专题01 柱体重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题01 柱体重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 正棱柱及其有关计算 题型二 棱柱的展开图及最短距离问题 题型三 判断正方体的截面形状 题型四 圆柱的结构特征辨析 题型五 棱柱及其有关计算 题型六 柱体体积的有关计算 题型七 棱柱表面积的有关计算 题型八 圆柱表面积的有关计算 知识点01：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 知识点02：多面体 多面体的定义及其相关概念: 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 知识点03：柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 知识点04：柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 知识点05：祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】1、祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 【经典例题一 正棱柱及其有关计算】 【例1】（2024·四川成都·三模）已知正方体以某直线为旋转轴旋转角后与自身重合，则不可能为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）在棱长为的正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为和，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则 ， . 3．（23-24高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 【经典例题二 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24高二上·上海杨浦·期末）小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（    ）    A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米 2．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是 ． 3．（22-23高二上·上海浦东新·期末）对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示. “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上. (1)求“十字”捆扎中彩带的总长度； (2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议. 【经典例题三 判断正方体的截面形状】 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，若点E、F分别是、的中点，则四边形是（    ） A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形． 1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 2．（23-24高二下·浙江·期末）在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点在矩形及其内部运动，则周长的最小值为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）单位正方体中，过点作一个等腰三角形的截面，使它与底面成60°的角． 【经典例题四 圆柱的结构特征辨析】 【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 2．（2023·上海崇明·一模）用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同． 你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线． ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【经典例题五 棱柱及其有关计算】 【例5】（23-24高一上·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·山东威海·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆开州·模拟预测）在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 . 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【经典例题六 柱体体积的有关计算】 【例6】（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为 ． 3．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【经典例题七 棱柱表面积的有关计算】 【例7】（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A．40 B． C． D． 1．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 2．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【经典例题八 圆柱表面积的有关计算】 【例8】（23-24高二下·江西萍乡·期末）我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形.若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面正四棱锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 . 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    1．（23-24高一·全国·课后作业）若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海宝山·期中）一个棱长为1的正方体容器，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（    ）种不同的值 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，直三棱柱中，，，，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断：①直三棱柱侧面积是；②直三棱柱体积是；③的最小值为，其中错误的个数是（    ） A．