16.3 角的平分线-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（冀教版）

16.3 角的平分线 3. 如图,在△ABC中.C=90{,AD平分BAC. 新知在线 。 新课知识提前练 DE AB于E,F在AC上,BE=FC. -新知梳理言 求证:BD-FD 角平分线的性质定理 要点一 _## 1. 角平分线的性质定理;角平分线的点到这个角的 两边距离 要点二 角平分线性质定理的逆定理 2. 角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相 等的点在 上. 要点三 用尺规作已知角的平分线 3. 用尺规作已知角(AOB)的平分线的步骤 第一步,以O为圆心, 为半径画张,交 OA于点D,交OB于点E 第二步,分别以点 为圆心,适当长为半径 画孤,两狐在 AOB内部相交于点C; 第三步,作射线OC,则射线OC就是AOB的平 分线. 知识点2 角平分线性质定理的逆定理 -预习检测 4. 如图,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距 离相等,则点P是 1. 下列关于三角形的平分线的说法错误的是 ) A.两条角平分线的交点在三角形内 A.线段CD的中点 B.两条角平分线的交点在第三个角的平分线上 B.CD与过点O作CD的垂线的交点 C.两条角平分线的交点到三边的距离相等 C.CD与乙AOB的平分线的交点 D.两条角平分线的交点到三顶点的距离相等 D.以上均不对 2. 在△ABC中,C-90{,AD是BAC的平分线, 北 若DC-6,则D到AB的距离是_. 基础在线 知识樊点分类练 知识点1 角平分线的性质定理 第4题图 第5题图 1. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,DE|AB. 5. 如图所示,要在河流的南边,公路左侧的M区建 DFIAC,垂足分别为E.F,则下列四个结论:①AB 一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等, 上一点与AC上一点到点D的距离相等;②AD上 并且到河流和公路的交叉处A点的距离为1cm 任一点到AB,AC的距离相等;③EBD=FCD; (图上距离)处,则图中工厂的位置应在 ④1一2.其中正确的有 ) C.3个 D.4个 ,理由是 A.1个 B.2个 知识点3 用尺规作已知角的平分线 6. 尺规作图作乙AOB的平分线方 法为:在OA,OB上分别截取 OC,OD.使OC- ,再分 别以点C,D为圆心,以大于 第1题图 第2题图 CD长为半径画狐,两孤在 2. 如图,AD是△ABC中BAC的角平分线,DE 乙AOB 交于点P,作射线OP,则OP就 AB于点E,S*.-7,DE-2.AB-4,则AC长是 是之AOB的 .由作法得△OCP ( ) △ODP的根据是 A.3 B.4 C.6 D.5 77 探究在线 八年级数学(上)· 于点G;③作射线AG交BC边于点D,则 ADC 能力在线 . 的度数为__. 方法毙力整合练 ##_## 一、选择题 来。 1.(中考·广元)观察下列作图痕迹,所作线段CD 为八ABC的角平分线的是 第6题图 第7题图 7. 如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50. 60.其三条角平分线交于点O,则So·S; S.c.- 三、解答题 8. 如图,PA-PB,PAO+2-180*。 求证:OP平分AOB # D 2. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的 延长线交于点E,若点P使得Sw一Sro.则湖 足此条件的点P ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成E的角平分线 D.组成/E的角平分线所在的直线(E点除外) ##.### 第2题图 第3题图 3. 如图,三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现 9.