（篇一）第二单元线与角·“线”篇【十一大考点】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 16 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 20 日 2 / 16 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·“线”篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元线与角·“线”篇 专题内容 本专题以三种线和线的位置关系为主，其中包括三种线的认 识、判断、画法以及数线段的方法与实际应用，平行与垂直 的认识、应用及画法等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线 .................................................................... 3 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短 ................................................................ 4 【考点三】三线的画法 .......................................................................................................5 【考点四】数数三线 .......................................................................................................... 7 【考点五】线段的数量问题其一 ....................................................................................... 8 【考点六】线段的数量问题其二 ....................................................................................... 9 【考点七】线段的数量问题其三 ..................................................................................... 10 【考点八】平行与垂直 .....................................................................................................11 【考点九】数平行线与垂线 ............................................................................................. 13 【考点十】画平行线与垂线 ............................................................................................. 14 3 / 16 【考点十一】垂线的应用：修路问题 ..............................................................................15 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线。 【方法点拨】 图形 区别 联系 端点 长度 延长情况 线段 2 可以度量 不可向两端延长 都是直的，线段、射线 都可以看作直线的一 部分。 射线 1 不可度量 向一端无限延长 直线 0 不可度量 向两端无限延长 【典型例题】 下面的图形中，直线有( )，射线有( )，线段有( )。（填 序号） 【对应练习 1】 在每个图形下面的括号里填上“直线”“射线”或“线段”。三者都不是的，就在括号 里画“×”。 ( ) ( ) ( ) 【对应练习 2】 下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 4 / 16 【对应练习 3】 上图中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短。 【方法点拨】 两点之间，线段最短。 【典型例题】 学校进行安全疏散演练，小维要尽快到达安全区域（如图），他选择了 A路线， 主要是根据“两点间所有连线中( )最短”的原理。 【对应练习 1】 从甲地到乙地有 4条路（如图），走( )号路线最近。 【对应练习 2】 下图是小明家到学校的三条线路图，如果让你帮助小明推荐一条上学最近的路线， 推荐第( )条，请用数学语言说明理由：( )。 5 / 16 【对应练习 3】 图中 A、B两点之间的距离是( )厘米。 【考点三】三线的画法。 【方法点拨】 1. 直线。 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，经过三个点中的每两个点最 多可以画三条直线。 2. 射线。 从一点出发可以画两条射线。 3. 线段。 两点确定一条线段。 【典型例题 1】直线。 经过纸上 2个点可以画 1条直线，经过 3个点中的每两个点最多可以画 3条直线， 经过 4个点中的每两个点最多可以画( )条直线，经过 10个点中的每两 个点最多可以画( )条直线。 【对应练习】 看图填空。 (1)经过 A点能画( )条直线。 (2)经过 B、C两点，能画( )条直线。 6 / 16 【典型例题 2】三线的画法。 按要求画一画。 先画出直线 AC，再画出射线 CB，然后画出线段 AB。 【对应练习 1】 过点 O画一条直线；过点 A画一条射线，并在射线上画出线段 AB＝4厘米。 【对应练习 2】 按要求画一画。 （1）画出直线 AB。 （2）画出射线 BC。 （3）画出长为 5厘米的线段 AD。 7 / 16 【对应练习 3】 下面有 A、B、C三个点，按要求画一画。 （1）画直线 BC。 （2）画射线 BA。 （3）画线段 AC。 【考点四】数数三线。 【方法点拨】 1.两个端点构成一条线段；一个端点引出两条射线；直线没有端点。 2.简单的数线段、射线和直线可以采用画图的方法解决，注意不要漏数。 【典型例题】 数一数，下图中有( )条射线，有( )条直线，有( )条线段。 【对应练习 1】 下图中有( )条射线，( )条线段。 【对应练习 2】 如图，直线 AB上共有( )条线段，( )条射线。 【对应练习 3】 下图中一共有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 8 / 16 【考点五】线段的数量问题其一。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从 1+2+3+......+（n-1），其中 n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中 n代表端点数量）。 【典型例题】 下面的图形中，我找到的线段分别是：( )。 【对应练习 1】 图中有( )条线段。 【对应练习 2】 2个点可以连成( )条线段，3个点可以连成( )条线段，10个点 可以连成( )条线段。 【对应练习 3】 数出下图中共有多少条线段？ 9 / 16 【考点六】线段的数量问题其二。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从 1+2+3+......+（n-1），其中 n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中 n代表端点数量）。 【典型例题】 下面各图中分别有多少条线段？ 【对应练习 1】 下图中一共有( )条线段。 【对应练习 2】 数一数，下图中有多少条线段？ （1） ( )条 10 / 16 （2） ( )条 【对应练习 3】 数一数，下图中一共有多少条线段？ 【考点七】线段的数量问题其三。 【方法点拨】 线段与实际问题的结合，需要熟练掌握数线段的方法。 【典型例题】 一列从甲地开往乙地的火车，途中要停靠 3个站，铁路部门要准备( )种 不同的单程车票。 【对应练习 1】 冒险岛到上海虹桥最快的一趟高铁共有 5个停靠车站，单程需要准备( ) 种不同的车票。 【对应练习 2】 从武汉到广州的铁路上共有大小车站 8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客 准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？ 【对应练习 3】 中（国）老（挝）铁路是中国与老挝友谊的“连心桥”。晓娟查阅有关资料了解到 中老铁路的磨丁至万象市段的站点，如图所示。这一段铁路单程需要准备多少种 不同的车票？ 11 / 16 【考点八】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条 直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线 a与 b互相平行，记作 （ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一 条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）； 垂直可以用用符号“⊥”表示，直线 a 与 b 互相垂直，记作（ ），读作 （ ）。 【典型例题 1】认识平行与垂直。 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 12 / 16 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两 条直线是相交的有( )。 【对应练习3】 如图各组直线 a、b是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) 【典型例题 2】判断平行与垂直。 下图中，a与 b互相( )，b与 c互相( )，c与 d互相( )。 【对应练习1】 如下图。直线 a和( )互相平行，直线 c和( )互相垂直，o是 ( )。 