专题4.2 指数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年职教高考数学一轮复习讲练测（福建专用）

专题4.2 指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：指数函数的概念 2 考点二：指数函数的性质 3 【考纲要求】 1.理解指数函数的图像与性质，会判断指数函数的单调性。 2.会求函数值;会利用指数函数的单调性比较同底指数值的大小。 【考向预测】 1.指数函数的概念 2.指数函数的性质 【知识清单】 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 6．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 7．指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【考点分类剖析】 考点一：指数函数的概念 例1．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 例2．指数函数的定义域为（    ） A．R B．Q C．Z D．N 例3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 例4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例5．已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【变式探究】1．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 4．y＝2x－1的定义域是（    ） A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 5．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 考点二：指数函数的性质 例1．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 例2．若指数函数（且）在上是严格减函数，则下列不等式中，一定能成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 例3．指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 例4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．函数在区间[-2,-1]上的最大值是 A．1 B．2 C．4 D． 3．若函数的最大值为2，则实数的值为（ ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 4．指数函数，且的图像必过定点 （     ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：指数函数的概念 2 考点二：指数函数的性质 3 【考纲要求】 1.理解指数函数的图像与性质，会判断指数函数的单调性。 2.会求函数值;会利用指数函数的单调性比较同底指数值的大小。 【考向预测】 1.指数函数的概念 2.指数函数的性质 【知识清单】 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 6．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 7．指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【考点分类剖析】 考点一：指数函数的概念 例1．函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 例2．指数函数的定义域为（    ） A．R B．Q C．Z D．N 【答案】A 【分析】由指数函数的性质求解． 【详解】因为指数函数为：且，它的定义域为：， 故选：A 例3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，利用排除法进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，函数，因此排除D. 当时，函数，因此排除A和C， 故选：B 例4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 例5．已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 【变式探究】1．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数与反比例函数的性质即可得解. 【详解】因为幂函数的值域为， 对于A，指数复合函数的值域为，故A错误； 对于B，对数复合函数的值域为，故B正确； 对于C，幂函数的值域为，故C错误； 对于D，反比例函数的值域为，故D错误. 故选：B. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 3．函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性求值域即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：. 4．y＝2x－1的定义域是（    ） A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的意义可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 5．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案. 【详解】①当时，单调递增， 故，解得； ②当时，单调递减， ，无解， 综上可知. 故选：B 考点二：指数函数的性质 例1．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由题，∵单调递增，则； ∵单调递减，则； ∵单调递增，则， ∴ 故选：A 例2．若指数函数（且）在上是严格减函数，则下列不等式中，一定能成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性得到的取值范围，从而逐一分析各选项即可得解. 【详解】指数函数且在上是严格减函数， 则，故AB错误， 则，故C正确，D错误. 故选：C. 例3．指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知得出，进一步结合指数函数性质即可逐一判断各个选项. 【详解】∵，∴，， 若设指数函数，（且），则易知：， 所以当时，；当时，； 故只有才可能是该指数函数经过的点． 故选：C． 例4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 所以即； 因为为增函数，故即； 因为为减函数，故即， 综上. 故选：A. 例5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解. 【详解】， 故, 故选：A 【变式探究】1．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分析可知函数在区间上单调递增，结合单调性求最值. 【详解】因为在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：A. 2．函数在区间[-2,-1]上的最大值是 A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性，判断出当时函数取得最大值，并由此求得最大值. 【详解】由于为定义域上的减函数，故当时函数取得最大值为.故选C. 3．若函数的最大值为2，则实数的值为（ ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性，求解函数的最值，列出方程，求解即可． 【详解】解：函数f（x）＝3﹣|x|﹣m是偶函数， x＞0时，函数是减函数，函数的最大值为：1﹣m＝2， 解得m＝﹣1． 故选A． 4．指数函数，且的图像必过定点 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数性质分析判断. 【详解】∵，且， ∴指数函数，且的图像必过定点. 故选：A. 5．已知函数，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数 的单调性和函数平移规则分析. 【详解】 是单调递增的函数，经过 ，渐近线为 ，当 时， ， ，渐近线为 ， 所以图像如下图： 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$