1.2 解直角三角形及应用（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

1.2 解直角三角形及应用（5个考点） 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【考点1 解直角三角形的相关计算】 1．在中，，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于D，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交、交于点、，如果，，那么的长等于 ． 【考点2 解非直角三角形】 6．一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在纸片中，，将纸片绕着点按顺时针方向旋转，使得点落在点处，点落在边上的点处，连接，若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，AB＝2，cosB，sinC，则△ABC的面积是（　　） A．3 B． C． D．2 9．在锐角中，，，若，则 ． 10．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 11．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 12．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 13．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 14．问题呈现： 如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决： （1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值． 15．如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m） 16．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”． （1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”． （2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长． 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 17．如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 18．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 19．北京冬奥会激发了民众冰雪运动的热情．小明沿坡度为的斜坡向下滑行了100米，则他下降的高度为 米． 20．如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高，则坡面的长度是 ． 21．如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为 m． 22.如图，是一垂直于水平面的建筑物，是建筑物底端的一个平台，斜坡的坡度（或坡比）为，坡长为米，为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），在C处测得建筑物的顶端的仰角为，在处测得建筑物的顶端的仰角为，米，求建筑物的高度．（测角仪的高度不计）（结果保留整数， ） 23．为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的改造为坡角为的，已知 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离(结果保留根号)． (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为， ，若 ，求此时货车顶端E到水平线的距离．(结果精确到，参考数据： ，)． 24．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为80米，在B处测得大楼顶部D的仰角为，在E处测得大楼顶部D的仰角为60°，求大楼的高度．（结果保留根号） 25．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 26．如图，某旅游风景区有一座海拔高度为的山峰，游览路线为：从山脚下海拔高度为的A处先步行爬山到达登山缆车的起点B；再从B处乘坐登山缆车到达山顶C．已知步行登山路线AB的坡角为，登山缆车的轨道与水平线的夹角为． (1)求登山缆车起点B的海拔高度； (2)若登山缆车的行驶速度为，从B处乘坐登山缆车到达山顶C大约需要多长时间？（参考数据：） 27．如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    28．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 29．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 30．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 31．如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 32．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 33．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 34．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 35．如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约（    ）m（结果精确到，参考数据：）．    A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9 36．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（    ）米．（结果精确到米，参考数据：，，） A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米 37．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．则求的长度为 （结果精确到）．（参考数据：，，，） 38．如图，某山顶上建有手机信号中转塔，在地面D处测得塔尖的仰角，塔底的仰角，点D距塔的距离为100米，则手机信号中转塔的高度 （结果保留根号）． 39．综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 40．在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，） (1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号） (2)求学校旗杆的高度．（精确到） 41．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 42．在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架EF上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为度；小溪用皮尺分别测量及小林目高的长．已知于点于点于点米，米，米，请你利用测得的数据求出这棵树的高度（结果保留整数．参考数据：，） 43．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： ， ； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 44．在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 45．如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 46．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 47．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向．(参考数据： (1)求B，D两地的距离；(结果精确到米) (2)大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用． 48．如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔，货轮继续向北航行40分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．（结果保留整数）（参考数据：，，，，） 49．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 解直角三角形及应用（5个考点） 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【考点1 解直角三角形的相关计算】 1．在中，，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由，，根据勾股定理得．再根据余弦值的定义得． 【详解】解：如图． ∵，设， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解决本题的关键． 2．如图，在中，，于D，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可求出，进而得出，将代入，可求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 3．正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：如图：正六边形的任一内角为， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 4．