13 / 16 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 a( )c b( )c a( )b 【对应练习3】 图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是( )，图 2中，直线 c是直线 d的 ( )线；图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的( )。 【考点九】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【对应练习 1】 有 4条直线（如图），其中，与直线 c垂直的直线有( )条，与直线 c相 交的直线有( )条。 14 / 16 【对应练习 2】 如图里有( )条线段与 AB垂直，有( )条线段与 CD平行。如图中 一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【对应练习 3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【考点十】画平行线与垂线。 【方法点拨】 画垂线的方法：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过 P点作 OA的平行线，作 OB的垂直线。 15 / 16 【对应练习 1】 过点A作直线 l的垂线和平行线。 【对应练习 2】 过点 A作已知直线的平行线和垂线。 【对应练习 3】 过点 O画 AB的平行线和垂线。 【考点十一】垂线的应用：修路问题。 【方法点拨】 从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的 （ ）。 【典型例题】 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画 16 / 16 出最佳路线。 【对应练习 1】 甲村要修一条路与公路连接。请你帮忙设计一下，怎样修路最省钱？画一画。 【对应练习 2】 如图，一头牛在点 A处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边 最短的路线，在图中画出来。 【对应练习 3】 甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。 1 / 31 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 20 日 2 / 31 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·“线”篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元线与角·“线”篇 专题内容 本专题以三种线和线的位置关系为主，其中包括三种线的认 识、判断、画法以及数线段的方法与实际应用，平行与垂直 的认识、应用及画法等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线 .................................................................... 3 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短 ................................................................ 5 【考点三】三线的画法 .......................................................................................................7 【考点四】数数三线 ........................................................................................................ 12 【考点五】线段的数量问题其一 ..................................................................................... 14 【考点六】线段的数量问题其二 ..................................................................................... 15 【考点七】线段的数量问题其三 ..................................................................................... 17 【考点八】平行与垂直 .....................................................................................................19 【考点九】数平行线与垂线 ............................................................................................. 23 【考点十】画平行线与垂线 ............................................................................................. 26 3 / 31 【考点十一】垂线的应用：修路问题 ..............................................................................29 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线。 【方法点拨】 图形 区别 联系 端点 长度 延长情况 线段 2 可以度量 不可向两端延长 都是直的，线段、射线 都可以看作直线的一 部分。 射线 1 不可度量 向一端无限延长 直线 0 不可度量 向两端无限延长 【典型例题】 下面的图形中，直线有( )，射线有( )，线段有( )。（填 序号） 【答案】 ②⑥ ③ ④ 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度； 射线 1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度； 线段 2个端点，不能延伸，可以测量长度，依此解答即可。 【详解】根据分析图中，②⑥没有端点，属于直线； ③有 1个端点，属于射线； ④线段 2个端点，属于线段； 所以，直线有②⑥，射线有③，线段有④。 【点睛】根据直线、射线和线段的特征作答即可。 【对应练习 1】 在每个图形下面的括号里填上“直线”“射线”或“线段”。三者都不是的，就在括号 里画“×”。 4 / 31 ( ) ( ) ( ) 【答案】 射线 × 线段 【分析】根据直线、线段和射线的含义：直线无端点，无限长，不可以度量；射 线有一个端点，无限长，不可以度量；线段两头都有端点，有限长，可以度量； 进行解答。 【详解】 （射线） （×） （线段） 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，应熟练掌握。 【对应练习 2】 下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】 ③ ②⑥ ④ 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另 一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条 线段的长度，可以度量；据此特征判断。 【详解】下面（③）是线段，（②⑥）是射线，（④）是直线。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【点睛】此题主要考查直线、射线和线段的特征。 【对应练习 3】 5 / 31 上图中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。 【答案】 ① ② ③ 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另 一端可无限，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段 的长度，可以度量；据此解答。 【详解】 图中，（①）是直线，（②）是线段，（③）是射线。 【点睛】本题主要考查了直线、射线及线段的特征。 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短。 【方法点拨】 两点之间，线段最短。 【典型例题】 学校进行安全疏散演练，小维要尽快到达安全区域（如图），他选择了 A路线， 主要是根据“两点间所有连线中( )最短”的原理。 【答案】线段 【分析】根据两点间所有连线中线段最短，解答此题即可。 【详解】两点间所有连线中线段最短，即他选择了 A路线，主要是根据“两点间 所有连线中线段最短”的原理。 6 / 31 【点睛】熟练掌握两点间所有连线中线段最短的知识，是解答此题的关键。 【对应练习 1】 从甲地到乙地有 4条路（如图），走( )号路线最近。 【答案】② 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，连接两点的线段的长度叫做两点 间的距离。两点之间，线段最短，据此解答即可。 【详解】根据两点之间线段最短可知，从甲地到乙地有 4条路（如图），走②号 路线最近。 【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点是：两点之间线段最短。 【对应练习 2】 下图是小明家到学校的三条线路图，如果让你帮助小明推荐一条上学最近的路线， 推荐第( )条，请用数学语言说明理由：( )。 【答案】 ② 两点之间线段最短 【分析】两点之间的距离，线段最短；一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线 段，线段有两个端点，依此选择。 【详解】推荐第②条，理由是：两点之间线段最短。 【点睛】此题考查的是两点间的距离线段最短，应熟练掌握。 【对应练习 3】 图中 A、B两点之间的距离是( )厘米。 7 / 31 【答案】4 【分析】两点之间线段最短，测量两点之间的距离，应测量两点之间的线段长。 【详解】图中 A、B两点之间的距离是（4）厘米。 【点睛】本题考查长度的测量方法，注意不是从 0刻度开始的，需要两段刻度相 减求差算长度。 