特训08 全等三角形高频考点-截长补短-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训08 全等三角形高频考点——截长补短 【特训过关】 1．已知：如图，四边形中，平分，于E，且，判断、 和的关系，并说明理由． 2．如图，是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求证：． 3．如图，四边形中，平分，于点E，，求证：．​ 4．如图，在中，，，是的角平分线．求证：； 5．如图，，平分，平分，若在上． 求证：（1）； （2）． 6. 已知是的角平分线，．求证：． 7．在中，，，是的两条角平分线，且，交于点F． （1）用含的式子表示，则　 　； （2）当时，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 8. 已知中，，，分别平分和，、交于点，试判断，，的数量关系，并说明理由． 9. 如图，是等边三角形，是外一点，且，判断、、的数量关 系． 10．如图，在中，，是的平分线，且，求的度数． 11．如图，已知为等腰三角形，，D为线段延长线上一点，连接，平分 交、于点E、F，且． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）求证． 12. 如图所示， 在五边形中，，，，求证：平分． 13．如图，中，，以直角边为腰，向外作等腰直角三角形，， ，点E是边上一点，且，． （1）探究：与的数量关系； （2）求证：． 14．如图，，，，，交于点P，若点C在上． （1），求的度数； （2）连接，求证：． 15．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上， 点F在射线上，连结，若． 求证：（1）；（2）． 16．如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 17．在四边形中，是边的中点．若平分，，则判断线段、、的长度满足的数量关系，并说明理由． 18．如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，是延长线上一点， 是延长线上一点，且．试探究、、之间的数量关系，并给出证明． 19．【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，之间的数量关系______________________． 【类比分析】 像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系． 20．已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作， 且，连接，交于点F． （1）如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 全等三角形高频考点——截长补短 【特训过关】 1．已知：如图，四边形中，平分，于E，且，判断、 和的关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【解析】解：．理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：在上取一点T，使得． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，四边形中，平分，于点E，，求证：．​ 【答案】见解析． 【解析】解：过点C作，交的延长线于点H，如图所示： 则， ∵平分，， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，是的角平分线．求证：； 【答案】见解析． 【解析】证明：作于点E，则， ∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，，平分，平分，若在上． 求证：（1）； （2）． 【答案】见解析． 【解析】证明：如图所示： （1）∵、分别是和的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在上取点，使，连接． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 6. 已知是的角平分线，．求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：在边上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．在中，，，是的两条角平分线，且，交于点F． （1）用含的式子表示，则　 　； （2）当时，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）∵，是的两条角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）， 证明：当时，如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8. 已知中，，，分别平分和，、交于点，试判断，，的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【解析】解：在上取点使得， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，是等边三角形，是外一点，且，判断、、的数量关 系． 【答案】，理由见解析． 【解析】解：结论：． 理由：如图，在上截取一点，使得． ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，是的平分线，且，求的度数． 【答案】． 【解析】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴，解得， ∴． 11．如图，已知为等腰三角形，，D为线段延长线上一点，连接，平分 交、于点E、F，且． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）求证． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析． 【解析】（1）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 化简，得：； （2）证明：延长至点K，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 如图所示， 在五边形中，，，，求证：平分． 【答案】见解析． 【解析】解： 连接，延长到，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分． 13．如图，中，，以直角边为腰，向外作等腰直角三角形，， ，点E是边上一点，且，． （1）探究：与的数量关系； （2）求证：． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 中，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图1，延长至G，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，，，，，交于点P，若点C在上． （1），求的度数； （2）连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 15．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上， 点F在射线上，连结，若． 求证：（1）；（2）． 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）∵，， ， ∴； （2）如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析． 【解析】（1）如图1，过D作于M， ∴在中，， ∴， ∵，是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即； （2）设，则， 在上截取，连结，如图2， ∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； （3）如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， 在上截取，连接， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．在四边形中，是边的中点．若平分，，则判断线段、、的长度满足的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【解析】解：； 理由：在上取一点，使． ∵平分， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． 18．如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，是延长线上一点， 是延长线上一点，且．试探究、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】，理由见解析． 【解析】解：； 证明：在上截取点，使，连接， ∵为等边三角形， ∴， 又为等腰三角形，且， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，之间的数量关系______________________． 【类比分析】 像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】【问题初探】，理由见解析；【类比分析】结论仍然成立，理由见解析；【学以致用】，理由见解析． 【解析】解：【问题初探】延长到点G，使，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； 【类比分析】上述结论仍然成立，理由如下： 延长到点G，使，连接，如图： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即； 【学以致用】，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作， 且，连接，交于点F． （1）如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析． 【解析】（1）解：； 在上找到G点使得，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上找到H点，使得，如图， ∵平分，∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$