平方数，且＜33，求m+n的值． 9．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）若a+4＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 题组十六 二次根式求最值 10．已知a、b均为正数，且a+b＝2，求W＝的最小值． 11．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知0＜x＜1，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP＝x，则PC＝1﹣x． 则＝线段 　 　+线段 　 　； （2）在（1）的条件下，已知0＜x＜1，求的最小值． 12．阅读材料： 对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）． 当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值． 例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值． 解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2． 根据上面的阅读材料回答下列问题： （1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝　 　时，y有最小值，最小值为 　 　． （2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？ （3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 实数单元知识总结【10大题型】（北师大版） 题组一 平方根与算术平方根 1 题组二 立方根 2 题组三 二次根式非负性 3 题组四 根式的估值 5 题组五 二次根式有意义 5 题组六 二次根式整数小数部分 8 题组七 同类二次根式 9 题组八 二次根式的性质 9 题组九 二次根式的乘除的理解 11 题组十 二次根式的混合运算 12 题组十一 二次根式化简求值 13 题组十二 运用平方根性质解方程 16 题组十三 分母有理化 17 题组十四 分子有理化 19 题组十五 复合二次根式 23 题组十六 二次根式求最值 25 题组一 平方根与算术平方根 1．关于“9的平方根是±3”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：关于“9的平方根是±3”， 应表示为． 故选：C． 2．下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．（﹣3）2的平方根是﹣3 【解答】解：A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意； D、（﹣3）2的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 3．化简的结果是（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．9 【解答】解：＝3． 故选：C． 4．一个数的平方根是﹣2m+1和m+1，则这个数是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．9 【解答】解：由题意得：（﹣2m+1）+（m+1）＝0， 即﹣m+2＝0， 解得m＝2， ∴﹣2m+1＝﹣3，m+1＝3， ∵， ∴这个数是9， 故选：D． 5．的算术平方根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 【解答】解：＝9，则9的算术平方根3， 故选：C． 题组二 立方根 6．下列说法中，正确的是（　　） A．＝±3 B．﹣64的立方根是﹣4 C．﹣5的算术平方根是 D．0.01的平方根是0.1 【解答】解：A、因为，所以本选项错误； B、因为﹣64的立方根是﹣4，所以本选项正确； C、因为负数没有平方根，所以本选项错误； D、因为0.01的平方根是±0.1，所以本选项错误； 故选：B． 7．若，则的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．15 D．25 【解答】解：∵， ∴x﹣5＝0，y+25＝0， 解得：x＝5，y＝﹣25， ∴． 故选：A． 8．的立方根是（　　） A．2 B．±2 C．8 D．﹣8 【解答】解：， ， ∴的立方根是2． 故选：A． 9．下列运算正确的是（　　） A．（﹣1）2022＝﹣1 B．﹣22＝4 C．＝±3 D．＝﹣3 【解答】解：A．（﹣1）2020＝1，故本选项错误； B．﹣22＝﹣4，故本选项错误； C.，故本选项错误； D.，故本选项正确； 故选：D． 10．一个自然数的立方根为a，则下一个自然数的立方根是（　　） A．a+1 B． C． D．a3+1 【解答】解：根据题意得：这个自然数为a3， ∴它下一个自然数的立方根是． 故选：C． 题组三 二次根式非负性 11．已知，则的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．4 【解答】解：∵， ∴， ∴a＝，b＝， ∴＝﹣2， 故选：B． 12．已知y＝，则x3+y2009的值是（　　） A．5 B．﹣9 C．7 D．不能确定 【解答】解：∵y＝， ∴， 解得，x＝﹣2， ∴y＝﹣1， ∴x3+y2009＝（﹣2）3+（﹣1）2009＝（﹣8）+（﹣1）＝﹣9， 故选：B． 13．若y＝﹣6，则xy的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【解答】解：由题意，得x﹣≥0且﹣x≥0， 所以x﹣＝0． 所以x＝，则y＝﹣6， 故xy＝×（﹣6）＝﹣3， 故选：C． 14．已知y＝﹣3，则5xy的值是（　　） A．﹣15 B．15 C． D． 