3.6 循环小数（学霸课堂笔记）-2024-2025学年数学五年级上册同步培优讲义（人教版）

3.6 循环小数 第一部分 知识清单 · 循环小数的意义 · 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 · 如：4.888…和0.9595…都是循环小数。 · 循环节与循环小数的写法 ·   · 有限小数和无限小数 · （1）有限小数的意义。小数部分的位数有限的小数叫做有限小数。 · 如：0.472，3.515151，10.300036等，都是有限小数。 · （2）小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。 · 如：0.123123123…，3.517517…等都是无限小数。 第二部分 典型例题 例1：循环小数1.726726…，小数部分第17位上的数字是（    ）。 A．7 B．2 C．6 答案：B 分析：1.726726…的循环节是726，即周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。 详解：17÷3＝5……2 1.726726…小数部分第17位上的数字是周期的第2个，也就是2。 故答案为：B 例2：在5.2、、这三个数中，最小的数是( )，最大的数是( )。 答案： 5.2 分析：先把循环小数改写成无限小数形式，再根据小数大小比较的方法进行比较即可。 一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。 详解：＝5.1616… ＝5.1666… 5.2＞5.1666…＞5.1616… 5.2＞＞ 在5.2、、这三个数中，最小的数是，最大的数是5.2。 例3：0.6244244244244是一个循环小数。( ) 答案：× 分析：根据循环小数的定义判断：从小数部分的某一位起，一位小数或几位小数依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。根据定义判断即可。 详解：0.6244244244244不是一个循环小数。 故答案为：× 例4：3÷7的商的小数部分第120位是几？前100位小数的和是多少？ 答案：1； 451 分析：，可以发现其循环节为428571，共6个数。120÷6＝20（组），刚好整除，所以第120位是循环节的最后一位，即1。100÷6＝16（组）……4（位），即有16组完整的循环节，还剩下4位，一组循环节的和为4＋2＋8＋5＋7＋1＝27，16组循环节的和为27×16＝432，剩下的4位是4、2、8、5，它们的和是4＋2＋8＋5＝19，所以前100位小数的和为432＋19＝451，据此解答。 详解：，可以发现其循环节为428571，共6个数。 120÷6＝20 小数部分第120位是1。 4＋2＋8＋5＋7＋1＝27 100÷6＝16……4 27×16＋4＋2＋8＋5 ＝432＋4＋2＋8＋5 ＝451 答：3÷7的商的小数部分第120位是1，前100位小数的和是451。 ：基础过关练 一、选择题 1．下面与“”结果相同的算式是（    ）。 A．0.8÷0.25 B．8÷2.5 C．8÷25 D．80÷25 2．下面四个循环小数中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下列除法算式中，能够得到循环小数结果的是（    ）。 A．0.4÷5 B．5÷0.4 C．8÷1.5 D．1.5÷8 4．在0.6969…，0.12345…，9.98181…，3.3333中，循环小数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 5．5.1203203…的简便记法为（    ）。 A．5.120 B． C．5.1203 6．1.290290…保留三位小数是（    ）。 A．1.291 B．1.300 C．1.290 7．元旦放假期间，妈妈教奇思和妹妹包饺子。奇思9分钟包了6个饺子，妹妹8分钟包了5个饺子。奇思包饺子的速度比妹妹（    ）。 A．快 B．慢 C．无法确定 二、填空题 8．1.2909保留两位小数是( )，保留三位小数是( )。 9．0.105353…的循环节是( )，这个数用简便形式写作( )。 10．在括号里填上“＞”“＝”或“＜”。 5.8÷1.02( )5.8    2.87÷1( )2.87    33.5÷0.8( )33.5 0.66( )    6.38( )    ( ) 11．7.181818…是( )小数，循环节是( )，用循环小数的简写形式表示为( )，保留两位小数约是( )。 12．在7.37、、、这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 13．0.3727272…用简便写法是( )，它的循环节是( )，保留三位小数是( )。 三、判断题 14．由1÷11＝0.0909…，2÷11＝0.1818…，能推出3÷11＝0.8181…。( ) 15．7.4545454545454是循环小数。( ) 16．两个整数相除，商可能是无限循环小数，也可能是无限不循环小数。( ) 17．4.897236…是无限小数，但不是循环小数。( ) 18．循环小数一定是无限小数，无限小数就是循环小数。( ) ：培优提升练 四、计算题 19．直接写得数。 