7 二次根式-【探究在线】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂导学案（北师大版）

二次根式 第1课时 二次根式的概念及性质 知识.点...... 基础在线 5.王聪化简下面一道题的过程如下; -27 - -3X9-3× 3 知识点1 二次根式的概念 -3 -3 -3 1.(中考·河池)若二次根式a一1有意义,则a 9-3. 的取值范围是 你认为他的过程对吗?请说明理由,若不对, 2.给出下列式子:①、2;②3;③、-3; 请写出正确的化简过程 ④ x十y;v十1.其中一定是二次根式的 是。 (只填序号). 知识点2 二次根式的性质及化简:a一· ##(>0→0)#### _(az0.b>0) # 3.下列式子成立的是 -。_ ,__ 知识点3 A.(-4)X(-9)--4× -9 最简二次根式 ./(-16)-16 B. (-9) -9 C.(-9)*--9 7.把下列二次根式化简最简二次根式 D.(-4)×(-9)-4×/9 4.化简下列二次根式: (1)/40;(2)/1.5;(3) (1)/16×9 (2)v54; (3)#7# ## 能力在线 方法规律综合练 8. 下列式子中最简二次根式的个数有 (1)## ;(2)/6;(3)+2x+3 (4) 18;(5)V(-2);(6)v2-x(x>2) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 27 探究在线 八年级数学(上)·BS 9.(乐山期末)已知y- x-3十3-x十x+3. 15.(教材P51复习题T22变式)在《九章算术》 ) ( 则vx十y的值为 中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”. A.3 D.6 C.士3 B.9 但是在实际丈量土地面积时,准确测量高并 不容易,所以古人想到了能否利用三角形的 ( _~_ 三条边长来求面积,我国南宋著名的数学家 B- A. 秦九韶提出了“三斜求积术”,简称秦九韶公 C.-a D.--a 式,古希腊的几何学家海伦在数学史上以解 决几何测量问题而闻名,在他的著作《度量 11.(滨州期中)已知”是正整数,20n是整数,则 一书中,给出了利用三角形三边长求面积的 n的最小值为_. 方法和证明,相传这个公式最早是由古希腊 12.若二次根式5a十3是最简二次根式,则最小 数学家阿基米德得出的,在我国称这个公式为 的正整数a为. 海伦一-秦九韶公式.它的表述为:如果一个三 13.设/②=a./③=b,则②16用含a,b的式子可 角形三边长分别为a,b,c,那么三角形的面积为 以表示为 ,、0.54用含a,的式子可 S-vp-a)(-b)(-c).(公式里的为 以表示为 半周长,即-a十十) 14.(教材P43习题T4变式)(台州期中)如图,在 2 5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长 请利用海伦--秦九韶公式解决以下问题 都为1,在所给网格中按下列要求画出图形. (1)已知点A在格点(即小正方形的项点) 上,画一条线段AB,长度为5,且点B在格 点上; 图① 图② (2)以(1)中所画线段AB为一边,另外两条 (1)三边长分别为3,6,7的三角形面积为 边长分别是3,2②画一个△ABC,使点C在 格点上(只需画出符合条件的一个三角形); (2)四边形ABCD中,AB=3,BC=4.CD=7 (3)求所画的入ABC的AB边上高线的长 AD-6, B-90{,求该四边形的面积 A 拓展在线> 培优拨尖提升练 16.(梧州期中)若vx-2023+2022-xl-x,则 2022-.- 第二章 28 第2课时 二次根式的四则运算 知识..... 知识点2 基础在线> 二次根式的运算与运算律、乘法公式 5.(中考·天津)计算(19+1)(19一1)的结 知识点1 二次根式的乘除法:·一、ab 果等于 6.已知(1十3)=a十b/3(a,b为有理数),则 a十b- 1.计算18×12的结果是 ( B.6/2 A.6 C.6③ D.6、 是 -→ ) 2.已知27□3一3,能使等式恒成立的运算符 ③ A. B.1 C.5 ③ 号是 D.3 ( ) A.十 C.X B.一 D.- 8. 下列各式的运算或变形中,用到分配律的是 ( 3.