0； B．1； C．2； D．3． 4．（23-24高二上·上海黄浦·期中）、两个动点从棱长为的正方体的顶点出发沿棱向前运动.动点运动的路线是，运动规则如下：第段与第段（其中是正整数）所在直线一定是异面直线.动点运动的路线是，它和点具有相同的运动规则.那么动点运动完段、动点运动完段后各自停止在正方体的某个顶点处，此时动点、的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一·湖南·课后作业）边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为 . 7．（23-24高一下·江苏南京·期中）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 ． 8．（23-24高二上·上海奉贤·期中）一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 9．（23-24高二上·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 10．（23-24高二上·浙江·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 ． 11．（23-24高二·上海·课堂例题）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是柱体吗？请给出你的理由或反例． 12．（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知斜三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面所成角为30°，侧棱的长为3 cm，三棱柱的体积为，求该三棱柱底面边长． 13．（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 14．（23-24高一下·湖北·期中）有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺丝钉共重.如图，每个螺丝钉都是由一个正六棱柱和一个圆柱构成，正六棱柱底边长为，高为；圆柱的底面半径为，高为.（取） (1)求一个六角螺丝钉的表面积； (2)问这堆螺丝钉大约有多少个？ 15．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，如图所示，已知水渠长400m，深1.5m，渠底宽1m，渠面宽2m．    (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土？ (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少（保留整数，且） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 柱体重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 正棱柱及其有关计算 题型二 棱柱的展开图及最短距离问题 题型三 判断正方体的截面形状 题型四 圆柱的结构特征辨析 题型五 棱柱及其有关计算 题型六 柱体体积的有关计算 题型七 棱柱表面积的有关计算 题型八 圆柱表面积的有关计算 知识点01：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 2.圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 知识点02：多面体 多面体的定义及其相关概念: 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 知识点03：柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 知识点04：柱体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 知识点05：祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】1、祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 【经典例题一 正棱柱及其有关计算】 【例1】（2024·四川成都·三模）已知正方体以某直线为旋转轴旋转角后与自身重合，则不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分直线经过正方体对面中心、直线经过正方体的体对角线、直线穿过正方体的对棱中点及其它情形四种情况讨论，分别确定旋转角，即可判断. 【详解】依题意直线必过正方体的体对角线的交点， 当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转时，与自身重合； 当直线经过正方体的体对角线时， 如图，连接，，，此时三角形为等边三角形， 设正方体的体对角线与面交于点，则为的中心，连接，，则， 则正方体绕直线旋转时，与自身重合； 当直线穿过正方体的对棱中点时，正方体绕直线旋转时，与自身重合； 其它情况，正方体绕直线旋转时，与自身重合； 故选：C 1．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）在棱长为的正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为和，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作交于点，连接并延长交直线于点，连接，过点作交线段于点，求出的值，计算出的长，由可得出，即可求得线段的长. 【详解】过点作交于点，连接并延长交直线于点，连接，如下图所示：    由题意可知，，，则， 所以，，故点在线段上， 过点作交线段于点，则点即为所求作的点， 因为，且，则， 易知正方体的体对角线长为， 因为，因此，，故. 故选：C. 2．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则 ， .    【答案】 【分析】当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得；当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得． 【详解】当时，点P在正方体表面正方形上动动， 其轨迹是以B为圆心，2为半径的三段弧，； 当时，点P在正方体表面正方形上运动， 记该点为，若其在正方形内时，易得，得， 因此点的轨迹为正方形内以为圆心，2为半径的圆弧，弧长为， 同理在正方形内的轨迹长度都为，所以. 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：确定动点动动所在的平面及轨迹形状，是解题的关键. 