(拓展提升)如图,△ABC的外角ACD的平分线 计划修一个油库,要求到三条公路的距离相等,可 CP与内角ABC的平分线BP交于点P. 供选择的地址有 - (1)试探索 /BPC与/BAC的关系; A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 (2)若乙BPC-40,求CAP的大小. 二、填空题 4. 如图,OP平分MON,PA1ON于点A,点Q是 射线OM上的一个动点,若PA-2,则PQ的范围 是 ### 第4题图 第5题图 5. 如图,△ABC中,C=90,BAC的平分线交 BC于点D,若CD-4,则点D到AB的距离是 6. 如图,在△ABC中,C-90{,CAB-50”,按以 下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半 径画狐,分别交于AB、AC于点E,F;②分别以E. 第十六章 抽对称和中对称 78由养件细1+之 是3，如果起这美对角线当作到群填，影器 长：AD平分∠出∠1=∠2 43)角∠N非=∠雀=B,得∠H=0回，1N 记套本形用川再轴低叠可得村移位置们周 1e DE8M,23=∠2. AL夏∠A=矿，由三角君内角和定观得∠M3生 位数样浑为4，如园所示，这些数字的相为 1311e ∠1=∠3，EA=ED 10×10+关54125， E在线登AD的中潘线上 5.《11任取一hK,使东程C在射情B的 在>全的灌型内任取一个目，如x=,明里式2 16,2线段的意直平分线 同理可证FA=F,可知F虚在线夜AD的中围反上 肉秀 7,不到，理由如下 第1课时线段康直平分找的性晴定理 直线FF为AD的中重线， )其点C为情心，(×长为丰径作氧：交 世为哥- 新如核理 LADLEM 8于直D,点E 反段两南峰直平分线=卫，4=期 能力在越 )分别程点自制点E为司七，以大于DE长为半径作 写有童又，尚胥中特衣和武无人，止物 预习检测 LC I.C &.B 1.AL1 太重程早#找看有率分线瓦垂直平分找气 氯，为交于点F, 结果有V哥-，重一以 基健在线 1.D0A路，∠B=期，÷∠=∠n= 4)作直线F,直置F目为所求的后风 ,D1.DL0七1 1CE,∠E=, 健力在座 雕元小结与复习（四】二次根式 头：述为AC的中垂线： ,∠AC+∠DCE。 LC C 1D 4.D2 单元糖识植理 品AE=CE, ∠A市+∠AC=行， 5.1)度高亨圆任)等因 1,名C15413,Ck47,0, 议T首时长为8.库T+C+市=， ∠IF-∠E4日 L用时（作A的短直平分民，以直C为到0，A为半陵 以5队-子L.-7-52 AE十+C=,“AB= ∠D=∠ 角氧，在广场内得义A型倚满直平业线于边进， 在△CD△A中，D=A, 12,g式=+3=/5+1=13=1=2+4=年=1=1 ,1国，直线1为线程AH的重直平 L,作点A美于直找N的到群这A,庄接A日之N十直 ∠E=∠ 线， 85, C:AC意是女本的仪星 △ED2△AAS.(E-CA 2)直线（规量B的需直平什线：山 中考真题透草 旺：A-A美于MN精称-点C在MN上 点C在线祖AE自像直平分线上 M,N在直且上， LAt.非&A.0瓦B4.C7. n=A,AB是线骨.出LB鼎复 K相等，理齿细下： 品MA=i.NA=X所中函线上一点到 8.-年.11®.511.器2.12 又AD=AC+C 性授议 线口两端的即青相零，N件MV(会共 11,4)期式=-反，2)原式-1十2 A形=A十，A十出最框 FAD-AC. 14把=2=，3代人得，7+411F=5+2,31 值力在线 点A在残反m的属直平计线上 △H1N0△dhN5s9 1,B23,n七中005年6， 屑理，D点电车线段仪的系直平分线上， 万)十B=2+8 ∴，∠MN=∠BN 7,DE原直平分AB, 两点威宠一素直找： 易健精登裤桥 4.1知国： ,U=AD=空m: AD是线程度C的春直平分保 过：号△1C整等山三角幕，点D是 又“D平数∠A交AE于D,且DP⊥AB.⊥， 世P是AD延民线上的一在： A中点， ,在△DEH面△DI中， 玉原成-m+-作×亚 BE EC. 15 ∠0CB=6, ∠E-∠. ++ 化(1意.