专题04 二次函数（8个考点清单+17种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题04 二次函数（8个考点清单+17种题型解读） 【清单01 二次函数的概念】 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【清单02 二次函数的图象与性质】 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【清单03 二次函数的图象与a，b，c的关系】 取值计算 (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【清单04 二次函数图象的平移】 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【清单05 二次函数与一元二次方程】 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 【清单06 二次函数与不等式】 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 【清单07 待定系数法求解析式】 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【清单08 二次函数的应用】 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【考点题型一 根据二次函数的定义求参数】 【例1】已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【变式1-1】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】若函数是二次函数，则m的值为 ． 【变式1-3】若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【变式1-4】已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【考点题型二 二次函数的图象与性质】 【例2】已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【变式2-1】若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是 ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为 ． （1）直线通过这样的点； （2）不论m取何非零实数值，抛物线都不通过这样的点． 【变式2-4】在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，求m的取值范围． 【考点题型三 顶点式的相关计算】 【例3】将二次函数化成顶点式，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知二次函数，当时，y值的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】按要求将二次函数的表达式转化为其他形式： （1）二次函数化为顶点式为 ； （2）二次函数化为一般式为 ； （3）二次函数化为一般式为 ． 【变式3-3】已知二次函数的解析式为；，则当x 时，y随x增大而增大． 【变式3-4】已知二次函数解析式为． (1)请将函数的表达式用配方法化为的形式； (2)请写出函数图象的顶点坐标与对称轴． 【考点题型四 二次函数的图象与各系数符号】 【例4】如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-1】二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    【变式4-3】二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4． 其中正确结论是 ．（填写序号） 【变式4-4】已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 【考点题型五 二次函数图象与一次函数、反比例函数图象的综合】 【例5】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 【变式5-3】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【变式5-4】通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是小明探究函数M：的图象和性质的部分过程，请按要求回答问题： (1)列表，列出y与x的几组对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 0 a 0 3 … 表格中，______． (2)在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出函数M的图象． (3)观察图象，性质及其运用：    ①当______时，y随x的增大而增大； ②求函数M：与直线l：的交点坐标； ③若函数M：与直线l：只有两个交点，请求出b的取值范围． 【考点题型六 根据二次函数的对称性求对称轴与函数值】 【例6】已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，是二次函数的图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 【变式6-3】抛物线过，两点，且一元二次方程，当时无实数根，当时有实数根，则抛物线的顶点坐标是 ． 【变式6-4】在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若轴，用含的代数式表示； (2)记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上存在一点，，使得，求的取值范围． 【考点题型七 二次函数的平移】 【例7】点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-1】已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（    ） A．5或 B．5 C． D． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 ． 【变式7-3】已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【变式7-4】【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 【考点题型八 y=ax2+bx+c的最值】 【例8】已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【变式8-1】当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（    ） A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3 【变式8-2】的最小值为0，的解集为，则实数m的值为 . 【变式8-3】当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 【变式8-4】已知抛物线． (1)若点在此抛物线函数图象上，当时，试说明； (2)当时该抛物线的最小值是，求b值． 【考点题型九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知抛物线与轴的公共点是，，将该抛物线向右平移个单位长度与轴的交点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 ． 【变式9-3】设抛物线过，，三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 【变式9-4】如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； (3)当时，y的取值范围为______． 【考点题型十 二次函数与一元二次方程】 【例10】抛物线（是常数，）经过三点，且，下列四个结论，其中正确的有（    ） ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【变式10-3】对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是 ． 【变式10-4】如图，函数的图像经过点，和顶点C．    (1)______； (2)在图中画出这个函数的图像：（不必列表） (3)若点在该函数图像上； ①当时，则x的取值范围为______； ②当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围是______． 【考点题型十一 二次函数与不等式】 【例11】二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；  ②； ③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-1】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是(　　) A．或 B．或 C． D． 【变式11-2】如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于两点，则关于的不等式的解集为 ． 【变式11-3】二次函数与一次函数的图象交于 ，两点，如图，则不等式的解集是 ． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围______； (3)当时，的取值范围______． 【考点题型十二 二次函数应用之销售问题】 【例12】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨元，销售利润为元，可列函数为：．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（    ） A．表示涨价后商品的单价 B．表示涨价后少售出商品的数量 C．表示涨价后商品的数量 D．表示涨价后商品的单价 【变式12-1】某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 ． 【变式12-3】某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 元． 【变式12-4】某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据． （元/件） 40 55 70 （件） 1100 950 800 (1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高元时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出的取值范围为_____________． 【考点题型十三 二次函数应用之增长率问题】 【例13】国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 【变式13-3】某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为 ． 【变式13-4】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【考点题型十四 二次函数应用之拱桥问题】 【例14】如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ） A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【变式14-1】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【变式14-2】廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【变式14-3】如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽 米．    【变式14-4】如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【考点题型十五 二次函数应用之图形运动问题】 【例15】已知在正方形中，是对角线上一个动点，过作、的平行线分别交正方形的边于、和、，若，图中阴影部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小．    A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【变式15-2】如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．      【变式15-3】在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ． 【变式15-4】如图1，正方形的中心都在直线上，．正方形以的速度沿直线向正方形移动，当点与的中点重合时停止运动．设移动时间为，这两个正方形重叠部分的面积为，与的函数图象如图2．根据图象解决下列问题： (1) cm； (2)分别求 的值； (3)正方形出发几秒时，重叠部分的面积为 ？ 【考点题型十六 二次函数的存在性问题】 【例16】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标． 【变式16-1】综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接，，，． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当四边形的面积有最大值时，求出m的值． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-2】如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式16-4】综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型十七 二次函数的综合】 【例17】已知函数与函数，定义新函数． (1)若，则新函数_______； (2)若新函数y的表达式为，则_______，_______； (3)设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 【变式17-1】定义：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，当时，B点坐标为；当时，B点坐标为，则称点B为点A的k一分点（其中k为常数）．例如：的0一分点坐标为． (1)点的1一分点在比例函数图象上，则________； 若点的2一分点在直线上，则________； (2)若点N在二次函数的图象上，点M为点N的3一分点． ①求点M所在函数的解析式； ②当时，点M所在函数的函数值，求出m的取值范围． 【变式17-2】新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． (1)图像数为的二次函数表达式为__________． (2)求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【变式17-3】定义：在平面直角坐标系中，点、点，若，则称点M、N互为正等距点，叫做M、N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0．例如，点、互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)判断函的图像是否存在点A的正等距点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线上，求k的值； (3)若抛物线上不存在点A的正等距点，请直接写出a的取值范围． 【变式17-4】定义：在平面直角坐标系中，若函数图象上的点满足（其中，为常数），则称点为函数图象的“级和点”． (1)若点为反比例函数图象的“级和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若时，直线上有“级和点”，求的取值范围； (3)若抛物线的“级和点”恰有一个，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数（8个考点清单+17种题型解读） 【清单01 二次函数的概念】 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【清单02 二次函数的图象与性质】 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【清单03 二次函数的图象与a，b，c的关系】 取值计算 (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【清单04 二次函数图象的平移】 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【清单05 二次函数与一元二次方程】 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 【清单06 二次函数与不等式】 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 【清单07 待定系数法求解析式】 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【清单08 二次函数的应用】 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【考点题型一 根据二次函数的定义求参数】 【例1】已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：，是关于x的二次函数， 且， ， 故选：B． 【变式1-1】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 【变式1-2】若函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】9或0/0或9 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：9或0． 【变式1-3】若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键． 根据二次函数各项的系数填空． 