专题5 平面向量（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题5 平面向量 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：向量的概念及线性运算 4 考点二：向量的内积 6 考点三：向量的坐标表示 7 【考纲要求】 1.了解平面向量、有向线段及有关概念；了解几个特殊向量，向量位置关系的含义。 2.理解向量的加法、减法和数乘运算及其几何意义。 3.了解平面向量内积的概念、运算和性质；了解平面向量内积的几何应用。 4.理解向量的坐标表示；了解向量坐标的线性运算和内积运算；初步掌握向量坐标运算的几何应用。 【考向预测】 1.向量的几何形式 ：主要考查两个向量的关系及运算，以选择填空为主. 2.向量的代数形式： 主要考察两个向量坐标形式的关系及运算. 【知识导图】 【知识清单】 1. 向量的概念及线性运算 （1）向量的概念 ①定义：一般地，既有 又有 的量叫做向量. 向量的模：向量的大小，记作||. 几何表示：有向线段，长度就是向量的模，箭头方向就是向量的方向. ②向量的表示：用小写黑体英文字母表示，如a,b,c,…;或用线段的起点和终点表示，如、. （2）几个特殊的向量 ①零向量：长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向不确定. ②单位向量： 的向量叫做单位向量. ③相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量. ④相反向量： 的两个向量叫做相反向量. ⑤共线向量：两个向量方向相同或者相反，则这两个向量叫做共线向量，也叫做平行向量，记作 .规定零向量与任一向量都共线. （3） 向量的线性运算 ①加法运算： 1） 三角形法则：首尾相连，连收尾。如图： 2） 平行四边形法则：共起点，和为对角。如图： 3） 运算律： 交换律 结合律 ②减法运算：共起点，连终点，方向指被减。如图： ③数乘运算 1）向量的数乘运算：实数与向量的乘积仍然是一个向量. 大小： 方向： 2）向量共线的充要条件 若a为非零向量，则 2.向量的内积 （1）向量的夹角 两个非零向量a、b,作，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a和b的夹角. 特别地： <a,b>=0,a与b的方向相同； <a,b>=π，a与b的方向相反； <a,b>=，向量a与b垂直. （2） 向量的内积 定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ，把|a||b|cosθ叫做向量a与b的内积（数量积或者点积）.记作a·b，读作a点乘b，即a·b=________. 规定：零向量与任意向量的数量积为0. （3） 数量积的运算律 ①交换律： ②结合律： ③分配率： （4） 向量内积的性质 对于两个非零向量a,b，有： ①当a,b同向时， 当反向时，. ②___. ③，即 ④ 3.向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 ①设O为坐标原点，点A（x，y），则 ②已知两点A(),B()，则向量即向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标. （2） 向量的模 ①已知向量则 ②已知两点A(),B()，则向量.则向量，故向量的模 即为A，B两点间的距离，即|AB|=. （3） 向量的坐标运算 已知向量)，则, （4） 向量平行于垂直的充要条件 若向量,则 ①向量与共线的充要条件：//. ②向量与垂直的充要条件：. （5）向量内积和夹角公式 ①向量内积的坐标表示 设向量,则即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和. ②设向量,a,b的夹角为θ，则 1） 若,则与的夹角 2） 若，则与的夹角 3） 若，则与的夹角 【考点分类剖析】 考点一：向量的概念及线性运算 典例分析 例1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是（ ） A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 例2．下列说法错误的是（ ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 例3．已知是的中线，，则（ ） A． B． C． D． 例4．如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例5.已知向量与不共线，且，若三点共线，则（    ） A． B．2 C．1 D．－3 例6.已知 ，且点P，Q将线段三等分，则： （1） = ； （2） = ； （3） = ． 例7.如图所示，，点是线段外任意一点，如果，试用表示.    变式探究 1．下列命题中正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．平行向量所在直线一定平行或重合 C．共线向量所在直线一定重合 D．方向相反的向量互为相反向量 2．若非零向量与共线，则以下说法正确的是（   ） A．与必须在同一条直线上 B．与平行，且方向必须相同 C．与平行，且方向必须相反 D．与 平行 3．已知在平行四边形中，，，则等于（   ）. A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 6.化简： . 7．在中，点分别是边上的中点，且，试把向量用线性表示． 考点二：向量的内积 典例分析 例1．若，则（    ） A． B． C． D．3 例2．若非零向量、满足，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 例3．已知，，与的夹角为，求. 例4.已知，是夹角为的两个单位向量，，. (1)求； (2)求证：. 