(中考·厦门)计算: ) (1).2×/6- A.2/3×3/2-66 (2)/15-、3- B.(32)-3(②)? 4.计算: C.由3x-6得x-/② (1).6×v12; D.3/2+22-5/② 知识点3 二次根式的加减法 9.(北京十三中期中)下列各式中,化简后能与/② 合并的是 ( ) A.v/12 # (#2)### . D.v0.2 10.计算: (1)(中考·德州)/18一8一 (2)75+48- D易错点 误用乘法结合律而致错 -2/6. 11.计算:2-/2x1 # 能力在线 > 方法规律综合练 12.(中考·仙桃)下列各式计算正确的是( A./2+3-/5 B.4/3-33-1 C.12-2-/6 D.2×/③-6 29 探究在线 八年级数学(上)·BS 13.若使算式3、2O、8的运算结果最小,则 表 17.某小区内有一块正方形空地,物业计划利用 C 示的运算符号是 ) 这块空地修建居民休闲区,具体规划如图所 B.一 C.x D. A.十 示,其中A,B为活动区域,剩余两个正方形 14.设6一/10的整数部分为a,小数部分为,则 区域为绿化区域,面积分别是270m{}和 _ (2a十。10)的值是 120m^{},求A.,B两个活动区域的总面积. ( A.6 B.2/10 A区 120m C.12 D.9/10 270m2 Bx 15.按照图所示的运算程序,输入数字“9”,输出 的结果是。 . x(3+/2) →:3→2 →输出 x(3-/② 16.计算: (1)(\24+0.5)-(###一、)# 拓展在线> 培优拔尖提升练 18.(北京二中期中)把根式x士2\y进行化简, 若能找到两个数n,n.使n{}十n^{②}一x且mn ,则把x士2 变成n}+r士2n= (#2)## (m士n),然后开方,从而使得x士2v化简. 例如:化简3十2、2. 解:因为3+2/②-1+2+2/2-1+(/②)*+ 2×1×2-(1+2)*. 所以v3+2/2-(1+②)-1+②. 利用上述方法完成下列各题(结果要化为最 简形式): (3)(、3-2)(5+2). (1)5+2v6- (2)7一、40- (3)在Rt△ABC中,C=90{*},BC=1.AC= 2十/3,AB的长为 第二章 30 第3课时 二次根式的混合运算 知识..类..... 基础在线> 6.下面是甜甜同学进行实数运算的过程,认真阅 读并完成相应的任务 知识点 二次根式的混合运算 ###() 1.计算6-②+12 ×(V74A).一第一步 ## ) A./2 B.5/2 C.5/3 D.6、2 3.估计5+②×10的值应在 ( ) A.5和6之间 B.6和7之间 #2..第.步 C.7和8之间 D.8和9之间 4.计算8-②(2+2)的结果为 _ ) 任务一:以上化简步骤中第一步化简的依据 A.-2 B./2-2 是; C.2 D.4/2-2 5.计算: 任务二:第 步开始出现错误,请写出错 (1)②0+5(2+5); 误的原因 ,该式正确的运算结果是 能力在线> 过方法规律综合练 ........ (2)2+8 一(③); 2 7.按如图所示的程序计算,若开始输入的”值为 /②,则最后输出的结果是 ( ) /输人n算n(n+1 15-输出结果 A.14 B.16 (③)/12+/15-5 C.8+5/2 D.14+/2 8.观察下列分母有理化的计算; 1×v2-1)-v2-1 2+) (/2+1×(/2-1)(2)-1* 2-1; 1-3-; 3+v2 31 探究在线 八年级数学(上)·BS 1-4一、3; 拓展在线》 培优拔尖提升练 4十③ ... 12.观察下列等式,解答下面的问题: 从计算结果中找出规律并利用规律计算: )× V2+13+24+3 2023十/2022 #2#一# (/2023+1)= ③3o_## 9.若a十63-(m十n③),当a,m,n均为正整 数时,则/ā的值为 ... 10.计算: (1)(3+2)*(3-2)-(2-③); (1)请直接写出第个等式是; (不用化简); (2)根据上述规律猜想,若,为正整数,请用 含”的式子表示第”个等式,并给予证明; (2)、48号-一#30+(2、2+③). 寸 11.如图,点A所对应的实数为a,已知OA一OB. BC-1,请求式子 第二章 32并立方，得上一1一号想裤一一 义周为100<r110.61<75, 2)-<0<是-<< 6.1015 所以10000<r<12100.405<y<5625 (21连接AC,M,因为四边形A联D 1,1)设魔方的校长为：m,可得x=21 需以这个是球畅能用来进行国环比赛 161)顺式一+8-5十3十厅-4 中，A0=,C=4,∠=0，所以 解荐无=名 拓展在线 AC-5. 