如图，在菱形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可设，则，，根据，得出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】四边形是菱形， ， ， ， 设， 则，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 5．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交、交于点、，如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形和垂直平分线的性质，根据，求出，则，，再根据，即可求出，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】在中，，，， ∴， ∵斜边的垂直平分线分别交、交于点、， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【考点2 解非直角三角形】 6．一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作于点D．由邻补角的性质可求出，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出．由所作辅助线结合等腰三角形的性质又可得出．最后由余弦的定义得出，代入数据，求出的长，即得出的长． 【详解】如图，过点C作于点D． ∵， ∴． ∵，， ∴，． 在中，，即， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查邻补角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 7．如图，在纸片中，，将纸片绕着点按顺时针方向旋转，使得点落在点处，点落在边上的点处，连接，若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，，，可求出的长，根据旋转，可求出的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵将纸片绕着点按顺时针方向旋转，使得点落在点处，点落在边上的点处， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转，勾股定理的综合，理解旋转的性质，勾股定理解直角三角形的边长是解题的关键． 8．在△ABC中，AB＝2，cosB，sinC，则△ABC的面积是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，BC即可解决问题． 【详解】解：如图，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABH中，∵cosB， ∴∠B＝45°， ∵AB＝2， ∴AH＝BH， 在Rt△ACH中，∵sinC， ∴AC， ∴CH， ∴BC＝BH+CH， ∴S△ABC•BC•AH， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 9．在锐角中，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，学会作出辅助线构造直角三角形解决问题．过点作构造直角三角形，再根据三角函数定义解直角三角形即可． 【详解】解：过点作垂足为， ， 设，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 故答案为： 10．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可． 【详解】如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 11．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 12．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 13．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 14．问题呈现： 如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决： （1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的判定及平行线的性质得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，证明△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tan CPB= tan ABE； （2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．通过平行四边形及平行线的性质得到∠CPB=∠MCD，利用勾股定理的逆定理证明△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos∠CPB=cos∠MCD． 【详解】解：（1）连接格点 B、 E， ∵BC∥DE，BC=DE， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DC∥BE， ∴∠CPB=∠ABE， ∵AE=，BE=，AB= ， ∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°， ∴tan∠CPB= tan∠ABE=， 故答案为：2； （2）如图2所示，取格点M，连接CM，DM， ∵CB∥AM，CB=AM， ∴四边形ABCM是平行四边形， ∴CM∥AB， ∴∠CPB=∠MCD， ∵CM=，CD=，MD=， ， ∴△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°， ∴cos∠CPB=cos∠MCD=． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题． 15．如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m） 【答案】 【分析】如图，过作于，，在中，，求出的值，在中，，求出的值，然后根据计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 即A、C相距约． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据三角函数值求的值． 16．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”． （1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”． （2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长． 【答案】（1）见解析；（2）92°或113°；（3）或3-3 【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③与原三角形有两角对应相等即可． （2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可． （3）根据三角形的“优美分割线”的定义求出∠B，再利用解直角三角形进行解答． 【详解】解：（1）证明：如图1中， ∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°， ∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD为等腰三角形， ∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴CD是△ABC的完美分割线． （2）①当AD＝CD时，如图2， ∠ACD＝∠A＝46°，∠ADC=88°， ∴∠BDC＝92°， ∵∠B＝∠B， ∴∠ACB＝∠BDC＝92°． ②当AD＝AC时，如图3， ∠ACD＝∠ADC＝＝67°， ∴∠BDC＝113°， ∵∠B＝∠B， ∴∠ACB＝∠BDC＝113°． ③当AC＝CD时，如图4， ∵∠ADC＝∠A＝46°， ∴∠BDC＝134°， ∵∠B＝∠B， ∴∠ACB＝∠BDC＝134°． ∴∠ACB+∠A=180°，与三角形内角和定理矛盾，舍去． ∴∠ACB的度数是92°或113°． （3）①若AD＝CD时，如图5， 此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，此时∠ACB＝60°，故∠B＝90°． 在直角△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，则BC＝3. 在直角△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，则BD＝BC•tan30°＝． ②若AC＝AD时，如图6，作CE⊥AB,垂足为E，∠ADC＝∠ACD＝75°，∠BDC＝105°， 此时∠ACB＝105°，∠B＝45°， ∵∠A＝30°，AC＝6， ∴EC＝3，AE＝EC•tan60°＝3． ∵∠B＝45°， ∴EC=BE＝3， BA＝3+3， BD＝BA-DA =3+3-6=3-3， ③当AC＝CD时，由（2）可知，不成立，舍去． 【点睛】本题考查考查了几何新定义问题，主要运用等腰三角形的性质和解直角三角形等知识进行推理与判断，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型． 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 17．如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得，解得， ， 故选：B． 18．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，由，再代入数据可得答案． 【详解】解：在中，， ∴米． ∴这名滑雪运动员的高度下降了米； 故答案为： 19．北京冬奥会激发了民众冰雪运动的热情．小明沿坡度为的斜坡向下滑行了100米，则他下降的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图，设他下降的高度x米， ∵斜坡的坡度为， ∴这位同学滑行的水平距离米， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴他下降的高度为米， 故答案为：． 