【考点三】三线的画法。 【方法点拨】 1. 直线。 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，经过三个点中的每两个点最 多可以画三条直线。 2. 射线。 从一点出发可以画两条射线。 3. 线段。 两点确定一条线段。 【典型例题 1】直线。 经过纸上 2个点可以画 1条直线，经过 3个点中的每两个点最多可以画 3条直线， 经过 4个点中的每两个点最多可以画( )条直线，经过 10个点中的每两 个点最多可以画( )条直线。 8 / 31 【答案】 6 45 【分析】直线的概念：把线段的两端无限延长，得到一条直线，经过两个点可以 画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）； 经过 4个点中的每两个点：第 1个点与其他 3个点分别可以画 3条直线；排除第 1个点，第 2个点与其他 2个点分别可以画 2条直线；排除第 1、2个点，第 3 个点与其他 1个点分别可以画 1条直线； 经过 10个点中的每两个点：第 1个点与其他 9个点分别可以画 9条直线；排除 第 1个点，第 2个点与其他 8个点分别可以画 8条直线；排除第 1、2个点，第 3个点与其他 7个点分别可以画 7条直线；排除第 1、2、3个点，第 4个点与其 他 6个点分别可以画 6条直线；排除第 1、2、3、4个点，第 5个点与其他 5个 点分别可以画 5条直线；排除第 1、2、3、4、5个点，第 6个点与其他 4个点分 别可以画 4条直线；排除第 1、2、3、4、5、6个点，第 7个点与其他 3个点分 别可以画 3条直线；排除第 1、2、3、4、5、6、7个点，第 8个点与其他 2个点 分别可以画 2条直线；排除第 1、2、3、4、5、6、7、8个点，第 9个点与其他 1个点分别可以画 1条直线；据此解答。 【详解】根据分析：3＋2＋1＝6（条），所以经过 4个点中的每两个点最多可以 画 6条直线；9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（条），所以经过 10个点中的每 两个点最多可以画 45条直线。 【对应练习】 看图填空。 (1)经过 A点能画( )条直线。 (2)经过 B、C两点，能画( )条直线。 【答案】(1)无数 (2)一/1 【分析】过一点可以画无数条直线；过两点只能画一条直线。 【详解】如图所示： 9 / 31 （1）经过 A点能画无数条直线； （2）经过 B、C两点，能画一条直线。 【典型例题 2】三线的画法。 按要求画一画。 先画出直线 AC，再画出射线 CB，然后画出线段 AB。 【答案】见详解 【分析】过 A、C两点画一条直的线即可得到直线 AC，以点 C为端点，过点 B 画一条直的线即可得到射线 CB，用一条直的线把 A、B两点连接起来即可得到 线段 AB；据此即可解答。 【详解】 【对应练习 1】 过点 O画一条直线；过点 A画一条射线，并在射线上画出线段 AB＝4厘米。 【答案】见详解 10 / 31 【分析】直线没有端点，不能度量长度，可以向两端无限延伸。用直尺的边与点 O重合，沿着直尺边画线，即可画出过 O点的一条直线； 射线是由线段的一端无限延长所形成的直的线，有一个端点，无限长，线段是有 两个端点，不能向两端无限延伸，且可测量长度。先以点 A为端点画一条射线， 然后以点 A为端点截取一条长 4厘米的线段 AB，用尺子 0刻度线对齐点 A，找 4厘米的位置点一点，标上点 B，据此解答即可。 【详解】 【对应练习 2】 按要求画一画。 （1）画出直线 AB。 （2）画出射线 BC。 （3）画出长为 5厘米的线段 AD。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端 无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射 线，射线有一个端点。 （1）过 A、B两点画一条直的线即可； （2）以 B为端点，过 C点画一条直的线即可； （3）以 A为端点，画一条长为 5厘米的线段，另一个端点标记为 D即可。 据此画图。 【详解】作图如下： （1）直线 AB 11 / 31 （2）射线 BC （3）长为 5厘米的线段 AD 【对应练习 3】 下面有 A、B、C三个点，按要求画一画。 （1）画直线 BC。 （2）画射线 BA。 （3）画线段 AC。 【答案】见详解 【分析】（1）直线无端点，所以画直线 BC时，先连接点 B与点 C，再将连线 向两边继续延长一些； （2）射线 BA，此射线的端点是点 B，连接点 B与点 A，并向点 A的右上角继 续延长，即可得到射线 BA； 12 / 31 （3）线段有 2个端点，有长度，所以连接点 A与点 C即可得到线段 AC。 【详解】（1）（2）（3）如下图所示： 【考点四】数数三线。 【方法点拨】 1.两个端点构成一条线段；一个端点引出两条射线；直线没有端点。 2.简单的数线段、射线和直线可以采用画图的方法解决，注意不要漏数。 【典型例题】 数一数，下图中有( )条射线，有( )条直线，有( )条线段。 【答案】 4 1 1 【分析】根据直线、射线和线段的特点：直线无端点，无限长，不可以度量；射 线有一个端点，无限长，不可以度量；线段有两个端点，有限长，可以度量；进 行解答即可。 【详解】图中有 4条射线，有 1条直线，有 1条线段。 【点睛】本题主要考查射线、线段和直线的特点。注意观察，不能多数、漏数。 【对应练习 1】 下图中有( )条射线，( )条线段。 【答案】 6 3 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另 一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条 线段的长度，可以度量；据此解答。 【详解】上图中有 6条射线，3条线段。 13 / 31 【点睛】本题考查了直线、射线及线段的特征。 【对应练习 2】 如图，直线 AB上共有( )条线段，( )条射线。 【答案】 6 8 【分析】由题目可知，从短到长，线段共有（3＋2＋1）条，每个端点发出两条 射线，所以共 8条射线，即可解题。 【详解】由分析可知： 3＋2＋1＝6（条） 所以直线 AB上共有 6条线段，8条射线。 【点睛】此题主要考查了线段和射线的定义，要熟练掌握。 【对应练习 3】 下图中一共有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 【答案】 1 10 10 【分析】线段有两个端点，有长度，可以测量；射线有一个端点，无限长，不可 测量；直线无端点，无限长，不可测量；根据线段、射线、直线的特点，进行解 答即可。 【详解】由直线的特征可知，图中只有 1条直线； 以 A、B、C、D、E中的任意一点都可以与其他一点组成一条线段，但是每条线 段都被重复计算了一次，所以要除以 2。一共可以组成 4×5÷2＝20÷2＝10（条） 线段； 由射线的特点可知，A、B、C、D、E五个点，每个点都可以发出两条射线，一 共有 2×5＝10（条）射线。 【点睛】本题考查线段、射线、直线的特征，在计算线段条数时，要注意灵活运 用握手问题解决方法。 14 / 31 【考点五】线段的数量问题其一。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从 1+2+3+......+（n-1），其中 n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中 n代表端点数量）。 【典型例题】 下面的图形中，我找到的线段分别是：( )。 解析：AB；AC；AD；BC；BD；CD 【对应练习 1】 图中有( )条线段。 解析：10 【对应练习 2】 2个点可以连成( )条线段，3个点可以连成( )条线段，10个点 可以连成( )条线段。 解析：1；3；45 【对应练习 3】 数出下图中共有多少条线段？ 解析： 15 / 31 5 4 3 2 1 15     （条） 答：图中共有 15条线段。 【考点六】线段的数量问题其二。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从 1+2+3+......+（n-1），其中 n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中 n代表端点数量）。 【典型例题】 下面各图中分别有多少条线段？ 【答案】10条；21条 【分析】线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段。据此以某个 端点为起点，同一方向它后面的端点依次作为终点，数出线段数量再相加即可。 【详解】（1）4＋3＋2＋1 ＝7＋3 ＝10（条） （2）（5＋4＋3＋2＋1）＋（3＋2＋1） ＝（9＋5＋1）＋（5＋1） ＝（14＋1）＋6 16 / 31 ＝15＋6 ＝21（条） ：有 10条线段。 ：有 21条线段。 【点睛】数线段时要按照一定的顺序数，做到不重复、不遗漏。 【对应练习 1】 下图中一共有( )条线段。 解析：6 【对应练习 2】 数一数，下图中有多少条线段？ （1） ( )条 （2） ( )条 解析：9；19 【对应练习 3】 数一数，下图中一共有多少条线段？ 解析：（1+2+3）×3=18（条） 17 / 31 【考点七】线段的数量问题其三。 【方法点拨】 线段与实际问题的结合，需要熟练掌握数线段的方法。 【典型例题】 一列从甲地开往乙地的火车，途中要停靠 3个站，铁路部门要准备( )种 不同的单程车票。 【答案】10 【分析】如下图。此题可转化为求甲地至乙地的路线上有多少条线段的问题，有 多少条线段，就应该有多少种单程车票。 从 A点出发的线段有 4条，即 AB、AC、AD、AE； 从 B点出发的线段有 3条，即 BC、BD、BE； 从 C点出发的线段有 2条，即 CD、CE； 从 D点出发的线段有 1条，即 DE。 最后计算出线段的总条数，即不同的单程车票的种数。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（种） 所以铁路部门要准备 10种不同的单程车票。 【点睛】如果有 n个火车站，单程需要准备（1＋2＋3＋…＋n－1）种车票。 【对应练习 1】 冒险岛到上海虹桥最快的一趟高铁共有 5个停靠车站，单程需要准备( ) 种不同的车票。 【答案】10 【分析】 如图，单程需要准备车票种数 就是图中线段条数。图中线段有冒险岛 A、冒险岛 B、冒险岛 C、冒险岛虹桥、 AB、AC、A虹桥、BC、B虹桥、C虹桥共 10条线段。 