0.6×0.4＝        4.8÷0.6＝        8.5×0.6＝        72.9÷9＝        0.64÷0.8＝ 12.5×8＝        0.9÷0.1＝        0.01×100＝        1÷3＝        4.5÷2.5＝ 20．列竖式计算。          （商保留两位小数）          （商用循环小数表示） 五、解答题 21．一个循环小数是7.2306306…，小数部分第10位上的数字是几？小数部分第2021位上的数字是几？ 22．北京南站到天津站的距离约为120km，乘城际列车仅需0.55小时即可到达。城际列车平均每小时大约行驶多少千米？（得数用循环小数表示） 23．有一列数2、3、6、8、8、4、2、8…，从第3个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字。这列数的第27个数是几？ 24．有一列数1、3、4、7、1、8、9、7…，从第3个数开始，每个数都是前两个数和的个位数字。这列数的第35个数是几？ 25．“嫦娥二号”绕月一周需要118分钟，绕月4周需要多少小时？（得数保留两位小数） 1．C 分析：先根据被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，先算出的结果，再算出各个选项的结果，然后进行比较，据此解答。 详解： ＝ ＝0.8÷2.5 ＝0.32 A．0.8÷0.25＝3.2，0.32≠3.2，结果不相同； B．8÷2.5＝3.2，0.32≠3.2，结果不相同； C．8÷25＝0.32，0.32＝0.32，结果相同； D．80÷25＝3.2，0.32≠3.2，结果不相同。 故答案为：C 2．C 分析：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，百分位上的数大的那个数就大......以此类推。 详解：A．0.06＝0.30653065… B．0.36＝0.3065065… C．0.30＝0.306565… D．0.306＝0.306555… 0.306565…＞0.306555…＞0.30653065…＞0.3065065… 故答案为：C 3．C 分析：循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。计算出每个算式的结果，再判断是否是循环小数，据此解答。 详解：A．0.4÷5＝0.8，结果是有限小数； B．5÷0.4＝12.5，结果是有限小数； C．8÷1.5＝5.333…，结果是循环小数； D．1.5÷8＝0.1875，结果是有限小数。 故答案为：C 4．A 分析：循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。据此解题。 详解：0.6969…是循环小数，0.12345…不是循环小数，9.98181…是循环小数，3.3333不是循环小数。所以，在0.6969…，0.12345…，9.98181…，3.3333中，循环小数有2个。 故答案为：A 5．B 分析：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。据此解答。 详解：5.1203203…＝ 故答案为：B 6．C 分析：保留三位小数就是精确到千分位，要看万分位上的数字是几，然后根据四舍五入的方法取近似值，万分位上的数字小于5，则万分位以及后面的数字舍去，如果万分位上的数字大于或等于5，则向千分位进1，再舍去。 详解：1.290290…保留三位小数是1.290。 故答案为：C 7．A 分析：用6除以9，5除以8分别计算出奇思和妹妹包饺子的速度，比较两个算式的计算结果，结果较大的说明包饺子的速度快。 详解：奇思：（个/分钟） 妹妹：（个/分钟） 因为，所以奇思包饺子的速度比妹妹快。 故答案为：A 8． 1.29 7.275 分析：小数的近似数：根据“四舍五入”求近似数的方法，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 详解：1.2909≈1.29 ＝7.275275…≈7.275 1.2909保留两位小数是1.29，保留三位小数是7.275。 9． 53 分析：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。据此解答。 详解：0.105353…的循环节是53，这个数用简便形式写作。 10． ＜ ＝ ＞ ＜ ＜ ＞ 分析：一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；一个数除以1等于它本身； 一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点； 小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。 详解：因为1.02＞1，所以5.8÷1.02＜5.8 2.87÷1＝2.87 因为0.8＜1，所以33.5÷0.8＞33.5 因为＝0.666…，0.66＜0.666…，所以0.66＜ 因为＝6.3838…，6.38＜6.3838…，所以6.38＜ 因为＝2.5999…，＝2.5959…，2.5999…＞2.5959…，所以＞ 11． 循环 18 7.18 分析：一个小数的小数部分，有一个数或几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。保留两位小数，就要看到第三位小数，按“四舍五入”的方法，保留两位小数。据此解答。 详解：7.181818…是循环小数，循环节是18，用循环小数的简写形式表示为，保留两位小数约是7.18。 