【解答】解：由题意可得， 解得：x＝1， ∴y＝﹣3， ∴5xy＝5×1×（﹣3）＝﹣15， 故选：A． 15．已知y＝5+，则y的值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．0 【解答】解：由题意可知， 即2﹣3a＝3a﹣2＝0， 解得， 所以y＝5+0+0＝5． 故选：C． 题组四 根式的估值 16．估计﹣1的值（　　） A．在3和4之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间 【解答】解：因为42＝16，52＝25， 所以4＜＜5， 所以3＜﹣1＜4． 故选：A． 17．估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【解答】解：∵3＝， 且4＜＜5， ∴4＜3＜5， ∴3＜3﹣1＜4， 故选：A． 18．估算的值（　　） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在3和4之间 D．在6和7之间 【解答】解：原式＝2+， ∵3＜＜4， ∴5＜2+＜6， 故选：B． 19．估计（3﹣）×的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【解答】解：（3﹣）×＝3﹣3， ∵2.42＝5.76，2.52＝6.25，5.76＜6＜6.25， ∴＜＜， ∴2.4＜＜2.5， ∴2.4×3＜3＜2.5×3， 即：7.2＜3＜7.5， ∴7.2﹣3＜3﹣3＜7.5﹣3， 即：4.2＜3﹣3＜4.5， 故选：B． 20．估计的值（　　） A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在4和5之间 D．在3和4之间 【解答】解：∵27＜30＜64， ∴3＜＜4， ∴估计的值在3和4之间， 故选：D． 题组五 二次根式有意义 21．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由3a+2≥0得 a≥﹣． 故选：A． 22．在，，，中，一定有意义的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：当x＜0时，无意义； 当x为任意实数时，一定有意义； 当x为任意实数时，x2+1＞0，（﹣x）2≥0，因此，一定有意义． 故选：B． 23．若代数式有意义的m的取值范围为（　　） A．m≥2 B．m≤2 C．m＜2 D．m＞2 【解答】解：由题意可知：＞0， ∴m＞2， 故选：D． 24．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1 【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0， 解得：x≥﹣1，且x≠1， 故选：D． 25．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≠2 C．x≥1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2 【解答】解：由题意得，x+1≥0且（x﹣2）2≠0， 解得x≥﹣1且x≠2． 故选：D． 题组六 二次根式整数小数部分 26．的整数部分为m，小数部分为n，则m﹣n的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵4＜7＜9， ∴，即， ∵的整数部分为m，小数部分为n， ∴m＝2，， ∴， 故选：A． 27．已知的小数部分为A，的小数部分是B，则A+B的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵， ∴， ∴的小数部分为：， ∴的小数部分为：， 的小数部分为：， ∴A+B＝， 故选：A． 28．已知的整数部分为a，小数部分为b，则3a+2b的值为（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：∵， ∴， ∴a＝1， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 29．若的整数部分是m，小数部分是n，则|n﹣m|为（　　） A． B． C． D．8 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是8，小数部分是， ∴m＝8，n＝， ∴|n﹣m|＝， 故选：B． 30．已知x是的整数部分，y是的小数部分，且+|2b2﹣2|＝0，则+b（﹣y）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0或4 D．2或﹣2 【解答】解：∵x是的整数部分，y是的小数部分， 又∵2＜＜3， ∴x＝2，y＝﹣2， ∵+|2b2﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，2b2﹣2＝0， 解得：a＝1，b＝±1， ∴+b（﹣y） ＝±（﹣+2） ＝2±2，即原式＝0或4， 故选：C． 题组七 同类二次根式 31．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　4　． 【解答】解：＝2， 根据题意可知， x﹣1＝3， 解得x＝4． 故答案为：4． 32．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 　﹣1　． 【解答】解：由题意得， x2﹣4x＝8+3x， 整理，得x2﹣7x﹣8＝0， 解得x1＝8，x2＝﹣1， 当x＝8时，8+3x＝8+3×8＝8+24＝32， ∵不是最简二次根式， ∴x＝8不符合题意； 当x＝﹣1时，8+3x＝8+3×（﹣1）＝8﹣3＝5， ∵是最简二次根式， ∴x＝﹣1符合题意， 故答案为：﹣1． 33．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 　7　． 