变式探究 1．已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知平面向量满足与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，求： (1)； (2). 4．已知，求 (1). (2). 考点三：向量的坐标表示 典例分析 例1．已知，两点，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 例2．已知点，，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 例3.已知点，，向量，若，则实数k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 例4.已知向量，则（    ） A． B． C． D． 例5.已知向量与，则的坐标是 . 例6．已知，，，且，则 . 例7．已知，求下式中的值： (1)若，，; (2)若，，. 例8．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，. (1)若，求； (2)若与共线，求的值． 例9．若向量； (1)求与的夹角； (2)求. 变式探究 1．已知点，，则向量 的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知三点，，，若和是相反向量，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．设向量，，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知向量，则 ． 6．已知向量，，，若，则实数 ， . 7．已知平面向量，，回答下列问题： (1)求的值； (2)若与方向相反，求的值； (3)若与方向相同，求． 8．已知，． (1)当时，求的值； (2)若，求x的值． 9．已知向量，，． (1)若与垂直，求实数的值； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 平面向量 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：向量的概念及线性运算 4 考点二：向量的内积 9 考点三：向量的坐标表示 13 【考纲要求】 1.了解平面向量、有向线段及有关概念；了解几个特殊向量，向量位置关系的含义。 2.理解向量的加法、减法和数乘运算及其几何意义。 3.了解平面向量内积的概念、运算和性质；了解平面向量内积的几何应用。 4.理解向量的坐标表示；了解向量坐标的线性运算和内积运算；初步掌握向量坐标运算的几何应用。 【考向预测】 1.向量的几何形式 ：主要考查两个向量的关系及运算，以选择填空为主. 2.向量的代数形式： 主要考察两个向量坐标形式的关系及运算. 【知识导图】 【知识清单】 1. 向量的概念及线性运算 （1）向量的概念 ①定义：一般地，既有 又有 的量叫做向量. 向量的模：向量的大小，记作||. 几何表示：有向线段，长度就是向量的模，箭头方向就是向量的方向. ②向量的表示：用小写黑体英文字母表示，如a,b,c,…;或用线段的起点和终点表示，如、. （2）几个特殊的向量 ①零向量：长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向不确定. ②单位向量： 的向量叫做单位向量. ③相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量. ④相反向量： 的两个向量叫做相反向量. ⑤共线向量：两个向量方向相同或者相反，则这两个向量叫做共线向量，也叫做平行向量，记作 .规定零向量与任一向量都共线. （3） 向量的线性运算 ①加法运算： 1） 三角形法则：首尾相连，连收尾。如图： 2） 平行四边形法则：共起点，和为对角。如图： 3） 运算律： 交换律 结合律 ②减法运算：共起点，连终点，方向指被减。如图： ③数乘运算 1）向量的数乘运算：实数与向量的乘积仍然是一个向量. 大小： 方向： 2）向量共线的充要条件 若a为非零向量，则 2.向量的内积 （1）向量的夹角 两个非零向量a、b,作，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a和b的夹角. 特别地： <a,b>=0,a与b的方向相同； <a,b>=π，a与b的方向相反； <a,b>=，向量a与b垂直. （2） 向量的内积 定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ，把|a||b|cosθ叫做向量a与b的内积（数量积或者点积）.记作a·b，读作a点乘b，即a·b=________. 规定：零向量与任意向量的数量积为0. （3） 数量积的运算律 ①交换律： ②结合律： ③分配率： （4） 向量内积的性质 对于两个非零向量a,b，有： ①当a,b同向时， 当反向时，. ②___. ③，即 ④ 3.向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 ①设O为坐标原点，点A（x，y），则 ②已知两点A(),B()，则向量即向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标. （2） 向量的模 ①已知向量则 ②已知两点A(),B()，则向量.则向量，故向量的模 即为A，B两点间的距离，即|AB|=. （3） 向量的坐标运算 已知向量)，则, （4） 向量平行于垂直的充要条件 若向量,则 ①向量与共线的充要条件：//. ②向量与垂直的充要条件：. （5）向量内积和夹角公式 ①向量内积的坐标表示 设向量,则即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和. ②设向量,a,b的夹角为θ，则 1） 若,则与的夹角 2） 若，则与的夹角 3） 若，则与的夹角 【考点分类剖析】 考点一：向量的概念及线性运算 典例分析 例1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是（ ） A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】根据物理学中数量和向量的定义进行判断. 