专题5 平面向量（考点精练）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题5 平面向量 1．如图所示，在平行四边形中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法减法可求解. 【详解】根据平面向量加法的平行四边形法则，则在平行四边形中有， 又因为，所以， 所以， 根据平面向量减法的三角形法则，在中有 . 故选：. 2．设向量，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的坐标表示计算即可. 【详解】已知向量，， 则. 故选：B. 3．已知向量，若，则实数m的值是（    ）． A．1 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标运算列式求解m值． 【详解】若， 则，解得， 故选：D. 4．平面内有两定点A，B，且，动点P满足，则点P的轨迹是（    ） A．线段 B．半圆 C．圆 D．椭圆 【答案】C 【分析】以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，设，由已知，根据向量线性运算的坐标表示，可得，进而得，据此可得结论. 【详解】以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系， 由题可设，，则 ， 因为， 所以， 化简，可得， 即点P的轨迹是半径为2的圆. 故选：C 5．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】关于x的方程有实数根，则， 故，即， 又，所以，即向量，共线，反之也成立， 因此两者应为充要条件． 故选：C． 6．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形法则即可求. 【详解】以，为邻边作平行四边形，可知为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知对应的向量即所求向量． 故选：B 7．已知方向相同，且，则等于（　　） A．16 B．256 C．8 D．64 【答案】A 【分析】根据向量的模的计算公式计算即得. 【详解】因 ,则. 故选：A. 8．两个非零向量，平行的充要条件是（    ） A． B． C． D．存在非零实数k，使 【答案】D 【分析】由向量平行的条件，结合充要条件的判定，逐个验证选项. 【详解】表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，两个非零向量，平行的充要条件是或，A选项错误； 非零向量，可能有一个为0，所以，平行不能得到，B选项错误； 两个非零向量，平行，夹角可能是也可能是，所以或，C选项错误； 若两个非零向量，平行，则存在非零实数k，使，反之，两个非零向量，，若存在非零实数k，使，则，平行，D选项正确. 故选：D 9．若向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量内积的直角坐标运算公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， ， 则， 因为，所以， 即与的夹角为. 故选：D. 10．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】C 【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可. 【详解】由题意，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 在正八边形中， 由 过作 因为，所以， 所以 对A选项：， 故A正确， 对B选项：，故B正确， 对C选项： 所以 所以，故C不正确， 对D选项： 所以在方向上的投影向量为： ，故D正确 故选：C. 11．平行四边形的对角线，交于，向量，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由已知可得， 故答案为： 12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，，则 ； ． 【答案】 2 2 【分析】根据平面向量加法和减法的运算法则，结合正方形的性质、勾股定理进行求解即可. 【详解】因为正方形ABCD的边长为1，所以， ， ， 故答案为：； 13．在平行四边形中，，，，点，分别是，的中点，则 ． 【答案】3 【分析】用，表示，后由数量积运算律可得答案. 【详解】由图可得，. 则. 又，则. 故答案为：3 14．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．    （1）用表示向量 （2）用表示向量 【答案】 【分析】根据图形进行向量线性运算即可. 【详解】， 为的中点，，可得， ，． ∵，则 ∴， 故答案为：；. 15．已知，，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】根据向量线性运算得，利用向量数量积运算可得解. 【详解】因为， 所以， 要使的取最大值，则， 则， 所以的最大值为9. 故答案为：9. 16．在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点. （1）写出与相等的向量； （2）写出与平行的向量； （3）写出的负向量. 【答案】（1），，，，； （2），，，，，，，，； （3），， 【分析】（1）根据相等向量的概念进行寻找，注意方向要相同，大小（长度）要相等, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行； （2）根据平行向量的概念进行寻找，注意方向可以相同或相反，长度可以相同也可以不同, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行； （3）根据负向量的概念寻找，注意方向要相反，长度要相等，表示向量的有向线段可以共线也可以平行. 【详解】（1）如图①标出了与方向相同，大小相等的向量，是与相等的向量，有，，，，； （2）与平行的向量是指与方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有，，，，，，，，，如图②所示； （3）的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有，，，如图③所示. 17．已知，，和的夹角是，求． 【答案】. 【分析】根据向量内积的定义即可得解. 【详解】． 18．解答下列各题： (1)设向量，，求； (2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求解； （2）由向量的坐标表示求解. 【详解】（1）． （2）由已知两点和，可得， 设点P的坐标是，则． 由已知，可得， ∴解得∴点P的坐标是． 19．如图，已知向量和向量，用三角形法则作出 【答案】作图见解析 【分析】利用向量的加法法则和减法法则求作即可 【详解】解：作法：作向量，向量，则向量, 如图所示，作向量，则 20．判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若，则一定不与共线； ②若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形ABCD中，一定有； ④若向量与任一向量平行，则=； ⑤若=，=，则=； ⑥若，，则. 