【解答】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴2a+5＝3a﹣2， 解得a＝7， 故答案为：7． 34．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　3　． 【解答】解：∵， 根据题意得：x﹣1＝2， 解得：x＝3． 故答案为：3． 35．若最简二次根式和是同类二次根式，则＝　5　． 【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴＝5． 故答案为：5． 题组八 二次根式的性质 36．＝　5　． 【解答】解：＝5； 故答案为：5． 37．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简得结果是 　3a﹣b　． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：c＜a＜0＜b， ∴a+c＜0，c﹣a＜0， 则原式＝﹣|a|﹣|a+c|+|c﹣a|﹣b ＝a+a+c+a﹣c﹣b ＝3a﹣b． 故答案为：3a﹣b． 38．已知a，b，c为三角形的三边，则＝　a+b+c　． 【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边， ∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0， ∴＝|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a＝a+b+c． 故答案为：a+b+c． 39．化简：＝　π﹣3　． 【解答】解：＝＝π﹣3． 故答案为：π﹣3． 40．计算：＝　2﹣　． 【解答】解：原式＝|﹣2| ＝2﹣． 故答案为2﹣． 题组九 二次根式的乘除的理解 41．已知，且x是偶数，则的值为 　　． 【解答】解：∵， ∴9﹣x≥0，x﹣6＞0， 解得：6＜x≤9， ∵x为偶数， ∴x＝8， ∴ ＝ ＝ ＝． 42．若＝，则x的取值范围为　﹣≤x＜1　． 【解答】解：∵＝， ∴， 解得：﹣≤x＜1， 故答案为：﹣≤x＜1． 43．化简：＝　0　． 【解答】解：∵要使有意义，必须3﹣a≥0， ∴a≤3， ∴﹣（）2 ＝﹣（3﹣a） ＝3﹣a﹣3+a ＝0． 故答案为：0． 44．能使成立的所有整数a的和是 　6　． 【解答】解：∵成立， ∴， 解得：0≤a≤3， 满足条件的所有整数为0，1，2，3， ∴它们的和为0+1+2+3＝6， 故答案为：6． 45．计算：＝　﹣2y　． 【解答】解：， ∵y＜0， ∴， 故答案为：﹣2y． 题组十 二次根式的混合运算 46．（1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1） ＝3﹣2+﹣3 ＝﹣； （2） ＝4×÷5 ＝3÷5 ＝； （3） ＝2+﹣1﹣1+2 ＝3； （4） ＝20﹣50﹣（5﹣2+2） ＝20﹣50﹣5+2﹣2 ＝﹣37+2． 47．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝3﹣6+4 ＝； （2）原式＝× ＝2； （3）原式＝6﹣2+2+3﹣2 ＝9﹣2； （4）原式＝1+2﹣1﹣（﹣1） ＝1+2﹣1﹣+1 ＝+1． 48．计算下列各题 （1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式＝4﹣5+2 ＝； （2）原式＝+ ＝； （3）原式＝（）2﹣（）2﹣[+（﹣）][﹣（﹣）] ＝3﹣2﹣[（）2﹣（﹣）2] ＝1﹣5+3﹣2+2 ＝1﹣2． 49．计算： （1）； （2）（3）； （3）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝； （2）原式＝（6﹣+4）÷4 ＝÷4 ＝； （3）原式＝5﹣6+9﹣20+7 ＝1﹣6． 50．计算： （1）2+﹣； （2）（﹣）﹣1﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|； （3）÷﹣×+； （4）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2． 【解答】解：（1）原式＝4+﹣3 ＝2； （2）原式＝﹣2﹣2+1+﹣2 ＝﹣3﹣； （3）原式＝﹣+2 ＝4﹣+2 ＝4+； （4）原式＝9﹣5﹣（3﹣2+1） ＝9﹣5﹣4+2 ＝2． 题组十一 二次根式化简求值 51．若x＝，y＝，求x2﹣xy+y2的值． 【解答】解：∵x＝＝2﹣，y＝＝2+， ∴x+y＝4，xy＝1， ∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝42﹣3×1＝13． 52．已知x＝，求的值． 【解答】解：∵x＝＝3+2， ∴x﹣3＝3+2﹣3＝2， 则原式＝＝＝． 53．已知，； （1）求x+y，x﹣y和xy的值； （2）求x2﹣3xy+y2+1943的值． 【解答】解：（1）∵，， ∴x+y＝（2+3）+（2﹣3）＝4， x﹣y＝（2+3）﹣（2﹣3）＝6， xy＝（2+3）（2﹣3）＝12﹣18＝﹣6， （2）∵x﹣y＝6，xy＝﹣6， ∴x2﹣3xy+y2+1943 ＝（x﹣y）2﹣xy+1943 ＝（6）2﹣（﹣6）+1943 ＝72+6+1943 ＝2021． 54．已知x＝，y＝，求的值． 【解答】解：∵x＝，y＝， ∴x+y＝+＝＝＝8， xy＝×＝1， ∴＝＝＝． 55．已知：x＝，y＝．求值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣3xy+y2． 【解答】解：x＝＝＝﹣3， y＝＝＝+3， （1）x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝（﹣3）（+3）（﹣3++3） ＝2； （2）x2﹣3xy+y2 ＝（x﹣y）2﹣xy ＝（﹣3﹣﹣3）2﹣（﹣3）（+3） ＝36﹣1 ＝35． 