专题2.26 有理数运算解题方法与技巧（六种方法技巧和八类题型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.26 有理数运算解题方法与技巧（六种方法技巧和八类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 【方法1】归类运算 进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 【方法2】凑整求和 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 【方法3】变换顺序 在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算． 【方法4】逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 【方法5】巧拆项（裂项相消） 把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷． 常见的裂项相消： ① ② ③ ④ 【方法6】巧用倒数 在处理多项式的乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒数运算再还原成原数的方法. 题型目录 【题型1】归类运算........................................................2; 【题型2】凑整求和........................................................2； 【题型3】变换顺序........................................................2； 【题型4】逆用运算律......................................................3； 【题型5】巧拆项（裂项相消）..............................................3； 【题型6】巧用倒数........................................................3； 【题型7】直通中考........................................................4； 【题型8】拓展延伸........................................................4. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】归类运算 【例1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：． 【变式1】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【题型2】凑整求和 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2． 【变式1】19-20七年级上·浙江杭州·阶段练习）= ． 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 【题型3】变换顺序 【例3】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习） （1） （2） 【变式】（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整： 原式 = ． 【题型4】逆用运算律 【例4】（22-23七年级上·四川遂宁·期末）计算： ． 【变式】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 【题型5】巧拆项（裂项相消） 【例5】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 【变式1】（22-23七年级上·广东惠州·期中）若，则的负倒数是 ． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【题型6】巧用倒数 【例6】（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例】（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.26 有理数运算解题方法与技巧（六种方法技巧和八类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 【方法1】归类运算 进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 【方法2】凑整求和 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 【方法3】变换顺序 在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算． 【方法4】逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 【方法5】巧拆项（裂项相消） 把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷． 常见的裂项相消： ① ② ③ ④ 【方法6】巧用倒数 在处理多项式的乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒数运算再还原成原数的方法. 题型目录 【题型1】归类运算........................................................2; 【题型2】凑整求和........................................................3； 【题型3】变换顺序........................................................4； 【题型4】逆用运算律......................................................6； 【题型5】巧拆项（裂项相消）..............................................6； 【题型6】巧用倒数........................................................8； 【题型7】直通中考.......................................................10； 【题型8】拓展延伸.......................................................11. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】归类运算 【例1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】20 【分析】先化简符号，再正数结合负数结合，最后相加． 本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键． 解： ． 【变式1】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减运算，凑整，即可求解． 解： 故选：B． 【点拨】本题考查了有理数的加减中运算中的简便运算，掌握有理数的运算律以及运算法则是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键． 解： ， 故答案为：． 【题型2】凑整求和 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2． 【答案】(1) ； (2). 【分析】本题考查有理数的加减混合运算； （1）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解即可； （2）将分母相同的两个数分别结合为一组求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】19-20七年级上·浙江杭州·阶段练习）= ． 【答案】-9 【分析】原式去括号，然后先计算括号内的数，然后再运用有理数的减法运算法则计算即可. 解：原式= = =7-16 =-9 【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键. 【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】根据加法交换律和结合律凑整计算即可求解． 解：计算最好的方法是运用加法交换律和结合律变形为 计算． 故选∶ D． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化是解题的关键． 【题型3】变换顺序 【例3】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）（1） （2） 【答案】（1）（2）7 【分析】（1）根据有理数乘法交换律、结合律计算即可． （2）根据分配律计算即可． 本题考查了有理数乘法运算，分配律计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1） ． （2） ． 【变式】（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整： 原式 = ． 【答案】 1 【分析】根据所给式子，提公因式得到，故第一个空填；从而根据同分母分数加减运算计算括号里的式子得到，故第二个空填1，从而得到答案． 解：由题意知 ， 故答案为：；1． 【点拨】本题考查利用乘法分配律对题目恒等变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，读懂题意，掌握同分母分数加减运算法则及分数乘法运算法则是解决问题的关键． 【题型4】逆用运算律 【例4】（22-23七年级上·四川遂宁·期末）计算： ． 【答案】25 【分析】根据乘法分配律将25提出来之后，再根据有理数的加减运算法则即可求解． 解：原式 故答案为：25． 【点拨】本题考查了有理数的四则混合运算，注意计算过程中的符号，正确运用乘法分配律是解题的关键． 【变式】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】99900 【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 解： ． 故答案为：99900． 【题型5】巧拆项（裂项相消） 【例5】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)；(3) 【分析】（1）由前面4个等式的规律可得第5个等式的规律，即可完成求解； （2）利用（1）中的规律即可完成求解； （3）利用（1）中规律，把每一项拆成两个分数的差的形式，即可求解． 解：（1）解：由前面4个等式的规律，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 【点拨】本题是规律探索问题及其应用，考查有理数的混合运算，寻找到规律是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级上·广东惠州·期中）若，则的负倒数是 ． 【答案】 【分析】由，，，，，，，可得的值，即可求出负倒数． 解：∵ ， ∴的负倒数是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，认真审题，找出规律是解决此题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 解：由题意知， ， 故答案为：． 【题型6】巧用倒数 【例6】（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错． （2）选择适当且正确的方法解答即可． 本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键． 解：（1）根据题意，得第一种解法是错误的， 故答案为：一． （2）原式的倒数为 ， 故原式． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．求出原式的倒数，即可求解． 解：原式的倒数为 故原式 【变式2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 解：（1）根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2） ； （3）因为， 所以． 故答案为： 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例】（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 解： … ，，， 故选：C． 【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)； (2)；(3)1；(4)；(5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 解：（1） （2） （3） （4） （5） 【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$