【详解】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 【变式1-4】已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键． （1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可； （2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 【考点题型二 二次函数的图象与性质】 【例2】已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，解一元二次方程，以及代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先根据二次函数的对称轴公式求出b，则得到一元二次方程为，两根即可求解，再代入求值即可，亦可根据根与系数的关系求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 则方程为：， ， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式2-1】若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，，然后根据“开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值就越小”可进行求解 【详解】解：根据题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上． ∴，，， ∵，且开口向上， ∴； 故选B． 【变式2-2】对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的不动点概念得出，是方程的两个实数根，由知且时，据此得，解之可得．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于的不等式． 【详解】解：由题意知，是方程的两个不相等实数根，且， 整理，得：， 由有两个不相等的实数根，且由知， 令，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得， 故答案为： 【变式2-3】在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为 ． （1）直线通过这样的点； （2）不论m取何非零实数值，抛物线都不通过这样的点． 【答案】 【分析】设点，满足上述条件，则，对任意实数都有，解之即可得出答案．本题考查了二次函数的图象性质，属于基础题，关键是正确根据题意列出不等式． 【详解】解：设点，满足上述条件，则， 对任意实数都有， 消去整理得， 从而可知当或1或3时才适合题意， 然后把代入，得出； 把代入，得出； 把代入，得出； 故答案为 【变式2-4】在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质： （1）根据二次函数的对称性进行求解即可； （2）法一：利用二次函数的增减性求解即可；法二：分别表示出，再根据建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：法一：对称轴为直线 ∵， ∴开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大 当时，关于的对称点为 关于的对称点为 综上； 法二：代数方法：列关于m的不等式组，求解集 解得：． 【考点题型三 顶点式的相关计算】 【例3】将二次函数化成顶点式，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】， 故选：D． 【变式3-1】已知二次函数，当时，y值的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的对称轴为，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，无最大值， ∴的取值范围是， 故选：D． 【变式3-2】按要求将二次函数的表达式转化为其他形式： （1）二次函数化为顶点式为 ； （2）二次函数化为一般式为 ； （3）二次函数化为一般式为 ． 【答案】 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键．①一般式：（a，b，c为常数，）；②顶点式：（a，b，c为常数，）；③交点式(与x轴)：． （1）化为的形式即可； （2）化为的形式即可； （3）化为的形式即可； 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【变式3-3】已知二次函数的解析式为；，则当x 时，y随x增大而增大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式确定出其对称轴是解题的关键．由抛物线解析式可确定其开口方向及对称轴，由抛物线的增减性可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x增大而增大， 故答案为：． 【变式3-4】已知二次函数解析式为． (1)请将函数的表达式用配方法化为的形式； (2)请写出函数图象的顶点坐标与对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题考查了待定系数法，掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法求解； （2）根据抛物线的顶点式求解． 【详解】（1）解：（1） ； （2）图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【考点题型四 二次函数的图象与各系数符号】 【例4】如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，二次函数的对称轴，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，理解最值的意义是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质即可求出答案． 【详解】∵抛物线的图象开口向下 ∴ ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴ ∴，故②正确； 由图象可得，当时，，故③正确． 综上所述，其中正确的结论有3个． 故选：D． 【变式4-1】二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得，，，，∴，故①正确，符合题意； 图象与x轴两个交点，故，∴，故②正确，符合题意； ∵对称轴为直线，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意； 当时，，故④正确，符合题意； 由抛物线对称性，当时，，故⑤错误，不符合题意． 故选：D． 【变式4-2】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确； ④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确； 综上所述，正确的为②③④． 故答案为：②③④． 【变式4-3】二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4． 其中正确结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；在时，，即，由，得到，，代入到，即可得出；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到；根据图象的对称与翻折可得结论． 【详解】解：：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 所以①错误； 根据抛物线在时，，即， ∵，， ∴，即， 故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴， ∴， 故③正确． 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可． 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4． 故④正确 故答案为：②③④． 【变式4-4】已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 【答案】(1)，， (2)；或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系： （1）根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解； （2）根据抛物线与x轴交点位置，利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴， ， 综上可知，，，； （2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为，， 当时，抛物线在x轴上方，当或时，抛物线在x轴下方， 当时，；当或时，． 【考点题型五 二次函数图象与一次函数、反比例函数图象的综合】 【例5】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 【变式5-1】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到进而可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由题图可知，二次函数的图象开口向上， ∴， 又∵对称轴在y轴的右侧． ∴． ∴． 又∵抛物线与y轴正半轴交于一点， ∴， 且当时， 即 ∵一次函数，反比例函数 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．反比例函数的图象在第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项 故选：B. 