【详解】冒险岛到上海虹桥最快的一趟高铁共有 5个停靠车站，单程需要准备（10） 18 / 31 种不同的车票。 【点睛】有次序地数线段，不能重复也不能遗漏。 【对应练习 2】 从武汉到广州的铁路上共有大小车站 8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客 准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？ 【答案】56种 【详解】1+2+3+4+5+6+7=28（条） 28×2=56（种） 准备 56种不同的车票． （提示：将这 8个车站看成在一条直线上的 8个点，如图： 根据数线段的方法，可知有 28种不同的票价．但每种票价对应两种不同的车票， 例如： 从武汉→A与 A→武汉距离一样，但车票应不同。） 【对应练习 3】 中（国）老（挝）铁路是中国与老挝友谊的“连心桥”。晓娟查阅有关资料了解到 中老铁路的磨丁至万象市段的站点，如图所示。这一段铁路单程需要准备多少种 不同的车票？ 【答案】15种 【分析】由题意可得，图中单独的线段有 5条，由两条单独的线段组成的线段有 4条，由三条单独的线段组成的线段有 3条，由四条单独的线段组成的线段有 2 19 / 31 条，由五条单独的线段组成的线段有 1条，则图中共有 5＋4＋3＋2＋1条线段。 【详解】5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（种） 答：这一段铁路单程需要准备 15种不同的车票。 【点睛】此题考查了线段的应用，关键是明确该铁路为单程票。 【考点八】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条 直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线 a与 b互相平行，记作 （ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一 条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）； 垂直可以用用符号“⊥”表示，直线 a 与 b 互相垂直，记作（ ），读作 （ ）。 【典型例题 1】认识平行与垂直。 20 / 31 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 【答案】 ②④ ③⑥ 【分析】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则 互相平行的只有②④；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的 有③⑥。 【详解】根据平行和垂直的定义可知，互相平行的只有②④，互相垂直的有③⑥。 【点睛】本题主要考查的是垂直与平行的特征及性质的理解，即可判断是否平行 或垂直，在判断过程中不要漏掉，按顺序判断。 【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 【答案】 ④ ①⑤ 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的 四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。既不互相平行也不互 相垂直的两条直线就相交。据此解答即可。 【详解】上面图形中，互相平行的直线有④，互相垂直的直线有①⑤。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两 条直线是相交的有( )。 【答案】 （2）、（4） （3） （1）、（3） 21 / 31 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线 互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一 平面内，两条直线无限延长后相交于一点，则这两条直线相交，依此填空。 【详解】根据分析可知，两条直线是互相平行的有（2）、（4）； 两条直线是互相垂直的有（3）； 两条直线是相交的有（1）、（3）。 【点睛】熟练掌握平行、垂直、相交的特点，是解答此题的关键。 【对应练习3】 如图各组直线 a、b是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 √ × × √ 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线 互相平行，依此填空。 【详解】根据平行的特点，填空如下： 【点睛】熟练掌握平行的特点是解答此题的关键。 【典型例题 2】判断平行与垂直。 下图中，a与 b互相( )，b与 c互相( )，c与 d互相( )。 22 / 31 【答案】 平行 垂直 平行 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成 90度 时，这两条直线就互相垂直。 【详解】上图中，a与 b互相平行，b与 c互相垂直，c与 d互相平行。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习1】 如下图。直线 a和( )互相平行，直线 c和( )互相垂直，o是 ( )。 【答案】 直线 c 直线 d 垂足 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成 90 度时，这两条直线就相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交 点叫做垂足，据此解答。 【详解】如下图。直线 a和（直线 c）互相平行，直线 c和（直线 d）互相垂直， o是（垂足）。 【点睛】本题考查垂直与平行的特征，熟练掌握并灵活运用。 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 23 / 31 a( )c b( )c a( )b 【答案】 ⊥ ⊥ ∥ 【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直； 平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直 线的平行线；据此解答。 【详解】根据分析：a⊥c，b⊥c，a∥b。 【点睛】本题考查的是对平行和垂直的认识。 【对应练习3】 图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是( )，图 2中，直线 c是直线 d的 ( )线；图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的( )。 【答案】 平行 垂 距离 【分析】根据平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 根据垂线的定义：当两条直线相交成 90度时，这两条直线就互相垂直，据此解 答即可。 【详解】图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是平行； 图 2中，直线 c是直线 d的垂线； 图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的距离。 【点睛】此题考查了平行、垂直的定义，注意平时基础知识的积累。 【考点九】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 24 / 31 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【答案】 4 4 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 当两条直线相交成 90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】上图中互相平行的线段有 4组，互相垂直的线段有 4组。 【点睛】掌握平行和垂直的概念是解答本题的关键。 【对应练习 1】 有 4条直线（如图），其中，与直线 c垂直的直线有( )条，与直线 c相 交的直线有( )条。 【答案】 2 3 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中 一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】与直线 c垂直的直线有 a、b，延长直线 c和直线 d，直线 c和直线 d会 相交，与直线 c相交的直线有 a、b、d。 有 4条直线（如图），其中，与直线 c垂直的直线有（2）条，与直线 c相交的 直线有（3）条。 25 / 31 【点睛】熟记垂直的定义是解题关键。 【对应练习 2】 如图里有( )条线段与 AB垂直，有( )条线段与 CD平行。如图中 一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 2 1 4 10 2 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；如果两条直线相交成 直角，就说这两条直线互相垂直；长方形的四个角都是直角；小于 90度的角是 锐角；大于 90度而小于 180度的角是钝角；据此进行解答即可。 【详解】与 AB垂直的线段有：AD、BC，共 2条； 与 CD平行的线段是 AB，共 1条； 直角有 4个，长方形 ABCD的四个直角； 锐角有 10个，如图所示： 钝角有 2个：∠AOB、∠DOC。 【点睛】本题考查了对平行线和垂线的定义的理解及运用，同时考查了角的分类， 解答此题时要认真、仔细。 【对应练习 3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 26 / 31 【答案】 6 6 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两 条直线互相垂直；将平行或垂直的定义运用于线段即可。 【详解】图形共 6条边，横向 3条中任意两条相互平行，共 3组平行线段，纵向 条中任意两条相互平行，共 3组平行线段，所以总共 6组平行线段； 图中共 6个角，其中从图内看有 5个直角，从图外看有 1个直角，所以 6个角的 两条边相互垂直，共 6组互相垂直的线段。 【点睛】本题主要考查平行和垂直，明确其特征是解答本题的关键。 【考点十】画平行线与垂线。 【方法点拨】 画垂线的方法：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过 P点作 OA的平行线，作 OB的垂直线。 