第08讲 指数与指数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第08讲 指数与指数函数 【考纲要求】 1.指数函数：了解指数函数的定义； 2.理解指数函数的图像和性质。 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3．比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 4．简单指数不等式的解法 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 考点一 指数函数的概念 例1．下列函数不是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】指数函数是形如（且）的函数. 对于A：，系数不是1，所以不是指数函数； 对于B：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于C：，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 对于D：，符合指数函数的定义，所以是指数函数． 变式1：下列各函数中，是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的定义：形如的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项正确． 变式2：下列是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义. 例2：函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，则a的值为（ ） A．1 B．3 C．2 D．1或3 【答案】C 【解析】因为函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，故可得解得或， 当时，不是指数函数，舍去. 变式1：函数是指数函数，则（ ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】因为函数是指数函数所以，且，解得. 变式2：若函数是指数函数,则的值为( ) A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【解析】∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2． 例3：指数函数的图象经过点，则的值是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意得，，故． 变式：若指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】设且，因为函数的图象经过点，代入可得，解得或(舍去)，故． 考点二 指数函数的图像与性质 例4：函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(　　) A.(1,-1) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,-1) 【答案】B 【解析】由题意知x-1=0,即x=1,此时y=2a0-1=1,所以函数恒过定点(1,1). 变式：函数f(x)＝ax－2＋1(a＞0，且a≠1)的图象必经过点(　　) A.(0，1) B.(1，1) C.(2，0) D.(2，2) 【答案】D 【解析】　∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2，2). 例5：指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以，得，所以实数a的取值范围是． 变式：指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以，得，所以实数a的取值范围是． 例6：函数的图象大致为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以单调递增，且恒过点，故A为正确答案． 变式：函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得函数是以 为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意. 例7：求函数的定义域和值域； 【答案】定义域为R，值域为； 【解析】的定义域为R，值域为. 变式：函数的值域是（ ） A．(0，＋∞) B．(0，4) C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以， 即，即所求函数的值域为. 例8：等式的解集是　 　． 【答案】或 【解析】，，在上单调递减，，解得：或， 不等式的解集是或，故答案为：或． 变式：关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴，即，∴不等式的解集为. 例 9：设，则(　　) 【答案】D 【解析】利用幂的运算性质可得，，，，再由是增函数，知． 变式：已知，．，则这三个数的大小关系为(　　) 【答案】A 【解析】根据指数函数的性质可得：函数是减函数， ，，即． 又，，，， 例10：.函数f(x)=x-1在区间[-2,-1]上的最大值是 (　　) A.1 B.3 C.9 D.27 【答案】D 【解析】f(x)=在区间[-2,-1]上为减函数,当x=-2时取得最大值为27. 变式：函数在区间[–2，2]上的最小值是（ ） A． B． C．–4 D．4 【答案】B 【解析】函数在定义域R上单调递减 ∴f（x）在区间[–2，2]上的最小值为f（2）． 例11：若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】指数函数过点,则函数过点,若图像不经过第二象限,则,即。 变式:如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则，解得。 考点三 指数函数应用 例12：—张普通的A4打印纸的厚度一般是0.1mm，假设其可以被无限次对折．已知将其对折20次后的厚度约为100m，将其对折42次后的厚度约为，则将其对折62次后的厚度约为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，，得，，故将其对折62次后的厚度约为． 变式：青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【解析】C　 【解析】由题意得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8. 例13：已知函数f(x)＝a＋. (1)求f(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，求a的值及f(x)的解析式． (3)求f(x)的值域． 【解析】(1)由2x－1≠0，可得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． (2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 又f(－x)＝a＋＝a＋＝a－＝(a－2)－， －f(x)＝－a－，∴a－2＝－a，解得a＝1.因此f(x)＝1＋. (3)由(2)得f(x)＝1＋.当x＞0时，2x－1＞0，∴f(x)＞1； 当x＜0时，－1＜2x－1＜0，∴f(x)＜－1. ∴f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 变式：已知函数. 若，解方程； 若，求的单调区间； 【答案】 单调增区间是，单调减区间是 【解析】⑴若, 由，即，解得 ⑵若,则，设，且， 当时,有，， ,在上是增函数; 当时,有，， ,在上是减函数 的单调增区间是，单调减区间是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 指数与指数函数 【考纲要求】 1.指数函数：了解指数函数的定义； 2.理解指数函数的图像和性质。 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做 ，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的 ． (2)注意事项：指数函数的底数规定 的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定 ． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3．比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 4．简单指数不等式的解法 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 考点一 指数函数的概念 例1．下列函数不是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 变式1：下列各函数中，是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 变式2：下列是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 例2：函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，则a的值为（ ） A．1 B．3 C．2 D．1或3 变式1：函数是指数函数，则（ ） A．或 B． C． D．且 变式2：若函数是指数函数,则的值为( ) A．2 B．-2 C． D． 例3：指数函数的图象经过点，则的值是（ ） A． B． C．2 D．4 变式：若指数函数的图象经过点，则 ． 考点二 指数函数的图像与性质 例4：函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(　　) A.(1,-1) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,-1) 变式：函数f(x)＝ax－2＋1(a＞0，且a≠1)的图象必经过点(　　) A.(0，1) B.(1，1) C.(2，0) D.(2，2) 例5：指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 变式：指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例6：函数的图象大致为（       ） A． B． C． D． 变式：函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 例7：求函数的定义域和值域； 变式：函数的值域是（ ） A．(0，＋∞) B．(0，4) C． D． 例8：等式的解集是　 　． 变式：关于的不等式的解集为（ ） 例 9：设，则(　　) 变式：已知，．，则这三个数的大小关系为(　　) 例10：.函数f(x)=x-1在区间[-2,-1]上的最大值是 (　　) A.1 B.3 C.9 D.27 变式：函数在区间[–2，2]上的最小值是（ ） A． B． C．–4 D．4 例11：若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 变式:如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（ ） A． B． C． D． 考点三 指数函数应用 例12：—张普通的A4打印纸的厚度一般是0.1mm，假设其可以被无限次对折．已知将其对折20次后的厚度约为100m，将其对折42次后的厚度约为，则将其对折62次后的厚度约为（ ） A． B． C． D． 变式：青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．变式：已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 例13：已知函数f(x)＝a＋. (1)求f(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，求a的值及f(x)的解析式． (3)求f(x)的值域． 变式：已知函数. 若，解方程； 若，求的单调区间； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$