【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D． 例2．下列说法错误的是（ ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据相反向量，单位向量，零向量等向量的概念逐项判断即可. 【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确； 单位向量长度都为，但方向不确定，不一定相等，故B选项错误； 根据零向量的概念易知的长度为，且方向是任意的，C选项正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确. 故选：B. 例3．已知是的中线，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：D. 例4．如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减法运算可求. 【详解】中，；故A错误； B中，；故B错误； C中，；故C正确； 中，，故D错误； 故选：． 例5.已知向量与不共线，且，若三点共线，则（    ） A． B．2 C．1 D．－3 【答案】C 【分析】根据共线定理，求解的值. 【详解】三点共线， ，则， . 故选：C. 例6.已知 ，且点P，Q将线段三等分，则： （1） = ； （2） = ； （3） = ． 【答案】 【分析】根据图中向量关系求解即可解得. 【详解】①：由题可知将线段三等分，则. ②：. ③：与向量反向，则. 故答案为： 例7.如图所示，，点是线段外任意一点，如果，试用表示.    【答案】； 【分析】根据向量的加减法则在几何中的应用即可求解. 【详解】 如图，   ， 所以， 因为,且为中点， 所以， 综上所述，； 变式探究 1．下列命题中正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．平行向量所在直线一定平行或重合 C．共线向量所在直线一定重合 D．方向相反的向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据单位向量，平行向量和相反向量的概念判断即可. 【详解】任意两个单位向量方向可能不同，故A错误； 平行向量所在直线一定平行或重合，故B正确； 共线向量所在直线可能平行或重合，故C错误； 相反向量需要两向量长度相等且方向相反，故D错误； 故选：B. 2．若非零向量与共线，则以下说法正确的是（   ） A．与必须在同一条直线上 B．与平行，且方向必须相同 C．与平行，且方向必须相反 D．与 平行 【答案】D 【分析】根据共线向量的定义进行判断. 【详解】向量与共线，两个向量不一定在同一条直线上，可以平行，A错误，D正确. 向量与共线，方向相同或者相反，B，C错误. 故选：D. 3．已知在平行四边形中，，，则等于（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的法则求解即可. 【详解】如图在平行四边形中，，， 则. 故选：C. 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】 故选：C． 5.已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减数乘混合运算即可求解. 【详解】 ； 故选：A 6.化简： . 【答案】 【分析】由平面向量线性运算的法则化简原式，即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 7．在中，点分别是边上的中点，且，试把向量用线性表示． 【答案】，， 【分析】利用向量的线性运算，结合图形中的性质即可得解. 【详解】如图所示： 由于点分别是边上的中点， 所以， 因此． 同理． 因为， 所以． 考点二：向量的内积 典例分析 例1．若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据向量的内积的定义求值即可. 【详解】已知， 所以， 故选：A. 例2．若非零向量、满足，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的运算性质，由条件求得，代入向量夹角公式求解即可． 【详解】因为， 所以， 设与的夹角为，又， 则， 又，故，即与的夹角为． 故选：C. 例3．已知，，与的夹角为，求. 【答案】 【分析】根据向量内积的定义与运算律即可解得. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以 . 例4.已知，是夹角为的两个单位向量，，. (1)求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算法则和内积公式求解即可. （2）根据求证即可. 方法一：把已知条件代入计算即可； 方法二：把用平方差公式展开，计算即可. 【详解】（1）因为，是夹角为的两个单位向量， 所以. 又因为，， 所以， 即. （2）方法一：因为， ， 所以， 即. 方法二：因为，, 所以， 即. 变式探究 1．已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义可求解. 【详解】由已知，可得 . 故选：A 2．已知平面向量满足与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长，结合内积的运算法则求解夹角即可. 【详解】设与的夹角为， 由两边平方得， 即， 由于，所以． 