【变式5-2】如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【变式5-3】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 【变式5-4】通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是小明探究函数M：的图象和性质的部分过程，请按要求回答问题： (1)列表，列出y与x的几组对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 0 a 0 3 … 表格中，______． (2)在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出函数M的图象． (3)观察图象，性质及其运用：    ①当______时，y随x的增大而增大； ②求函数M：与直线l：的交点坐标； ③若函数M：与直线l：只有两个交点，请求出b的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3)①或；②；③或 【分析】（1）由时，，即可得到答案； （2）经过描点，连线，即可得到函数图象； （3）①观察图象可知当或时，y随x的增大而增大，即可得到解答； ②分和两种情况，解二次函数函数和一次函数联立得到的方程组，即可得到答案； ③结合图象，分析讨论，即可得到b的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 即， 故答案为： （2）图象如下：    （3）①由图象可知，当或时，y随x的增大而增大； 故答案为：或 ②当时，由解得或， 当时，由解得（不合题意，舍去）或， ∴函数M：与直线l：的交点坐标为； ③如图，当直线l：经过点时，即，解得， 此时函数M：与直线l：只有1个交点， 当时，且函数M：与直线l：相切时，此时函数M：与直线l：恰有3个交点， 由，即有两个相等的实数根， 得到，解得， ∴当时，函数M：与直线l：只有两个交点， 当直线l：经过点时，即，解得， 此时函数M：与直线l：恰有三个交点， ∴由图象可知，当时，函数M：与直线l：只有两个交点， 综上可知，若函数M：与直线l：只有两个交点，b的取值范围是或．    【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一次函数的交点等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 【考点题型六 根据二次函数的对称性求对称轴与函数值】 【例6】已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【变式6-1】抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出的取值范围． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为， 抛物线经过点和，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出是解答本题的关键． 【变式6-2】已知，是二次函数的图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式即可求得二次函数的值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是二次函数的图象上两点， ∴ 关于对称轴对称， ∵， ∴， ∴， 将代入得， ， 故答案为：． 【变式6-3】抛物线过，两点，且一元二次方程，当时无实数根，当时有实数根，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线过，两点，得出顶点坐标的横坐标为3，根据一元二次方程，当时无实数根，当时有实数根，得出顶点的纵坐标为7，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 即顶点坐标的横坐标为3， ∵一元二次方程，当时无实数根，当时有实数根， ∴一元二次方程时，方程只有一个解， ∴直线与抛物线只有一个交点，该点为抛物线的顶点， ∴顶点的纵坐标为7， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意根据已知条件分别求出顶点坐标的横坐标和纵坐标． 【变式6-4】在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若轴，用含的代数式表示； (2)记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上存在一点，，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不能大于6 【分析】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识． （1）根据轴可以得到点，点关于对称，从而得到，再根据对称轴的公式即可得到答案； （2）根据，，，可以得到点应在点4的下方，要满足，抛物线的开口只能向上，根据抛物线的性质可以得到． 【详解】（1）轴， 点点，点关于对称，且 ， 抛物线的对称轴为直线． ， ； （2），，， 点应在点4的下方， 当时，抛物线开口向下，不存在．当时不符合题意， ， ， ． ，所以对称轴不能大于6． 【考点题型七 二次函数的平移】 【例7】点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定了，先求出或，再根据平移规律得出的坐标为或，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点在抛物线上， ， 解得：或， 或， 将抛物线进行平移得抛物线， 平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 的对应点为的坐标为或， 点移动的最短路程为， 故选：C． 【变式7-1】已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（    ） A．5或 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知对称轴为直线，则，解得，由，可得平移后的解析式为：，将代入得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 由题意得，，解得， ∵， ∴平移后的解析式为：， 将代入得，， 解得，，（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图象的平移等知识．解题的关键在于熟练掌握：二次函数图象平移，左加右减，上加下减． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，以及几何变换，掌握二次函数图象旋转和平移的法则是解题关键．．先将抛物线配方得到顶点式，从而得到顶点坐标，根据旋转的性质可知，抛物线开口向下，的顶点坐标为，进而得到旋转后的抛物线解析式，再根据“上加下减”的法则，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，的顶点坐标为， 将抛物线先绕原点旋转，则抛物线开口向下，的顶点坐标为， 即抛物线为， 再向下平移5个单位，则， 即得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 【变式7-3】已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，当时，，可得二次函数的图象经过定点，由二次函数解析式在平移中的变化规律得将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，据此即可求解；掌握二次函数解析式在平移中的变化规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， ， 二次函数的图象经过定点， 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 二次函数的图象经过点，， ∴将，，向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 得，． 故答案为：，． 【变式7-4】【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）见解析；（2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据画二次函数 图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的平移规律求解即可； （3）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； 【应用】①利用二次函数的性质求解即可； ②分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图， （2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到， 故答案为：上，4； （3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； [应用]①抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； ②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），（舍去） 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 【考点题型八 y=ax2+bx+c的最值】 【例8】已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为或6， 故选：D． 【变式8-1】当时，二次函数的最大值是1，则实数m的值为（    ） A．0或1 B． 或0 C．2或 D． 