20．如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高，则坡面的长度是 ． 【答案】/米 【分析】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．在中，已知了坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出坡面的长． 【详解】解：中，，； ， ． 故答案为：． 21．如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为 m． 【答案】12 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键． 先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡角，坡长m， ∴（米）， ∴， ∵背水坡CD的坡度，， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为12． 22.如图，是一垂直于水平面的建筑物，是建筑物底端的一个平台，斜坡的坡度（或坡比）为，坡长为米，为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），在C处测得建筑物的顶端的仰角为，在处测得建筑物的顶端的仰角为，米，求建筑物的高度．（测角仪的高度不计）（结果保留整数， ） 【答案】20米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 延长交的延长线于，过作于，先解直角三角形，求出，设米，可得，再根据列方程，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，过作于， 在Rt中，， , 设米，则米， 米， 米， ， ， 米，米， 设米， ∵在中，， ∴， ∴ 米， 米； 在 中，，， ， ， 解： （米）， 答：建筑物的高度约为20米． 23．为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的改造为坡角为的，已知 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离(结果保留根号)． (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为， ，若 ，求此时货车顶端E到水平线的距离．(结果精确到，参考数据： ，)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题； （1）过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得： ，，从而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 的距离为； （2）解：延长交于点， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 米， 此时货车顶端到水平线的距离约为． 24．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一座大楼的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为80米，在B处测得大楼顶部D的仰角为，在E处测得大楼顶部D的仰角为60°，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】大楼的高度是米 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．作于点F，设米，根据三角函数进行计算即可． 【详解】解：作于点F，设米， 在中，， 米， 斜坡的坡度， ， 坡底的长为80米， 米， 米， 在中，米，， 米， ， ， ， （米）， 答：大楼的高度是米． 25．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】建筑物的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可． 【详解】解：设米，延长交于，作于，于，   ，在中， 米，， ， ， 米，米， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 在中， ， 米， 米， 米， 米， 在中， ， ， ， 米， 米， 答：建筑物的长约为米． 26．如图，某旅游风景区有一座海拔高度为的山峰，游览路线为：从山脚下海拔高度为的A处先步行爬山到达登山缆车的起点B；再从B处乘坐登山缆车到达山顶C．已知步行登山路线AB的坡角为，登山缆车的轨道与水平线的夹角为． (1)求登山缆车起点B的海拔高度； (2)若登山缆车的行驶速度为，从B处乘坐登山缆车到达山顶C大约需要多长时间？（参考数据：） 【答案】(1)登山缆车起点B的海拔高度为， (2)从B处到达山顶C处大约需要 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键． （1）过B点作于D，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于D，于E，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴登山缆车起点B的海拔高度为， 答：登山缆车起点B的海拔高度为； （2）解：在中，，， ∴， ∴从B处到达山顶C处大约需要： ， 答：从B处到达山顶C处大约需要． 27．如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    【答案】该建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，根据三角函数的定义得到，过作于，则，，在中，设，根据三角函数的定义得到，求得，，在中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在中， ，， ， 过作于，    则，， 在中，设， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 答：该建筑物的高度为． 28．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】广告牌CD的高约为7.4米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、， 由题意可知，，，，米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，米， （米， ， 答：广告牌CD的高约为7.4米． 29．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【答案】(1)24米 (2)8米 【分析】（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】（1）解： 斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； （2）解：作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 30．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 【答案】(1)60米 (2)米 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题； （1）根据正切的定义求出； （2）过点作于点，于点，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：在中，米，， ， 米， 答：高楼的高度为米； （2）过点作于点，于点， 则四边形为矩形， ，， 设米， 米， 斜坡的坡比是：， 米， 米， 在中， 解得：，经检验是原方程的解， 答：点离地面的距离约为米． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 31．如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意可得，米，，进而可得，即得米，再根据中点定义即可求解，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，米，， ∴， ∴米， ∵点是的中点， ∴米， 故选：． 32．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得出，设米，则米，米，再解直角三角形求出的值即可得解． 【详解】解：如图， ， 在中，， ∴， 设米，则米，米， 在中，， 解得：， ∴楼房的高度为米， 故选：C． 33．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得 ，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (米)， 故选：C． 34．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 35．如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约（    ）m（结果精确到，参考数据：）．    A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，设，解可得，则，然后在中，解直角三角形求出x，即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于H，    由题意得，，，， 设， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选B． 36．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（    ）米．（结果精确到米，参考数据：，，） A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角、坡度坡角等知识点，根据题意作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． 