【答案】见详解 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线 OA重合，用直尺靠紧三角板 的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边 和 P点重合，过 P点沿三角板的直角边画直线即可； （2）用三角板的一条直角边和已知直线 OB重合，沿重合的直线平移三角板， 使三角板的另一条直角边和 P点重合，过 P沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】如图： 27 / 31 【点睛】本题考查平行线和垂直线，熟练掌握平行线和垂直线的作图方法是解题 的关键。 【对应练习 1】 过点A作直线 l的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线 l，沿这条直 线滑动三角板，当另一直角边经过 A点时，沿这条直角边画的直线就是过 l点作 的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线 l重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移 三角尺，使直线外的 A点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的 特点是解答此题的关键。 【对应练习 2】 过点 A作已知直线的平行线和垂线。 28 / 31 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边 与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一 条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直 线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已 知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺 平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学 生利用三角尺作图的能力。 【对应练习 3】 过点 O画 AB的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边 与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一 条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直 线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已 知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺 29 / 31 平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学 生利用三角尺作图的能力。 【考点十一】垂线的应用：修路问题。 【方法点拨】 从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的 （ ）。 【典型例题】 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画 出最佳路线。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长 度叫做点到直线的距离。据此可知，要使煤气管道最短，则从幸福小区向煤气管 道作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最 短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。 【对应练习 1】 甲村要修一条路与公路连接。请你帮忙设计一下，怎样修路最省钱？画一画。 30 / 31 【答案】见详解 【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要 作出甲村到公路的垂线段即可。 【详解】根据分析，作图如下： 【点睛】此题主要考查垂线段最短的性质和画垂线的方法。 【对应练习 2】 如图，一头牛在点 A处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边 最短的路线，在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】把河岸看成一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短 的性质即可解决问题。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月20日 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·“线”篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元线与角·“线”篇 专题内容 本专题以三种线和线的位置关系为主，其中包括三种线的认识、判断、画法以及数线段的方法与实际应用，平行与垂直的认识、应用及画法等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线 3 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短 4 【考点三】三线的画法 5 【考点四】数数三线 7 【考点五】线段的数量问题其一 8 【考点六】线段的数量问题其二 9 【考点七】线段的数量问题其三 10 【考点八】平行与垂直 11 【考点九】数平行线与垂线 13 【考点十】画平行线与垂线 14 【考点十一】垂线的应用：修路问题 15 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线。 【方法点拨】 图形 区别 联系 端点 长度 延长情况 线段 2 可以度量 不可向两端延长 都是直的，线段、射线都可以看作直线的一部分。 射线 1 不可度量 向一端无限延长 直线 0 不可度量 向两端无限延长 【典型例题】 下面的图形中，直线有( )，射线有( )，线段有( )。（填序号）    【对应练习1】 在每个图形下面的括号里填上“直线”“射线”或“线段”。三者都不是的，就在括号里画“×”。 ( )           ( )            ( ) 【对应练习2】 下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ①②③④⑤⑥ 【对应练习3】 上图中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短。 【方法点拨】 两点之间，线段最短。 【典型例题】 学校进行安全疏散演练，小维要尽快到达安全区域（如图），他选择了A路线，主要是根据“两点间所有连线中( )最短”的原理。 【对应练习1】 从甲地到乙地有4条路（如图），走( )号路线最近。 【对应练习2】 下图是小明家到学校的三条线路图，如果让你帮助小明推荐一条上学最近的路线，推荐第( )条，请用数学语言说明理由：( )。 【对应练习3】 图中A、B两点之间的距离是( )厘米。 【考点三】三线的画法。 【方法点拨】 1. 直线。 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，经过三个点中的每两个点最多可以画三条直线。 2. 射线。 从一点出发可以画两条射线。 3. 线段。 两点确定一条线段。 【典型例题1】直线。 经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画( )条直线，经过10个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 【对应练习】 看图填空。 (1)经过A点能画( )条直线。 (2)经过B、C两点，能画( )条直线。 【典型例题2】三线的画法。 按要求画一画。 先画出直线AC，再画出射线CB，然后画出线段AB。 【对应练习1】 过点O画一条直线；过点A画一条射线，并在射线上画出线段AB＝4厘米。 【对应练习2】 按要求画一画。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线BC。 （3）画出长为5厘米的线段AD。 【对应练习3】 下面有A、B、C三个点，按要求画一画。 （1）画直线BC。 （2）画射线BA。 （3）画线段AC。 【考点四】数数三线。 【方法点拨】 1.两个端点构成一条线段；一个端点引出两条射线；直线没有端点。 2.简单的数线段、射线和直线可以采用画图的方法解决，注意不要漏数。 【典型例题】 数一数，下图中有( )条射线，有( )条直线，有( )条线段。 【对应练习1】 下图中有( )条射线，( )条线段。 【对应练习2】 如图，直线AB上共有( )条线段，( )条射线。 【对应练习3】 下图中一共有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 【考点五】线段的数量问题其一。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3+......+（n-1），其中n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。 【典型例题】 下面的图形中，我找到的线段分别是：( )。 【对应练习1】 图中有( )条线段。 【对应练习2】 2个点可以连成( )条线段，3个点可以连成( )条线段，10个点可以连成( )条线段。 【对应练习3】 数出下图中共有多少条线段？ 【考点六】线段的数量问题其二。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3+......+（n-1），其中n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。 【典型例题】 下面各图中分别有多少条线段？                【对应练习1】 下图中一共有( )条线段。 【对应练习2】 数一数，下图中有多少条线段？ （1）            ( )条 （2） ( )条 【对应练习3】 数一数，下图中一共有多少条线段？ 