鉴：该魔方的艳长为属 《2服武-4×+2-店+-1， 1)因为停C,百<，T第断以3<T5<4 2)设该长方体活食特长为y,期y一句0： 不线设，5■3十K0<k<1), 17.《1)6 所以△ABC的有积为宁×X=名 y=100,3y=10负值含去5. 《)如图断示 容：该长方体氯盒的长为1om 谢8m(a十'，厚13a9+6+比 国为五日中7-，所以△4D购面颗为 14,由题意知，十4一2,4十2一84 因为0<1.断以0<C1 9R《9-5X山一9-万■6屑， 所以6=一名4=比时年一1h=了0， 所以a牛，期得和号，所以，厅1+ 2 7 所议国边思AD的直积为年+后. 所以一h=8,所以4一环一落一2 展在线 拓展在战 韬展在战 18,-202四 1成.B 3用计组隆开方 16.1 1B《1因为点A.台分样表常1和区，保以A出 幕多深时二文银式的回期地非 品健在线 小手-11=，g-1,再x=2-1 基础在线 A3G010.0011030I8w0网 1.C 《1)-.18一%11， 2)州为1一反-1，所以上-反时=E-1一E 1.D2.D3.1023421F m.o1a1110 109 20.石。.6. 一1.所欧一的之方雕为， 厘律：整开方数的小数点每稀砖三收，它的之方里 (5)5225g35,00M 7二次机式 七源式-店巴原式-告- 的小数点向相同的方向移动一 &《1)>(2<:4ID 第1现时二次核式的帆金及性顺 2m六n-1a 基测在战 能力在线 51s67,58.Dh,C 18)x=126000m 三D6.C7,11<2 1.421头①03,0 10.13复29g11.1 阶段测评2引2.1一之3 线《1)33833闲133 .1)原式=12.42)原式=1后 1,02H3.A4.D5,D6,A7.D8,D 能力在铺 2)根摆区上可国释出：银号内被死方数是a个酸 吸-系 摩武-克 12.D11B1tA13.7 -导n-丽h了21 字【和n个数字2的菱，结第为划个数字3， (3)3闲计算器脸短辞。 点，不对.理由如下， u1-±是a一 0式-+号-华+-后手 拓展在领 二次乳式的整开方数不可以是负数正确的化简过初 5,由一生的字方根是±2，得r一4=4r= 数1 如下： a或-w,·要-网-×号 又由2，十y十7的文方惟里8，看2十y十T=2?. 6实数 厚- 31原式=(5一265+2石)=25-24#， y-气 基秘在线 所以x+y=10,江+y的算术平方根为0 l.目2.B 8.1 17.体题意加，A以的长为而=3w3而(m, t6,设长方体橡皮阅锋长为工：依题意，斜 三有厘数集合 7.1)、p=√410=210 宽为/面-”，酒4m1. (5)·-,丽程-灯0西 0.号.-a ,-√厚-器- 所以1K的有积为3V×2,0=1期时，日区的 面积为10m, 所以长方体檬皮昆的长是T可 无现数果合： 位A,小南个活动区线的总面积为0m 17,(1)蓝开方数的个数点向度向左每移动两位，算术 /区，0.1010016001-，-号 拓展在线 平方根的小数点则相皮地向有设向左移油一位 籍力右战 18.11wW3+2《25-2131wf+2 2①点1日3：@1a6:③14M.元. 负实数里合 8,形9，A1mD11.512,213,4a600 第3谋时二次氧式的乳合疏算 估算 {,-要离， 14口)如图，线段A日甲为所求作的线设. 基避在线 4答案不唯一1 基确在线 1.C2C1.2或31 1.C5.B6、5-2w5-27.D&J-￥且U 4)越图，简出△A仪 1.8后2.B怎u1.A 4.(11<2)3>31>44) 10百 所以△A就是所求作的三箱形 5.(1》限式25+25+545+5 能力在线 11.(11原式-14花-1+2-2在-1-反. 《)如图，过点C作D⊥A非于点D, 2第式-34+2-1=2万+1 5,5s,C (21第式--1点， 新以5-A0D, w>1。 馆力在线 第式-+厚-1 %.设显球场的长为。m,宽为ym,刚一Ly,上y一 13,Ca-重厘14,0 四为8一克×1×-B名， 1.(1无理数1，一5整数0派，、 么的师术平方程等于草水华方限的肉这、及一月 T60,py=500r=1.y'=11840. 