题组十二 运用平方根性质解方程 56．运用平方根的定义探索下列问题： （1）若x2＝25，则x＝　±5　； （2）解方程：（2y+1）2＝25． 【解答】解：（1）若x2＝25，则x＝±5； 故答案为：±5； （2）（2y+1）2＝25． ∴2y+1＝±5， ∴y＝＝﹣3或2． 57．求下列各式中x的值． （1）x2﹣49＝0； （2）﹣64x2+＝0； （3）（1﹣2x）2＝1； （4）9（3x+1）2＝64； 【解答】解：（1）x2﹣49＝0， x2＝49， x＝±7； （2）﹣64x2+＝0， 64x2＝， x2＝， x＝±； （3）（1﹣2x）2＝1， 1﹣2x＝±1， 1﹣2x＝1，x＝0， 或1﹣2x＝﹣1，x＝1， ∴方程的解为x＝0或1； （4）9（3x+1）2＝64， （3x+1）2＝， 3x+1＝±， 3x+1＝，x＝， 或3x+1＝﹣，x＝﹣， ∴方程的解为x＝或﹣． 58．用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 【解答】解：把方程x2+2x﹣＝0的常数项移到等号的右边，得 x2+2x＝， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2+2x+1＝+1 配方得（x+1）2＝， 开方得x+1＝±， 解得x＝±﹣1． 59．解方程：x2﹣4x+1＝0． 【解答】解：x2﹣4x+1＝0 x2﹣4x+4＝3 （x﹣2）2＝3 x﹣2＝ ∴x1＝2+，x2＝2﹣； 60．解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 【解答】解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 题组十三 分母有理化 1．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　﹣1　； （2）计算：+++⋯+＝　9　； （3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值． 【解答】解：（1）＝＝﹣1． 故答案为：； （2）原式＝+++......+ ＝﹣1+﹣+﹣+......+﹣ ＝﹣1 ＝10﹣1 ＝9． 故答案为：9； （3）∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2． 2．在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1 ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小光的解题过程，解决如下问题： （1）＝　﹣1　； （2）化简； （3）若，求a4+6a3+6a+2023的值． 【解答】解：（1）＝＝﹣1． 故答案为：； （2） ＝+++...+ ＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣ ＝﹣1 ＝15﹣1 ＝14； （3）∵＝＝﹣3， ∴， ∴， ∴（a+3）2＝10，即 a2+6a+9＝10， ∴a2+6a＝1， ∴a4+6a3+6a+2023 ＝a2（a2+6a）+6a+2023 ＝a2×1+6a+2023 ＝a2+6a+2023 ＝1+2023 ＝2024． 3．阅读材料并解决问题： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知，．试求a的值． 【解答】解：（1）由题意可得， 的有理化因式是（+）， ＝ ＝ ＝； （2）由（1）知，＝， ＝＝， ∵＜， ∴＜； （3）∵， ∴＝8， ∴＝8， ∴＝8， ∴＝2， 又∵， ∴a＝2． 题组十四 分子有理化 4．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较c＝4大小，c 　＞　d（填写“＞”“＜”或“＝”）． （2）猜想m＝2之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，． ∵，∴． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【解答】解：（1）∵， ∴c2＞d2， ∴c＞d； （2）∵， ∴n2＞m2， ∴n＞m； （3）∵，又 ∴， ∴． 5．二次根式的计算中，有一种方法叫做“分子有理化”，即分母和分子同时乘以一个适当的因式，从而消除分子中的根式． 比如：． “分子有理化”可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些代数式的最值问题． 例如：比较和的大小． 解：，． 因为， 所以，即． 再例如，求代数式的最大值．做法如下： 解：由x+2≥0且x﹣2≥0可知：x≥2，而 ＝ 当x＝2时，分母有最小值2，所以原式的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较和的大小； （2）求代数式的最大值． 【解答】解：（1）﹣＝，﹣＝， ∵+＞+＞0， ∴＜， 即﹣＜﹣； （2）∵x+1≥0且x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵﹣ ＝ ＝， ∴当x＝1时，分母+有最小值， ∴﹣的最大值为， 那么﹣+2的最大值为+2． 6．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： （1）化简； （2）比较与的大小，并说明理由． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝2； （2）∵，，且， ∴． 题组十五 复合二次根式 7．