理油释 ∠DEH=∠DB ∠w-∠A- y5-立 H=, 又：C=E, △求心△AAS. 0,(1)旺明：：AD家风 第十六章触对称和中心对称 ∠4D=∠1k-, DEDC-Lcm. ∠=∠1 ,∠DE=D,=E, 1道1轴对称 2.AC-AP+[-3 m “E身D中点 又D山⊥IE. 慧轮植理 .EF看直平分AD,EA物D CE-DE ,.=EL ,完全重合到称编 ∠A-∠TnE: 在△F无与△4D中， 16.3角的平分機 三站两个国形这两个图君转称及 +∠ADE-∠B-∠.∠AE=∠2-∠ELE ∠F-∠AED 斯如植理 1全等图形明成线段对史角系直早分 ∠春+∠1两∠F+∠2， CE-DE L,相等艺角平分线3，适当款之，厂 上中或意直中需线中常线 5∠1-∠3 ∠下=∠AE 所丹校测 锁险到 品∠B=∠CAE △FE△AEDEAA5,CF=AD 1D212 ,AI+)= 2)炸4时：r在四A正的垂直平分线上.列 基础在硬 蒸稻在线 f明，AD⊥C,D=C: LC艺A 1,A3,i AD◆直平C, “模=6，A=2.A4=.六1=C十AD 1.#A0平分C,0F上AB,且∠-r LD角门对种袖为角平分线所位的直线：正方和的村释精 AB-AC 2YCF-ADC+CF-IF. ,.D(角平分线上任意一点到角的两边的离图 考两圣对角线所在的直线相两引对造平点州在的直线 又点C在AE筒承直平什线上 .AN-BF. 等 ①帽的对群轴为直臣所在的直线： A=Cg-库A.=Cg. .点H在AF的满直平业线上 在：△DE和区FDC中 tA3.②填3周6.07.0及2m DE-CE+CD.BD-CD.AB-CE. 革3课时有头线段◆直平拿汽的尺规作困 星=， 能刀在线 .惠=A非十时我 需划枫理 ∠DB+∠C=: .A2.非&B4,2五15k151.国略 乳2课时线校◆直年分属注质义理竹送理 1.点一卡直院2国心垂直平分线 =, (1时称直有A和A,程箱和， 新划理 烦习检测 ,A.BDE2△FDs4S), (:直线w是线段A1'的果直平分线： 养找既两端距真智等悦授A修齿清直平登找上 1野过直线外一点车巴直叹的垂线2，得立A ,.D=我《金等三角老的对应站相等 (在百找研上1它门的室点虫在我线n上1厘锦，若两线 丽习轮御 4. 贝关于直线m时感，且不早行：则它信交点酸它口的短民 1.D1.A 墨是在线 5,∠AC的半计线，且与A点自离为1和西角的周边 置的交成在对序销上， 基烤在线 LD 2. 距两解等的点在角传平分机上 ,由数字的营列方阵国其看出，其中一条时角线上的数字露 1.D1.B KA CC=C x〔1因略) 6.0内那角平分5 一探究在须·八年观双学（上）·一 23 侧力在楼 k116,14m 在教例连接A,半，义于息以，点)能是它1的时禁中心 中考真题选章 LC2.D1.D4,PQ2i4657.4ta16 1L过或P作PELA干E: L.D笔C&A0.A 8,过点P作客上A.PF⊥.看足分期为名， 夏：PDL, 5,到风2周平座或而南相等的点在线假的景直平冷况上：料 "∠2+∠P='∠1+∠P0-1a㎡. ∠PE=∠PD=的. 自确电一条直线 ,∠1=/2 TP-BP. 在△AP前△FP中： 在△HPE△4PD中∠I∠， 需语具里播析 f∠1=∠2， ∠PE=∠PDI ,(D有1条对解辅：丽(2)有3第对称编，博(3)有4青封 “∠AP-∠- ÷△PE2△PAA8),Hr-H 存物：医4在3条利移的， AP Pll :A+C42D,CD十，AR=E一AE t.A急D4.①中③ ,△APa△IFP(AA 第十七章特殊三角形 PE=F,XPaM.PW⊥8 PELBE.PD⊥H 能力在板 17,1等理三角形 ,P平分∠从思 LD么DkA4.B玉，线，长为围，国 第【派时等躁（造）三角形的性黄比理 P=, 6正方形，？<（公4风心处，毫 .)∠8=∠ 10,《l)m断乐. 所知植理 在APEA和APDC中，∠PE4=∠PD 上，两道相等腰底边两题的夹角■和能也的夹刻 出是，：∠=∠1-∠2， A下=D, 2AE-i序，AE成F,由 出△AC镜直《数转8得珂 它角等餐有角三角形 又BP,P分同平背∠A,∠ △PE2APD1HAs1.