或3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 由二次函数解析式可知其开口方向、对称轴，分在对称轴左侧和右侧两种情况分别求其最值，可得到关于m的方程，可求得答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为， 当时，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最大值， ∴，解得（舍去）或， 当时，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当时，y有最大值， ∴，解得（舍去）或， 综上可知m的值为2或， 故选：C． 【变式8-2】的最小值为0，的解集为，则实数m的值为 . 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的最值、二次函数与不等式，由的最小值为0可得到，由的解集为得，再由得到. 【详解】解：由的最小值为0可知， ，即， 由的解集为得， ， 解得，， 由题意可得， 则， 故答案为： 【变式8-3】当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出时y的最小值．先求出二次函数图象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：． ∵， ∴抛物线开口向下， 又，， 时，y取最小值，最小值为：， 图象在轴上方， ， 解得， ； 故答案为：． 【变式8-4】已知抛物线． (1)若点在此抛物线函数图象上，当时，试说明； (2)当时该抛物线的最小值是，求b值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得，，由得到，即可证明结论； （2）由可知，抛物线开口向上，抛物线的顶点为，对称轴为，根据对称轴的位置分析即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为，对称轴为， 当，时，y的最小值为， 则， 解得， 当时，，不满足，舍去， 当时，，满足，符合题意， 当时，时，y的最小值为， 则， 解得， ∵， ∴不满足，舍去， 当时，时，y的最小值为， 则， 解得， ∵， ∴满足题意， 综上可知，的值为或． 【考点题型九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可； 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点代入得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． 故选：A； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式9-1】已知抛物线与轴的公共点是，，将该抛物线向右平移个单位长度与轴的交点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点平移的规律得到点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，利用交点式，设平移后的抛物线解析式为，接着把把代入求得，于是原抛物线的解析式可设为，然后化为一般式得到、、的值，从而可计算出的值． 【详解】解：点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，， 设平移后的抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 原抛物线的解析式为， 即， ，，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数图象与几何变换． 【变式9-2】若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 ． 【答案】 【分析】先找出抛物线上三个点，再求出关于对称的点的坐标，然后代入所设新抛物线的方程即可解答． 本题考查了二次函数图象与几何变换，得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于对称的点是解决本题的关键． 【详解】解：令，，， ，， 令，， ∴二次函数与轴交于，，与轴交于， ∴这三个点关于对称点为，，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴曲线的解析式为． 故答案为：． 【变式9-3】设抛物线过，，三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴并讨论求解．根据点的位置分情况确定出对称轴，然后设出抛物线解析式，再把点、的坐标代入求解即可． 【详解】解：点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于， 抛物线的对称轴为直线或， 当对称轴为直线时， 设抛物线对应的函数表达式为，把点，的坐标分别代入，得， 解得：， 此时抛物线对应的函数表达式为； 当对称轴为直线时，设抛物线对应的函数表达式为，把点，的坐标分别代入， 得， 解得：， 此时抛物线对应的函数表达式为； 故答案为：或． 【变式9-4】如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点； (3)当时，y的取值范围为______． 【答案】(1)或 (2)向上平移4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式， 二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． 设二次函数的解析式为：，将点代入即可得出a的值． （2）根据二次函数的图像以及平移的性质求解即可． （3）根据二次函数的图像和性质可得出当时，y随x的增大而增大，分别求出当时y的值，当时，y的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为：， 将点代入， 得出：， 解得：， ∴或 （2）当二次函数的图象与x轴只有一个公共点时，只需将抛物线向上平移4个单位即可． （3）根据函数图像可知：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴当时，． 【考点题型十 二次函数与一元二次方程】 【例10】抛物线（是常数，）经过三点，且，下列四个结论，其中正确的有（    ） ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图象经过，，且抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧判断出抛物线的开口向下，即，再把代入得：即可判断①；先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可判断②；先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可判断③；根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出的取值范围，即可判断④，从而得出答案． 【详解】解：①、图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点都在的左侧， 中， 抛物线与轴的一个交点一定在的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， 把代入得：，即， ，， ，故①错误，不符合题意； ②、，，，， 方程的两个根的积大于0，即， ， ， ，即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在点的右侧， ， ， ，故②正确，符合题意； ③、， 当时，， 抛物线对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ，故③正确，符合题意； ④、方程可变为， 方程有两个相等的实数解， ， 把代入得，即， ，即， ， ，即， ，在抛物线上， 为方程的两个根， ， ， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有：②③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质与二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 【变式10-1】二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的平移、二次函数与线段的交点问题，由平移的性质可得，，待定系数法求出直线的解析式为，当的图象的左支过点时，将代入解析式得，当的图象的右支过点时，将代入解析式得，最后由的图象与线段只有一个公共点，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段， ，， 设直线的解析式为：， 将，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当的图象的左支过点时，将代入解析式得：， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有两个交点； 当的图象的右支过点时，将代入解析式得， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有一个交点； 的图象与线段只有一个公共点， 的取值范围是， 故选：C． 【变式10-2】若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，确定的符号是解题的关键．根据题意得到，求出的值，即可得到结论． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， ， 故与x轴的交点有个． 故答案为：． 【变式10-3】对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式的公式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴都有公共点， ∴恒成立， ∴恒成立， ∵， ∴n的最小值即为的最大值4， ∴， 故答案为：． 【变式10-4】如图，函数的图像经过点，和顶点C．    (1)______； (2)在图中画出这个函数的图像：（不必列表） (3)若点在该函数图像上； ①当时，则x的取值范围为______； ②当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围是______． 【答案】(1)2 (2)见详解 (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法，画二次函数图象，利用图象解不等式； （1）将，代入关系式即可求解； （2）画出图象即可求解； （3）①当时，可求出图象与轴交点的横坐标， 由的图象为轴上方图象，根据图象对应的取值范围，即可求解；②可求抛物线的对称轴为直线，当时，从而可求出，结合图象即可求解； 会利用函数图象解题，用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入关系式得 ， 解得：， 故答案：； （2）解：图象如图，   ， （3）解：由（1）得 ， ①当时， ， 解得：，， 由图象得： 时，轴上方图象对应的取值范围为： ， 故答案：； ②抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时 由图象得：， 故答案：． 【考点题型十一 二次函数与不等式】 【例11】二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；  ②； ③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与轴交点位置可判断③，由抛物线经过及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，故②正确； 抛物线和轴交点在负半轴， ， ， ①正确； 当时，两点都在对称石侧．图象部分．随增大而增大， ， ③正确； 不等式，抛物线在轴上方时，取值范围，而抛物线和轴交点为和， 解集是或； ④错误． 的两个根，， ∴，， ，， 的两个根，， ⑤错误． 故选：C． 【变式11-1】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是(　　) A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，画出图象，根据图象，写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于， 图象如图所示，直线：，则 ∴当时，， ∴关于的不等式的解集为， 故选：D． 【变式11-2】如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于两点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】由，得，根据图像找到二次函数在一次函数图像上方的部分对应的x的范围即可． 此题考查了一次函数与二次函数图像交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图像在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键． 【详解】由，得 ， ∴， 由图可知关于的不等式的解集为：或， ∴关于的不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【变式11-3】二次函数与一次函数的图象交于 ，两点，如图，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 由得，结合图象，当一次函数在二次函数上方，此时二次函数值小于一次函数值，将不等式变形，确定x的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】， ， 设，， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数在二次函数上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 的解集为， 故答案为： 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围______； (3)当时，的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点C的坐标，得到的长，进一步得到点A和点B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线与x的交点坐标及函数图象进行判断即可； （3）求出顶点坐标即函数最大值，求出当和时的函数值，根据二次函数的图象即可得到答案； 此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∴， ∴点B的坐标是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点A的坐标是， 把点B，点A代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解由抛物线图象可知，当时，则的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为： 【考点题型十二 二次函数应用之销售问题】 【例12】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨元，销售利润为元，可列函数为：．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（    ） A．表示涨价后商品的单价 B．表示涨价后少售出商品的数量 C．表示涨价后商品的数量 D．表示涨价后商品的单价 【答案】A 【分析】根据题意，分析得出涨价后的单价为元，涨价后销量为件，再根据利润等于售价减去进价得出涨价后每件利润为元即可． 【详解】解：A、表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意； B、由销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，得每件商品涨元后，表示涨价后少售出商品的数量，故本选项符合题意； C、由题可知，原销量为400件，涨价后少售出件，则涨价后的商品数量为件，故本选项符合题意； D、由题可知，每件商品原价为30元，涨元后单价为元，故本选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利润的计算公式是本题的重点． 【变式12-1】某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上减少了，每件产品利润在8的基础上增加，据此可求出总利润关系，求出最值即可． 【详解】解：设总利润为y元， ∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次， ∴每天利润为， ∴当时，产品利润最大，每天获利864元， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键． 【变式12-2】某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 ． 【答案】170元 【分析】本题考查函数模型的构建，配方法求函数的最值，设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋，根据利润函数表示出利润，再利用配方法求出函数的最值． 【详解】解：设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋， ∴总利润， ∵，，x为正整数， ∴当或时，y有最大值， 即能获得的最大利润为170元， 故答案为：170元． 【变式12-3】某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 元． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键．根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质解题即可． 【详解】解：设房价定为元，每天的利润为元， ， ， ， 因为， 故当时，获得最大利润． 故答案为：． 