【考点七】线段的数量问题其三。 【方法点拨】 线段与实际问题的结合，需要熟练掌握数线段的方法。 【典型例题】 一列从甲地开往乙地的火车，途中要停靠3个站，铁路部门要准备( )种不同的单程车票。 【对应练习1】 冒险岛到上海虹桥最快的一趟高铁共有5个停靠车站，单程需要准备( )种不同的车票。 【对应练习2】 从武汉到广州的铁路上共有大小车站8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？ 【对应练习3】 中（国）老（挝）铁路是中国与老挝友谊的“连心桥”。晓娟查阅有关资料了解到中老铁路的磨丁至万象市段的站点，如图所示。这一段铁路单程需要准备多少种不同的车票？ 【考点八】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。 【典型例题1】认识平行与垂直。 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。    【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两条直线是相交的有( )。 【对应练习3】 如图各组直线、是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 ( )      ( )        ( )         ( ) 【典型例题2】判断平行与垂直。 下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。 【对应练习1】 如下图。直线和( )互相平行，直线c和( )互相垂直，o是( )。 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 a( )c       b( )c       a( )b 【对应练习3】 图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。 【考点九】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【对应练习1】 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线c相交的直线有( )条。 【对应练习2】 如图里有( )条线段与AB垂直，有( )条线段与CD平行。如图中一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【对应练习3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【考点十】画平行线与垂线。 【方法点拨】 画垂线的方法：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过P点作OA的平行线，作OB的垂直线。    【对应练习1】 过点作直线的垂线和平行线。    【对应练习2】 过点A作已知直线的平行线和垂线。 【对应练习3】 过点O画AB的平行线和垂线。 【考点十一】垂线的应用：修路问题。 【方法点拨】 从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的（ ）。 【典型例题】 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画出最佳路线。    【对应练习1】 甲村要修一条路与公路连接。请你帮忙设计一下，怎样修路最省钱？画一画。 【对应练习2】 如图，一头牛在点A处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边最短的路线，在图中画出来。    【对应练习3】 甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月20日 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·“线”篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元线与角·“线”篇 专题内容 本专题以三种线和线的位置关系为主，其中包括三种线的认识、判断、画法以及数线段的方法与实际应用，平行与垂直的认识、应用及画法等内容。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线 3 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短 5 【考点三】三线的画法 7 【考点四】数数三线 12 【考点五】线段的数量问题其一 14 【考点六】线段的数量问题其二 15 【考点七】线段的数量问题其三 17 【考点八】平行与垂直 19 【考点九】数平行线与垂线 23 【考点十】画平行线与垂线 26 【考点十一】垂线的应用：修路问题 29 【第三篇】典型例题篇 【考点一】三线的认识：线段、射线和直线。 【方法点拨】 图形 区别 联系 端点 长度 延长情况 线段 2 可以度量 不可向两端延长 都是直的，线段、射线都可以看作直线的一部分。 射线 1 不可度量 向一端无限延长 直线 0 不可度量 向两端无限延长 【典型例题】 下面的图形中，直线有( )，射线有( )，线段有( )。（填序号）    【答案】 ②⑥ ③ ④ 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度； 射线1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度； 线段2个端点，不能延伸，可以测量长度，依此解答即可。 【详解】根据分析图中，②⑥没有端点，属于直线； ③有1个端点，属于射线； ④线段2个端点，属于线段； 所以，直线有②⑥，射线有③，线段有④。 【点睛】根据直线、射线和线段的特征作答即可。 【对应练习1】 在每个图形下面的括号里填上“直线”“射线”或“线段”。三者都不是的，就在括号里画“×”。 ( )           ( )            ( ) 【答案】 射线 × 线段 【分析】根据直线、线段和射线的含义：直线无端点，无限长，不可以度量；射线有一个端点，无限长，不可以度量；线段两头都有端点，有限长，可以度量；进行解答。 【详解】（射线） （×） （线段） 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，应熟练掌握。 【对应练习2】 下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ①②③④⑤⑥ 【答案】 ③ ②⑥ ④ 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以度量；据此特征判断。 【详解】下面（③）是线段，（②⑥）是射线，（④）是直线。 ①②③④⑤⑥ 【点睛】此题主要考查直线、射线和线段的特征。 【对应练习3】 上图中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。 【答案】 ① ② ③ 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另一端可无限，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以度量；据此解答。 【详解】 图中，（①）是直线，（②）是线段，（③）是射线。 【点睛】本题主要考查了直线、射线及线段的特征。 【考点二】线段的性质：两点之间，线段最短。 【方法点拨】 两点之间，线段最短。 【典型例题】 学校进行安全疏散演练，小维要尽快到达安全区域（如图），他选择了A路线，主要是根据“两点间所有连线中( )最短”的原理。 【答案】线段 【分析】根据两点间所有连线中线段最短，解答此题即可。 【详解】两点间所有连线中线段最短，即他选择了A路线，主要是根据“两点间所有连线中线段最短”的原理。 【点睛】熟练掌握两点间所有连线中线段最短的知识，是解答此题的关键。 【对应练习1】 从甲地到乙地有4条路（如图），走( )号路线最近。 【答案】② 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短，据此解答即可。 【详解】根据两点之间线段最短可知，从甲地到乙地有4条路（如图），走②号路线最近。 【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点是：两点之间线段最短。 【对应练习2】 下图是小明家到学校的三条线路图，如果让你帮助小明推荐一条上学最近的路线，推荐第( )条，请用数学语言说明理由：( )。 【答案】 ② 两点之间线段最短 【分析】两点之间的距离，线段最短；一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段，线段有两个端点，依此选择。 【详解】推荐第②条，理由是：两点之间线段最短。 【点睛】此题考查的是两点间的距离线段最短，应熟练掌握。 【对应练习3】 图中A、B两点之间的距离是( )厘米。 【答案】4 【分析】两点之间线段最短，测量两点之间的距离，应测量两点之间的线段长。 【详解】图中A、B两点之间的距离是（4）厘米。 【点睛】本题考查长度的测量方法，注意不是从0刻度开始的，需要两段刻度相减求差算长度。 【考点三】三线的画法。 【方法点拨】 1. 直线。 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，经过三个点中的每两个点最多可以画三条直线。 2. 射线。 从一点出发可以画两条射线。 3. 线段。 两点确定一条线段。 【典型例题1】直线。 经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画( )条直线，经过10个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 【答案】 6 45 【分析】直线的概念：把线段的两端无限延长，得到一条直线，经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）； 经过4个点中的每两个点：第1个点与其他3个点分别可以画3条直线；排除第1个点，第2个点与其他2个点分别可以画2条直线；排除第1、2个点，第3个点与其他1个点分别可以画1条直线； 经过10个点中的每两个点：第1个点与其他9个点分别可以画9条直线；排除第1个点，第2个点与其他8个点分别可以画8条直线；排除第1、2个点，第3个点与其他7个点分别可以画7条直线；排除第1、2、3个点，第4个点与其他6个点分别可以画6条直线；排除第1、2、3、4个点，第5个点与其他5个点分别可以画5条直线；排除第1、2、3、4、5个点，第6个点与其他4个点分别可以画4条直线；排除第1、2、3、4、5、6个点，第7个点与其他3个点分别可以画3条直线；排除第1、2、3、4、5、6、7个点，第8个点与其他2个点分别可以画2条直线；排除第1、2、3、4、5、6、7、8个点，第9个点与其他1个点分别可以画1条直线；据此解答。 