第三章 指数运算与指数函数重难点检测卷-2024-2025学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

第三章 指数运算与指数函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（21-22高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 3．（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 4．（23-24高一上·江西抚州·期中）有的科学计算器无法直接计算很大的数，我们可以设计一下计算方法，以便利用这些科学计算器进行近似计算．利用计算器计算得到，，则当时，函数的函数值的近似值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）指数函数且图像经过点，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 10．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·全国·单元测试）函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 13．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知函数，，则a的取值范围是 . 14．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（22-23高一上·广东广州·期中）计算或化简： (1)； (2). 16．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 17．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设函数． (1)求的定义域并判断的奇偶性； (2)求的值． 18．（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数，. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求的值域. 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 指数运算与指数函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（21-22高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 2．（22-23高一·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】因为,则,可得,即可计算的值. 【详解】 . 故选:D. 【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题. 3．（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 【答案】C 【分析】依据题意构造奇函数，利用奇函数的性质结合指数运算求解即可. 【详解】令， 的定义域为，关于原点对称， 所以，故， ， 所以是奇函数，而，， 解得，所以， 故，故C正确. 故选：C 4．（23-24高一上·江西抚州·期中）有的科学计算器无法直接计算很大的数，我们可以设计一下计算方法，以便利用这些科学计算器进行近似计算．利用计算器计算得到，，则当时，函数的函数值的近似值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题干，利用指数运算性质化简求值即可. 【详解】当时，. 故选：D. 5．（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得 ，，进而可得,，分选项计算即可. 【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以， ， 因为 所以 ， 即，所以, 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于 D， ，故D错误. 故选：C. 6．（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）指数函数且图像经过点，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】 先求指数函数的解析式，再求. 【详解】由题意，得，故， 故选：C 7．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数型函数过定点，令即可得到结果 【详解】根据指数函数恒过定点， 则恒过定点，令，， 所以函数的图象必经过定点， 故选：D. 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别由指数函数和一元二次函数性质化简集合，，再由两个集合的交集的定义即可求出. 【详解】因为时且， 所以集合，， 所以. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 10．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 11．（22-23高一上·全国·单元测试）函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】使用换元法，将原函数转化为二次函数，由二次函数的性质对各选项依次进行辨析即可. 【详解】∵， ∴令（），则， 由已知，， ∵，∴由二次函数的性质可知， 当且仅当，即时，；当且仅当，即时，， ∴，，故选项A错误，选项C正确，选项D正确； 设集合， 由二次函数的性质，若当时，值域为， 则，∴由指数函数的单调性知，，故选项B正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】根据算术平方根可解得，，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 所以，， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知函数，，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由在上的值域是在上的值域的子集求解. 【详解】解：由题意可知在上单调递增，则在上的值域是， 当时，在上单调递减，则在上的值域是. 因为，，，所以解得. 当时，在上单调递增，则在上的值域是. 因为，所以解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可，分别求出在的最大值及在上的最大值，则答案可求. 【详解】， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 在R上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可，即，解得， 即m的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（22-23高一上·广东广州·期中）计算或化简： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)-7 【分析】（1）根据n次根式的性质化简即可； （2）根据实数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 16．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 17．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设函数． (1)求的定义域并判断的奇偶性； (2)求的值． 【答案】(1)且，偶函数 (2) 【分析】（1）利用具体函数定义域的求法可得的定义域，再利用函数奇偶性的判断方法判断即可； （2）根据的解析式推得，从而求得所求结果. 【详解】（1）因为，所以，即且， 所以函数的定义域为且， 所以的定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数. （2）因为， 所以 故． 18．（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数，. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求的值域. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意可得对于恒成立，，即有对于恒成立，结合对勾函数的性质及基本不等式求解即可； （2）分和求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断、证明即可； （3），则有，再令，则有，分、结合对勾函数、反比例型函数求解即可. 【详解】（1）解：定义域为R，即对于恒成立， 令，那么，即对于恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以， 即的取值范围为； （2）解：定义域分两种情况讨论： ①当时，定义域为R , 定义域关于原点对称. ②当时，定义域不为R （i） 定义域为，定义域关于原点对称； （ii） ，解得 即， 所以定义域关于原点对称. 所以的定义域关于原点对称， 下面判断和的关系， ， 即， 所以是奇函数， 综上所述是奇函数； （3）解：当时， ， 设， 那么， 设， 那么， ①当时，； ②当时，， 因为， 由对勾函数的性质可得 所以， 即 所以 综上，的值域为 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】令，则，先求出的单调性和指数函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】函数的定义域是R． 令，则． 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又函数在R上是增函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 学科网（北京）股份有限公司 $$