3．（23-24高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 【答案】 【分析】连接，根据正四棱柱的几何性质可得、且5，进而求出；在中利用勾股定理求得，利用面积相等即可求出的距离. 【详解】连接，由正四棱柱的几何性质可知且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又分别为上、下底面的中心，即且， 所以四边形为平行四边形，所以， 且点C到的距离为5， 所以， 在中，， 设的距离为d， 则以为底边，以d为高的平行四边形的面积为， 解得，即的距离为.    【经典例题二 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【详解】    设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 1．（23-24高二上·上海杨浦·期末）小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（    ）    A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米 【答案】B 【分析】在捆扎方案一中，把点心盒各个面依次展开，则两点间线段最短可算出此时所需丝带的最短长度；在捆扎方案二中，所需丝带长度为两个矩形的周长之和，算出长度与方案一中所需丝带的最短长度比较即得结果. 【详解】在捆扎方案一中，设点心盒是长方体，如图：    丝带从棱上的点出发，沿着长方体的各个表面绕行一圈回到点进行捆扎，现把长方体从面开始，按照丝带绕行的顺序把长方体的各个面展开，如图所示：    则线段即为最短路径，即为所需丝带的最短长度， 易知，，所以， 所以在捆扎方案一中，丝带长度最短为100厘米； 在捆扎方案二中，所需丝带长度为矩形和矩形的周长之和， 易得矩形和矩形的周长之和为厘米， 即在捆扎方案二中，所需丝带长度最短为140厘米； 由上可知，小李需要购买的丝带长度至少是100厘米. 故选：B 2．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是 ． 【答案】 【分析】根据不同的展开方式，求展开图两点间距离的长度. 【详解】如图，三棱柱表面由点到的展开图有如下情况， 如图，若过时，此时， 若过时，与过一样，此时； 第二种情况，当过时，，，， 若过与过一样，此时， 由 所以从到的最短路程是. 故答案为： 3．（22-23高二上·上海浦东新·期末）对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示. “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上. (1)求“十字”捆扎中彩带的总长度； (2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议. 【答案】(1) (2)，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带 【分析】（1）直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度；（2）求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案. 【详解】（1）采用“十字”捆扎中彩带的总长度为； （2） 由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带. 【经典例题三 判断正方体的截面形状】 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，若点E、F分别是、的中点，则四边形是（    ） A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形． 【答案】C 【分析】取棱的中点，连接， 可得四边形为平行四边形， 进而得四边形为平行四边形， 得，则四边形为平行四边形，又得，则四边形是菱形，而，所以菱形不是正方形. 【详解】取棱的中点，连接，如下图所示： 由正方体的性质，可知侧面为正方形， 又分别为棱的中点， 所以， 从而四边形为平行四边形，所以， 又分别为棱，的中点，且侧面为正方形， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 从而四边形为平行四边形. 设正方体的棱长为，可知， 所以四边形是菱形. 连接，因为E、F分别是、的中点， 所以， 而， 所以菱形不是正方形. 故选：C. 1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 【详解】如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 2．（23-24高二下·浙江·期末）在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点在矩形及其内部运动，则周长的最小值为 . 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，再取的中点，连接， 证得平面，且，得到关于平面对称，得到，当点三点共线时，此时的最小值为，进而求得周长的最小值. 【详解】如图所示，取的中点，连接，再取的中点，连接， 在正方体中，可得， 又由平面，且平面，， 因为，且平面，所以平面， 又因为，所以平面，且， 可得关于平面对称，所以， 则，当点三点共线时，此时的最小值为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以周长的最小值为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）单位正方体中，过点作一个等腰三角形的截面，使它与底面成60°的角． 【答案】答案见解析 【分析】首先分析题意，作出图像设截面为等腰三角形，利用几何原理进行下一步解答，过M作BD的平行线分别交BC，CD于E，F，则截面即是符合要求的截面． 【详解】如图，设截面为等腰三角形，，，，则，∴．设，连， 则，，∴，则． 由此可知，在AC上取，过M作BD的平行线分别交BC，CD于E，F， 则截面即是符合要求的截面． 【经典例题四 圆柱的结构特征辨析】 【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆半径分别为，，根据三角函数得到，得到答案. 【详解】如图所示：两圆半径分别为，，    在中，，，故. 故选：A 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 【答案】B 【分析】根据题意求整卷卫生纸的长度，进而可得结果. 【详解】该卷筒卫生纸的层数， 最里一层的周长为cm，最外一层的周长为cm， 整卷卫生纸的长度为， 所以他可用的次数约为（次）. 故选：B. 2．（2023·上海崇明·一模）用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同． 