∠PAR=∠A 8∠t=子∠A,∠-Y∠ 天∠AP+∠AP=1 △F℃，∴盛A与点F美干aC 之，轴对秀丽限溪角平什线高中性丽身平分线 两底角等 ∠山P+∠P=1 成中心对称，点与点名关于点C成中心到序： 3,三道棉等，相等们 ∠-2D-∠Ax9 I2如图，过点P养PE⊥M于点E,PF⊥溶千真F, MC=CF,C=E,厚AE与F关于点C减中0对 领习检西 ∠X=∠PF卫=了 移，.A=F,A水8 X∠BAC=∠T∠A✉ L.减2.12 T(是∠出的平分线 《3)仪=(E,5-9ar(同A等展 基建在线 ,∠PE=÷∠HC, ∴E=PF 同库8两8m·5=Sy, C2)当∠■时时：山1得∠LMC=过直P分粥用 ∠AB=0.∠CP=, .5=0年=45r=4x4=16(m AB,度C偷手线，条行国任得：点严在与∠队C相解 ∠PE+∠D0m--36=1 16.5利周图形的系移，被转和轴对称设计图郑 A=D配=E 的外角半分线上两以∠CA18r一- 直∠7十∠=1， 藤始梳理 .∠DEA=∠A=r,CUD=/ ∠PCE=∠PF 1平等旋转朝时称 又#∠EA=∠EBD+∠EDB 专题圳练利六)线报亚直平分线及 在△E朝△严Dp中 二()基本图形山平移城书抽对非 ∠HD=∠ED=L5x4 角平分埃性质的皮网 ∠NE-∠PDF 横可检测 .∠IX=∠A+∠AH0-1, ∠P'=∠PFD, 1B2.晚 VABR AC.DC"BD. 名，上梁解指平分： =, 蒂硬在线 ∠BC=∠-∠A做=L,Sr ,墙=D APTESAPDELAAS) 在△L中，十1+15=r +AD+-1 二Y'=P 七甲从早信角废，且一个系方边用为精本方 =“,厚∠A=45 5.C8B2.1 +AD+HD-11 m 1点丽：延长E交的延长风于点F, 乙从轴对件的自度，以情常傍一中有基本周形击党新 率AC+AB=146m AFLEE. 丙从中心对释的角度：区周紫的一平为林本用用进行分 ,:△℃和△2释是等边过角影， 设Ai=￥m=￥m 去∠Am=∠FEB= 行，盖转各自什程的角度不民，年是数们的观点都是正确 A=,E=D.∠AC=∠0E=0 雀△.AE4△CBD中： +一14： YBD平分∠AaA,∠AHE∠E e1b的g8=8C AB一4 叉：A=AC-2- 文，川E=八F, ∠AC'=∠CaD: 出1一yt,解月r量8，yo6 ÷△ABE☒△FAEXARA 能力在线 F=制， 二.n装为表n,C民为6m AEFE AF AE L2.Ak47江Lt12@月 .△ABLG△CHDCSA5- 1. ∠AEn=∠A刚='， 三国11由△0绕点0呢种0得到售白由一个率国 AE CD LV呢是A银边的象直平分远： ÷∠tF+∠1u=tr-9=0, 爱其直程的个病点室转，4矿，2程到的 使力在候 EA=EB,.∠B=∠B4E ∠80+∠000=12P-0, 下为不民形下的为纳岳·影不座一 ∠Bj.∠BAE■3 ,∠ADE=∠00n,.∠0nF-∠X 又AE平分∠EA' 文女L-(,∠AN=∠a 品∠tF-∠RAE-r, △AF☑△mA5A, ∴AF-D.÷D=EAE ]乐4中心对瑞蜜形 .C@.DEAE+C 新如横罐 了.(1库得分面积相等(2)乃特我忆. ,AD乘直平分F 1,1用重在中心其称图市从界中心 (》过时格中C的直风将：心对称固形分城皮积相零削列 "AD平分∠BC,DE⊥LB,DF⊥C 玉，1和中心划格列程中C对位点'对应找登制成箱 年登 ，等边时等角程三角内角面∠B=∠C79,走一4 ∠EAP=∠FAD.∠AED=∠AF=30 玉，对移中心平行得个一个 单元小结与复习（五}转对聪和中心对称 投m∠E=∠H=5'.∠CF=∠F=5“, 文：AD=AD 装习校圈 单元：快整健 .∠DF=-t∠Hg中∠D力= △AED9△AFD 1.n黑正2边 1B三.B么七精 ,)程话行标角 AE=AN,DE两球 基健在线 1A4,p7,这 ,点A,D在假吸E下的叠直平对线上 I.B 2C J.A LC 风解国所释点P甲为情站的位置 即AD角直平分EF ✉✉ ,,F,DE下，FD,DE00∠ 24 一探男在或·八年烟数学（上》·川