【答案】答案见解析 【分析】根据共线向量的概念判断①，由四点在一条直线上特殊情况判断②，根据平行四边形及向量相等的概念判断③，由零向量的性质判断④，根据相等向量判断⑤，由特殊情况判断⑥. 【详解】①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确； ②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确； ③在平行四边形ABCD中，，与平行且方向相同，故，③正确； ④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确； ⑤=，则||=||且与方向相同；=，则||=||且与方向相同，则与方向相同且模相等，故=，⑤正确； ⑥若=，由于的方向与的方向都是任意的，可能不成立；≠时，成立，故⑥不正确. 21．已知，，． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件，变化，即可求解； （2）求出及，设与的夹角为θ，利用公式即可. 【详解】（1）由题知， 因为，所以 所以 （2）由题，， 则， ， 所以， 令与的夹角为θ， 则， 即向量与夹角的余弦值是． 1．已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，根据，得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设，由题意得，即， 即，解得， 故顶点D的坐标为. 故选：A 2．已知，且，则的值是（    ） A． B． C．37 D．13 【答案】B 【分析】将平方，再利用向量内积的运算律化简计算即可. 【详解】因为，且， 所以 ， 故选：B. 3．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示，列式计算即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 4．在直线上取两点A，B，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量坐标的线性运算以及直线的斜率即可求解. 【详解】设， 所以， 因为点A，B在直线上且斜率为1， 所以，即， 所以向量的坐标可以为． 故选：B. 5．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义求两向量夹角的余弦值，进而求角的度数. 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：C. 6．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用充分、必要条件的判定方法，结合向量内积的运算法则即可得解. 【详解】因为为非零的平面向量， 当时，取，，则，满足要求， 但此时不成立，即充分性不成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 7．已知是直线上的一个动点，过点作圆的一条切线，切点为为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得，，而的最小值为点到直线的距离，据此可求解. 【详解】由切线的性质可得， 所以 . 又因为的最小值为点到直线的距离 且， 所以的最小值为3. 故选：C 8．已知向量＝(－2，－1)，＝(λ，1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（    ） A．（－，＋∞ ） B．(2，＋∞) C．（－，2）∪(2，＋∞) D．（－，0）∪(0，＋∞) 【答案】C 【解析】根据和与不共线可算答案. 【详解】∵与的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－. 又(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是（－，2）∪(2，＋∞)． 故选：C 9．已知，，，，是的中点，则线段的长度等于（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算与内积的运算法则即可得解. 【详解】因为是的中点，所以， 即有， 又因为，，， 所以， 所以. 故选：C. 10．已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 【答案】A 【分析】将条件等式两边平方，两式相减化简即得. 【详解】由两边分别平方可得：① 又由两边分别平方可得：② 由①②得：，即. 故选：A. 11．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 【答案】③⑤⑥⑧⑩ 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度. 故答案为：③⑤⑥⑧⑩. 12．若，则的取值范围为 ，当取得最大值时，向量的方向 ． 【答案】 [0，4] 相同 【分析】由平面向量的加法法则求解 【详解】由知 当时，两向量方向相同 故答案为：[0，4]　相同 13．判断正误． （1）的方向与的方向一致．( ) （2）若，则．( ) （3）对于任意实数m和向量，若，则．( ) 【答案】 × × × 【详解】（1）当λ为负数时，则的方向与的方向相反，错误； （2）当λ为0时，成立，可以不为零向量，错误； （3）当m=0时，成立，不一定相等，错误. 14．已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】利用转化法，结合向量内积的运算法则求得，再利用向量夹角的公式即可得解. 【详解】由可得， 则，即，解得， 所以. 故答案为：. 15．已知平行四边形中，点，，，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标． 【详解】设点，则在平行四边形中， 因为，， 由平行四边形的性质可知，， 所以， 解得， 所以点的坐标为. 故答案为:. 16．判断下列各小题中的向量与是否共线. (1)     (2) ， 【答案】(1)共线 (2)共线 【分析】根据平面向量共线定理分别判断即可得出结论. 【详解】（1）解：因为， 所以向量与共线； （2）解：因为， 所以向量与共线. 17．已知向量，，，且； (1)求与的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标运算，结合向量的模公式即可求解. 【详解】（1）因为向量，，，且， 所以，解得， 所以，，得， 所以， 即与夹角的余弦值为． 又因为， 所以，即与的夹角为． （2）由（1）知，，， 所以，， 所以，解得． 所以的值为 18．已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若与垂直，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得或，按向量数量积定义计算即可； （2）两向量垂直则数量积为，列出方程即可求得进而求得. 【详解】（1）∵，∴或， 当时，； 当时，. ∴. （2）∵与垂直，∴，即， 即，∴， 又，∴. 19．已知，求向量，使，并且与的夹角为 【答案】或. 【分析】先求出，再设出的坐标，将模长与与的夹角表示出来，联立方程组即可得解. 【详解】因为，所以. 因为. 设. 所以即. 因为. 整理得. 所以. 解得或 所以或. 20．