你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线． ． 【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚 【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解. 【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小， 所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”； 假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”. 故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【答案】答案见解析 【分析】水平放置的圆柱，水平截面形状为圆；如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形. 【详解】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是圆，如图： 把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形，如图： 【经典例题五 棱柱及其有关计算】 【例5】（23-24高一上·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以圆A上的三段弧，计算即可；当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上为圆A1的，在平面B1BCC1上为圆B的，在平面DCC1D1上为圆D的，计算最后相加即可． 【详解】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧. 分别为，则； 当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径， 在平面上以B为圆心，1为半径的， 在平面上以D为圆心，1为半径的， 则.所以． 故选：C． 1．（23-24高三上·山东威海·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，过点作，将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形，得到当时， 取得最小值，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作，分别连接， 将平面绕着，把平面旋转到与平面重合，得到矩形， 连接，设交于点， 当时，此时到的距离最短，即取得最小值， 因为，且，可得， 又由，可得，即，所以， 即当 最小时，. 故选：D. 2．（2024·重庆开州·模拟预测）在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 . 【答案】 【分析】首先分析题意，取为的中点，结合题意找出等腰梯形为所得截面，再求出等腰梯形的面积即可. 【详解】 如图所示，取，连接，易知面， 而面，故，连接，且显然成立， 由已知得，故，则， 而，面， 所以平面，且面，所以， 取为的中点，，则且， ，面， 所以平面，因为平面，，同理可得， 所以等腰梯形为所得截面， 又， 作，显然，则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为． 故答案为：12 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【答案】 【分析】根据等边三角形重心的性质和勾股定理即可求解. 【详解】如图，设O为底面中心，连接并延长，交于点， 因为顶点在底面的射影恰为底面中心， 所以平面， 所以， 因为为正三角形， 所以为的重心， 所以为边上的中线， 因为, 所以， 所以, 在中，， 即三棱柱的高为. 【经典例题六 柱体体积的有关计算】 【例6】（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用不同放置方式体积相等，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】设当底面水平放置时，液面高为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，， 所以水的体积， 解得. 故选：B. 1．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，设圆柱的高为，表示出棱柱和圆柱的体积，由两体积相等化简可求出棱柱与圆柱的高的比值 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 等边的面积为， 则正三棱柱的体积为， 设的外接圆半径为，则，故， 设圆柱的高为，则圆柱的体积， 由题意得，解得. 故选：D. 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为 ． 【答案】#1.5 【分析】左侧几何体的体积等于长方体体积去掉右侧三棱柱的体积即可求得. 【详解】设左侧几何体的体积为，长方体的体积为， 右侧三棱柱的体积为，则. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长. 【详解】（1）证明：在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 【经典例题七 棱柱表面积的有关计算】 【例7】（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A．40 B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出侧面积和底面积，即可得到表面积. 【详解】由于直观图是正方形，所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为的平行四边形， 其周长是，面积是， 所以直四棱柱的表面积是. 故选：C 1．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】结合棱柱的侧面积和体积公式判断即可. 【详解】设棱柱的底面周长为，底面面积为，侧棱长为，斜棱柱的高为， 则，而，斜棱柱各侧面的高均不小于，所以， 于是，有，所以，． 故选：A. 2．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积. 【详解】由题意得为等边三角形，且边长为40，如图所示， 所以弧的长度为， 曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为10的矩形， 所以曲侧面三棱柱的侧面积为. 故答案为： 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【答案】 【分析】如图，由已知条件可知，侧面是平行四边形，也是平行四边形，为矩形，计算可得. 