故选：C． 3．已知向量，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的运算律即可得解； （2）根据向量内积的定义与运算律即可得解. 【详解】（1）因为， 所以； （2），，所以， 故 . 4．已知，求 (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用向量的内积的定义即可得解. 【详解】（1）当时，若与同向，则. . 若与反向，则. . . （2）当时，. . 考点三：向量的坐标表示 典例分析 例1．已知，两点，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标的定义求解. 【详解】∵，， ∴向量. 故选：C. 例2．已知点，，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出B的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】设点B的坐标为，则， 所以， 则，解得， 所以点B的坐标为， 故选：A． 例3.已知点，，向量，若，则实数k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量的坐标以及向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 所以. 故选：B. 例4.已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用向量的模的公式求出，最后根据向量夹角的运算公式和特殊三角函数的余弦值即可求解. 【详解】由可知，， 且， 所以，且， 所以. 故选：D 例5.已知向量与，则的坐标是 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：. 例6．已知，，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可. 【详解】已知，，， 则，， 所以， 则由可得， 所以解得， 则， 故答案为：. 例7．已知，求下式中的值： (1)若，，; (2)若，，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知的坐标，计算出的坐标即可求解. （2）已知的坐标，计算出的坐标即可求解 【详解】（1）， 所以. （2），所以， 所以. 例8．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，. (1)若，求； (2)若与共线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求出，进而求； （2）根据向量共线的坐标表示列式求解即可. 【详解】（1）因为，，∴， ∵，， ∴，解得， ∴，∴. （2）由已知：， ， ∵与共线，∴， ∴. 例9．若向量； (1)求与的夹角； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示计算，再用坐标计算向量的模，最后根据向量夹角公式计算即可. （2）先由向量线性运算的坐标表示求出，再用坐标计算向量的模即可. 【详解】（1）因为向量， 所以， ， 所以， 因为， 所以与的夹角为. （2）因为向量， 所以， 所以. 变式探究 1．已知点，，则向量 的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出向量坐标后作答. 【详解】由题意知，所以向量 的单位向量的坐标， ∵∴. 故选：C. 2．已知三点，，，若和是相反向量，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示结合相反向量的概念即可求解. 【详解】由题意得， . 因为和是相反向量， 所以. 因为， 所以. 故选：C. 3．已知向量与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两向量垂直，则向量内积为零求得参数即可解得. 【详解】由题意，，所以， 解得； 故选：A. 4．设向量，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量，， 则. 故选：B. 5．已知向量，则 ． 【答案】 【分析】由向量坐标的减法及数乘运算计算即可． 【详解】因为向量， 所以. 故答案为：. 6．已知向量，，，若，则实数 ， . 【答案】 1 -2 【分析】根据向量相等的充要条件及向量的坐标运算得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，，，且 即，所以，解得 故答案为：； 7．已知平面向量，，回答下列问题： (1)求的值； (2)若与方向相反，求的值； (3)若与方向相同，求． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）直接用求模公式可解； （2）利用内积公式可解； （3）利用共线结合可解. 【详解】（1）； （2），，与方向相反，即夹角为， 则； （3）与方向相同，即与共线， 则，； ，方向相同，， 解得：，. 8．已知，． (1)当时，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算得到，再由模长公式计算即可. （2）根据向量垂直的坐标表示求解参数即可. 【详解】（1）因为，， 当时，，得 ， 则. （2）若，则. 所以，x的值为. 9．已知向量，，． (1)若与垂直，求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【详解】（1）∵，，∴， ∵与垂直，， ∴，解得． （2）∵，， ∴，，， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$