第9课 有理数的乘方-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第9课 有理数的乘方 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解乘方、幂、指数、底数的概念，掌握乘方与幂的表示法. 2.理解幂的符号法则,会进行有理数的乘方运算. 3. 掌握科学记数法，会用科学记数法表示较大的数.. 4. 会进行乘方、乘、除的简单混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的乘方 1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数. 2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0 知识点02 科学记数法 1.把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学记数法.． 2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 　　 ( 能力拓展 )考点01 有理数的乘方 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【即学即练1】计算： （1） ；（2） ；（3） ；（4） （5）　；（6） ；（7） ；（8） 考点02 科学记数法 【典例2】．用科学记数法表示下列各数： (1)2730． (2)7531000． (3)． (4)． 【即学即练2】3．用科学记数法表示下列数据： （1）水星的半径为； （2）木星的赤道半径约为； （3）地球上的陆地面积约为； （4）地球上的海洋面积约为． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．对乘积记法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．中底数是（　　） A．3 B．4 C． D． 3．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各对数中，相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．下列各数中，负数是（　　） A． B． C． D． 6．在这5个数中负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列各组数中，最后运算结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．2024年6月4日嫦娥六号完成世界首次从月球背面采样盒起飞，这趟往返76万公里的旅途中，是轨道器，着陆器，上升器，返回器，四器分工协作，完成了极其复杂，极具挑战的任务．“760000”用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9．作为第19届亚运会的主办城市，杭州凭借其独特的文化魅力和自然景观吸引了众多游客．据浙江省文旅厅公开数据，亚运会期间杭州的游客量高达843.2万人次，其中“843.2万”用科学记数法表示应为（　　） A．8.432×102 B．8.432×106 C．8.432×107 D．843.2×104 10．计算： ， ， ． 11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102000000000000千米． (1)用科学记数法表示出天鹅座第61颗暗星到地球的距离； (2)如果光线每秒可以行300000千米，那么你能计算出天鹅座第61颗暗星发出的光线到达地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来． 12．用科学记数法表示下列各数： （1）地球的体积约为1080000000000立方千米． （2）太平洋面积约为17970万平方千米． （3）银河系中约有恒星一千六百亿个． （4）预计到二十一世纪中叶，世界人口总数将达到九十亿人． 13．下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ ． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 题组B 能力提升练 16．计算： （　　） A．10 B．0 C． D．1 17．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 18．光在真空中的传播速度约是，光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？（一年以计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（） 19．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 题组C 培优拔尖练 20．若，，且，则 ． 21．对于有理数，如果，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 23．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④______；⑤；… (2)请写出第个等式：______； (3)利用（2）中的等式，计算：． 24．对于任意一个自然数n，如果n的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称n为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数m，如果m是一个整数的立方，那么称m为“立方数”，例如，，所以8是一个立方数． (1)判断9999是不是方数？729是不是立方数？ (2)若自然数N既是“方数”又是“立方数”，则称N为完美数，请求出小于1000的自然数中的所有完美数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9课 有理数的乘方 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解乘方、幂、指数、底数的概念，掌握乘方与幂的表示法. 2.理解幂的符号法则,会进行有理数的乘方运算. 3. 掌握科学记数法，会用科学记数法表示较大的数.. 4. 会进行乘方、乘、除的简单混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的乘方 1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数. 2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0 知识点02 科学记数法 1.把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学记数法.． 2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 　　 ( 能力拓展 )考点01 有理数的乘方 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【思路点拨】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 【即学即练1】计算： （1） ；（2） ；（3） ；（4） （5）　；（6） ；（7） ；（8） 【思路点拨】根据有括号先算括号内，没有括号按从左往右的顺序，有乘方先乘方计算即可．注意与的区别，，而表示的n次幂的相反数． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，正确区分与是解决本题的关键． 考点02 科学记数法 【典例2】．用科学记数法表示下列各数： (1)2730． (2)7531000． (3)． (4)． 【思路点拨】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【解析】（1） （2） （3） （4） 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【即学即练2】3．用科学记数法表示下列数据： （1）水星的半径为； （2）木星的赤道半径约为； （3）地球上的陆地面积约为； （4）地球上的海洋面积约为． 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【解析】解：（1）＝； （2）＝； （3）＝； （4）＝． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要确定a的值以及n的值． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．对乘积记法正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据乘方的意义，可知四个相乘，可记为． 【解析】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数乘方的意义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方． 2．中底数是（　　） A．3 B．4 C． D． 【思路点拨】根据幂的定义进行解答即可． 【解析】解：由中可得为底数，为指数， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的概念 3．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据有理数的乘方进行计算即可求解． 【解析】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数乘方的定义， 4．下列各对数中，相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【思路点拨】根据绝对值的意义，有理数乘方运算法则进行计算逐项判断即可． 【解析】解：A．和不相等，故A不符合题意； B．和，故B不符合题意； C．和相等，故C符合题意； D．和不相等，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘方运算， 5．下列各数中，负数是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据乘方的性质，绝对值的性质化简，再判断即可． 【解析】因为，不是负数，所以A不符合题意； 因为，是负数，所以B符合题意； 因为，不是负数，所以C不符合题意； 因为，不是负数，所以D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了乘方，绝对值，正负数， 6．