12． 7.37 分析：比较小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大……。比较循环小数时，根据需要把循环节多写几遍再比较。 详解：＝7.3777… ＝7.3737… ＝7.7333… 7.7333…＞7.3777…＞7.3737…＞7.37，则这四个数中，最大的数是，最小的数是7.37。 13． 0.3 72 0.373 分析：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；保留三位小数，要看小数点后面第四位小数是几，根据四舍五入法取近似值。 详解：0.3727272…＝0.3 0.3≈0.373 所以0.3727272…用简便写法是0.3，它的循环节是72，保留三位小数是0.373。 14．× 分析：每一个算式和第一个算式比较，除数不变，被除数分别扩大2、3、4…倍，那么循环节09也分别扩大2、3、4…倍，据此直接写出的数即可。 详解：9×3＝27 则由1÷11＝0.0909…，2÷11＝0.1818…，能推出3÷11＝0.2727…。原题干说法错误。 故答案为：× 15．× 分析：一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。 详解：7.4545454545454是有限小数，不是循环小数，所以原题说法错误。 故答案为：× 16．× 分析：两个整数相除，能整除商就是整数，不能整除商可以写成小数，能除尽商时小数是有限小数，除不尽时商就是无限循环小数，不可能是无限不循环小数，据此解答。 详解：两个整数相除，商可能是无限循环小数，如：1÷3＝0.333…，不可能是无限不循环小数，原题说法错误。 故答案为：× 17．√ 分析：一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数；从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数。据此判断即可。 详解：根据分析可知，4.897236…，是无限小数，但不是循环小数。 原题干说法正确。 故答案为：√ 18．× 分析：小数部分的位数是有限的小数，这样的小数叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数，叫做循环小数。据此解答。 详解：根据分析可知，循环小数是无限小数，而无限小数包含循环小数和无限不循环小数。 故答案为：× 19．0.24；8；5.1；8.1；0.8 100；9；1；；1.8 20．0.00975；24.11； 90； 分析：小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除；除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法保留小数。 一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 详解：                                                                                                                  21．6；3 分析：一个循环小数是7.2306306…，它的循环节是306，共3个数字。小数部分第10位上的数字，先去掉不参与循环的第1位数字2，也就是从第2位开始计算，（10－1）÷3＝9÷3＝3（组），没有余数，说明刚好循环了3组，所以小数部分第10位上的数字是循环节最后一个数6；同样去掉不参与循环的第1位数字2，计算（2021－1）÷3＝2020÷3＝673（组）……1（个），余数是1，说明循环了673组后，又开始新的一组，所以第2021位上的数字是循环节的第一个数3。据此解答。 详解：（10－1）÷3 ＝9÷3 ＝3（组） （2021－1）÷3 ＝2020÷3 ＝673（组）……1（个） 答：小数部分第10位上的数字是6，小数部分第2021位上的数字是3。 22．218.千米 分析：根据路程÷时间＝速度，代入数据解答，注意结果用循环小数表示。 详解：120÷0.55＝218.（千米） 答：城际列车平均每小时大约行驶218.千米。 23．6 分析：把数列继续写下去，找出它除了前两个以外的循环周期，然后用27减去2再看差里包含有多少个周期还多几位，就可以确定第27位上的数字。 详解：2，3，/6，8，8，4，2，8，/6，8，8，4，2，8，/6，8…… 除了前两个数以外，每6个数为一个周期。 余1说明与周期中第一位的数字相同，即为6。 答：这列数的第27个数是6。 24．9 分析：把数列继续写下去，找出它的循环周期，然后再看35里包含有多少个周期还多几位，就可以确定第35位上的数字。 详解：1，3，4，7，1，8，9，7，6，3，9，2/1，3，4…… 每12个数为一个周期。 35÷12＝2……11 余11说明与循环节中第11位的数字相同，即为9。 答：这列数的第35个数是9。 25．7.87时 分析：由题中的条件可以知道，绕月一周需要118分钟，绕月4周需要4个118分钟，用乘法计算，再根据1小时＝60分，把单位化为小时，得数保留两位小数，即采用“四舍五入”法，保留到百分位。据此解答。 详解： 答：绕月4周需要7.87小时。 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$