【详解】 由题意知为直角等腰三角形，，， 所以，侧棱长为b，则， ，侧棱长为b， 则从点A到距离为， 从点A到距离为距离为， 所以. . 【经典例题八 圆柱表面积的有关计算】 【例8】（23-24高二下·江西萍乡·期末）我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由几何关系得，再根据圆柱的侧面积公式可得圆柱侧面积关于的函数，最后根据二次函数的最值即可求解. 【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为，侧面积为， 由题意得，，，所以， 在中，因为， 所以，即，解得， 所以圆柱的侧面积为， 又，所以时，取得最大值为， 故圆柱的最大侧面积为， 故选：C. 1．（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形.若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆锥及其内接圆柱的轴截面，利用几何关系得到，从而得到圆柱的侧面积为，即可求出结果. 【详解】如图，作出圆锥及其内接圆柱的轴截面和矩形.依题意，得，，， 所以， 易知，则，即，所以， 因为圆锥内接圆柱的底面半径为，高， 所以圆柱的侧面积， 当时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为， 故选：A. 2．（23-24高二上·上海·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面正四棱锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 . 【答案】/0.5 【分析】在四棱锥内作正四棱柱，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，需其底面圆为正四棱柱的内切圆，设出圆柱的底面圆半径为，高为，由比例关系得到，从而求出圆柱侧面积关于半径的关系式，得到其最大值及相应的半径. 【详解】如图，在四棱锥内作正四棱柱， 其中分别在棱上， 要使圆柱体侧面积最大和体积最大， 则需其底面圆为正四棱柱的内切圆， 连接，设圆柱的底面圆半径为，高为， 则，，连接，则点在上， 在平面内，平行，则，即， 解得，， 圆柱侧面积为， 故当时，圆柱侧面积最大. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    【答案】． 【分析】由题意知道健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 【详解】健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 则该健身哑铃的表面积为. 1．（23-24高一·全国·课后作业）若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱底面半径为r，高为h，由已知及圆柱的表面积公式结合二次函数性质即可得到表面积的最大值． 【详解】设圆柱底面半径为r，高为h， 因为圆柱的轴截面周长为(C为定值)，所以， 所以圆柱的表面积为 ， 当时，圆柱的表面积有最大值为． 故选：D． 2．（23-24高二上·上海宝山·期中）一个棱长为1的正方体容器，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（    ）种不同的值 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体的对称性，根据粒子碰撞次数可分别讨论在轴方向上的运动距离，进而判断各情况粒子在容器内的飞行距离，即可得结果. 【详解】因为不能与棱相碰，所以粒子在x，y，z每个方向上的运动路程都不会为0，否则就会在面上运动，必然与棱相碰. 其次，只看x方向上运动(y , z方向同理，因为正方形有对称性)， 如果碰撞0次，那么就是运动了1，如果碰撞1次，就是运动了2，以此类推，在x方向上碰撞了n次最后出射的时候在该方向的运动距离就是(n+1)，相当于多运动了n. 题目中经过3次碰撞，可以先从碰撞0次入手，3个方向上的位移就是1，1，1(不能与棱相碰)，现在碰撞3次，也就是在某个方向上要加距离，每次碰撞则加1：(1)在同一个方向碰撞3次，即距离分别是4，1，1(1，4，1或者1，1，4)，结果是.  (2)在一个方向碰撞2次，另外一个方向碰撞一次，即3，2，1(2，3，1或1，2，3)，结果是根号.  (3)在三个方向各碰撞1次，即距离分别是2，2，2，结果是. 综上，粒子飞行距离有三种结果. 这三种情况都可以举出实际例子∶4,1,1，可以看做从A入射，C处射出；3，2，1可以看做从A入射，D处射出；2，2，2可以看做从A入射，B处射出. 故选：C 3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，直三棱柱中，，，，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断：①直三棱柱侧面积是；②直三棱柱体积是；③的最小值为，其中错误的个数是（    ） A．0； B．1； C．2； D．3． 【答案】B 【分析】本题根据直三棱柱的性质可求出其侧面积和体积，再将空间中的动点问题转化为平面问题，即可判断出结论. 【详解】因为直三棱柱的侧面积等于底面周长与高之积，所以直三棱柱的侧面积，故①正确； 直三棱柱的体积，故②错误； 如图，将平面与平面展开在同一平面，则的最小值为线段的长度，即，故③正确， 综上，错误的个数为1个. 故选：B. 4．（23-24高二上·上海黄浦·期中）、两个动点从棱长为的正方体的顶点出发沿棱向前运动.动点运动的路线是，运动规则如下：第段与第段（其中是正整数）所在直线一定是异面直线.动点运动的路线是，它和点具有相同的运动规则.那么动点运动完段、动点运动完段后各自停止在正方体的某个顶点处，此时动点、的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知点、运动的路线呈现周期性变化，且以段为一个周期，确定动点运动完段后、动点运动完段后，这两个动点的位置，即可求得动点、的距离. 【详解】点运动的路线为， 点运动的路线为， 由上可知，点、运动的路线呈现周期性变化，且以段为一个周期， 因为，， 所以，动点运动完段后与点重合，动点运动完段与点重合， 此时，动点、的距离是. 故选：C. 5．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可． 【详解】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面， 连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 故选：C． 6．（23-24高一·湖南·课后作业）边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为 . 