在这5个数中负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】先利用绝对值运算、、相反数定义，将各数化简变形，再由负数定义逐个判断即可得到答案，熟记绝对值运算、、相反数及负数概念是解决问题的关键． 【解析】解：，，，，， 在这5个数中负数是，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值运算、、相反数及负数概念， 7．下列各组数中，最后运算结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【思路点拨】根据乘方运算法则逐项计算即可． 【解析】解：A．，，故不相等； B．，，故不相等； C．，，故相等； D． ，，故不相等； 故选C． 【点睛】本题考查了乘方运算 8．2024年6月4日嫦娥六号完成世界首次从月球背面采样盒起飞，这趟往返76万公里的旅途中，是轨道器，着陆器，上升器，返回器，四器分工协作，完成了极其复杂，极具挑战的任务．“760000”用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【解析】“760000”用科学记数法表示正确的是． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 9．作为第19届亚运会的主办城市，杭州凭借其独特的文化魅力和自然景观吸引了众多游客．据浙江省文旅厅公开数据，亚运会期间杭州的游客量高达843.2万人次，其中“843.2万”用科学记数法表示应为（　　） A．8.432×102 B．8.432×106 C．8.432×107 D．843.2×104 【思路点拨】根据科学记数法的概念解答即可． 【解析】解：843.2万＝8432000＝8.432×106． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键． 10．计算： ， ， ． 【思路点拨】根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【解析】解：； ； ． 故答案为：，4，． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102000000000000千米． (1)用科学记数法表示出天鹅座第61颗暗星到地球的距离； (2)如果光线每秒可以行300000千米，那么你能计算出天鹅座第61颗暗星发出的光线到达地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来． 【思路点拨】（1）根据科学记数法的表示方法进行表示即可； （2）利用时间等于路程除以速度，进行计算即可． 【解析】（1）102000000000000千米千米； （2）秒． 答：需要秒． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．用科学记数法表示下列各数： （1）地球的体积约为1080000000000立方千米． （2）太平洋面积约为17970万平方千米． （3）银河系中约有恒星一千六百亿个． （4）预计到二十一世纪中叶，世界人口总数将达到九十亿人． 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可． 【解析】解：(1)1080000000000=1.08×1012； (2)17970万=179700000=1.797×108； (3)一千六百亿=160000000000=1.6×1011； (4)九十亿=9000000000=9×109． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 13．下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ ． 【思路点拨】根据（ 其中 正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把 的小数点向右移动 位所得的数，即可求解． 【解析】解： ； ； ； ； ． 【点睛】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法，熟练掌握（ 其中 正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把 的小数点向右移动 位所得的数是解题的关键． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【思路点拨】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 【思路点拨】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式； （7）原式； （8）原式； （9）原式． 【点睛】本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 题组B 能力提升练 16．计算： （　　） A．10 B．0 C． D．1 【思路点拨】先根据乘方运算法则进行计算，然后再根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【解析】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算 17．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 【思路点拨】根据有理数的乘方的定义化简后，再有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可. 【解析】解：，，， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 18．光在真空中的传播速度约是，光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？（一年以计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（） 【思路点拨】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，求出即可； （3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可． 【解析】（1）解：（米）， 米千米， 答：1光年约是千米； （2）（千米）， 答：银河系的直径约是千米； （3）， ， 答：光的速度是这架飞机速度的倍． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解此题的关键是能根据题意列出算式． 19．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 【思路点拨】（1）分别计算后比大小，然后作答即可； （2）根据（1）的结果，归纳后作答即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【解析】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥； （2）解：把第（1）题的结果经过归纳得出：当时，； 当时，． （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数比较大小．解题的关键在于正确的运算，并归纳出正确的结论． 题组C 培优拔尖练 20．若，，且，则 ． 【思路点拨】先根据绝对值的性质可得，有理数的乘方可得，再根据绝对值的性质可得，然后代入计算即可得． 【解析】解：， ， ， ， 又， ，即， ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘方、有理数的加减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 21．对于有理数，如果，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】根据运算法则，运用特殊值法逐项判断即可得出答案． 【解析】解：， ，故B正确，符合题意； ，故C错误，不符合题意； 当，时，，故A错误，不符合题意； 当，，时，，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 22．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【思路点拨】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【解析】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 23．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④______；⑤；… (2)请写出第个等式：______； (3)利用（2）中的等式，计算：． 【思路点拨】（1）由图可知，第4个等式为从1开始连续4个奇数的和等于4的平方； （2）由图得出规律，第n个等式为从1开始连续n个奇数的和等于奇数个数的平方，由此可得答案； （3）首先将原式改写成，然后利用规律计算即可． 【解析】（1）解：由题意知，第4个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为：， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了规律型—图形的变化类 24．对于任意一个自然数n，如果n的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称n为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数m，如果m是一个整数的立方，那么称m为“立方数”，例如，，所以8是一个立方数． (1)判断9999是不是方数？729是不是立方数？ (2)若自然数N既是“方数”又是“立方数”，则称N为完美数，请求出小于1000的自然数中的所有完美数． 【思路点拨】（1）根据“方数”的定义，求出9999各位数字之和进行判断即可；判断729是9的立方即可求解； （2）根据“完美数”的概念，先找到所有“立方数”，再从中找到所有的“方数”即可． 【解析】（1）解：∵， ∴9999是方数； ∵， ∴729是立方数． （2）解：小于1000的自然数中的立方数有：0，1，8，27，64，125，216，343，512，729 其中又是方数的有：0，1，27，216， ∴小于1000的所有完美数有：0，1，27，216． 【点睛】本题考查有理数乘方的应用，理解题中定义，根据已知条件逐渐缩小求解范围是解答问题（2）的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$