【详解】根据分析：3＋2＋1＝6（条），所以经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线；9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（条），所以经过10个点中的每两个点最多可以画45条直线。 【对应练习】 看图填空。 (1)经过A点能画( )条直线。 (2)经过B、C两点，能画( )条直线。 【答案】(1)无数 (2)一/1 【分析】过一点可以画无数条直线；过两点只能画一条直线。 【详解】如图所示： （1）经过A点能画无数条直线； （2）经过B、C两点，能画一条直线。 【典型例题2】三线的画法。 按要求画一画。 先画出直线AC，再画出射线CB，然后画出线段AB。 【答案】见详解 【分析】过A、C两点画一条直的线即可得到直线AC，以点C为端点，过点B画一条直的线即可得到射线CB，用一条直的线把A、B两点连接起来即可得到线段AB；据此即可解答。 【详解】 【对应练习1】 过点O画一条直线；过点A画一条射线，并在射线上画出线段AB＝4厘米。 【答案】见详解 【分析】直线没有端点，不能度量长度，可以向两端无限延伸。用直尺的边与点O重合，沿着直尺边画线，即可画出过O点的一条直线； 射线是由线段的一端无限延长所形成的直的线，有一个端点，无限长，线段是有两个端点，不能向两端无限延伸，且可测量长度。先以点A为端点画一条射线，然后以点A为端点截取一条长4厘米的线段AB，用尺子0刻度线对齐点A，找4厘米的位置点一点，标上点B，据此解答即可。 【详解】 【对应练习2】 按要求画一画。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线BC。 （3）画出长为5厘米的线段AD。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。 （1）过A、B两点画一条直的线即可； （2）以B为端点，过C点画一条直的线即可； （3）以A为端点，画一条长为5厘米的线段，另一个端点标记为D即可。 据此画图。 【详解】作图如下： （1）直线AB （2）射线BC （3）长为5厘米的线段AD 【对应练习3】 下面有A、B、C三个点，按要求画一画。 （1）画直线BC。 （2）画射线BA。 （3）画线段AC。 【答案】见详解 【分析】（1）直线无端点，所以画直线BC时，先连接点B与点C，再将连线向两边继续延长一些； （2）射线BA，此射线的端点是点B，连接点B与点A，并向点A的右上角继续延长，即可得到射线BA； （3）线段有2个端点，有长度，所以连接点A与点C即可得到线段AC。 【详解】（1）（2）（3）如下图所示： 【考点四】数数三线。 【方法点拨】 1.两个端点构成一条线段；一个端点引出两条射线；直线没有端点。 2.简单的数线段、射线和直线可以采用画图的方法解决，注意不要漏数。 【典型例题】 数一数，下图中有( )条射线，有( )条直线，有( )条线段。 【答案】 4 1 1 【分析】根据直线、射线和线段的特点：直线无端点，无限长，不可以度量；射线有一个端点，无限长，不可以度量；线段有两个端点，有限长，可以度量；进行解答即可。 【详解】图中有4条射线，有1条直线，有1条线段。 【点睛】本题主要考查射线、线段和直线的特点。注意观察，不能多数、漏数。 【对应练习1】 下图中有( )条射线，( )条线段。 【答案】 6 3 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以度量；据此解答。 【详解】上图中有6条射线，3条线段。 【点睛】本题考查了直线、射线及线段的特征。 【对应练习2】 如图，直线AB上共有( )条线段，( )条射线。 【答案】 6 8 【分析】由题目可知，从短到长，线段共有（3＋2＋1）条，每个端点发出两条射线，所以共8条射线，即可解题。 【详解】由分析可知： 3＋2＋1＝6（条） 所以直线AB上共有6条线段，8条射线。 【点睛】此题主要考查了线段和射线的定义，要熟练掌握。 【对应练习3】 下图中一共有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 【答案】 1 10 10 【分析】线段有两个端点，有长度，可以测量；射线有一个端点，无限长，不可测量；直线无端点，无限长，不可测量；根据线段、射线、直线的特点，进行解答即可。 【详解】由直线的特征可知，图中只有1条直线； 以A、B、C、D、E中的任意一点都可以与其他一点组成一条线段，但是每条线段都被重复计算了一次，所以要除以2。一共可以组成4×5÷2＝20÷2＝10（条）线段； 由射线的特点可知，A、B、C、D、E五个点，每个点都可以发出两条射线，一共有2×5＝10（条）射线。 【点睛】本题考查线段、射线、直线的特征，在计算线段条数时，要注意灵活运用握手问题解决方法。 【考点五】线段的数量问题其一。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3+......+（n-1），其中n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。 【典型例题】 下面的图形中，我找到的线段分别是：( )。 解析：AB；AC；AD；BC；BD；CD 【对应练习1】 图中有( )条线段。 解析：10 【对应练习2】 2个点可以连成( )条线段，3个点可以连成( )条线段，10个点可以连成( )条线段。 解析：1；3；45 【对应练习3】 数出下图中共有多少条线段？ 解析： （条） 答：图中共有15条线段。 【考点六】线段的数量问题其二。 【方法点拨】 数线段主要通过以下几个方法进行： 1.方法一：定义法。 两个端点构成一条线段，通过定义找线段。 2.方法二：画图法。 通过简单的连线画图来数线段。 3.方法三：公式法。 （1）加法公式 首先数出线段由几个端点，然后从1+2+3+......+（n-1），其中n代表端点数量。 （2）乘法公式： n×（n-1）÷2（其中n代表端点数量）。 【典型例题】 下面各图中分别有多少条线段？                【答案】10条；21条 【分析】线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段。据此以某个端点为起点，同一方向它后面的端点依次作为终点，数出线段数量再相加即可。 【详解】（1）4＋3＋2＋1 ＝7＋3 ＝10（条） （2）（5＋4＋3＋2＋1）＋（3＋2＋1） ＝（9＋5＋1）＋（5＋1） ＝（14＋1）＋6 ＝15＋6 ＝21（条） ：有10条线段。 ：有21条线段。 【点睛】数线段时要按照一定的顺序数，做到不重复、不遗漏。 【对应练习1】 下图中一共有( )条线段。 解析：6 【对应练习2】 数一数，下图中有多少条线段？ （1）            ( )条 （2） ( )条 解析：9；19 【对应练习3】 数一数，下图中一共有多少条线段？ 解析：（1+2+3）×3=18（条） 【考点七】线段的数量问题其三。 【方法点拨】 线段与实际问题的结合，需要熟练掌握数线段的方法。 【典型例题】 一列从甲地开往乙地的火车，途中要停靠3个站，铁路部门要准备( )种不同的单程车票。 【答案】10 【分析】如下图。此题可转化为求甲地至乙地的路线上有多少条线段的问题，有多少条线段，就应该有多少种单程车票。 从A点出发的线段有4条，即AB、AC、AD、AE； 从B点出发的线段有3条，即BC、BD、BE； 从C点出发的线段有2条，即CD、CE； 从D点出发的线段有1条，即DE。 最后计算出线段的总条数，即不同的单程车票的种数。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（种） 所以铁路部门要准备10种不同的单程车票。 【点睛】如果有n个火车站，单程需要准备（1＋2＋3＋…＋n－1）种车票。 【对应练习1】 冒险岛到上海虹桥最快的一趟高铁共有5个停靠车站，单程需要准备( )种不同的车票。 【答案】10 【分析】如图，单程需要准备车票种数就是图中线段条数。图中线段有冒险岛A、冒险岛B、冒险岛C、冒险岛虹桥、AB、AC、A虹桥、BC、B虹桥、C虹桥共10条线段。 【详解】冒险岛到上海虹桥最快的一趟高铁共有5个停靠车站，单程需要准备（10）种不同的车票。 【点睛】有次序地数线段，不能重复也不能遗漏。 【对应练习2】 从武汉到广州的铁路上共有大小车站8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？ 【答案】56种 【详解】1+2+3+4+5+6+7=28（条） 28×2=56（种） 准备56种不同的车票． （提示：将这8个车站看成在一条直线上的8个点，如图： 根据数线段的方法，可知有28种不同的票价．但每种票价对应两种不同的车票，例如： 从武汉→A与A→武汉距离一样，但车票应不同。） 【对应练习3】 中（国）老（挝）铁路是中国与老挝友谊的“连心桥”。晓娟查阅有关资料了解到中老铁路的磨丁至万象市段的站点，如图所示。这一段铁路单程需要准备多少种不同的车票？ 【答案】15种 【分析】由题意可得，图中单独的线段有5条，由两条单独的线段组成的线段有4条，由三条单独的线段组成的线段有3条，由四条单独的线段组成的线段有2条，由五条单独的线段组成的线段有1条，则图中共有5＋4＋3＋2＋1条线段。 【详解】5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（种） 答：这一段铁路单程需要准备15种不同的车票。 【点睛】此题考查了线段的应用，关键是明确该铁路为单程票。 【考点八】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行： 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直： 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。 【典型例题1】认识平行与垂直。 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。    