已知O为坐标原点， (1)若A、B、C三点共线，求x的值； (2)若与夹角为钝角，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意结合运算求解；（2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 21．已知向是，且． (1)求与； (2)若，求向量的夹角的大小． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据向量垂直与平行的坐标表示求、. （2）根据向量的内积求夹角. 【详解】（1）因为， 所以， 解得； 因为， 所以， 解得， 所以． （2）因为， ， 所以， 设向量的夹角为， 所以，且， 所以， 所以向量的夹角为． 1．（2020年湖南对口高考）在平行四边形中，与交于点M，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形内向量的加法、数乘等性质进行运算. 【详解】    ∵平行四边形中，与交于点M， ∴, 而， 故. 故选：B. 2．（2018年湖南对口高考）已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】. ∵，∴. 故选：C. 3．（2021年湖南对口高考）已知向量，，则 【答案】 【分析】利用向量的线性运算及模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题可得 ， 所以. 故答案为： 4．（2020年湖南对口高考）已知向量，，则 . 【答案】8 【分析】根据向量内积坐标公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 5．（2019年湖南对口高考）已知向量，，，且，则 ． 【答案】27 【分析】由已知，根据向量线性运算的坐标表示，可求得，据此可求解. 【详解】由，得 ， 所以， 故. 故答案为： 6．（2018年湖南对口高考）已知向量，，，且，则 . 【答案】5 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由，得 ，即 ，解得， 所以. 故答案为：5. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 平面向量 1．如图所示，在平行四边形中，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设向量，，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知向量，若，则实数m的值是（    ）． A．1 B． C．4 D． 4．平面内有两定点A，B，且，动点P满足，则点P的轨迹是（    ） A．线段 B．半圆 C．圆 D．椭圆 5．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 6．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 7．已知方向相同，且，则等于（　　） A．16 B．256 C．8 D．64 8．两个非零向量，平行的充要条件是（    ） A． B． C． D．存在非零实数k，使 9．若向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 11．平行四边形的对角线，交于，向量，则 . 12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，，则 ； ． 13．在平行四边形中，，，，点，分别是，的中点，则 ． 14．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．    （1）用表示向量 （2）用表示向量 15．已知，，则的最大值为 ． 16．在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点. （1）写出与相等的向量； （2）写出与平行的向量； （3）写出的负向量. 17．已知，，和的夹角是，求． 18．解答下列各题： (1)设向量，，求； (2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标． 19．如图，已知向量和向量，用三角形法则作出 20．判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若，则一定不与共线； ②若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形ABCD中，一定有； ④若向量与任一向量平行，则=； ⑤若=，=，则=； ⑥若，，则. 21．已知，，． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 1．已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的值是（    ） A． B． C．37 D．13 3．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．在直线上取两点A，B，则可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．已知是直线上的一个动点，过点作圆的一条切线，切点为为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．已知向量＝(－2，－1)，＝(λ，1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（    ） A．（－，＋∞ ） B．(2，＋∞) C．（－，2）∪(2，＋∞) D．（－，0）∪(0，＋∞) 9．已知，，，，是的中点，则线段的长度等于（    ） A．2 B．3 C． D．4 10．已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 11．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 12．若，则的取值范围为 ，当取得最大值时，向量的方向 ． 13．判断正误． （1）的方向与的方向一致．( ) （2）若，则．( ) （3）对于任意实数m和向量，若，则．( ) 14．已知，，，则 . 15．已知平行四边形中，点，，，则点D的坐标为 ． 16．判断下列各小题中的向量与是否共线. (1)     (2) ， 17．已知向量，，，且； (1)求与的夹角； (2)若，求的值． 18．已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若与垂直，求. 19．已知，求向量，使，并且与的夹角为 20．已知O为坐标原点， (1)若A、B、C三点共线，求x的值； (2)若与夹角为钝角，求x的取值范围. 21．已知向是，且． (1)求与； (2)若，求向量的夹角的大小． 1．（2020年湖南对口高考）在平行四边形中，与交于点M，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2018年湖南对口高考）已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2021年湖南对口高考）已知向量，，则 4．（2020年湖南对口高考）已知向量，，则 . 5．（2019年湖南对口高考）已知向量，，，且，则 ． 6．（2018年湖南对口高考）已知向量，，，且，则 . 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$