专题04实数（8大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题04 实数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、平方根的计算问题 3 类型二、算数平方根的非负性 4 类型三、算数平方根的规律问题 5 类型四、立方根的计算问题 6 类型五、无理数的估算 7 类型六、平方根与立方根的应用 8 类型七、实数与数轴 9 类型八、实数的混合运算 11 压轴能力测评（10题） 13 1．算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 2. 平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 3.开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 4. 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 5. 实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 6. 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 类型一、平方根的计算问题 例1．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（    ） A．3 B． C．16 D．9 变式1-2．的平方根为（　　） A．4 B． C． D． 类型二、算数平方根的非负性 例2．若（a﹣1）2与互为相反数，则a2018+b2019＝ ． 变式2-1．若，其中a，b均为整数，则 ． 变式2-2．已知与互为相反数，求的值． 类型三、算数平方根的规律问题 例3．已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 变式3-1．若，，则 ． 变式3-2．如图是一个按某种规律排列的数阵： 1   第1行   2     第2行     3       第3行       4         第4行 …     …     …     …     …     …     …    … … 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 类型四、立方根的计算问题 例4． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 变式4-1．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 变式4-2．若都是实数，，求的立方根． 类型五、无理数的估算 例5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 变式5-1．若，则整数x的最小值为 ． 变式5-2．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 类型六、平方根与立方根的应用 例6．已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 变式6-1．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 变式6-2．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 类型七、实数与数轴 例7．如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ． 变式7-1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简= . 变式7-2．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟. 类型八、实数的混合运算 例8．计算： (1)； (2)． 变式8-1．计算： (1)； (2) 变式8-2．计算 (1)； (2)． 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 3．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 5．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 6．已知的立方根为2，x是的算术平方根，求的算术平方根的平方根． 7．计算： (1)； (2)． 8．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 9．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 10．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、平方根的计算问题 3 类型二、算数平方根的非负性 4 类型三、算数平方根的规律问题 5 类型四、立方根的计算问题 6 类型五、无理数的估算 7 类型六、平方根与立方根的应用 8 类型七、实数与数轴 9 类型八、实数的混合运算 11 压轴能力测评（10题） 13 1．算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 2. 平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 3.开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 4. 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 5. 实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 6. 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 类型一、平方根的计算问题 例1．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可. 【详解】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D. 【点睛】此题考查平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键. 变式1-1．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（    ） A．3 B． C．16 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可． 【详解】解： 与是同一个数的两个不相等的平方根， ， 解得， ， ，即这个数是9． 故选D． 变式1-2．的平方根为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．根据题意得到，求出的平方根即可． 【详解】解： ， 故的平方根为， 故选：D． 类型二、算数平方根的非负性 例2．若（a﹣1）2与互为相反数，则a2018+b2019＝ ． 【答案】0 【分析】根据相反数的概念和非负数的性质列出方程，求出a、b的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由题意得，（a﹣1）2+＝0， 则a﹣1＝0，b+1＝0， 解得，a＝1，b＝﹣1， 则a2018+b2019＝12018+（﹣1）2019＝1+（﹣1）＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的性质和算术平方根非负性的性质，正确运用算术平方根非负性的性质是解答本题的关键． 变式2-1．若，其中a，b均为整数，则 ． 【答案】0，2，4 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【详解】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想． 变式2-2．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一个非负数的算术平方根的非负性的性质，本题主要运用了算术平方根、平方、绝对值的非负性，求出a，b，c的值，再带入求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数，， ，， ，，． ． 类型三、算数平方根的规律问题 例3．已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索，解此题的关键是能根据算术平方根得出规律，难度适中．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：… ， 故选：D． 变式3-1．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根，依据被开方数小数点向左或向右移动位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动位求解即可，正确把握相关规律是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式3-2．如图是一个按某种规律排列的数阵： 1   第1行   2     第2行     3       第3行       4         第4行 …     …     …     …     …     …     …    … … 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，数字类规律探索，由题意得出前行的数据的个数为，从而得出第（是整数，且）行从左向右数第个数的被开方数是，再由算术平方根的定义即可得解． 【详解】解：前行的数据的个数为：， 第（是整数，且）行从左向右数第个数的被开方数是， 第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 类型四、立方根的计算问题 例4． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 【答案】A 【详解】先根据算术平方根的意义，求得=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2. 故选A. 变式4-1．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 变式4-2．若都是实数，，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解；∵式子要有意义， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根是3． 类型五、无理数的估算 例5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 先确定，再利用算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即： 故选：C． 变式5-1．若，则整数x的最小值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了立方根和无理数的估算，估算出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∵， ∴整数x的最小值为3， 故答案为：3 变式5-2．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 由题意可知，a，b是两个连续的整数且， ∴ ∴ 故答案为：9 类型六、平方根与立方根的应用 例6．已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 变式6-1．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 变式6-2．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 类型七、实数与数轴 例7．如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ． 【答案】 . . 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据题意可得，然后根据数轴上个点的位置计算出表示的数即可. 【详解】解：点表示的数是,是原点， ， ， 以为圆心、长为半径画弧， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故答案为：；. 【点睛】本题考查了数轴的性质，以及应用数形结合的方法来解决问题. 变式7-1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简= . 【答案】- 【详解】根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-. 故答案为-. 点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算. 变式7-2．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键． 类型八、实数的混合运算 例8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10； (2) 【分析】本题考查实数计算，立方根计算，算术平方根计算，绝对值化简等． （1）先利用算术平方根、立方根的定义化简，再从左到右依次计算即可； （2）先利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义化简，再从左到右依次计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式8-1．计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）计算立方根和算术平方根，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式8-2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算， （1）利用平方根的性质、算术平方根、绝对值进行化简计算即可； （2）利用平方根的性质、算术平方根、立方根进行化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可． 本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意；     C. ，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选A． 2．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解： 的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 3．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 4．例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 【答案】45 【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n， ∵，， ∴在第45行， 故答案为：45． 5．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 6．已知的立方根为2，x是的算术平方根，求的算术平方根的平方根． 【答案】的算术平方根的平方根为 【分析】该题主要考查了立方根、算术平方根和平方根，解题的关键是掌握以上知识点． 首先利用立方根的定义得出的值，进而利用算术平方根的定义得出的值，进而求出答案． 【详解】解：∵的立方根为2， ， 则， ∵x是的算术平方根， ， 则， 故，则的算术平方根为25，25的平方根为． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根的求解，算术平方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先求出算术平方根，立方根，再算加减法即可； （2）先运算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 8．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 9．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 10．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】（1），（2）（3）（4）（5）（6） 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①由两点间距离直接求解即可； ②由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可； （3）由题意两点距离的意义进行解答； （4）当取2时代数式的值最小，据此计算便可； （5）取最中间点便可； （6）在，范围内，解方程便可． 【详解】解：（1）①数轴上表示2与5两点之间的距离为； 故答案为：3； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； （2）， ； （3）表示数的点与表示数1和2的点的距离之和， 当位于1与2之间时，其距离之和最小， 取最小值时，相应的数的取值范围是， 故答案为：； （4）当时，取最小值为：， 故答案为：2； （5）点选在居民家．才能使这2023户居民到点的距离总和最小； 故答案为：； （6）， 当，时，， ， 若数，满足，的最小值为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$