所号×：D-1.底以D-g (年0.620)二 括号前是角号，去掉括号品第二 究在成·八年级致学上)·B5 23 南控有变号红 微专题：比较二次枫式大小的七种方法 短式-3，对+√层8-4回 能力在线 1.因为（丽+T-7+2福，w石+5-7+2 人① 整力在线 2,742、>1?+2/2, -4厅+、7-4-2， 系(16 7.C2022027减2,8 15由已妇得￥一5+26=，5-2. (2)如避香示 1m,410眼武-[语+21w5-2)](,0-2-g-3 断以(w眉+)(T+a 所以￥+6=15，a6=1 月为A(5,300,(12,1257 -(5-2)-44-5+)-5w百-4 又因为%六行0，T+>0, 所以G于+行-V:十初一a0十于 所以∠N-1,∠AOX-30 断以，+，正>，Π十万 g大-/于-合×0++a+4= 所以∠AM消=0. 上网为世++点一6+山(6+ 、28-2+7=i. 因为2M=G.4沿=12. 4-2万+11十4后-15十26 4u+2 0+3 (+2 1返用为∠C-0,情以5=-吉×aC×c 衡以△第的闺能为0A·W一范 山由题查可细，B一干学一店. 所以01-W-5,所以￥-一后. 、80十<1g为2>a>o。 a十4，a+4 面+2 号关m+×(-位)= 无展在线 7.(1》2228(2(3355) 当：=一时， 衡以9十1店+2 (21在R△A议中，由对股定郑，得AH ,+18+3 /+C-v(而++《0-2-2， 2平面直角坐标系 原式-一百++BX0-1--是 挺展在线 k调为后计 第1课时平而直年坐标系的有规念 设斜边相上的高为A,则S一子×AX- 基礁在线 g+号-V情 +博以方后 所以2行×4一名都得6一2 L.B 2.B 工.(1如周，所得约图思像字得M 2)第个等式为 州为四1是何.5-0 121)-1-3+② ()如摇，所得钩图形像字母国， V石-+山高“为宝装 《2)不是，理由下： 新包何所以西 因为m十万)·(1一，5)=w一√3M+万一3=一+ ++.w+ 3 证用：左山一√ 35, 1 亚+T 因为用为正整数 m店-m店+历+ 所以m一3阳=一1十2点， 所左边-+山，石一有边， 国为国为整数，所以w=一2， , 如因所承， 所以wt5)+(5一3=(-8十5)十45一5)-8， 所以猜塑收立 覆不+压 点A-.-51.B-4.).0.4,D5.-) 后以国十，了与5一，3不是关于1的平衡散 t1绿或-6他V:画×4-里12@ 到为vB+v>丽-石. 单元信合复习{二)实数 特门考点笑碰 ,2西-22-2键1-1， 所以-后- 1.D 2.A 3.A 4.2 5.1 4.A T.D 8.D 9.D) 量专增3二次限式的运算及应用 四为-0，下-百0. 1,(1原式-1,3. 顺式-宁 a号多1.12-3aD4D远入 所以写一<T一√伍， 能力在线 3.1原或=3石-4豆+反0. 1板D17,答紫不唯一)18，C1H.2nD 5.C6.D 长取特珠值=行测片=高- 21.222,C28.C 2m武一度-王E-+:5 7,(10如m, uK< 2,w原式-2万-}么1-是 (2》练有场一4，，我馆(2,2 《)眼式-75+g一5=65+么 (1)划周， 7.训为5一g之0.所以w≤5，所4一6C0, 1,(1原式一-7+32.(1原式=25+总 3)娘式豆-1+35+8-2-4 听以Va一写<京 枯心索养醒升 i,B136-1 又得为8-u≥0，所以行一>后—6. ,原式一 1.5 龄段测评3（之4一2.1 8,148 当gn、+13=2-1时， 1.D至A高，H4,D5,D6C7,Ck到 fe 原式=日y=×2十1)×(5一1)= 3,0501a.区11.112mg18.8 (2)惊式=√2(1+3++T+++3面=27 炳展在线 保，改这个长方形的长剩宽分别是5话雅站：所以5) 第三章位置与坐标 k(0.41成(4.1)现(4.0 14.(1原式一后一8《3…将1+《一31 十(=《.m0原， =,石-一3十46一3-2元-0， 1确定位置 第2课时平西直用是极系中成的矣标精 解得女√500=10反.调论时02，动=102 (2)深或=4一%+2，可=4+， 基留在线 基建在线 容：3这个长方形的长和度分明是5艺，2 1.11.6T1B2DD4.C 1,C2,Ba,四4B三B8B7,B深A 24 深究在级·八年级数学兴上)·B5