【答案】 【分析】作出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，    则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为. 由题意可知GH＝5，， 所以 所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是. 故答案为：. 7．（23-24高一下·江苏南京·期中）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 ． 【答案】 【分析】连接，证明，则等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，由等腰梯形计算其面积即可． 【详解】解：如图，连接， 因为E、F分别为BC、CC1的中点， 所以， 因为且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 可得等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形， 由正方体的棱长为1，得， ，则E到AD1的距离为， ∴四边形的面积为， 即平面AEF截正方体所得的截面面积为. 故答案为：．    8．（23-24高二上·上海奉贤·期中）一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 【答案】或 【分析】分以的边为高，和以的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解. 【详解】①如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. ②如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. 故答案为：或. 9．（23-24高二上·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可知黑“电子狗”、 黄“电子狗”过6段后又回到起点，根据周期性分析求解. 【详解】由题意可知：黑“电子狗”爬行路线为， 即过6段后又回到起点， 同理，黄“电子狗”爬行路线为， 也是过6段后又回到起点， 所以黑“电子狗”爬完2025段后实质是到达点， 黄“电子狗”爬完2022段后到达第六段的终点A， 此时的距离为． 故答案为：．    10．（23-24高二上·浙江·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可确定为中点时，最小，取，通过三角形全等可将问题转化为最小值的求解问题，根据三点共线时线段和最小可求得结果. 【详解】 ，当为中点时，取得最小值； 在上取一点，使得， ，，， ； 则当三点共线时，最小，即最小， 此时且，的最小值为. 故答案为：. 11．（23-24高二·上海·课堂例题）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是柱体吗？请给出你的理由或反例． 【答案】不一定.理由见解析. 【分析】利用棱柱的几何特征判断. 【详解】不一定.如图所示：    有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱. 所以有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是柱体. 12．（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知斜三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面所成角为30°，侧棱的长为3 cm，三棱柱的体积为，求该三棱柱底面边长． 【答案】 【分析】设斜三棱柱的高为，底面边长为，由侧棱与底面所成角为30°，可求出，再由三棱柱的体积为可求出，进一步可求出底面边长. 【详解】解：因为，设斜三棱柱的高为， 因为侧棱的长为3 cm，侧棱与底面所成角为30°， 所以，所以， 设底面边长为，又因为底面为正三角形， 所以，所以. 所以底面边长为． 13．（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析； (2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱. 【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可； （2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可. 【详解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱； （2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面. 截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱， 其中四边形和是底面. 14．（23-24高一下·湖北·期中）有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺丝钉共重.如图，每个螺丝钉都是由一个正六棱柱和一个圆柱构成，正六棱柱底边长为，高为；圆柱的底面半径为，高为.（取） (1)求一个六角螺丝钉的表面积； (2)问这堆螺丝钉大约有多少个？ 【答案】(1) (2)1295个 【分析】（1）圆柱和棱柱的表面积公式求解； （2）利用圆柱和棱柱的体积公式，求得其体积，然后求得这堆六角螺丝钉的体积求解. 【详解】（1）解：正六棱柱两个底面面积为：， 正六棱柱六个侧面面积为：， 圆柱侧面面积为：， 故一个六角螺丝钉的表面积：. 综上所述：一个六角螺丝钉的表面积是. （2）这堆六角螺丝钉的体积为：， 一个六角螺丝钉的体积为： ， 这堆六角螺丝钉大约有：（个）. 因此这堆六角螺丝钉大约有1295个. 15．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，如图所示，已知水渠长400m，深1.5m，渠底宽1m，渠面宽2m．    (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土？ (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少（保留整数，且） 【答案】(1)立方米 (2)平方米 【分析】（1）由题意，水渠的形状是一个棱柱，根据棱柱的体积公式求解即可； （2）需要水泥的部分是三个矩形的面积，根据题干数据计算即可. 【详解】（1）   由题意，水渠的形状可看成一个四棱柱，设棱柱的底面积为，高为， 由棱柱的上下底面等腰梯形，其等腰梯形的面积， 棱柱的高，故棱柱的体积为：， 故需要挖出立方米的土 （2）   水渠有三个面是矩形，底面面积是， 如上图，过作，过作，垂足是， 根据等腰梯形性质可得，，故， 则两个矩形面积之和是：， 故一共需要水泥面积是平方米 学科网（北京）股份有限公司 $$