2.1.1椭圆及其标准方程教案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

课时计划（教案） 第 1 课时 日期： 年 月 日 课 题 椭圆及其标准方程 授课时数 1 本课时教学方法 讲授、练习 课 型 新授课 教学目标 1、经历从具体情景中抽象出椭圆的过程 2、掌握椭圆的定义 3、掌握椭圆的标准方程和推导过程，会求简单的椭圆的标准方程 重 点 难 点 1、掌握椭圆的定义 2、掌握椭圆的标准方程和推导过程，会求简单的椭圆的标准方程 教学过程与方法： 教师二次备课页 一、情景引入：生活中的椭圆图形 二、实验探究 取一条没有弹力的细绳，把它的两端 分别固定在画板上的F1和F2两点，同 时用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画 板上慢慢移动. 三、椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 。 如图：(常数) 焦距， 思考1：为什么要求 1 绳长等于两定点间距离即2a=2c 时，轨迹为线段 2 绳长小于两定点间距离即2a<2c 时，无轨迹 思考2：我们通过观察知道椭圆是具有对称性的，怎么样由椭圆的定义说明该猜想的正确性？ 1 椭圆是轴对称图形，直线及线段的垂直平分线都是椭圆的对称轴； 2 椭圆也是中心对称图形，线段的中点O是椭圆的对称中心． 例1 已知的周长为10，且=4，则的顶点A的轨迹是什么？并说明理由． 解：因为的周长为10，且=4， 所以=6，且． 根据椭圆的定义可知，的顶点A的轨 迹是以B，C为焦点，焦距长为4的椭圆（不 含椭圆与直线BC的交点）（如图）． 四、椭圆的标准方程 复习求圆的标准方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系， （2）设曲线上任意一点M的坐标为(x，y); （3）找出限制条件 p(M); （4）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （5）化简方程 f (x，y)=0; （6）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明) 方便记忆，简称“建、 设、限、代、化” 椭圆的标准方程 （1）建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁” 取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). （2）设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆 的焦距2c(c>0),P与 F1和F2 的距离的和 等于正常数2a(2a>2c),则 F1、F2 的坐标 分别是(-c，0)、(c，0) （3）由椭圆的定义得，限制条件： （4）把坐标代入限制条件：， 所以 （5）化简： 移项，再平方： 移项，整理得： 两边再平方： 整理得： 令,所以 两边同时除以得： 另一种情况，椭圆焦点在y轴上时，如图， 可以让同学们自己求解标准方程， 椭圆标准方程为： 总结归纳椭圆的标准方程： 椭圆定义 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 焦点坐标 ， ， 的关系 注明：①共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 3 不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大. 例2：判断下列椭圆的焦点在哪条轴上，并写出焦点坐标. （1） （2） 解（1）焦点在x轴上,焦点坐标：(-3,0)、(3,0) （2）转化为标准方程：，焦点在y轴上,焦点坐标：(0,-4)、(0,4) 例3：写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)经过点M(3，0)，N(0，2)； 解 (1)依题意，22，4，则，椭圆标准方程为． (2)依题意，，，椭圆标准方程为． 课堂练习 1．点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 2．已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 3．方程表示的曲线是 ，其标准方程是 . 4．已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程． 4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点 板 书 设 计 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 $$