我们已经学习了整式的乘法，其中完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用这个公式可把3+2配成完全平方的形式：3+2＝（）2+2+12＝（+1）2． （1）根据上述方法，请把下列各式都配成完全平方的形式： ①8﹣2；②1﹣；③8+4；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）； （2）已知x＝8+4，求﹣的值； （3）计算： +++++++． 【解答】解：（1）①8﹣2＝（）2﹣2+（）2＝（）2； ②1﹣＝（）2﹣2×+（）2＝（）2； ③8+4＝（）2+4+（）2＝（）2； ④x+y﹣2（x≥0，y≥0）＝（）2﹣2+（）2＝（）2； （2）∵x＝8+4， ∴x＝8+4＝（）2， x﹣1＝7+4＝（2+）2， ∴﹣ ＝ ＝ ＝； （3）+++++++ ＝+++++++ ＝++ ＝﹣1+3 ＝2． 8．阅读以下材料，解决后续问题： 材料：①我们学习过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，其中形如a2±2ab+b2 的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式， 比如：＝＝＝＝+1， ＝＝＝＝﹣1． ②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如64＝82，则64是一个完全平方数．完全平方数有如下因数特征：若N＝ab（a、b为互质的整数）为完全平方数，则a、b均为完全平方数 （1）化简 ① ② （2）已知m、n均为正整数，设N＝11（m+8n）为完全平方数，且＜33，求m+n的值． 【解答】解：（1）①＝＝＝＝+1； ②＝＝＝＝＝2﹣； （2）∵＜33， ∴0≤N＜332， ∵N＝11（m+8n）为完全平方数， ∴N＝112或N＝112×22， 当N＝112时，m+8n＝11， ∴n＝， ∵m、n均为正整数， ∴m＝3，n＝1， ∴m+n＝4； 当N＝112×22时，m+8n＝44， ∴n＝， ∵m、n均为正整数， ∴m＝36，n＝1或m＝28，n＝2或m＝20，n＝3或m＝12，n＝4或m＝4，n＝5， ∴m+n＝37或30或23或16或9， 即：m+n的值为4或9或16或23或30或37． 9．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+6n2　，b＝　2mn　； （2）若a+4＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+6n2+2mn，a+b＝（m+n）2， ∴a＝m2+6n2，b＝2mn． 故答案为m2+6n2，2mn； （2）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，a+4＝（m+n）2， ∴a＝m2+3n2，mn＝2， ∵m、n均为正整数， ∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1， ∴a＝13或7； （3）＝＝＝2+1， 则 ＝ ＝ ＝ ＝﹣1． 题组十六 二次根式求最值 10．已知a、b均为正数，且a+b＝2，求W＝的最小值． 【解答】解：得W＝，（5分） 构造如图形，其中ED＝2，AE＝2，BD＝1，AE⊥l，BD⊥l， P是ED上任意一点，点C是点A关于直线l的对称点， 设PE＝a，则W＝＝AP+BP，（5分） 当B、P、C三点共线时，W的值最小，此时由勾股定理可求得的最小值为．（5分） 11．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知0＜x＜1，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP＝x，则PC＝1﹣x． 则＝线段 　AP　+线段 　PD　； （2）在（1）的条件下，已知0＜x＜1，求的最小值． 【解答】解：（1）由题意得，+PD， 故答案为：AP、PD； （2）如图，作点A关于BC的对称点H，连接 HD交BC于点P， 此时，AP+PD 最小，即 和 最小， 由题意得：AH＝2AB＝2，AD＝1， 则＝， 即 的最小值为：． 12．阅读材料： 对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）． 当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值． 例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值． 解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2． 根据上面的阅读材料回答下列问题： （1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝　　时，y有最小值，最小值为 　12　． （2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？ （3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？ 【解答】解：（1）由题目中提供的方法可得， y＝4x+＝4x+≥2＝12， ∴当4x＝时，即x＝时，y的最小值为12， 故答案为：，12； （2）∵x＞3， ∴x﹣3＞0， 由a+b≥2可得y＝x﹣3++3≥2+3＝9， 当x﹣3＝时，即x＝6时，y的最小值为9， 答：当x＝6时，y的最小值为9； （3）设这个长方形的长为x m，则宽为＝（50﹣x）m， ∴长方形的面积S＝x（50﹣x）， 由题意得x＞0，50﹣x＞0，即0＜x＜50， 由a+b≥2可得x+（50﹣x）≥2， 即≤25， 但且仅当x＝50﹣x时，即x＝25时，x•（50﹣x）取最大值，最大值为25×（50﹣25）＝625， 此时宽为50﹣x＝25，S最大值为625， 答：当长方形的长、宽均为25m时，所围成的长方形的花园的面积最大，最大面积为625m2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$