如图：延长交过点D的水平面于F，作于E，先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数求出即可． 【详解】解：如图：延长交过点D的水平面于F，作于E， 由题意得：米，米，， 在中，，米， ∴米，米， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米），即建筑物的高度为米； 故选：D． 37．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．则求的长度为 （结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，由题意可得，，得到，过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，解得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，， 则， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，，，、 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．如图，某山顶上建有手机信号中转塔，在地面D处测得塔尖的仰角，塔底的仰角，点D距塔的距离为100米，则手机信号中转塔的高度 （结果保留根号）． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．解答本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，含，的直角三角形性质，解直角三角形． 先在中，根据，得出；再在中，根据含30°的直角三角形性质，求出，然后由即可求解． 【详解】由题意可知，与都是直角三角形． 在中， ∵， ∴ ， ∴ ． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴． ∴手机信号中转塔的高度为米． 故答案为：米． 39．综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 40．在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，） (1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号） (2)求学校旗杆的高度．（精确到） 【答案】(1) (2)学校旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等角对等边的性质以及勾股定理的应用，掌握解直角三角形的知识是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得出，根据等角对等边可得出，最后根据勾股定理即可求出． （2）由正切的定义即可得出， 最后即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴ ∴点C到旗杆顶端A的距离为． （2）根据题意可知：， ∴， 故学校旗杆的高度为． 41．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 两楼之间的距离为； （2）解：在中，，， ， ， 大厦的高度约为． 42．在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架EF上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为度；小溪用皮尺分别测量及小林目高的长．已知于点于点于点米，米，米，请你利用测得的数据求出这棵树的高度（结果保留整数．参考数据：，） 【答案】8米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，过点C作于点H，则米，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正切函数建立方程解得，结合图形即可求解，理解题意，熟练掌握解三角形的应用是解题关键． 【详解】解：过点C作于点H，则米， 由题意得：米，（米）， ， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）． 43．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： ， ； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60； (2)米 (3)此时无人机距离地面BC的高度为110米 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 【详解】（1）解：过点A作于点E， 由题意得： ∴， ， （2）解：由题意得：米，米． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． （3）作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴米． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 44．在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】(1)海里 (2)救助船先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、实数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，由题意得：海里，，，先解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可得出答案； （2）分别求出救助船、所花时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作于，则， ， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中，（海里）， ∴收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离海里； （2）解：∵救助船、分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发， ∴救助船所花时间为（小时），救助船所花时间为， ∵， ∴救助船先到达． 45．如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 【答案】处距离灯塔的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过作，垂足为，根据题意将和用表示出来，再结合得出方程，求得，在中，利用正弦求出． 【详解】解：如图，过作，垂足为， 根据题意，，，， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：处距离灯塔的距离约为． 46．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． （1）过点C作于点D，分别在和中，解直角三角形即可求得的长； （2）由题意可得及的长，则计算即可求得结果． 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意得，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故景点B和C处之间的距离为； （2）由题意得：，， ， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约． 47．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向．(参考数据： (1)求B，D两地的距离；(结果精确到米) (2)大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用． 【答案】(1)、两地的距离约为 (2)翻新总费用为元 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，在中，解直角三角形求出，根据含30度直角三角形的性质即可求出； （2）过点作于点，在和中，根据三角函数的定义求出，继而求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：、两地的距离约为； （2）解：过点作于点， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 费用为元， 答：翻新总费用为元． 48．如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔，货轮继续向北航行40分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．（结果保留整数）（参考数据：，，，，） 【答案】此时货轮C与灯塔B的距离约为34海里 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点C作于点D，根据题意求出的长，再根据三角形的外角性质求出，然后根据锐角三角函数定义求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则， 货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，向北航行40分钟后到达C点， （海里）， ， ， （海里）， 在中，， （海里）， 答：此时货轮C与灯塔B的距离约为34海里． 49．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） 【答案】(1) (2)61.3海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理求出； （2）过点作于，根据正弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 在中，海里，， ， （海里）， 在中，， 则（海里）， 答：货轮从到航行的距离约为61.3海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$