【变式12-4】某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据． （元/件） 40 55 70 （件） 1100 950 800 (1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高元时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的图象与性质，理解题意、熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）设，由表格得：当时，；当时，，代入得：，求解得出与的函数表达式即可； （2）根据某周该产品的销售量不少于750件，得出，求解得出，设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质，得出当时，随的增大而增大，则当时，取得最大值，求出最大利润即可； （3）根据“规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元”，得出，设该商场每周销售这种产品的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质、该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，得出，求解得出，结合，综合得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系， ∴设， ∵由表格得：当时，；当时，， ∴代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵某周该产品的销售量不少于750件，由（1）得， ∴， 解得：， 设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元； （3）解：∵规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元， ∴， 设该商场每周销售这种产品的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∵该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型十三 二次函数应用之增长率问题】 【例13】国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 【变式13-1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题是增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，然后根据已知条件可得出方程．关键是求平均变化率的方法：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 【详解】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为， 依题意得第三个月投放垃圾桶辆， 则． 故选：． 【变式13-2】某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据平均增长率的定义列式表示出2、3月份的利润即可． 【详解】解：由题意知，2月份的利润为万元，3月份的利润为万元， 因此关于的函数关系式是， 故答案为：． 【变式13-3】某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率，即可列出函数解析式． 【详解】依题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率=现有量，表示增长的次数． 【变式13-4】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 【考点题型十四 二次函数应用之拱桥问题】 【例14】如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ） A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 故选： 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【变式14-1】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 【变式14-2】廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将代入函数解析式求出x的值即可得到答案 【详解】解：当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为 【变式14-3】如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽 米．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：． 【变式14-4】如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【答案】(1) (2)9米 (3)米 【分析】（1）设抛物线表达式为，将点、代入得，计算求解，进而可得抛物线的表达式． （2）由题意知，，由，可知当时，y取得最大值，最大值为9，然后作答即可． （3）当时， ，可求，，根据货箱最宽为，计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 将点、代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为9． ∴在正常水位时桥面距离水面的高度为9米． （3）解：根据题意，当时， ， 解得，， ∴货箱最宽为（米）． ∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【考点题型十五 二次函数应用之图形运动问题】 【例15】已知在正方形中，是对角线上一个动点，过作、的平行线分别交正方形的边于、和、，若，图中阴影部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，几何问题与二次函数，设在正方形的边长为a，首先可证得四边形、都是矩形，四边形、都是正方形，可求得，，再由，即可求得则y与x之间的函数关系，据此即可判定． 【详解】解：设在正方形的边长为a， 四边形是正方形， ，，，， 过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N， 四边形、都是矩形， 四边形、都是正方形， ， ， ， 该函数的图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 【变式15-1】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小．    A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求四边形的面积最小即求面积最大，设时间为，用含有的式子表示面积，求最大值即可． 【详解】解：面积为定值， 当面积最大时，四边形的面积最小， 设时间为秒， 则，， ， ， 当时，面积最大，此时四边形的面积最小． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的最值，将问题转化成方便求的值是本题的关键． 【变式15-2】如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．      【答案】4 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及二次函数图象与性质，设点运动的距离，则点运动的距离，表示出，然后根据二次函数的图象与性质求解即可得到答案，读懂题意，准确表示出是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大， 故答案为：4． 【变式15-3】在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ． 【答案】 【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故答案为：． 【变式15-4】如图1，正方形的中心都在直线上，．正方形以的速度沿直线向正方形移动，当点与的中点重合时停止运动．设移动时间为，这两个正方形重叠部分的面积为，与的函数图象如图2．根据图象解决下列问题： (1) cm； (2)分别求 的值； (3)正方形出发几秒时，重叠部分的面积为 ？ 【答案】(1)4 (2)， (3)3秒或5秒 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是通过图形获取信息，要理清图象的含义即会识图． （1）由这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，求出边长即可得出的长； （2）依题意，求出每段的函数解析式，运用函数解析式求出，的值； （3）把代入函数关系式为，求出时间即要可． 【详解】（1）解：当这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，得出小正方形的边长为， 所以． 故答案为：4． （2）依题意，可知 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是； 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是； 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是． 当时，得或，解得（负号舍去）或（正号舍去）， 即，． （3）当时，得，解得或． 所以正方形出发3秒或5秒时，重叠部分面积为． 【考点题型十六 二次函数的存在性问题】 【例16】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先求出点A坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可； （3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入中得， 解得， 二次函数得表达式为； （2）解：在中，当时，或， ∴, 又∵， ∴， ∵的面积等于10， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，此时，方程无解，不符合题意； 在中，当时，解得或， ∴点P的坐标为或， ∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点， 设， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 将代入，得， 点的坐标为，的面积的最大值为． 