专题01 对数的概念重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题01 对数的概念重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 知识点1　对数的概念 1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.  名师点睛 “log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算. 知识点2　对数的基本性质 1.负数和零没有对数. 2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1. 3.对数恒等式 =N. 名师点睛 1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”. 2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数. 知识点3　指数式与对数式的转化 1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)表示a,b,N三者之间的同一种关系. 2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变. 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知集合,集合，则=（   ） A．{} B．{,,0} C．{2} D．{0,1} 2．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的定义：如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例2】（江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的性质 （1）对数的基本恒等式：（，且），（，且）. （2） （且）. （3） （且）. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（21-22高一上·福建福州·期中）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（22-23高一上·广东东莞·期中）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（21-22高一·全国·课前预习）(多选)下列说法正确的有（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 9．（21-22高一·全国·课前预习）（多选）下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 10．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数，其中，.若，，是的三条边长，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的零点均大于1 B．若为直角三角形，则对于，恒成立. C．，使，，不能构成一个三角形的三条边长 D．， 11．（24-25高一上·全国·课前预习）常用对数与自然对数 通常，我们将以 为底的对数叫作常用对数，并且把记为 ，另外，在数学研究中，常用以e（）为底的对数，这种对数叫作自然对数，并且把记为 ． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·上海·课前预习）对数函数的定义 当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了 的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为 ． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 16．（24-25高一上·全国·课前预习）我们知道若，则；若，则；若，则等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于，，等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：，，，. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）将下列对数式写成指数式： (1)； (2). 20．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 对数的概念重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 知识点1　对数的概念 1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.  名师点睛 “log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算. 知识点2　对数的基本性质 1.负数和零没有对数. 2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1. 3.对数恒等式 =N. 名师点睛 1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”. 2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数. 知识点3　指数式与对数式的转化 1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)表示a,b,N三者之间的同一种关系. 2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变. 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知集合,集合，则=（   ） A．{} B．{,,0} C．{2} D．{0,1} 【答案】C 【分析】根据对数的性质即可求解集合，由交集的定义即可求解. 【详解】由可得,又， 故 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的定义：如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    【答案】 底数 真数 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例2】（江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果. 【详解】设， 则有，，， 可得，即，解得， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的性质 （1）对数的基本恒等式：（，且），（，且）. （2） （且）. （3） （且）. 【答案】 1 0 【分析】由对数的定义，指对互化可得. 【详解】由已知且， 设，则，则，即； 设，则，则，即. 故答案为：； 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 1．（21-22高一上·福建福州·期中）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【详解】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课后作业）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 【答案】B 【分析】根据指数幂运算结合对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，然后两边平方即可得到，进而求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 7．（22-23高一上·广东东莞·期中）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项 【详解】①，正确； ②根据指数式和对数式的互化可知其正确； ③，错误； ④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误. 故选：AB 8．（21-22高一·全国·课前预习）(多选)下列说法正确的有（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 【答案】ACD 【分析】根据对数的定义即可判断答案. 【详解】由对数的定义可知A,C,D正确； 对B，当且时，才能化为对数式. 故选：ACD. 9．（21-22高一·全国·课前预习）（多选）下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 【答案】BCD 【分析】对于A：由对数的定义即可判断； 对于B：用对数的定义即可判断； 对于C：由常用对数的定义即可判断； 对于D：由自然对数的定义即可判断. 【详解】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确； 对于B：只有符合，且，才有，故B错误； 对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误； 对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误. 故选：BCD. 10．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数，其中，.若，，是的三条边长，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的零点均大于1 B．若为直角三角形，则对于，恒成立. C．，使，，不能构成一个三角形的三条边长 D．， 【答案】AC 【分析】对于A，结合题意及函数零点的定义令，则，进而结合不等式的性质及三角形的性质可得，进而结合对数函数的性质即可判断；对于B，由题意可得，进而整理即可判断；对于C，令，，即可判断；对于D，由题意可得，，进而化简函数，进而结合指数函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，则， 令，则，即，即， 在中有，，即，则， 又，则，所以， 则，则函数的零点均大于，故A正确； 对于B，若为直角三角形，结合，， 可得，所以，故B错误； 对于C，令，，，能构成一个三角形的三条边长， 但，，，不能构成一个三角形的三条边长，故C正确； 对于D，由题意，，且，， 所以，， 当时，，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一上·全国·课前预习）常用对数与自然对数 通常，我们将以 为底的对数叫作常用对数，并且把记为 ，另外，在数学研究中，常用以e（）为底的对数，这种对数叫作自然对数，并且把记为 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·课前预习）对数函数的定义 当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了 的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为 ． 【答案】 变量随变量变化 全体正数 【分析】略 【详解】略 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】16 【分析】将对数式化为指数式可得. 【详解】由可得， 所以. 故答案为：16 16．（24-25高一上·全国·课前预习）我们知道若，则；若，则；若，则等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于，，等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据指数运算法则可知用指数方程解决不了上述问题，于是就引出了对数. 【详解】用指数方程不能解决上述方程， 为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）对数式中，真数是正数，据此求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得，即的取值范围为. （2）依题意，，解得或，即的取值范围为. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：，，，. 【答案】答案见解析 【分析】利用对数定义，进行指对互化即可. 【详解】；；；. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）将下列对数式写成指数式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数式和指数式的互化关系求解. 【详解】（1）根据指数式和对数式的关系，可化为 （2）根据指数式和对数式的关系，可化为 20．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数式与对数式的互化即可得解. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. 学科网（北京）股份有限公司 $$