【答案】 ②④ ③⑥ 【分析】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则互相平行的只有②④；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的有③⑥。 【详解】根据平行和垂直的定义可知，互相平行的只有②④，互相垂直的有③⑥。 【点睛】本题主要考查的是垂直与平行的特征及性质的理解，即可判断是否平行或垂直，在判断过程中不要漏掉，按顺序判断。 【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 【答案】 ④ ①⑤ 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。既不互相平行也不互相垂直的两条直线就相交。据此解答即可。 【详解】上面图形中，互相平行的直线有④，互相垂直的直线有①⑤。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两条直线是相交的有( )。 【答案】 （2）、（4） （3） （1）、（3） 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一平面内，两条直线无限延长后相交于一点，则这两条直线相交，依此填空。 【详解】根据分析可知，两条直线是互相平行的有（2）、（4）； 两条直线是互相垂直的有（3）； 两条直线是相交的有（1）、（3）。 【点睛】熟练掌握平行、垂直、相交的特点，是解答此题的关键。 【对应练习3】 如图各组直线、是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 ( )      ( )        ( )         ( ) 【答案】 √ × × √ 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行，依此填空。 【详解】根据平行的特点，填空如下： 【点睛】熟练掌握平行的特点是解答此题的关键。 【典型例题2】判断平行与垂直。 下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。 【答案】 平行 垂直 平行 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直。 【详解】上图中，a与b互相平行，b与c互相垂直，c与d互相平行。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习1】 如下图。直线和( )互相平行，直线c和( )互相垂直，o是( )。 【答案】 直线c 直线d 垂足 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，据此解答。 【详解】如下图。直线和（直线c）互相平行，直线c和（直线d）互相垂直，o是（垂足）。 【点睛】本题考查垂直与平行的特征，熟练掌握并灵活运用。 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 a( )c       b( )c       a( )b 【答案】 ⊥ ⊥ ∥ 【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直； 平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此解答。 【详解】根据分析：a⊥c，b⊥c，a∥b。 【点睛】本题考查的是对平行和垂直的认识。 【对应练习3】 图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。 【答案】 平行 垂 距离 【分析】根据平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 根据垂线的定义：当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，据此解答即可。 【详解】图1中，直线a与直线b的位置关系是平行； 图2中，直线c是直线d的垂线； 图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的距离。 【点睛】此题考查了平行、垂直的定义，注意平时基础知识的积累。 【考点九】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【答案】 4 4 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】上图中互相平行的线段有4组，互相垂直的线段有4组。 【点睛】掌握平行和垂直的概念是解答本题的关键。 【对应练习1】 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线c相交的直线有( )条。 【答案】 2 3 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】与直线c垂直的直线有a、b，延长直线c和直线d，直线c和直线d会相交，与直线c相交的直线有a、b、d。 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有（2）条，与直线c相交的直线有（3）条。 【点睛】熟记垂直的定义是解题关键。 【对应练习2】 如图里有( )条线段与AB垂直，有( )条线段与CD平行。如图中一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 2 1 4 10 2 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；长方形的四个角都是直角；小于90度的角是锐角；大于90度而小于180度的角是钝角；据此进行解答即可。 【详解】与AB垂直的线段有：AD、BC，共2条； 与CD平行的线段是AB，共1条； 直角有4个，长方形ABCD的四个直角； 锐角有10个，如图所示： 钝角有2个：∠AOB、∠DOC。 【点睛】本题考查了对平行线和垂线的定义的理解及运用，同时考查了角的分类，解答此题时要认真、仔细。 【对应练习3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【答案】 6 6 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；将平行或垂直的定义运用于线段即可。 【详解】图形共6条边，横向3条中任意两条相互平行，共3组平行线段，纵向条中任意两条相互平行，共3组平行线段，所以总共6组平行线段； 图中共6个角，其中从图内看有5个直角，从图外看有1个直角，所以6个角的两条边相互垂直，共6组互相垂直的线段。 【点睛】本题主要考查平行和垂直，明确其特征是解答本题的关键。 【考点十】画平行线与垂线。 【方法点拨】 画垂线的方法：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过P点作OA的平行线，作OB的垂直线。    【答案】见详解 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线OA重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可； （2）用三角板的一条直角边和已知直线OB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】如图：      【点睛】本题考查平行线和垂直线，熟练掌握平行线和垂直线的作图方法是解题的关键。 【对应练习1】 过点作直线的垂线和平行线。    【答案】见详解 【分析】过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】画图如下：    【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的特点是解答此题的关键。 【对应练习2】 过点A作已知直线的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的能力。 【对应练习3】 过点O画AB的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线和平行线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的能力。 【考点十一】垂线的应用：修路问题。 【方法点拨】 从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的（ ）。 【典型例题】 爷爷奶奶住的幸福小区准备安装煤气管道，为了节约安装费用，请你在下图中画出最佳路线。    【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使煤气管道最短，则从幸福小区向煤气管道作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】   【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。 【对应练习1】 甲村要修一条路与公路连接。请你帮忙设计一下，怎样修路最省钱？画一画。 【答案】见详解 【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作出甲村到公路的垂线段即可。 【详解】根据分析，作图如下： 【点睛】此题主要考查垂线段最短的性质和画垂线的方法。 【对应练习2】 如图，一头牛在点A处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边最短的路线，在图中画出来。    【答案】见详解 【分析】把河岸看成一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。 【详解】   【点睛】此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用。 【对应练习3】 甜甜从家园小区走到公路边去坐车，请你画出最近的路线。 【答案】见详解 【分析】利用点到直线的距离，垂线段最短的性质解决问题即可。 【详解】根据垂线段最短的性质，画图如下：    【点睛】本题主要考查了利用垂直线段最短的性质解决实际问题。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$