【变式16-1】综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接，，，． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当四边形的面积有最大值时，求出m的值． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)当四边形的面积最大时，m的值为2 (3)存在，或或或 【分析】（1）分别令和即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过D作x轴的垂线交于P，设，则，根据题意表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，设，表示出，根据求出或；然后根据时得到，过D作于E，证明出，得到，然后代数求解；然后当时，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）令，得， 解得或， ∴，， 令，得， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）如图，过D作x轴的垂线交于P， 设，则， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， ∴当四边形的面积最大时，m的值为2； （3）∵， ∴， ∴， 设， ∴， 当， ∴， 解得或， ∴或； 当时，则点M在的垂直平分线上， 作的垂直平分线交x轴于M，交于H，则， 过D作于E， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵ ∴ ∴点M的横坐标为 ∴点M的坐标为 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式16-2】如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 【变式16-3】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或或或 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， 得解析式； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 【变式16-4】综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【考点题型十七 二次函数的综合】 【例17】已知函数与函数，定义新函数． (1)若，则新函数_______； (2)若新函数y的表达式为，则_______，_______； (3)设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 【答案】(1) (2)5， (3)①当时，；② 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题： （1）将代入函数，得，即可求出结果； （2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值； （3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值； ②根据①中的关系式，将代入即可求出结果． 【详解】（1）解：当时，， ∵函数，定义新函数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数与函数，定义新函数， ∴新函数的解析式为， ∵新函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：5，； （3）解：①由（2）知，新函数解析式为， ∵新函数顶点为， ∴， ∴， ∵， 当时，； ②由①知，， 将代入得： ∴． 【变式17-1】定义：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，当时，B点坐标为；当时，B点坐标为，则称点B为点A的k一分点（其中k为常数）．例如：的0一分点坐标为． (1)点的1一分点在比例函数图象上，则________； 若点的2一分点在直线上，则________； (2)若点N在二次函数的图象上，点M为点N的3一分点． ①求点M所在函数的解析式； ②当时，点M所在函数的函数值，求出m的取值范围． 【答案】(1)3，11 (2)①或② 【分析】本题采取新定义的方式考查坐标变化、一次函数性质、二次函数性质，把握变化规律，结合图象特点，注意分类讨论是解题关键． （1）根据新定义计算即可，第二小问注意分类讨论， （2）①分，两种情况，根据变化定义，找到点M坐标，进而找到M点所在解析式， ②根据函数性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴点的1一分点坐标为； ∵点的1一分点在正比例函数图象上， ∴ ∴； 分情况讨论：①当，即时，点的2一分点为， ∵点的2一分点在直线上， ∴， ∴， 当，即时，点的2一分点为， ∵点的2一分点在直线上， ∴ ∴（舍去）， 故答案为：3，11； （2）解：①设 ∵点M为点N的3一分点， ∴当，，其中 ， ∴点M所在函数的解析式为：， 当，，其中 ， ∴点M所在函数的解析式为：， 故点M所在函数的解析式为或； ②由点M所在函数的图象可知： 把代入得， 解得（舍去）， 把代入得， 解得，（舍去）， 当，代入得，此时方程无解， 当，代入得 解得： ∴当时，点M所在函数的函数值； 综上，当时，点M所在函数的函数值，其中m的取值范围为． 【变式17-2】新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． (1)图像数为的二次函数表达式为__________． (2)求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点： （1）根据新定义得到二次函数的解析式即可； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证. 【详解】（1）解：图像数为的二次函数表达式为：. （2）解：“图象数”为的二次函数表达式为：. 当时， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【变式17-3】定义：在平面直角坐标系中，点、点，若，则称点M、N互为正等距点，叫做M、N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0．例如，点、互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)判断函的图像是否存在点A的正等距点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线上，求k的值； (3)若抛物线上不存在点A的正等距点，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)或 (3) 【分析】（1）设的正等距点为，且正等距为m，根据正等距点的定义推算出x和y关于m的表达式，再带入反比例函数建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据正等距等于4求出正等距的坐标，再带入一次函数的解析式即可求得答案； （3）假设存在，且A的正等距点，可得它的轨迹是直线，求直线和抛物线的交点，根据当时无解，建立不等式即可求得答案． 【详解】（1）解：设的正等距点为，且正等距为m， 由，可得，， ∴ 若反比例函数的图像上， 得， 解方程得，则，， ∵， ∴， 故 ∴； （2）解：由题意得，， ∴或，故或，分别代入， ∴或； （3）解：假设存在，则A的正等距点， ∴它的轨迹是直线， ∴， 整理得，， ∵它与抛物线无交点， ∴， ∴． 【点睛】本题综合考查反比例函数、一次函数和二次函数的综合，解题的关键是根据互为正等距点的定义设坐标计算，需要注意互为正等距点与正等距之间的符号区别． 【变式17-4】定义：在平面直角坐标系中，若函数图象上的点满足（其中，为常数），则称点为函数图象的“级和点”． (1)若点为反比例函数图象的“级和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若时，直线上有“级和点”，求的取值范围； (3)若抛物线的“级和点”恰有一个，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查反比例函数，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解“级和点”的定义，满足“级和点”的点都在直线上是解题的关键． （1）根据新定义，可得方程，求出的值即可求解； （2）当过点时，；当过点时，；由此确定的取值范围即可； （3）分两种情况讨论：当抛物线与直线有一个交点时，可得方程，根据，求出或；当抛物线过点时，，则当时抛物线的“级和点”恰有一个． 【详解】（1）解：点为反比例函数图象的“1级和点”， ， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：，； （2）解：当过点时，， 解得， 当过点时，， 解得， ； （3）解：当抛物线与直线有一个交点时， ， 整理得，， 当时，， 解得或； 当抛物线过点时，， 当时，抛物线的“级和点”恰有一个， 综上所述：当或或时，抛物线的“级和点”恰有一个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司86 学科网（北京）股份有限公司 $$